高三数学有关对数比较大小的几点思考

有关对数比较大小的几点思考

对数函数是新课标中的基本初等函数之一，是函数概念的具体体现与综合应用，对数的定义、图像及性质是高考考查的重点，对数函数与其他函数、方程不等式及数列相融合的知识也是考查的热点。另外，对数函数与指数函数互为反函数的这一性质也是高考中常被考查的。然而对对数性质在对数值比较大小中的简单应用我有以下几点思考。

引例 已知㏒a （pi-3）<㏒b （pi-3）<0,a,b 是不等于1的正数，则下列不等式正确的是（ ）

A.b>a>1

B.a

C.a>b>1

D.b

∴a>1,b>1,

∴得下图，作直线x=N 与曲线交于A,B 两点

显然，本题是一道关于对数比较大小，且是同真不同底的问题。事实上，有关对数的比较大小有三大类: 比较对数大小 ；比较真数大小； 比较底数大小。 一、 比较对数大小（函数值比较大小）

函数值比较大小是比较大小的常见题型，常用的方法有： ⒈比较同底数对数的大小利用函数单调性 例1.若0m n <<,则2log m 2log n ；

分析：考察函数2log y x =，它在（0，+∞）递增 而m

2.底数不同，利用函数图像及相互位置关系比较大小 例2.比较0.50.2log 3,log 3的大小关系

∵㏒a （pi-3）<㏒b （pi-3）

∴A y = ㏒b （pi-3）, B y = ㏒a （pi-3） ∴A:y=㏒bX, B:y=㏒a X ∴aa>1

所以选A

分析：∵在x∈(1,+∞)上，0.5

=的图像的

log

y x

log

y x

=的图像在0.2

下方

∴0.50.2

<

log3log3

3.底数与真数都不同时，常采用放缩法或搭桥法

（搭桥法一般是找中间值，多选0和1）

例3.比较下列对数的大小：230.3

log0.5,log2,log0.7。

分析：这三个数的底数和真数都不同，我们无法用

函数的单调性来比较大小，但不难发现，它们与一些特殊

值0，1有关，2

log0.5<0, 3

log0.7<1

log4>1, 0<0.3

所以20.33

<<。

log0.5log0.7log4

注：当底数与1的大小关系未明确说明时，要分类讨论。

二、比较真数大小

已知对数大小比较真数大小----利用单调性

例2. 0.2

log n（m>0,n>0），则m n。

log m<0.2

分析：考察函数y=0.2

log x，它在（0，+∞）递减

而0.2

log n，所以m>n.

log m<0.2

三、同真数比较底数大小

同真不同底比较底数的情况有两类：㏒aN·㏒bN﹥0和㏒aN·㏒bN﹤0 而出题者多数会出㏒aN·㏒bN﹥0的情况。这种情况的解我们可有以下结论：

⒈ N﹥1时，若㏒aN﹥㏒bN则a﹤b，若㏒aN﹤㏒bN则a﹥b;

⒉ 0﹤N﹤1时，若㏒aN﹥㏒bN则a﹥b，若㏒aN﹤㏒bN则a﹤b。

至于a、b与1、0的关系，我们可以根据对数的符号判断——底真同对数正，底真反对数负。(同：同大于1或同小于1。反：一个大于1一个小于1)

1、以㏒aN﹥㏒bN﹥0为例分析上述结论：

①N﹥1时：∵㏒aN﹥㏒bN﹥0且N﹥1

∴得下图，作直线x=N与曲线交于

∵㏒aN﹥㏒bN

∴A y= ㏒aN, B y= ㏒bN

∴A ：y=㏒aX, B ：y=㏒bX ∴a ﹤b 即1﹤a ﹤b

（注：对数函数第一象限的图像越靠近y 轴底数越小。)

② 0﹤N ﹤1时：∵㏒aN ﹥㏒bN ﹥0且N ﹤1 ∴0﹤a ﹤1 ， 0﹤ b ﹤1

∴得下图，作直线x=N 与曲线交于A,B 两点

例1.⑴ 已知㏒a2﹥㏒b2﹥0，则a,b,1的大小关系是 。

分析：∵㏒a2>0 ㏒b2>0 ∴a>1,b>1

又2>1且㏒a2﹥㏒b2 ∴a

∴1

⑵ 已知㏒a0.5﹥㏒b0.5﹥0,则a,b,1,0的大小关系是 。 分析：∵㏒a0.5﹥㏒b0.5﹥0

∴0

∵0.5<1且㏒a0.5﹥㏒b0.5 ∴a>b ∴0

2、㏒aN ·㏒bN ﹤0

㏒aN ·㏒bN ﹤0得情况可直接根据真数的符号判断底数与1的大小关系，进而得到a,b 的大小关系---㏒aN ﹥0⇔(N-1)(a-1) ﹥0, ㏒aN ﹤0⇔(N-1)(a-1)<0.

例2. ⑴ 已知㏒a0.5﹥0﹥㏒b0.5，则a,b,1,0的大小关系是 。 分析：㏒a0.5﹥0⇒01

∵㏒aN ﹥㏒b N ∴A y = ㏒aN, B y = ㏒b N ∴A ：y=㏒aX, B ：y=㏒b X ∴b ﹤a 即0﹤b ﹤a ﹤1

∴0

⑵已知㏒a2﹥0﹥㏒b2，则a,b,1,0的大小关系是。

分析：㏒a2>0⇒a>1

㏒b2<0⇒0

∴0

在教育教学中，教师就应该是把知识点深入浅出地讲解给学生听，引导学生自主学习，让他们在解题过程中“事半功倍”。而上述对数的比较大小问题会帮助学生在考试中节约一些时间以达到事半功倍的效果。