幂函数、指数函数、对数函数比较大小
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
4 3 2 1 o 1 2 x y=log2 x
3.482 4.959 6.063 3.24 4.84 6.67
10.556 … 11.56 1.766 … …
0.848 1.138 1.379 1.585
3.结合函数的图像找出其交点坐标 结合函数的图像找出其交点坐标. 结合函数的图像找出其交点坐标 x 从图像看出 y=log2 6 的图像 8 … 0 1 2 3 4 5 x的图像 7 与另外两函数的图像没有交点， 与另外两函数的图像没有交点 256 … y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128， 且总在另外两函数图像的下方， 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2， 和 交点 ，4)和（4，16）. ， ） 4.根据图像 分别写出使不等式 根据图像,分别写出使不等式 根据图像 log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自 变量x的取值范围 变量 的取值范围. 的取值范围 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 取值范围 是(2，4); ， 使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); ， ∪ 5.由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论？ 由以上问题你能得出怎样的结论
250 200 150 100 50
o
50 100 150 200 250 300习了 （1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. ）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异 （2）幂函数、指数函数、对数函数的应用 ）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
幂、指、对函数的增长比较(上课)
(4)若 0<lgm<1，即 1<m<10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是减函 数， 所以(lgm)1.7>(lgm)2.1； 若 lgm＝1，即 m＝10 时，(lgm)1.7＝(lgm)2.1； 若 lgm>1，即 m>10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是增函数， 所以(lgm)1.7<(lgm)2.1.
0.848 1.138 1.379 1.585
o
1
2
x
3.结合函数的图像找出其交点坐标.
x 从图像看出 0 1 2 3 4 y=log 5 26 7 8 … x的图像 与另外两函数的图像没有交点， x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y=2 且总在另外两函数图像的下方， 2 2 0 1 4 9 16 x 25 36 y= x 49 64 … y=x 的图像与 y=2 的图像有两个 交点(2，4)和（4，16）. 4.根据图像,分别写出使不等式
[方法总结]
Hale Waihona Puke (1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称
为“指数爆炸”． (2)在计算器或计算机中，1.10×1012 常表示成 1.10E＋12. (3)在区间(0， ＋∞)上， 尽管函数 y＝ax(a>1)， y＝logax(a>1) 和 y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在 同一“档次”上，随着 x 增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 快， 会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度， 而 y＝logax(a>1) 则增长会越来越慢，因此，总会存在一个 x0，当 x>x0 时，就 有 logax<xn<ax.
精品讲义：最全数学比较大小的方法总结
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2） （3）（4）换底公式： 进而有两个推论： （令） （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）（2） 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：单调递增；单调递减 （2）定义形式：或： ()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭log log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m n a a nN N m=()f x [],a b []()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整 （3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】即则． 故选B ．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，但，则A 错，排除A ；由，知B 错，排除B ；取，满足，但，则D 错，排除D ；因为幂函数是增函数，，所以，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，． ()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=01,c <<a c b <<2,1a b ==a b >ln()0a b -=219333=>=1,2a b ==-a b >|1||2|<-3y x =a b >33a b >()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x Q R 331(log )(log 4)4f f ∴=，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．例4.【2017天津】已知奇函数在R 上是增函数，.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C ．例5.【2017山东】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，，所以选B. 例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为， ， ，即，所以. 故选A.【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a bc d ,,,的大小关系为（ ）A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =a b c <<c b a <<b a c <<b c a <<C ()f x R 0x >()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<b a c <<()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b <+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a ba b a b +<+<0a b >>1ab =()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c a c b <<a b c <<b c a <<c a b <<551log 2log 2a =<=0.50.5log 0.2log 0.252b =>=10.20.50.50.5c <=<112c <<a c b <<中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C【解析】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C 5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b =<=102019201820181c =>=，故本题选C.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C .7．（2020·河南高三月考（文））己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】因为104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>，故选：B.8. （2020·广东高三月考（文））已知3log 8a =，0.80.25b -=，c =则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<【答案】D【解析】3log 82<，0.80.8 1.6 1.50.254222-==>=>，∴a c b <<． 故选：D.9. （2020·新兴县第一中学高三期末（理））函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0,0b c <>B ．0,0b c >>C ．0,0b c ><D ．0,0b c <<【答案】C 【解析】∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ,且点M 的纵坐标为正，∴20by c =>，故0b >， ()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <.故选：C10.（2020·云南高三（理））已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D【解析】由题意222log x t ==，333log y t ==，555log z t ==，116228==113639==，易知113223<，11510525=，11102232=，即115252<， ∴1115321523<<<，又1t >，∴325y x z <<，故选D ．11．（2020·天水市第一中学高三月考（理））定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =-，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f ->D ．()()523f e f -<【答案】B【解析】构造函数()()x f x g x e=，因为()()2xf x f x e =-，所以()()2x f x f x e-=，则()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====， 所以()g x 为偶数，当0x >时，()()()0xf x f xg x e'-'=>， 所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以有()()32g g >，则()()32g g ->，即()()3232f f e e-->，即()()532e f f ->. 12. ．（2020·海南中学高三月考）已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<，∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=. ∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数， ∴当0x >时，易得())f x x =为增函数 ∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=， ∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>，∴c a b >>，故选D.13. （2020·黑龙江实验中学高三开学考试（文））若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】a b c >>【解析】由于42221log 8log 8log log 2b a ===<=，即a b >.由于48811log 8log 4log 8b c ==>=，即b c >.所以a b c >>. 14、（2020·山东高三月考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的 条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件． 15. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））已知||()2x f x x =g，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】c a b >>【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当0x ≥时，()2xf x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，由于331ln 31log 0log 2>>>>, 故()(3132f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.即c a b >>.16. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的从小到大顺序为 . 【答案】b c a << 【解析】因为函数()32cos f x x x =+，所以导数函数()'32f x sinx =-，可得()'320f x sinx =->在R 上恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，又因为222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D.。
对数函数指数函数幂函数
对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的;但是,根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等第二,根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立比如,log-2 4^-2 就不等于-2log-2 4；一个等于4,另一个等于-4通常我们将以10为底的对数叫常用对数common logarithm,并把log10N记为lgN;另外,在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数natural logarithm,并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN;由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 a为常数对数的定义和运算性质一般地,如果aa大于0,且a不等于1的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数;底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n∈R4换底公式：logAM=logbM/logbA b>0且b≠15 a^logbn=n^logba 证明：设a=n^x 则a^logbn=n^x^logbn=n^x·logbn=n^logbn^x=n^logba 6对数恒等式：a^logaN=N;logaa^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒aN右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;1 对数函数的定义域为大于0的实数集合;2 对数函数的为全部实数集合;3 函数图像总是通过1,0点;4 a大于1时,为单调增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调减函数,并且下凹;5 显然对数函数无界;对数函数的常用简略表达方式：1logab=logab2lgb=log10b3lnb=logeb对数函数的运算性质：如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么：1logaMN=logaM+logaN;2logaM/N=logaM-logaN;3logaM^n=nlogaM n属于R4loga^kM^n=n/klogaM n属于R对数与指数之间的关系当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于logaNloga^kM^n=n/klogaM n属于R换底公式很重要logaN=logbN/logba= lnN/lna=lgN/lgaln 自然对数以e为底 e为无限不循环小数lg 常用对数以10为底对数函数的常用简略表达方式1常用对数:lgb=log10b2自然对数:lnb=logebe=... 通常情况下只取e= 对数函数的定义对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数,可表示为x=a^y;因此里对于a的规定a>0且a≠1,同样适用于对数函数;右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数;性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是｛x ︳x>0｝,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx2x-1的定义域,需满足｛x>0且x≠1｝ ;｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定义域为｛x ︳x>1/2且x≠1｝值域：实数集R定点：函数图像恒过定点1,0;单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸；0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹;奇偶性：非奇非偶函数,或者称没有奇偶性;周期性：不是周期函数零点：x=1注意：负数和0没有对数;两句经典话：底真同对数正底真异对数负数学术语指数函数是中重要的;应用到值e上的这个函数写为exp x;还可以等价的写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 ,还称为数;指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x 等于 0 的时候等于 1;在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna;即由导数知识：da^x/dx=a^xlna;作为变量x的函数,y=e x 的总是正的在x轴之上并递增从左向右看;它永不触及x轴,尽管它可以任意程度的靠近它所以,x轴是这个图像的水平;它的是 ln x,它定义在所有正数x上;有时,尤其是在中,术语指数函数更一般性的用于形如ka x 的指数函数函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数;本文最初集中于带有底数为欧拉数 e 的指数函数;指数函数的一般形式为y=a^xa>0且≠1 x∈R,从上面我们关于的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况;在函数y=a^x中可以看到：1 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于０函数无意义一般也不考虑;2 指数函数的值域为大于0的实数集合;3 函数图形都是下凸的;4 a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的;5 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中当然不能等于0,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置;其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置;6 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交;7 函数总是通过0,1这点,若y=a^x+b,则函数定过点0,1+b8 显然指数函数无界;9 指数函数既不是奇函数也不是偶函数;10当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性;11当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数; ......底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数,图像会向左平移；减去一个数,图像会向右平移;在fX后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数,图像会向下平移;即“上加下减,左加右减”底数与指数函数图像：指数函数1由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点1,a可知：在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大;2由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点-1,1/a可知：在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小;3指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”;如右图;幂的大小比较：比较大小常用方法：1比差商法：2函数单调性法；3中间值法：要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小;比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意：1对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;例如：y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增即x的值越大,对应的y值越大,因为5大于4,所以y2大于y1.2对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断;例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过0,1然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.3对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较;如：<1> 对于三个或三个以上的数的大小比较,则应该先根据值的大小特别是与0、1的大小进行分组,再比较各组数的大小即可;<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”即比较它们与“1”的大小,就可以快速的得到答案;那么如何判断一个幂与“1”大小呢由指数函数的图像和性质可知“同大异小”;即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向例如： a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0时,a^x大于1,异向时a^x小于1.〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数说明理由.⑴y=4^x因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数；⑵y=1/4^x因为0<1/4<1,所以y=1/4^x在R上是减函数定义域：实数集指代一切实数R 值域：0,+∞分式化简的方法与技巧1把分子、分母分解因式,可约分的先约分2利用公式的基本性质,化繁分式为简分式,化异分母为同分母3把其中适当的几个分式先化简,重点突破.指数函数4可考虑整体思想,用换元法使分式简化指数函数图像与指数函数性质之间的对应关系1曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为-∞,+∞.2曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠指数函数近X轴x轴是曲线的渐近线〈=〉函数的值域为0,+∞3曲线过定点0,1〈=〉x=0时,函数值y=a0零次方=1a>0且a≠14a>1时,曲线由左向右逐渐上升即a>1时,函数在-∞,+∞上是增函数；0<a<1是,曲线逐渐下降即0<a<1时,函数在-∞,+∞上是减函数.形如y=x^aa为常数的函数,即以为幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数;当a取非零的时是比较容易理解的,而对于a取时,初学者则不大容易理解了;因此,在里,我们不要求掌握为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识;特性对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数即p、q互质,q和p都是整数,则x^p/q=q次根号下x的p次方,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的是0,＋∞;当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/x^k,显然x≠0,函数的定义域是－∞,0∪0,＋∞;因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数；排除了为0这种可能,即对于x<0或x>0的所有实数,q不能是偶数；排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数;定义域总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q 的来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数;在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数;在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数;而只有a为正数,0才进入函数的;由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.第一象限可以看到：1所有的图形都通过1,1这点.a≠0 a＞0时图象过点0,0和1,12当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数;3当a大于1时,幂函数图形下凸；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸;4当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大;5显然幂函数无界限;6a=2n,该函数为偶函数｛x|x≠0｝;7 0<a<1时,只在第一象限内有图像,即x≥0.图象幂函数的图象：。
对数函数指数函数幂函数
对数函数指数函数幂函数 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。
另外，在科学技术中常使用以无理数e=···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0，a≠ 1时，a^x=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1 (a为常数)对数的定义和运算性质一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b 叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)(6)对数恒等式：a^log（a)N=N;log（a）a^b=b对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。