高三数学第一学期期末试卷答案(理)

浦东新区第一学期期末质量抽测试卷

高三数学参考答案与评分标准(理科卷) 1月

一、填空题

1．1 2．]1,1(- 3．21a a ++ 4．12- 5．80 6．π 7．

11

4

8．)4,2( 9．π2735 10．]6,5[ 11．1±和1 12．)1,2

1

()31,21( --

二、选择题

13．D 14．A 15．B 16．B

三、解答题

17．[解]（1）若2=a ，2)2(log 22>--x x ，则422>--x x ………………2分

062>--x x ，0)2)(3(>+-x x ，得2-x ………………4分

所以}3,2{>-<=x x x A 或 ………………5分

（2）因为A ∈4

9

，所以2]249)49[(log 2>--a ………………7分

21613log >a ， 因为0216

13log >=a 所以 10<

且

21613

a < ………………11分 14

13

<

π 所以 3

π

=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分

23244

33131=⋅⋅⋅=⋅=

∆-PA S V ABC ABC P ………………6分 （2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //

所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分

10

15

15

213151cos =

-+=

∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为10

15

arccos

………………12分

19．[解]（1）因为 60=B ，所以 120=+C A ， A C -= 120 ………………1分 因为c a )13(-=，由正弦定理可得：C A sin )13(sin -= ………………3分

)sin 32cos cos 32)(sin 13()32sin()13(sin A A A A π

ππ--=--=

)sin 21

cos 23)(13(A A +-=，整理可得：1tan =A ………………5分 所以， 45=A （或4

π

） ………………6分

（2）x a x x f sin sin 21)(2+-=，令x t sin =，因为]2,6[ππ∈x ，所以]1,2

1

[∈t 7分

18)4(212)()(222

++--=++-==a a t at t t g x f ，]1,2

1[∈t ………………9分

若214

1

21=+a ，则5=a （舍去）…… 10分 若2114

≤≤a

，即42≤≤a ，18)4(2max +=

=a a g f ，3182=+a ，得4=a …… 11分 若14

>a

，即4>a ， a g f +-==21)1(max 1-=a ，31=-a ，得4=a （舍去）12分 故4=a ，326+=∆ABC S ………………14分 20．[解]（1）由)1()1(2-=f f ，可得：a a +=-2222，3

2

=a …………4分 （2）任取210x x <≤

)(1111)()(212

22

122212

121x x a x x ax x ax x x f x f --+-+=++--+=-

=

)

(1

12122

212

2

21x x a x x x x --+++-=

)1

1)(

(22

21

2121a x x x x x x -++++-……………6分

因为10211+<≤x x ，102

22+<

1022

2

1

21<++++<

x x x x …8分

若1≥a ，则0)()(21>-x f x f ，)(x f 在),0[+∞单调递减 (10)

分

若函数)(x f 在),0[+∞∈x 为单调函数，则要使得

a x x x x -++++1

122

21

21对于一切满足

条件的1x 、2x 恒为正或恒为负，又0>a ，所以必须恒为负，所以1≥a ………12分 综上所述，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在),0[+∞∈x 为单调减函数． （3）任取211x x <≤，

=-)()(21x f x f )1

1)(

(22

21

2121a x x x x x x -++++-，因为)(x f 单调递增，

所以0)()(21<-x f x f ，又21x x -0<，那么

a x x x x -++++1

122

21

210>恒成立 14分