考点19 圆锥曲线与方程压轴题汇总(选修2-1)(解析版)

考点19 圆锥曲线压轴题汇总

一、单选题（共13小题）

1.（2020•闵行区校级三模）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，

则存在横坐标x＞2的点A、B、C有（）

A．0个B．2个

C．有限个，但多于2个D．无限多个

【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），利用，说明F为△ABC的重心，利用重

心坐标公式结合不等式转化求解x1≤2，讨论推出x2≤2，x3≤2，得到结果．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），先证x1≤2，

由知，F为△ABC的重心，

又F（1，0），∴，，

∴x2+x3＝3﹣x1，y2+y3＝﹣y1，

∴，∴，

∴，∴x1≤2（x2+x3），∴x1≤2（3﹣x1），

∴x1≤2，

同理x2≤2，x3≤2，

故选：A．

【知识点】抛物线的性质

2.（2020•新疆模拟）过双曲线C：右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，，

若，则C的离心率为（）

A．B．2C．D．

【分析】设双曲线的左焦点为F'，由向量共线定理可得|QP|＝2|PF|，由向量垂直的条件，可得OP⊥FQ，可设|PF|＝t，可得|QP|＝2t，再由双曲线的定义可得|PF'|，|QF'|，运用勾股定理和余弦定理，可得cos ∠PFO为关于t的式子，化简整理，消去t，可得a，c的方程，再由双曲线的离心率公式，计算可得所求值．

【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，

由，可得|QP|＝2|PF|，

，可得OP⊥FQ，

可设|PF|＝t，可得|QP|＝2t，

由双曲线的定义可得|PF'|＝|PF|+2a＝t+2a，

|QF'|＝|QF|﹣2a＝3t﹣2a，

在直角三角形POF中，可得cos∠PFO＝，

在△PFF'中，cos∠PFO＝，

在△QFF'中，cos∠QFO＝cos∠PFO＝，

由＝，化为3ta＝c2﹣a2，①

由＝，可得3t2﹣3ta＝c2﹣a2，②

由①②消去t，可得c2＝7a2，即c＝a，

则e＝＝，

故选：C．

【知识点】双曲线的性质

3.（2020•咸阳三模）已知抛物线C：y2＝8x，点P，Q是抛物线上任意两点，M是PQ的中点，且|PQ|＝10，

则M到y轴距离的最小值为（）

A．9B．8C．4D．3

【分析】法一：设直线l的方程为x＝my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算|AB|，并利用条件|AB|＝12，得出m与n所满足的关系式，然后求出点M的坐标，可得出点M到x轴距离的表达式，将关系式代入并结合基本不等式可得出点M到x轴距离的最小值即可．

法二：运用抛物线的定义解题；PQ≤PF+QF，再由中位线定理和抛物线的定义．

【解答】解：法﹣：由题意可知直线l的斜率不为零，设l：x＝my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则点M（，），点M到x轴的距离为．

由，整理得y2﹣8my﹣8n＝0．

△＝64m2+32n＞0，由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n．

|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝10，可得n＝﹣2m2，

∵＝4m，

∴＝m•+n＝m•4m+n＝4m2+﹣2m2＝2m2+＝2（1+m2）+﹣2≥2﹣2＝5﹣2＝3；

当且仅当2（1+m2）＝，即当m＝±时，等号成立，

此时n＝﹣2m2＝2，△＝64m2+32n＞0成立，合乎题意！

因此，点M到y轴的距离的最小值为3，此时，直线l的方程为x±y﹣2＝0．

法二：因为：|PQ|≤PF+QF＝x1+x2+p⇒x1+x2≥10﹣p＝6；

∴PQ的中点M到y轴距离的值为：≥3；

即最小值为3．

故选：D．

【知识点】抛物线的性质

4.（2020•邯郸一模）过点P作抛物线C：x2＝2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若△PMN的重心坐标为

（1，1），且P在抛物线D：y2＝mx上，则D的焦点坐标为（）

A．B．C．D．

【分析】由已知设切点坐标设M（x1，），N（x2，），利用导数写出切线L1，L2的方程，联立求出交点P坐标x＝，y＝，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P的坐标为（1，﹣1），再代入抛物线D：y2＝mx方程，求出m，进而求D的焦点坐标．

【解答】解：设M（x1，），N（x2，），由x2＝y，得y＝，∴y′＝x，故直线L1的方程为y﹣＝x1（x﹣x1）

即y＝x1x﹣，同理直线L2的方程为y＝x2x﹣，联立L1，L2的方程可得x＝，y

＝，设△PMN的重心坐标为（x0，y0），则x0＝＝1，y0＝

＝1

即所以，则P的坐标为（1，﹣1），从而（﹣1）2＝m×1，故D

的焦点坐标为（，0）．

故选：A．

【知识点】抛物线的性质

5.（2020春•鹿城区校级月考）过点P（2，1）斜率为正的直线交椭圆于A，B两点．C，D是椭

圆上相异的两点，满足CP，DP分别平分∠ACB，∠ADB，则△PCD外接圆半径的最小值为（）A．B．C．D．

【分析】分析可知，P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r，且，分直线AB斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解．

【解答】解：如图，先固定直线AB，设，则f（C）＝f（D）＝f（P），其中为定值，

故点P，C，D在一个阿波罗尼斯圆上，且△PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r，阿波罗尼斯圆会把点A，B其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑BP＞AP的阿波罗尼斯圆的情况，

BA的延长线与圆交于点Q，PQ即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，

由，解得，

同理，当BP＜AP时有，，

综上，；

当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为，则；

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1，

与椭圆方程联立可得（24k2+5）x2+48k（1﹣2k）x+96（k2﹣k﹣1）＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系有，，

∴＝

，

注意到x1﹣2与x2﹣2异号，故＝，

设t＝12k+5，则，故，

又，

故选：D．