电磁场与电磁波时变电磁场

电磁场的
时变电磁场中位函数的定义
矢量位


电磁场的
B0
B A
标量位
ΕB t
(ΕA )0 t
EA
t
EA
t
8
位函数的不唯一性


满足下列变换关系的两组位函数（A、）和（A、）能描述同
一个电磁场问题。
A A
能流密度矢量
向的单位面积的电磁功率
坡印廷矢量的特点
S既垂直于E也垂直于H，又因 为E和H自身也是相互垂直的， 因此， S 、H 、 E三者是相互 垂直，且成右手螺旋关系。
23
E
O S
H
能流密度矢量
S(r,t)=E(r,t)H(r,t) 由于式中的E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值，所以能流密度
S(r,t)也是瞬时值，只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值 时， S(r,t)才能达到最大。若某一时刻，E(r,t)或H(r,t) 为零，则S(r,t)=0。
2
t 2

பைடு நூலகம்

达郎贝尔 方程
14
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
电磁能量的流动 能流密度矢量 S 电磁能量守恒原理 坡印廷矢量及其特点
15
电磁能量的流动 定性分析：
电磁能量的定向流动形成“能流”，类似于“水流” 。
16
定量分析：
电场能量密度：
we

1 2
E
D
磁场能量密度：
wm

5
在直角坐标系中，波动方程可以分解成三个标量方程，每 个方程只含有一个方向上的场分量。
2E 2tE 20
2Ex x2

2Ex y 2

2Ex z2


2Ex t2

0
2Ey x2

2Ey y 2

2Ey z2

2Ey t2

0
2Ez x2
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
H B H H 1 ( H H ) ( 1 H B ) t t 2 t t2
21
再利用矢量恒等式：
Ε H H Ε ( Ε H )
即可得到坡印廷定理的微分形式
原因：未规定 A 的散度。
9
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性（不唯一性）的原因就是没有规定 A 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定A 的散度使位函数
满足的方程得以简化。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即
A
t 除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑规范条件，即
Ε
B t
D t
将以上两式Ε 相 减 ，H 得 到H Ε Ε J Ε D H B t t
在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有
Ε D Ε Ε 1 ( Ε Ε ) ( 1 Ε D ) t t 2 t t2
E外aealnU (ba)ezπaI2
磁场则仍为
H外a
e
I 2πa
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
I2
U I
S 外 a (E 外 H 外 ) a e 2 π 2 a 3 e z2 π a 2 ln ( b a )
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P SS e zd Sa b2 π2 U ln I(ba )2 πd U I
27
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方
向的电场
E内J ez
I
πa2
根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 E外z E内z 因此，在内导体表面外侧的电场为
28
由此可见，内导体表面外
侧的坡印廷矢量既有轴向
分量，也有径向分量，如
图所示。进入每单位长度 内导体的功率为
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
P S S 外 a ( e ) d S 0 1 2 π I 2 a 2 32 π a d z π a I 2 2 R I 2 1 式中 R π a 2 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导
E e
U
ln(b
, a)
I
H e 2π
(ab)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
UI
U I
S E H [ e ln ( b a ) ] ( e 2 π ) e z2 π 2 ln ( b a )
26
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
④矢量位只决定于J，标量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。
⑤电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位 A 和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量E、H是相同的。
13
静态场与时变场中位函数的比照
静态场（静电场、恒定磁场） 特点：电场、磁场相互独立
时变电磁场 特点：电场、磁场是一个整体
B恒A
E静
A0
2A J



2



矢量磁位 标量电位 库仑规范 泊松方程
B变A
E变At
A
t
电磁场的 矢量位
电磁场的 标量位
洛仑兹规范


2
A

2A t 2

J



2

1 2
H
B
dW
dt V
S
电磁场能量密度： w w ew m1 2ED 1 2H B
空间区域V中的电磁能量：W w d V (1 E D 1 H B )d V
V
V2 2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。
17
能流密度矢量 为了描述能量的流动状况，引入“能流密度矢量”，其
S
d tV 2 2
V
微分形式： (E H ) (1 E D 1 H B ) E J t2 2
其中： d (1E D 1H B )dV—— 单位时间内体积V 中所增加
dt V2 2
的电磁能量。
EJdV——
单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；
24
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传
输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体
表面进入每单位长度内导体的功率。
同轴线
25
解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存 在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分 量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易 求得内外导体之间的电场和磁场分别为
物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
22
坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）
描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量
定义：S Ε H ( W/m2 )
E
物理意义：
O

S
S的方向 —— 电磁能量传输的方向
H
S的大小 —— 通过垂直于能量传输方
t H
t
H 0

Ε 0
H (E )
t
H(E)
t
( H ) 2H 2 tH 2
同理可得
2E 2tE 20

2H

2tH 2 0
电磁场波动方程
1
2
本章内容
4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场
3
4.1 波动方程
问题的引入
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量偏微分方程组，描述电场与磁 场
麦克斯韦方程组
间波的动相方互程转。化（关较系简。单（）较复杂）
波动方程 —— 二阶矢量偏微分方程，揭示电磁场的波动性。
A t 2 A 0 2 tA 2 2A J 2( A A J t)
t2
11
同样

D
D E 、 E A

t
(A )
A0
位函数满足的微分方程

DE
H B
10
HJD


BJ

E
t
B A E A
t
t A J
( A )

t t
A ( A ) 2 A
无源区的波动方程
在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒
质，则有 2E 2tE 20

2H

2H0
t2
电磁波动方程
4
推证 在无源空间中，J0 。设媒质是线性、各向同
性且无损耗的均匀媒质，则有






H
Ε

Ε

2Ez y 2

2Ez z2

2Ez t2