新人教版数学A版必修一_1_2第二章一元二次函数、方程和不等式
以上性质定理分别从三角形的要素、三角形中的重要线段及重要几何量等方
面给出了相似三角形的必要条件．你能给出相似三角形的其他必要条件吗？ 分析上述命题，可以发现，有些条件是狇 的充要条件，例如狆１（狉１），狆２，
狆３（狉２），据此可以构造出相似三角形的等价定义： （１）三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （２）两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形； （３）两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形．
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本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要
条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定． 这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础．
上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出
了相似三角形的充分条件．事实上，我们还可以给出相似三角形的其他充分条件， 例如 “相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明，“相似”具有传递性）．
利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形． 想一想：（１）你能给出相似三角形的其他充分条件吗？（２）利用判定定理可 以判定两个三角形不是相似三角形吗？为什么？ ３．相似三角形的性质 相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件．换言之，如果 不满足这个条件，那么这两个三角形就一定不相似．在初中，我们学过的相似三
（４）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
４．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （１）平面直角坐标系下每条直线都与狓 轴相交； （２）每个二次函数的图象都是轴对称图形； （３）存在一个三角形，它的内角和小于１８０°； （４）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
５．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： （１）平行四边形的对角线互相平分； （２）三个连续整数的乘积是６的倍数； （３）三角形不都是中心对称图形； （４）一元二次方程不总有实数根．
要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件． ２．相似三角形的判定 相似三角形的判定指出了 “满足什么条件的两个三角形相似”．初中学过如下
判定定理：
（１）三边成比例的两个三角形相似； （２）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （３）两角分别相等的两个三角形相似． 记狆１：三边成比例，狆２：两边成比例且夹角相等，狆３：两角分别相等，我们 有狆１狇，狆２狇，狆３狇，即狆１，狆２，狆３分别给出了狇 的一个充分条件．
为了方便，我们记狇：两个三角形相似． １．相似三角形的定义
三角形的相似是三角形之间的一种关系，它的定义是：三个角分别相等、三
条边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 记狆：三个角分别相等且三条边成比例．因为狆狇，狇狆，所以狆 是狇的
充要条件．
三条边、三个内角是三角形的六个要素，相似三角形的定义从两个三角形各
３０ 第一章 集合与常用逻辑用语
几何命题与充分条件、必要条件
通过前面的学习我们发现，对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以 通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条
件给出它的性质定理．利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题，可以促进 我们更深入地理解几何图形及其关系．下面以相似三角形为例进行说明．
为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述
方式．为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性
和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用 了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我 们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决 定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、 补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研 究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，
由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试 一试吗？
请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形 （矩形、菱
形、正方形）等图形的知识进行梳理．
３２ 第一章 集合与常用逻辑用语
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角形性质定理有：
（１）相似三角形对应线段的比都相等 （等于相似比），特别地，相似三角形的对
应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等 （等于相似比）；
第一章 集合与常用逻辑用语 ３１
（２）相似三角形的对应角相等； （３）相似三角形周长的比等于对应边之比 （相似比）； （４）相似三角形面积的比等于对应边之比 （相似比的平方）． 记狉１：对应线段的比等于相似比，狉２：对应角相等，狉３：周长的比等于对应 边之比，狉４：面积的比等于对应边之比的平方，我们有狇狉１，狇 狉２，狇狉３， 狇狉４，即狉１，狉２，狉３，狉４分别给出了狇 的一个必要条件．例如，如果狉１不成立， 即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似．因此，利用性质定 理可以判定两个三角形不是相似三角形． 想一想：利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗？为什么？
６．在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题 只能一真一假，不能同真或同假． 在数学中，有很多 “若狆，则狇”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如： ① 若狓＞１，则２狓＋１＞５；（假命题） ② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．（真命题） 这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题． （１）有人认为，①的否定是 “若狓＞１，则２狓＋１≤５”，②的否定是 “若四边形为等腰梯形， 则这个四边形的对角线不相等”．你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的 否定． （２）请你列举几个 “若狆，则狇”形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定， 并判断真假．
面给出了相似三角形的必要条件．你能给出相似三角形的其他必要条件吗？ 分析上述命题，可以发现，有些条件是狇 的充要条件，例如狆１（狉１），狆２，
狆３（狉２），据此可以构造出相似三角形的等价定义： （１）三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （２）两边成比例且夹角相等的两个三角形叫做相似三角形； （３）两角分别相等的两个三角形叫做相似三角形．
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本章我们学习了集合的有关概念、关系和运算，还学习了充分条件、必要
条件、充要条件，全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定． 这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础．
上述判定定理分别从两个三角形的边、边角、角等要素之间的相互关系给出
了相似三角形的充分条件．事实上，我们还可以给出相似三角形的其他充分条件， 例如 “相似于同一个三角形的两个三角形相似”（这表明，“相似”具有传递性）．
利用判定定理我们可以判定两个三角形是相似三角形． 想一想：（１）你能给出相似三角形的其他充分条件吗？（２）利用判定定理可 以判定两个三角形不是相似三角形吗？为什么？ ３．相似三角形的性质 相似三角形的性质给出了两个三角形相似所必须满足的条件．换言之，如果 不满足这个条件，那么这两个三角形就一定不相似．在初中，我们学过的相似三
（４）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
４．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （１）平面直角坐标系下每条直线都与狓 轴相交； （２）每个二次函数的图象都是轴对称图形； （３）存在一个三角形，它的内角和小于１８０°； （４）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
５．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： （１）平行四边形的对角线互相平分； （２）三个连续整数的乘积是６的倍数； （３）三角形不都是中心对称图形； （４）一元二次方程不总有实数根．
要素间的相互关系给出了两个三角形相似的充要条件． ２．相似三角形的判定 相似三角形的判定指出了 “满足什么条件的两个三角形相似”．初中学过如下
判定定理：
（１）三边成比例的两个三角形相似； （２）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （３）两角分别相等的两个三角形相似． 记狆１：三边成比例，狆２：两边成比例且夹角相等，狆３：两角分别相等，我们 有狆１狇，狆２狇，狆３狇，即狆１，狆２，狆３分别给出了狇 的一个充分条件．
为了方便，我们记狇：两个三角形相似． １．相似三角形的定义
三角形的相似是三角形之间的一种关系，它的定义是：三个角分别相等、三
条边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 记狆：三个角分别相等且三条边成比例．因为狆狇，狇狆，所以狆 是狇的
充要条件．
三条边、三个内角是三角形的六个要素，相似三角形的定义从两个三角形各
３０ 第一章 集合与常用逻辑用语
几何命题与充分条件、必要条件
通过前面的学习我们发现，对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以 通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条
件给出它的性质定理．利用充分条件、必要条件梳理已学的几何命题，可以促进 我们更深入地理解几何图形及其关系．下面以相似三角形为例进行说明．
为了有效使用集合语言表述数学的研究对象，首先应掌握集合语言的表述
方式．为此，我们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性
和互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用 了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我 们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决 定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、 补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研 究对象的某些关系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局限于数的运算，
由上述任意一个定义出发，我们也可以推出相似三角形的其他性质，你能试 一试吗？
请你仿照上述思路，对等腰三角形、直角三角形、平行四边形 （矩形、菱
形、正方形）等图形的知识进行梳理．
３２ 第一章 集合与常用逻辑用语
56 789:;<源自
角形性质定理有：
（１）相似三角形对应线段的比都相等 （等于相似比），特别地，相似三角形的对
应边之比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都相等 （等于相似比）；
第一章 集合与常用逻辑用语 ３１
（２）相似三角形的对应角相等； （３）相似三角形周长的比等于对应边之比 （相似比）； （４）相似三角形面积的比等于对应边之比 （相似比的平方）． 记狉１：对应线段的比等于相似比，狉２：对应角相等，狉３：周长的比等于对应 边之比，狉４：面积的比等于对应边之比的平方，我们有狇狉１，狇 狉２，狇狉３， 狇狉４，即狉１，狉２，狉３，狉４分别给出了狇 的一个必要条件．例如，如果狉１不成立， 即对应线段的比不全相等，那么这两个三角形就一定不相似．因此，利用性质定 理可以判定两个三角形不是相似三角形． 想一想：利用性质定理可以判定两个三角形是相似三角形吗？为什么？
６．在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题 只能一真一假，不能同真或同假． 在数学中，有很多 “若狆，则狇”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如： ① 若狓＞１，则２狓＋１＞５；（假命题） ② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．（真命题） 这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题． （１）有人认为，①的否定是 “若狓＞１，则２狓＋１≤５”，②的否定是 “若四边形为等腰梯形， 则这个四边形的对角线不相等”．你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的 否定． （２）请你列举几个 “若狆，则狇”形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定， 并判断真假．
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高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3.2一元二次不等式的应用课件新人教A版必修第一册
[解] 若 a＝0，则原不等式为－x－1<0，即 x>－1，不合题 意，故 a≠0.
令 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1， ∵原不等式对任意 x∈R 都成立， ∴二次函数 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1 的图象在 x 轴的下方， ∴a<0 且 Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，
即aa<－0，13a＋1>0 ∴a<－13.
[答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－ 1>0 的解集为 R，则a1>＋04，a<0， ，解得 a∈∅，所以不存在 a 使不 等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R
课堂互动探究
题型一 解简单的分式不等式 【典例 1】 解下列不等式： (1)x1＋－2x<0；(2)xx＋ －12≤2. [思路导引] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式 组求得．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再 通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述 方法求解．
[针对训练] 1．解下列不等式： (1)23xx－＋11≥0；
2－x (2)x＋3>1.
[解] (1)原不等式可化为32xx＋－11≠30x，＋1≥0，
解得xx≤≠－－1313或，x≥12，
[解] 由题意列出不等式 S 甲＝0.1x＋0.01x2>12， S 乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得 x<－40，或 x>30. x<－50，或 x>40. 由于 x>0，从而得 x 甲>30 km/h，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
课堂归纳小结 1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不 等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、 低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元 二次不等式上来. 2.当一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为 R 时，意味 着 ax2＋bx＋c>0 恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需 考虑开口方向与判别式 Δ 即可.
人教统编部编版高中数学必修一A版第二章《一元二次函数、方程和不等式》全章节教案教学设计含章末综合复习
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。
一元二次函数、方程和不等式章节复习与小结课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
⇒
c 0
ac>bc
a b
，
⇒
c 0
a b
性质5同向可加性：
⇒ a+c>b+d .
c d
a b 0
性质6同向同正可乘性：
ac>bd
⇒
c d 0
an>bn
性质7可乘方性：a>b>0⇒
性质8可开方性：a>b>0⇒
n
anb
ac<bc .
.
(n∈N，n≥1).
2
＋1}上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
m2＋m2－1＜0，
所以只需
m＋12＋mm＋1－1＜0，
2m2－1＜0，
2
即 2
解得－ ＜m＜0.]
2m ＋3m＜0，
2
(2)[ 解]
由 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4 可看作以 m 为自变量的一次函数．
3.若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取
值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足
a＞0，
题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
Δ＝22－4×a＜0，
1
，＋∞
1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为 2
能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配
凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
1 9
16
2.已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x＋y 的最小值为________．
c 0
ac>bc
a b
，
⇒
c 0
a b
性质5同向可加性：
⇒ a+c>b+d .
c d
a b 0
性质6同向同正可乘性：
ac>bd
⇒
c d 0
an>bn
性质7可乘方性：a>b>0⇒
性质8可开方性：a>b>0⇒
n
anb
ac<bc .
.
(n∈N，n≥1).
2
＋1}上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
m2＋m2－1＜0，
所以只需
m＋12＋mm＋1－1＜0，
2m2－1＜0，
2
即 2
解得－ ＜m＜0.]
2m ＋3m＜0，
2
(2)[ 解]
由 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4 可看作以 m 为自变量的一次函数．
3.若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取
值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足
a＞0，
题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
Δ＝22－4×a＜0，
1
，＋∞
1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为 2
能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配
凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
1 9
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2.已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x＋y 的最小值为________．
新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式章末复习课件新人教A版必修第一册
答案
本课结束
答案
五、含变量的不等式恒成立问题 [典例 10] 对于满足 0≤p≤4 的一切实数，不等式 x2＋px＞4x＋p－3 恒成立，试求 x 的取值范围．
解 原不等式可化为 x2＋px－4x－p＋3＞0， 令 y＝x2＋px－4x－p＋3 ＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)． 由题设得4x2－x－4x1＋＋3x＞2－04px＝＋03＞，0p＝4， 解得 x＞3 或 x＜－1. 故 x 的取值范围是 x<－1 或 x>3.
解 ∵x>0，y>0，x2 与y22的和为定值，
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
2x2·1＋2 y2≤
2
x2＋1＋2 y2 ·2
＝
2
x2＋y22＋12 ·2
＝
342，当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时取等号，即 x 1＋y2的最大值为3 Nhomakorabea4
2 .
答案
[典例 4] 已知 x，y，z 为正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋ z)的最小值．
2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证 同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质 就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻 辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形 式．
解
2·
3a＋1≤
2＋3a＋1 2
＝3a＋ 2 3，
2· 3b＋1≤3b＋ 2 3，
2· 3c＋1
≤3c＋2 3.
以 上 三 式 相 加 ， 并 利 用 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， 得 2 ( 3a＋1 ＋ 3b＋1 ＋
本课结束
答案
五、含变量的不等式恒成立问题 [典例 10] 对于满足 0≤p≤4 的一切实数，不等式 x2＋px＞4x＋p－3 恒成立，试求 x 的取值范围．
解 原不等式可化为 x2＋px－4x－p＋3＞0， 令 y＝x2＋px－4x－p＋3 ＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)． 由题设得4x2－x－4x1＋＋3x＞2－04px＝＋03＞，0p＝4， 解得 x＞3 或 x＜－1. 故 x 的取值范围是 x<－1 或 x>3.
解 ∵x>0，y>0，x2 与y22的和为定值，
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
2x2·1＋2 y2≤
2
x2＋1＋2 y2 ·2
＝
2
x2＋y22＋12 ·2
＝
342，当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时取等号，即 x 1＋y2的最大值为3 Nhomakorabea4
2 .
答案
[典例 4] 已知 x，y，z 为正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋ z)的最小值．
2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证 同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质 就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻 辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形 式．
解
2·
3a＋1≤
2＋3a＋1 2
＝3a＋ 2 3，
2· 3b＋1≤3b＋ 2 3，
2· 3c＋1
≤3c＋2 3.
以 上 三 式 相 加 ， 并 利 用 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， 得 2 ( 3a＋1 ＋ 3b＋1 ＋
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
返回至目录
典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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2.1等式性质与不等式性质课件——高中数学人教A版必修第一册
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．