幂函数、指数函数、对数函数比较大小
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数、对数函数、幂函数
指数函数、对数函数、幂函数作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位. 从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题. 题目多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质. 若它们与其他知识点交汇命题，则难度会加大.■指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴.（1）学会指数式与对数式的相互转化；（2）结合指数、对数的“互反”性质记忆有关的概念、图象和性质. （3）若底是参数时，则一定要区分底是大于1还是小于1的情况，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域.■■ 若已知函数f（x）=ax，xA. 0，■B. （0，1）C. ■，1D. （0，3）破解思路本题的考查意图：一是解决指数函数的相关问题时，要对底数a进行讨论；二是考虑分段函数的单调性问题，这是学习的一个难点，应紧扣定义理解.经典答案由条件知， f（x）在R上为减函数，则0■ 若已知函数f（x）=log■1-■，其中0（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；（2）解不等式f（x）>1.破解思路证明函数单调性的常用方法有定义法：一般是作差、分解、判断；导数法：若f （x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）？圳f（x）在A内为增函数；f ′（x）≤0（x∈A）？圳f（x）在A内为减函数.经典答案（1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x10，因此有f（x1）>f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的减函数.（2）由已知01可得log■1-■>logaa，则0■1. 设集合A={x0≤xA. log■■，1B. （log32，1）C. ■，1D. 0，■2. 已知函数f（x）=xlnx.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数F（x）=■在[1，e]上的最小值为■，求a的值.。
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
指数对数幂函数比较大小
.指数对数幂函数比拟大小学校 :___________ 姓名： ___________班级： ___________考号： ___________一、单项选择题111．设 alog 11 1 2c1 3〕， b2， 3 ，那么 a, b, c 的大小关系是〔23A.a b cB. c b aC. b c aD. c a b12．设 a=lo g 1 3,b=1,c= 2 3 ,那么()23A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3．正数 a 、b 、c 满足 log 2 a log 3blog 5 c 0 ，那么〔〕A.a b cB. a c bC.c a bD. c b a4． 0 a b 1, pa b , q b a , r log b a , 那么p, q, r 的大小关系是A.p q rB.p r qC. r p qD. q p r5． m log 5 ， n 5.1 3 ， p，那么实数 m ， n ， p 的大小关系为 〔〕．A.m n pB. m p nC. n m pD. n p m2221，那么 a, b, c 的大小关系是〔6 ． alog 2 ,b, c log 〕3 3 21 3A.a b cB. b c aC. c a bD. c b a7． a 2 ， b 2 ， c2log 5 2 ，那么a,b,c 的大小关系为〔〕A. c b aB. c a bC. b a cD. b c a8．三个数 a 2， b log 2 0.3 ， c 2 之间的大小关系是〔〕A. a c bB. a b cC. b a cD. b c a19． 9． alog 2 3 ， b log 1 3 ， c 3 2 ，那么2A. c b aB. c a bC. a b cD. a c b110． alog 5 2, b log 2 3, c 42，那么〔〕A. a b cB. a c bC. c a bD. c b a'.11． a2 ,b3 , c log 1 3 , 那么 a,b, c 的大小为〔 〕2A.b c a B. a c b C. b a cD. a b c12．假设 a 210 , b log 3, clog 2sin，那么〔〕5A.a b cB. b a cC. c a bD. b c a1 1 11 313．设 a32〕2,b3 , cln，那么〔A.c a b B. c b a C. a b cD. b a c14．假设幂函数的图像过点1, 4 ，那么fx =()2A. 16xB. x 1C. x 2D. x 215． f xlog 2 4 ax 在区间1,3 上是增函数，那么 a 的取值范围〔 〕A.,0B.,0C.4,0D.4,016．函数 y log 1x 2 3x 2 的单调递增区间是〔〕3A.,1B.,3 D.3C. 2,,2217．函数 f xlog 1 x 2 4x 的单调递增区间为3A.,2B.2,C.,0D.4,18．函数 fxlog 1 x 1 ， afsin5， b f log 23 ， cf2log 2，36那么 a, b, c 的大小关系是〔 〕A.a b c B. b a c C. c b a D. a c b二、填空题19．假设幂函数ym 2 3m 3 x m 2 m 1 的图象不过原点，那么 m 是 __________．20．函数 f xlgx 2 2x 3 的单调递减区间是 __________ ．.参考答案1． B【解析】由对数函数的性质可知：11a log213log12 21，0 ，且： b6131 , c 6 21 ， 很明显 b0, c12839b 6c 6 , 0 c b 1 ，综上可得：c b a .此题选择 B 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比拟， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多 时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比拟． 这就必 须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比拟时，假设底数不同， 那么首先考虑将其转化成同底数， 然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比 较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2． A1【解析】∵ alog 1 3 log 1 1 0 ， 0 b1 1 1 ，c23 2012233∴ a b c 应选 A点睛： 此题考查了指数函数的性质和对数函数的性质及其应用， 属于根底题， 解答此题的关键熟记指数函数与对数函数的图象与性质， 利用指数函数与对数函数的性质， 判定 a, b, c 的范围，不明确用中间量“ 1〞， “0〞进行传递比拟，从而得到a,b, c 的大小关系．3． C【解析】给定特殊值，不妨设 log 2 a log 3b log 5c 1 ，那么：a 2,b3,c1, cab .5此题选择 C 选项 .4． A【解析】ab1balogb a ，函数ya xba a， p a ， q b ， r 递减，那么a, 函数 y x b 递 增 ， 那么 a a b a 1 , 函 数 ylog b x 递 减 , 那么 log b a log b b 1 ， 故'.a b b a log b a ,即 p q r ，应选 A. 5． A【解析】∵ m log 5log 10 ，0n 5.1 3p ，∴ m n p ，应选 A．6． D【解析】试题分析：0 ，0 b 1，c 11，故c b a.a log 21log122考点：比拟大小. 7． B【解析】B.8． C【解析】∵a 2 1,b 2 22, c 2log5 2 log 5 4 1 ， b a c ，应选20.09 1 ， b log 2 0.3 log 21 0 ， c 2 201∴ b a c应选 C点睛：此题考查了指数函数的性质和对数函数的性质及其应用，属于根底题，解答此题的关键熟记指数函数与对数函数的图象与性质，利用指数函数与对数函数的性质，判定a, b, c的范围，不明确用中间量“1〞，“0〞进行传递比拟，从而得到a,b, c 的大小关系．9． D1【解析】由题意可得： a log2 3 1,b log1 3 0,c 3 20,1 ，2那么： a c b .此题选择 D 选项 .10． B1【解析】∵ a log 5 2, b log 2 3,c 4 21， log 2 31又∵log 51 log5 2 log 55log 2 2 1 ， 4 221 2.∴0 a1， b 1， c122∴ a c b应选 B 11． D【解析】 a20,b 30,c log 1 3 0 , a 22,b 30.6 5 33 5 32 2 .2所以 a b c .应选 D. 12． A【解析】∵ a 2100 πππ ＜ log 2 1=0 ，＞ 2 =1 ， 0=log 1＜ b=log 3＜log π =1， c log 2sin5∴a＞ b ＞c ． 应选 A ． 13． B【解析】由 3 1可得 c ln30 ，很明显 a 0, b 0 ，很明显函数 f xlnx 0, e 上单调递增，在区间x1 1ln1ln1故 f f ，即：23 ，231 1 231 1 1那么：11 1 ln 13 ln2 2，据此有：lnln33231 2，1 1131 2b ，结合对数函数的单调性有：3，即 a2综上可得：a b c .此题选择 B 选项 .点睛：对于指数幂的大小的比拟， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比拟． 这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比拟时，假设底数不同， 那么首先考虑将其转化成同底数， 然后再根据指数函数的单调性进行判断． 对于不同底而同指数的指数幂的大小的比拟，利用图象法求解，既快捷，又准确．14． D【解析】设幂函数f x x ,'.图像过点1 , 4 2所以f11 4 ，解得 2 .22所以 f x x 2.应选 D.15． D【解析】令 t4ax ，那么原函数由y f t和 t4ax 复合而成的复合函数，函数f x log24ax 在1,3 上是增函数，{a04 a 0， a 的取值a，解得40范围是4,0，应选 D.16． A【解析】函数的定义域为,12,令 t x23x 2 ，那么y log 1 t3t x23x2在,1上单调递减，在2,上单调递增，y log 1 t 为减函数，3根据“同增异减〞可知：函数 y log 1x2 3x 2 的单调递增区间是,13应选： A点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减〞，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集. 17． C【解析】函数的定义域为，04，令 t x24x ，那么y log 1t3t x24x 在，0上单调递减，在 4,上单调递增，又 y log 1 t 在定义域上单调递减，根据“同增异减〞可知：3.函数 fxlog 1 x 2 4x 的单调递增区间为,03应选： C点睛： 复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减〞， 即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.18． A【解析】函数 fxlog 1 x 1 关于直线 x1 轴对称，且在,1 上单调递增， 在 1,3上单调递减，afsin5f1 = f3， bf log 23f log 2 3 ，622cf2log 2f π又3log 2 3 πf xlog 1 x 1在1,上单调递减，2，3∴ ab c应选： A19． 1【解析】幂函数ym23m 3 x m 2m 1 的图象不过原点，{ m 2m 1 0 ，解得m 23m 3 1m 1，故答案为 1.20． 1,3【解析】由 x 2 2x 30 ，解得 1 x 3又 x 2 2x 3x 124所以减区间是1,3'.。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
请问，你会选择哪种投资方案？
函数y=3 与y x 图像的交点为（）
x 3
A.1 C.3
答案：B
B.2 D.4
探 究
一般幂、指、对函数模型的衰减性
y
y=xn
y=ax
o 1 x
y=logax
在区间(0, ,+∞)上,尽管函数y=logax(0<a<1)， y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的 衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上。随 着x的增大， y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越 快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,
答：单调递增
二 、指数函数、幂函数、对 数函数增长比较
探究（一）：特殊指、幂、对 函数模型的差异 对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x其中x>0.
思考1:观察三个函数的自变量与函 数值对应表, 这三个函数增长的快慢情 况如何？
自变量x
函数值
y=2x
·· · 1.149 1.516
1
1.96 3.24 4.84 6.76 9 11.56 16 25 49
0
0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
·· ·
·· ·
·· ·
·· ·
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y y=2x
y=x2
y=log2x
1 o 1 2 4 x
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长 快。 在(2,4),先幂函数比指数函数增长快， 然后指数函数比幂函数增长快。