《经济数学基础》教案4

《经济数学基础》教案4-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN[教学目标]1.理解矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念。

2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算。

3.熟练掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

4.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵。

5.掌握用消元法求解线性方程组。

6.理解线性方程组有解判定定理。

了解线性方程组的特解、一般解等概念，熟练掌握求线性方程组一般解的方法，会求线性方程组的特解。

[重难点]矩阵运算，初等行变换，线性方程组解的讨论与解法。

[教学内容]矩阵一、主要内容： （一）、概念⒈矩阵定义：n m ij n m a A ⨯⨯=)( 是一张矩形阵表。

（它m 行n 列，其中ij a 中i 表示第i 行，j 表示第j 列） ①、 零矩阵：n m n m o ⨯⨯=)0( ②、负矩阵：n m ij n m a A ⨯⨯-=-)(③、行矩阵和列矩阵：),,(1n a a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡m b b 1 ④、方阵：n n ij n n a A ⨯⨯=)(⒉特殊矩阵①、 单位矩阵：I ②、 数量矩阵： ③、 对角矩阵：④、 三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵） ⑤、对称矩阵：A A T =⒊阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵⒋矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数。

⒌逆矩阵定义：A A I AA A A 111, ,---==为互逆矩阵。

（二）、法则⒈矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等。

⒉矩阵的加减法：n m ij ij b a B A ⨯±=±)( ⒊矩阵的数乘：n m ij ka kA ⨯=)(⒋矩阵的乘法：AB C =矩阵乘法不满足交换律，即AB BA =一般不成立（若矩阵A , B 满足AB BA =，则称A , B 为可交换的）．矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵AC BC =及矩阵C ≠0，不能推出A B =．但当C 可逆时，AC BC =⇒A B =． 矩阵A B ≠≠00,，可能有AB =0． ⒌方阵的幂：A A A A m ⋅⋅⋅= （m 个相乘）⒍矩阵的转置：m n ij T a A ⨯=)( 称为n m ij n m a A ⨯⨯=)(的转置。

（三）、方法⒈矩阵的初等行变换⒉初等行变换化矩阵为阶梯形 ⒊初等行变换求矩阵的秩 ⒋初等行变换求逆矩阵二、实例分析：例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）．A ．000＝或＝，则＝若B A ABB ．2222)+(B B A A B A +⋅+＝C ．若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠ABD ．若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(解 选项A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误；选项B ：222)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；选项C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011,1010B A ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000AB ．故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；选项D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确．例2 设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝ ． 解 因为 AB ＝[]021- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100112= [4 1] 所以，应该填写：[4 1]例3 矩阵1321001100001000100-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 因为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-000000010000110012310010000100001100123100010001000011001231 对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确选项是：C例4 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 ．解 根据乘法法则可知，矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是A 的第3行元素与B 的第1列元素的乘积之和，即 3×2＋（－1）×9＋9×0 ＝ -3 应该填写：-3例5 设A 是m ?n 矩阵,B 是s ?n 矩阵, 则运算有意义的是( )． A ．T AB B ．AB C ．B A T D ．T T B A解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵T AB 有意义．正确选项是A ．例6 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = ． 解 由XA －B = X ，得XA －X = B ，X (A －I ) = B 故X = B (A －I )－1．所以，应该填写：B (A －I )－1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (A －I )－1 B ，它是错误的．例7． 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111032311A ，求矩阵A ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-100010001111103231][1I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340013790001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340211110001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→943100211110632101→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100113010237001349 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=943732311A例8 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡367601012b b a a ，求常数a ，b ． 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a ab b a ab b b a a 所以 6,3==ab a ，得b = 2 ．例9．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0121A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003B , 求X ．解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10010121I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→11200121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→2121101001 所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-2121101A 且 B A X 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2003212110⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=1 2320 解法二： 因为 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20010321B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→23200321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→123102001 所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=12320X例10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=451001413101B A 试计算A -1B ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100010001001413101][I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→101100013110001101→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1001010411001101所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1011141001A 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-51344511011141001B A例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵． 证 因为 A ，B 是对称矩阵，即B B A A ==T T ，且 T T T )()()(BA AB BA AB +=+ T T T T B A A B +=AB BA += BA AB += 根据对称矩阵的性质可知，AB ＋BA 是对称矩阵．例12 设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证 因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--线性方程组一、主要内容： (一)、概念⒈线性方程组的矩阵表示：AX = b ⎩⎨⎧≠==)0( 0b b Ax Ax 非齐次方程组齐次方程组其中：A —为系数矩阵，[Ab]= A —为增广矩阵 ⒉阶梯形方程组：⒊简化阶梯形矩阵：（可用于直接读出方程组的解）(二)、方法⒈线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ； AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ? 秩(A )． 齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．⒉矩阵消元法求线性方程组的一般解步骤：[]知量用自由未知量表独立未判断是否有解，写出对应的方程组若有解化简化阶梯形初等行变换化阶梯形写出 * 1 0 1 0 0 1-- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=------=------=-−−−−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−−−−→−=−−→−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=------=------=----- b A A A此解称为线性方程组的一般解。

二、实例分析：例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．A ．2×3矩阵B ．3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵．正确的选项是A ． 例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ． A ．可能有解 B ．有无穷多解 C ．无解 D ．有唯一解解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．正确的选项是D ．例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．12解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12．正确的选项是D ．例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )． A ．秩(A ，B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ rC ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．例5 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=00100130103800100200131100123113 1101311001231123211212101231A因为 ，秩(?A ) = 秩(A ) = 3，所以，方程组有解． 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0318334241x x x x x (x 4是自由未知量) 例6 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪试问c 为何值时，方程组有解若方程组有解时，求一般解． 解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121可见，当c = 0时，方程组有解．且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 所以，原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x x x （x 3是自由未知量）[作业设计]形成性考核册作业4。