2020届常州市高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2020届第一学期期中考试高三
数学理试题
2019．11
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}
2x x <，B ＝{﹣2，﹣1，0，2}，则A I B ＝ ． 答案：{﹣1，0}
2．函数2
2log (76)y x x =+-的定义域是 ．
答案：(﹣1，7)
3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，则S 6＝ ．
4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0，0)处的切线方程为2y x =，则a ＝ ． 答案：3
考点：导数的几何意义
5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量AB uuu r
同方向的单位向量的坐标是 ．
答案：(
35，45
-) 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，()ax
f x e =-．若(ln 3)9f =，则a ＝ ． 答案：﹣2
7．已知关于x 的不等式101
ax x -<+的解集是(-∞，﹣1)U (1
2-，+∞)，则实数a 的值为
．
答案：﹣2
8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r ，则cos<a r ，c r
>＝ ．
答案：
3
9．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜π)是奇函数，
且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =
的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()3
g π
=，
则3(
)8
f π
= ． 答案：2
10．函数()y f x =定义域为R ，(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足2121
()()
f x f x x x --
＜0，若(2)f ＝1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 答案：(1，4)
11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为 ． 答案：264+
12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，1AE EB 2
=u u u r u u u r ，若BD AC 5⋅=u u u r u u u r ，则CE AB ⋅u u u r u u u r
＝ ．
答案：6
13．已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA ＋tanB ＝0，则角C 的取值范围为 ． 答案：(0，
6
π] 14．若对任意的x ∈[1，e 2]，都有3ln (1)a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
答案：[﹣1，
3e e
-] 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
已知函数2
()322sin f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在区间[0，
2
π
]上的最大值．
16．（本题满分14分）
已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a cosB＋1
2
b＝c．
（1）求∠A；
（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．
17．（本题满分14分）
某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，其中4≤x ≤l5)满足：当4≤x ≤9时，2
(9)3
b
y a x x =-+
-(a ，b 为常数)；当9≤x ≤15时，y ＝﹣5x ＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．
（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润()f x 最大．
18．（本题满分16分）
已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．
（1）设PN PA n =u u u r u u u r ，PM PB m =u u u r u u u r
，试用θ表示m 与n ；
（2）设PO PM PN x y =+u u u r u u u r u u u r
(x ，y ∈R)，试用θ表示x ＋y ；
（3）求x ＋y 的最小值．
19．（本题满分16分）
已知：定义在R 上的函数2
2()2x m f x x -=
+的极大值为1
2
．
（1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的不等式2
2
()(22)()20f x a f x a a --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围．
20．（本题满分16分）
已知函数()ln x
f x x xe ax =-+(a ∈R)．
（1）若函数()f x 在[1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a ＝l ，求()f x 的最大值．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知1是矩阵A ＝ 10 2a ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
的一个特征值，求点(1，2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3
x t
y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，求直线l 被圆C
截得的弦长．
C ．选修4—5：不等式选讲
对任给的实数a (a ≠0)和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，求x 的取值范围． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛，已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12
，且四门学科是否获一等奖相互独立． （1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；
（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望E(x )．
23．（本小题满分10分）
考察1，2，…，n 的所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组A ＝(1a ，2a ，…，n a )，设n N *∈且n ≥2，设k b 为(1a ，2a ，…，k a )的最大项，其中k ＝l ，2，…，n ．记数组(1b ，2b ，…，n b )为B ．例如，A ＝(1，2，3)时，B ＝(1，2，3)；A ＝(2，1，3)时，B ＝(2，2，3)．若数组B 中的不同元素个数为2．
（1）若n ＝4，求所有n 元有序实数组A ＝(1a ，2a ，…，n a )的个数；
（2）求所有n 元有序实数组A ＝(1a ，2a ，…，n a )的个数．。
江苏省2020年高三上学期期中数学试卷(理科)B卷
江苏省2020年高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·临泉期末) 已知复数z= ，是z的共轭复数，则z• =（）A . 1B . 2C .D .2. （2分）若集合，则所含的元素个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分） (2020高一上·泸县月考) 设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A . 是偶函数B . 是奇函数C . 是奇函数D . 是奇函数4. （2分） (2017高三下·武邑期中) 平面直角坐标系中，在由x轴、、x= 和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y≤1﹣sin3x的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·承德期中) 在△ABC所在的平面内，点P0、P满足 = ，，且对于任意实数λ，恒有，则（）A . ∠ABC=90°B . ∠BAC=90°C . AC=BCD . AB=AC6. （2分）“抛物线上离点最近的点恰好为顶点”成立的充要条件是（）A .B .C .D .7. （2分）在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n﹣5的（）A . 第2项B . 第11项C . 第20项D . 第24项8. （2分） (2016高一下·揭西开学考) 阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A . 2B . 4C . 6D . 89. （2分） (2019高二下·吉林期末) 已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则（）A . 4B . 10C . 16D . 3210. （2分） (2016高三上·滨州期中) 已知sin（﹣α）= ，则cos2（+α）的值是（）A .B .C . ﹣D . ﹣11. （2分）某舞步每一节共六步，其中动作A两步，动作B两步，动作C两步，同一种动作不一定相邻，则这种舞步一共有多少种不同的变化（）A . 180种B . 120种C . 90种D . 80种12. （2分） (2019高二上·榆林期中) 已知数列{an}的前项和，则这个数列的通项公式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________ ．14. （1分）在的展开式中的系数等于________15. （2分）(2017·浙江模拟) 用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有________个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为________．16. （1分） (2016高一下·大庆期中) 已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2020·镇江模拟) 某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设．（1）用表示线段并确定的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值．18. （10分）(2016·山东理) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．19. （10分）(2017·大连模拟) 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+ b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{an}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{ }的前n项和为Sn ，求证：Sn＜．20. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2 ．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a∈[4，10]，x1 ，x2∈[1，2]，恒有| |≤ 成立，试求λ的取值范围．21. （10分）已知函数在处取得极值，问（1）确定α 的值；（2）若= ,讨论的单调性。
2020届江苏省常州市高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
江苏省常州市2020届高三第一学期期中考试试题数学(文)第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，﹣1，0，2}，则A I B ＝ ． 答案：{﹣1，0}2．函数22log (76)y x x =+-的定义域是 ．答案：(﹣1，7)3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，则S 6＝ ．答案：24．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0，0)处的切线方程为2y x =，则a ＝ ． 答案：3考点：导数的几何意义5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量AB uuu r同方向的单位向量的坐标是 ．答案：(35，45-) 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，()axf x e =-．若(ln 3)9f =，则a ＝ ． 答案：﹣27．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是(-∞，﹣1)U (12-，+∞)，则实数a 的值为．答案：﹣28．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r ，则cos<a r ，c r>＝ ．答案：39．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜π)是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()3g π=，则3()8f π= ．答案：210．函数()y f x =定义域为R，(1)f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足2121()()f x f x x x --＜0，若(2)f ＝1，则不等式2(log )1f x <的解集为 ． 答案：(1，4)11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为 ． 答案：264+12．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，1AE EB 2=u u u r u u u r ，若BD AC 5⋅=u u u r u u u r ，则CE AB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：613．已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA ＋tanB ＝0，则角C 的取值范围为 ． 答案：(0，6π] 14．若对任意的x ∈[1，e 2]，都有3ln (1)a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[﹣1，3e e-] 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数2()3sin 22sin f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在区间[0，2π]上的最大值．16．（本题满分14分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a cosB＋12b＝c．（1）求∠A；（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．17．（本题满分14分）某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，其中4≤x ≤l5)满足：当4≤x ≤9时，2(9)3by a x x =-+-(a ，b 为常数)；当9≤x ≤15时，y ＝﹣5x ＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润()f x 最大．18．（本题满分16分）已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．（1）设PN PA n =u u u r u u u r ，PM PB m =u u u r u u u r，试用θ表示m 与n ；（2）设PO PM PN x y =+u u u r u u u r u u u r(x ，y ∈R)，试用θ表示x ＋y ；（3）求x ＋y 的最小值．19．（本题满分16分）已知：定义在R 上的函数22()2x m f x x -=+的极大值为12．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()(22)()20f x a f x a a --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围．20．（本题满分16分）已知函数()ln xf x x xe ax =-+(a ∈R)．（1）若函数()f x 在[1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a ＝l ，求()f x 的最大值．。
2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)
2
2
2
又由当 0x1 时， f (x) 4x(1 x) ，
则 f (1 ) 4 1 (1 1 ) 1；
2
22
故答案为：1． 6．设函数 f (x) cos x( 0) ，将 y f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象
4 与原图象重合，则 的最小值等于 8 ． 【解答】解：函数 f (x) cos x( 0) ，将 y f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，
an1 an
a12 q2(n1)1 a12 q 2n1
q2 ，结果是不为零的常数，所
以④正确； 所以本题正确的应选①②④．
9．已知函数 f (x) x3 3x c(x R) ，若函数 f (x) 恰有一个零点，则实数 c 的取值范围是
( ， 2) (2 ， ) ．
( 15 ) 3 33
5 ． 3
故答案为： 5 ． 3
8．已知数列{an} 是等比数列，有下列四个命题：
①数列
{|
an
|}
是等比数列；②数列
1 an
是等比数列；
③数列 lg(an2 ) 是等比数列；④数列{an an1} 是等比数列．
其中正确命题的序号为 ①②④ ．
22 ．
【解答】解：设底面边长为 a ，则高 h SA2 ( 2a )2 24 a2 ，
2
2
所以体积 V 1 a2h 1 24a4 1 a6 ，
3
3
2
设 y 24a4 1 a6 ，则 y 96a3 3a5 3a3 (32 a2 ) ； 2
①数列
2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届江苏省常州市高三上学期期中数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}{}2,2,1,0,2A x x B =<=--，则A B =I ___________. 【答案】{}1,0-【解析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}A x x =-<<Q ，{}2,1,0,2B =--， {1,0}A B ∴=-I ．故答案为：{}1,0-． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算．2．函数()22log 76y x x =+-的定义域是___________.【答案】()1,7-【解析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【详解】函数22log (76)y x x =+-中，2760x x +->，即2670x x --<，可化为(1)(7)0x x +-<，解得17x -<<， 所以y 的定义域是(1,7)-． 故答案为：(1,7)-． 【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．【答案】332【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则61336(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=o ． 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = ． 【答案】3a =【解析】试题分析：函数ln(1)y ax x =-+的定义域为()1,-+∞，11y a x =-+'，由题意知12301a a =-∴=+ 【考点】导数的几何意义 5．已知点，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________.【答案】【解析】∵点，，∴，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：故答案为：6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()axf x e =-.若()ln39f =，则a =___________.【答案】2-【解析】根据()f x 是奇函数，且0x <时，()axf x e =-，并且30ln >，从而得出131(3)()93aln f ln f ln e =-==，从而可求出a ．【详解】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()ax f x e =-，Q 30ln >，∴11()3311(3)(3)()()933a aln ln a f ln f ln f ln e e =--=-====， 233a -∴=，即2a -=，2a ∴=-．故答案为：2-． 【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a =_____. 【答案】2-【解析】先由题意得到不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<，不等式的解集得到12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根，进而可求出结果. 【详解】 因为不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<， 又其解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 所以12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根， 因此112a =-，解得2a =-，故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r，则cos ,a c <>=r r ___________.【解析】根据条件求出a c ⋅=r r ||3c =r ，结合数量积公式即可求到结果．【详解】根据条件，可知222)|2|a c a b a a b a ⋅=⋅+=+⋅==r r r r r r r r，Q ||1a =r，||3c ===r ，则cos a <r，||||3a c c a c ⋅>==⋅r rr r r ．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9．已知函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数，则0ϕ=， 由于()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()sin g x A x =．若()3g π=，所以sin3A π=2A =．所以33()2sin 84f ππ==【点睛】本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 10．已知函数()y f x =的定义域为R ，()1f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x -<-.若()21f =，则等式()2log 1f x <的解集__________.【答案】()1,4【解析】由(1)f x +为R 上的偶函数，结合函数图象的平移可知()f x 关于直线1x =对称，结合已知可得函数()f x 在1x „时的()f x 单调递减，由(2)(0)1f f ==，即可求解． 【详解】)1(f x +Q 为R 上的偶函数， ∴函数()f x 关于直线1x =对称，对121x x ∀<„，满足满足2121()()0f x f x x x -<-， 等价于121x x ∀<„，21()()f x f x <，即函数()f x 在1x „时，函数()f x 单调递减．(2)1f =Q ，(0)1f ∴=，由2(log )1f x <可得，20log 2x <<，解得：14x <<。
2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题(带答案解析)
绝密★启用前2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合}{}2,2,1,0,2A x x B =<=--，则A B =I ___________. 2．函数()22log 76y x x =+-的定义域是___________.3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．4．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = ． 5．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()axf x e =-.若()ln39f =，则a =___________.7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a =_____. 8．已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，若2c b =+r r，则cos ,a c <>=r r ___________.9．已知函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正…………※※答※※题※※…………象对应的函数为()g x.若3gπ⎛⎫=⎪⎝⎭38fπ⎛⎫=⎪⎝⎭__________.10．已知函数()y f x=的定义域为R，()1f x+为偶函数，且对121x x∀<≤，满足()()2121f x f xx x-<-.若()21f=，则等式()2log1f x<的解集__________.11．已知正实数x，y满足21xy x y--=，则2x y+的最小值为__________.12．如图，在ABCV中，3,2AB AC==，AD DC=u u u r u u u r，12AE EB=u u u r u u u r，若5BD AC⋅=u u u r u u u r，则CE AB⋅=u u u r u u u r___________.13．已知A、B、C为ABCV的内角，若30tanA tanB+=，则角C的取值范围为___________.14．若对任意的21,x e⎡⎤∈⎣⎦，都有()3ln1a x a x≤+恒成立，则实数a的取值范围是___________.二、解答题15．已知函数f(x)=√3sin2x+2sin2x.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值．16．已知a、b、c分别为ABCV三个内角A、B、C的对边，且1cos2a Bb c+=.（1）求A∠；（2）若4a=，D是BC中点，3AD=，求ABCV的面积.17．某超市销售某种商品，据统计，该该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，其中415x≤≤）满足：当49x≤≤时，()293by a xx=-+-（a，b为常数）；当915x≤≤时，585y x=-+，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克.（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；…○…………线……______…○…………线……品所获利润()f x 最大.18．已知点()1,0A -，()0,1B -，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M .（1）设PN nPA =u u u r u u u r ，PM mPB =u u u u r u u u r，试用θ表示m 与n ； （2）设(,)PO xPM yPN x y =+∈R u u u r u u u u r u u u r，试用θ表示x y +；（3）求x y +的最小值.19．已知：定义在R 上的函数()222x mf x x -=+的极大值为12. （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()222220f x a x a a f --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值. 21．[选修4-2：矩阵与变换]已知1是矩阵102a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长． 23．选修4—5：不等式选讲对于任意实数a (0)a ≠和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，试求实数x 的取值范围．24．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．25．考察1,2,...n 所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组()12,,...n A a a a =，设*n N ∈且2n ≥，设k b 为()12,,...k a a a 的最大项，其中1,2,...k n =.记数组()12,,...n b b b 为B .例如，()1,2,3A =时，()1,2,3B =；()2,1,3A =时，()2,2,3B =.若数组B 中的不同元素个数为2.（1）若4n =，求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数； （2）求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数.参考答案1．{}1,0- 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}A x x =-<<Q ，{}2,1,0,2B =--， {1,0}A B ∴=-I ．故答案为：{}1,0-． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算． 2．()1,7- 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【详解】函数22log (76)y x x =+-中，2760x x +->，即2670x x --<，可化为(1)(7)0x x +-<，解得17x -<<， 所以y 的定义域是(1,7)-． 故答案为：(1,7)-． 【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.3【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则616(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=o ．【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解． 4．3a = 【解析】试题分析：函数ln(1)y ax x =-+的定义域为()1,-+∞，11y a x =-+'，由题意知12301a a =-∴=+ 考点：导数的几何意义 5．(35,−45)【解析】∵点A(1,3)，B(4,−1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2=5， 因此，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为：e =AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,−4)=(35,−45) 故答案为：(35,−45) 6．2- 【解析】 【分析】根据()f x 是奇函数，且0x <时，()axf x e =-，并且30ln >，从而得出131(3)()93aln f ln f ln e =-==，从而可求出a ．【详解】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()ax f x e =-，Q 30ln >，∴11()3311(3)(3)()()933a aln ln a f ln f ln f ln e e =--=-====， 233a -∴=，即2a -=，2a ∴=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 7．2- 【解析】 【分析】先由题意得到不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<，不等式的解集得到12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根，进而可求出结果. 【详解】 因为不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<， 又其解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 所以12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根， 因此112a =-，解得2a =-，故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 8．3【解析】 【分析】根据条件求出a c ⋅=r r||3c =r，结合数量积公式即可求到结果． 【详解】根据条件，可知222)|2|a c a b a a b a ⋅=⋅+=+⋅==r r r r r r r r，Q ||1a =r，||3c ===r ，则cos a <r，||||3a c c a c ⋅>==⋅r rr r r ．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9 【解析】 【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数，则0ϕ=， 由于()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()sin g x A x =．若()3g π=，所以sin3A π=2A =．所以33()2sin 84f ππ==【点睛】本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 10．()1,4 【解析】 【分析】由(1)f x +为R 上的偶函数，结合函数图象的平移可知()f x 关于直线1x =对称，结合已知可得函数()f x 在1x …时的()f x 单调递减，由(2)(0)1f f ==，即可求解． 【详解】)1(f x +Q 为R 上的偶函数， ∴函数()f x 关于直线1x =对称，对121x x ∀<„，满足满足2121()()0f x f x x x -<-，等价于121x x ∀<„，21()()f x f x <，即函数()f x 在1x „时，函数()f x 单调递减．(2)1f =Q ，(0)1f ∴=，由2(log )1f x <可得，20log 2x <<，解得：14x <<。
江苏省2020版数学高三上学期理数期中考试试卷C卷
江苏省 2020 版数学高三上学期理数期中考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） 已知集合 A.，则（）B.C.D. 2. （1 分） 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 A. B. C. D.上单调递减的函数是（ ）3. （1 分） 已知命题 p：∀ x∈（0， 题为真命题的是（ ）），x＞sinx；命题 q：∃ x∈（0，），sinx+cosx=，下列命A . p∧qB . p∧（￢q）C . （￢p）∧qD . （￢p）∧（￢q）4. （1 分） 若角 α 的终边经过点 P（1， ），则 cosα+tanα 的值为（ ）第 1 页 共 16 页A.B.C.D.5. （1 分） (2019 高二上·辽宁月考) 设若成等比数列，则（）是首项为 ，公差为的等差数列， 为其前 项和，A.8B.C.1D.6. （1 分） (2019 高三上·深圳月考) 已知函数 图象恒过定点（ ）A. B. C. D.的一根对称轴为，则函数7. （1 分） 已知， O 是坐标原点，则等于（ ）A.B.C.第 2 页 共 16 页D. 8. （1 分） (2017 高二下·东城期末) 函数的图象大致为（ ）A. B. C.D.9. （1 分） (2018 高三上·成都月考) 函数将图象上所有点的横坐标缩短来原来的 倍（纵坐标不变），得到函数（）的部分图象如图所示，若的图象，则的解析式为A. B.第 3 页 共 16 页C.D.10. （1 分） (2017 高一上·乌鲁木齐期末) 要得到函数 y=sin2x 的图像，只要将函数 y=sin（2x﹣ 图像（ ））的A . 向左平移 单位B . 向右平移 单位C . 向左平移 单位D . 向右平移 单位11.（1 分）如图，平面内有三个向量且，若，其中 与 的夹角为， 与 的夹角为 ，， 则（ ）A. B. C. D. 12. （1 分） 已知函数 f（x）= A . f（x）是偶函数 B . f（x）在 R 上是增函数， 则下列结论正确的是（ ）第 4 页 共 16 页C . f（x）是周期函数D . f（x）的值域为[﹣1，+∞）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高一下·南通期中) 2 弧度圆心角所对的弦长为 2sin1，则这个圆心角所夹扇形的面积为 ________．14. （1 分） (2020 高二下·吉林期中) 曲线与直线所围成的区域的面积为________．15. （1 分） (2017 高二上·揭阳月考) 已知数列{an}满足递推关系式 an+1=3an+3n﹣8（n∈N+），且{}为等差数列，则 λ 的值是________．16. （1 分） 已知函数 f（x）=logax（a＞0 且 a≠1）和函数 g（x）=sin 且只有 3 个交点，则 a 的取值范围是________．x，若 f（x）与 g（x）的图象有三、 解答题 (共 6 题；共 7 分)17. （2 分） (2019 高二下·上海期末) 已知点 是双曲线上的点．（1） 记双曲线的两个焦点为，若，求点 P 到 x 轴的距离；（2） 已知点 M 的坐标为，Q 是点 P 关于原点的对称点，记，求 的取值范围．18. （1 分） (2020 高三上·通榆期中) 已知中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且.（1） 求角 的大小；（2） 若，的面积为，求的周长.19. （1 分） (2019 高二下·双鸭山期末) 设函数 .（1） 求 ；第 5 页 共 16 页，其中.已知（2） 将函数 个单位，得到函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移的图象，求在上的最值.20. （1 分） (2017 高二下·姚安期中) 在等比数列{an}中，a1=2，a4=16（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 令，n∈N* ， 求数列{bn}的前 n 项和 Sn ．21. （1 分） (2018 高一下·龙岩期中) 为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形的两个顶点及 的中点 处，，，现要在该矩形的区域内（含边界），且与等距离的一点 处设一个宣讲站，记 点到三个乡镇的距离之和为．（Ⅰ）设，将 表示为 的函数；（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站 的位置，使宣讲站 到三个乡镇的距离之和最小．22. （1 分） (2018 高二下·黑龙江期中) 已知函数.（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 是否存在实数 ，使函数在由.上有最小值 2？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理第 6 页 共 16 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点： 解析： 答案：2-1、 考点： 解析：参考答案答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、 考点：第 7 页 共 16 页解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点：第 8 页 共 16 页解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点：解析：第 9 页 共 16 页答案：11-1、 考点： 解析： 答案：12-1、 考点： 解析：二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)答案：13-1、 考点： 解析：第 10 页 共 16 页答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共7分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2020年江苏省高三(上)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，2}，B={-1，0，2}，则A∩B=______．2.已知复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的模是______3.函数f（x）=的定义域为______．4.根据如图所示的流程图，输出y的值为______．5.袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为______．6.已知直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+（a-2）y+1=0，则l1⊥l2的充要条件是______．7.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-＜φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是______．8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1a3=-3，S5=15，则S8的值是______．9.函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（-2，2]上，f（x）=，则f（f（2019））的值为______．10.若cos2α=sinα，0＜．则α的值为______11.已知实数x，y满足若对任意实数x，y都有，若对任意实数x，y都有a≥恒成立，则实数a的最小值为______．12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，D为边BC上一点，且AD=，E为边AC的中点，则的值为______．13.已知函数f（x）=有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______14.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为4，E（0，1），点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直线EF的对称点为G点，当||取得最小值时，直线GF的方程为______二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.已知向量=（1，cosθ），=（sinθ，-），且0＜θ＜．（1）若，求cos2θ的值．（2）若||=，求sinθ的值．16.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且c=a cos B+．（1）求tan B的值．（2）若a=1，求三角形ABC的面积．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点A为上顶点，直线AF1交椭圆于点B．（1）若a=，c=1，求点B的坐标；（2）若AF2⊥BF2，求椭圆的离心率．18.伦敦眼坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m），游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12（单位：10m），游客在乘坐舱P看建筑BC 的视角为θ．（1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ=30°，求建筑BC的高度．（2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角θ为45°时，拍摄效果最好，若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC的最低高度．（为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m）19.已知函数f（x）=e x-1-，g（x）=ax-1-ln x．（1）若y=f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）对任意实数x＞0，都有g（x）＞0，求实数a的取值范围；（3）当0＜a＜1时，证明：存在唯一x1，x2∈（1，+∞）使得f（x1）=g（x2）=0，且x1＜x2．20.正项数列{a n}的前n项和为S n，且（1-q）S n+qa n-a1=0，n∈N+．（q为常数）；（1）求证：数列{a n}为等比数列．（2）若0＜q，且|b n|=11，对任意n≥2，n∈N+都有a1b1+a2b2+…+a n b n＞0，求b1的值．（3）若q=2，是否存在正整数m，k，n（m＜k＜n），且m+n＞2k，使得三项成等比数列．21.已知a，b∈R，向量是矩阵M=的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立析坐标系，若直线l的极坐标方程是）=，直线l与曲线C相交于A，B两点，若AB=．求实数a的值．23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直平面ABC，PA=2，AB=1，AD=2．（1）求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值（2）点Q在PC上，且直线BQ与平面PCD所成的角的正弦值为，确定点Q 的位置．24.若抛物线y2=4x，焦点为F，点A（1，2）为抛物线上的一点，直线L交抛物线于B、C两点，（1）若点F为三角形ABC的重心，求直线l的方程；（2）若直线AB与直线AC的斜率之和为0，求证：直线l的斜率为定值．答案和解析1.【答案】{2}【解析】解：∵集合A={1，2}，B={-1，0，2}，∴A∩B={2}．故答案为：{2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】5【解析】解：复数z===4-3i，则复数z的模==5．故答案为：5．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】（-∞，-1]∪[3，+∞）【解析】解：要使函数有意义，可得x2-2x-3≥0，解得x≤-1或x≥3．函数的定义域为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．故答案为：（-∞，-1]∪[3，+∞）．利用被开方数非负，求解二次不等式得到函数的定义域．本题考查函数的定义域求法，考查计算能力．4.【答案】-2【解析】解：模拟执行如图所示的流程图如下；x=-2，x≤0，x=2-2=；x＞0，y=log2=-2；所以输出y的值为-2．故答案为：-2．模拟执行流程图的运行过程，即可得出程序结束时输出y的值．本题考查了程序的运行过程与应用问题，是基础题．5.【答案】【解析】解：从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；故其概率是==．故答案为：．根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6.【答案】a=1【解析】解：∵l1⊥l2⇔a+a-2=0，解得a=1．∴l1⊥l2的充要条件是a=1．故答案为：a=1．利用l1⊥l2⇔a+a-2=0，解得a．本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：函数f（x）=sin（2x+φ）的图象关于直线x=对称，则2×+φ=+kπ，k∈Z；解得φ=+kπ，k∈Z；又-＜φ＜，所以φ=．故答案为：．根据三角函数图象的对称性，结合φ的取值范围，即可求得φ的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】48【解析】解：因为a1a3=-3，S5=15，∴a1（a1+2d）=-3①，5a1+10d=15②，①②联立可得，a1=-1，d=2，则S8=8×（-1）=48．故答案为：48由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1，d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．9.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），则f（2019）=f（-1+2020）=f（-1），又由f（x）=，则f（-1）=|tan（-）|=1，则f（f（2019））=f（1）=sin=1；故答案为：1．根据题意，由f（x+4）=f（x）分析可得f（2019）=f（-1+2020）=f（-1），结合函数的解析式分析可得f（-1）的值，进而计算可得答案，本题考查函数的周期性的应用，涉及诱导公式的应用，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵0＜，∴sinα＞0，∵cos2α=sinα，即1-2sin2α=sinα，∴2sin2α+sinα-1=0，解得：sinα=，或-1（舍去），∴α=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2sin2α+sinα-1=0，解得sinα=，结合α的范围即可求值得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．11.【答案】1【解析】解：实数x，y满足若对任意实数x，y都有，不等式组的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与D（-1，0）连线的斜率，显然BD的斜率取得最大值，最大值为：1，对任意实数x，y都有a≥恒成立，则实数a的最小值为：1．故答案为：1．画出约束条件的可行域，求出的最大值，然后求解a的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，是中档题．12.【答案】【解析】解：因为：在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，D为边BC上一点，且AD=，∴AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cos120°⇒7=4+BD2+2BD⇒BD=1 （负值舍）；∴=（-）•（）=（-）•（）=×（--）=（×32-×2×3×cos120°-22）=；故答案为：．先根据余弦定理求出BD ，再结合向量的运算代入数量积，整理即可求解．本题考查了数量积运算性质、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：①当x ≤0时，令x 3-ax 2-1=0，显然x ≠0，则x ＜0时，，记，则，令g ′（x ）=0，解得，易知当时，g ′（x ）＞0，当时，g ′（x ）＜0，故，作g （x ）的图象如下，②当x ＞0时，令，即，作图如下，容易求得函数y =ln x 上斜率为的切线方程，此时a =1-ln2，由图可知，满足条件的a 的取值范围为或a ＞1-ln2．故答案为：．分x ≤0及x ＞0两种情况，结合图象分析可得．本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算能力，属于中档题．14.【答案】y=-x+1+【解析】解：设F（t，0），（0＜t≤4）．则直线EF的方程为：+y=1，可得：y=-+1．设G（a，b），（a，b＞0）．则×（-）=-1，+=1，联立解得a=，b=．∴G（，）．可得：a2+（b-1）2=1．（去掉点（0，0），（0，2）），圆心M（0，1），半径r=1．A（0，4），B（4，4）．∴+3=（-a，4-b）+3（4-a，4-b）=（12-4a，16-4b）．∴当||==2，设P（3，4）．可得：直线PM方程为：y=x+1．联立：y=x+1．x2+（y-1）2=1，x＞0，解得：x=，y=1+．G（，1+）．∴a=，b=1+时，||取得最小值，由=＞0，解得t=±1，∵k OG==+1．∴k EF=-=，可得：t=+1．因此取t=+1，直线GF的方程为：y-0=（x--1），化为：y=-x+1+．故答案为：y=-x+1+．设F（t，0），（0＜t≤4）．则直线EF的方程为：+y=1，可得：y=-+1．设G（a，b），（a，b＞0）．可得：×（-）=-1，+=1，联立解得G（，）．可得：a2+（b-1）2=1．（去掉点（0，0），（0，2）），圆心M（0，1），半径r=1.+3=（12-4a，16-4b）．当||==2，设P（3，4）．可得：直线PM方程为：y=x+1．联立：y=x+1．x2+（y-1）2=1，x＞0，解得：G（，1+）．进而得出结论．本题考查了直线与圆的方程、向量坐标运算性质、点的轨迹方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）由，可得=0，则sinθ-cosθ=0，又0＜θ＜，则tanθ=，可得θ=，所以cos2θ=cos=-．（2）由题意可得=（1+sinθ，cosθ-），所以||==，则sin（θ-）=，又0，所以-＜，所以cos（θ-）==，所以sinθ=sin[（θ-）+]=sin（θ-）+cos（θ-）=+=．【解析】（1）结合向量垂直的坐标表示即可求解；（2）由题意可得=（1+sinθ，cosθ-），利用向量的运算可求sin（θ-）=，可求范围-＜，根据同角三角函数基本关系式可求cos（θ-）的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinθ的值．本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（1）由余弦定理可得，c=a cos B+b=a，化简可得，，所以cos A==，因为0＜A＜π，所以A=，∵tan C=，tan B=tan（）==-7，（2）过B作BD⊥AC，垂足为D，Rt△BDC中，CD=a•cos C=，BD=a•sin C=，Rt△ADB中，AD=BD=，所以AC=AD+CD=，S△ABC==．【解析】（1）由已知结合余弦定理进行化简可求A，然后结合三角形的内角和及两角差的正切公式即可求解tan B；（2）过B作BD⊥AC，由a=1，结合锐角三角函数分别求出CD，AD，BD，进而可求AC ，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17.【答案】解：（1）当a=，c=1可得b2=a2-c2=2-1=1，所以椭圆的方程为：+y2=1，所以由题意可得A（0，1），F1（-1，0），F2（1，0），所以直线AF1的方程为：y=x+1，代入椭圆可得：3x2+4x=0，所以x B=-，代入直线方程可得y B=-+1=-，所以点B的坐标为：（-，-）；（2）由题意可得直线AF1的方程为：+=1，与椭圆的方程联立，整理可得：（a2+c2）x2+2a2cx=0，所以可得x B=-，代入直线方程可得y B=，即B（-，），因为AF2⊥BF2，所以=0，而=（c，-b），同理可得=（，-），所以c[-b]=0，整理可得：4c2=a2，所以离心率e=．【解析】（1）由a，c的值及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程，进而可得A，F1的坐标，求出直线AF2的方程代入椭圆中可得B的坐标；（2）设直线AF1的方程代入椭圆求出B的坐标，再由AF2⊥BF2，所以=0，可得A，C的关系，进而求出离心率．考查椭圆的性质，属于中档题．18.【答案】解：（1）建立如图所示平面直角坐标系．直线CD的倾斜角为165°，∴，则CD所在直线方程为y=-（2-）x+12．令x=12，解得y=．∴建设BC的高度为（单位：10m）；（2）设建筑BC的高度为h（单位：10m），圆M：x2+（y-6）2=36．设三角形BPC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知：，∴R=．则点P满足圆N：，x≤12．又点P在圆M上，则||．∴．故建筑BC的最低高度为时，可以拍摄到效果最好的照片．【解析】（1）由题意建立平面直角坐标系，可得CD所在直线方程，令x=12解得y值即为建设BC的高度；（2）设建筑BC的高度为h（单位：10m），圆M：x2+（y-6）2=36，利用正弦定理求出三角形BPC的外接圆的半径，得到三角形BPC的外接圆方程，结合点P在圆M上，由两圆相交得圆心距与半径的关系，由此求得建筑BC的最低高度．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1），由题意可得，f′（1）=1-=0即a=1；（2）对任意实数x＞0，都有g（x）=ax-ln x-1＞0，可得a＞，令h（x）=，则，则当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当0＞1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，故当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a＞1，（3）①先证x1，x2存在性和唯一性，由=0可得x=1-ln a，当1＜x＜1-ln a时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1-ln a时，f′（x）＞0，函数单调递增，∵f（1）=1-＜0，f（2+）=，设t=1+，（t＞2），则f（2+）==e t-（t-1）（t+1）=e t-t2+1，＞0，故存在唯一的x1∈（1，+∞）使得f（x1）=0，当0＜a＜1时，g′（x）=，当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞时，g′（x）＞00，g（x）单调递增，∴g（x）=，所以t时，g（t）＞0，又g（1）=a-1＜0，故存在唯一x2∈（1，+∞）使得g（x2）=0，②要证x1＜x2，只要证g（x1）＜0，因为g（x1）=ax1-1-ln x1且=0，即证＜0即证，由y=在（e，+∞）上单调递减且x＞1时，e x＞ex＞e∴，则g（x1）＜0，由g（（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，g（x2）=0所以x1＜x2．【解析】（1）由题意可得f′（1）=0，代入可求a；（2）由已知不等式可进行分离参数，然后转化为求解函数的最值问题，构造函数，结合导数可求；（3）结合导数及函数的性质及零点判定定理可证明本田综合考查了导数的极值存在条件，由不等式的恒成立求解参数范围问题及利用导数证明不等式问题，属于导数与函数的综合应用．20.【答案】解：（1）（1-q）S n+qa n-a1=0 ①，（1-q）S n-1+qa n-1-a1=0 （n≥2），②，①-②得：a n=qa n-1（n≥2），又a n＞0，∴，∴数列{a n}是公比为q的等比数列；（2）当b1=1时，a1b1+a2b2+…+a n b n＞a1-（a2+a3+……+a n）=＞0（0＜q），成立，当b1=-1 时，a1b1+a2b2+…+a n b n＜-a1+（a2+a3+……+a n）=-＜0（0＜q），与题意矛盾，∴b1=1；（3）假设存在，则由题意可知：，∴，设k-m=a，n-k=b，∴b＞a≥1，∴，∴（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0，记f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab，∴函数f（k）是开口向上的二次函数，对称轴为k=，令t=b-a，则t＞0，∴0＜≤1，即对称轴k∈（0，1），又∵f（0）=ab＞0，f（1）=2b-a-1+ab+a-b=2b-a+（a-1）（b+1）＞0，∴f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab＞0，∴（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0 不成立，综上所述，不存在三项成等比数列．【解析】（1）利用换下标作差的方法即可得到，所以数列{a n}是公比为q的等比数列；（2）对b1的值分情况讨论，根据题意可知当b1=1时符合题意，当b1=-1 时与题意矛盾，从而确定b1的值；（3）假设存在，则由题意可知：，即，设k-m=a，n-k=b，所以b＞a≥1，则（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0，记f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab，利用二次函数的性质可得f（k）=（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab＞0，故（2b-a-1）k2-（b-a）k+ab=0 不成立，所以不存在三项成等比数列．本题主要考查了数列的递推式，考查了数列求和，是中档题．21.【答案】解：由题意可得：•=3，可得a+1=3，1+b=3，解得a=b=2．∴M=．设λ为矩阵M的另一个特征值，则=（λ-2）2-1=0，解得λ=3或1．∴矩阵M的另一个特征值为1．【解析】由题意可得：•=3，可得a+1=3，1+b=3，解得a，b．可得M．设λ为矩阵M的另一个特征值，可得=0，解得λ．本题考查了矩阵变换、特征值与特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.【答案】解：曲线C的参数方程是，转化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=4．直线l的极坐标方程是）=，转换为直角坐标方程为x+y-2a=0．所以圆心（1，0）到直线x+y-2a=0的距离d==，解得：a=．【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.【答案】解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直平面ABC，PA=2，AB=1，AD=2．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（1，0，-2），=（1，2，-2），=（0，2，-2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角B-PC-D所成平面角为θ，则二面角B-PC-D所成平面角的余弦值为：cosθ===．（2）设Q（m，n，t），，0≤λ≤1，则（m，n，t-2）=（λ，2λ，-2λ），解得m=λ，n=2λ，t=2-2λ，∴Q（λ，2λ，2-2λ），=（λ-1，2λ，2-2λ），平面PCD的法向量=（0，1，1），∵直线BQ与平面PCD所成的角的正弦值为，∴==．解得或．∴点Q是PC的中点或点Q在PC上，且．【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D所成平面角的余弦值．（2）设Q（m，n，t），，0≤λ≤1，则（m，n，t-2）=（λ，2λ，-2λ），求出Q（λ，2λ，2-2λ），=（λ-1，2λ，2-2λ），平面PCD的法向量=（0，1，1），由直线BQ与平面PCD所成的角的正弦值为，能求出点Q是PC的中点或点Q在PC上，且本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足线同角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.【答案】解：（1）设B（），C（），A（1，2），抛物线y2=4x的焦点F（1，0），由点F为三角形ABC的重心，得，由②得，y1+y2=-2，由①得，，联立可得：，，则B（，-1-），C（，-1+），∴，则BC所在直线l的方程为y+1+=-2（x-1-），即2x+y-1=0；证明：（2）由题意，设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线AC的斜率为-k，AB：y-2=k（x-1），代入y2=4x，得ky2-4y-4k+8=0．则，得B（，），AC：y-2=-k（x-1），代入y2=4x，同理可得C（，-），则．∴直线l的斜率为定值-1．【解析】（1）设B（），C（），A（1，2），求出抛物线的焦点坐标，再由重心坐标公式列式求解B，C的坐标，求出直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；（2）由题意，设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线AC的斜率为-k，写出直线AB的方程，与抛物线方程联立求得B点坐标，同理求得C点坐标，再由斜率公式可得直线l 的斜率为定值-1．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2020届江苏省常州市高三上学期期中数学(理)试题
2020届江苏省常州市高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}2,2,1,0,2A x x B =<=--，则A B =___________.2．函数()22log 76y x x =+-的定义域是___________.3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．4．设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________. 5．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()axf x e =-.若()ln39f =，则a =___________.7．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，则a =_____. 8．已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若52c a b =+，则cos ,a c <>=___________. 9．已知函数()()()0,0,f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 10．已知函数()y f x =的定义域为R ，()1f x +为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x -<-.若()21f =，则等式()2log 1f x <的解集__________.11．已知正实数x ，y 满足21xy x y --=，则2x y +的最小值为__________. 12．如图，在ABC 中，3,2AB AC ==，AD DC =，12AE EB =，若5BD AC ⋅=，则CE AB ⋅=___________.13．已知A 、B 、C 为ABC 的内角，若30tanA tanB +=，则角C 的取值范围为___________.14．若对任意的21,x e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()3ln 1a x a x ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.二、解答题15．已知函数()22sin .f x x x =+(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．16．已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且1cos 2a Bbc +=. （1）求A ∠；（2）若4a =，D 是BC 中点，3AD =，求ABC 的面积.17．某超市销售某种商品，据统计，该该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，其中415x ≤≤）满足：当49x ≤≤时，()293by a x x =-+-（a ，b 为常数）；当915x ≤≤时，585y x =-+，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克.（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润()f x 最大.18．已知点()1,0A -，()0,1B -，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M .（1）设PN nPA =，PM mPB =，试用θ表示m 与n ； （2）设(,)PO xPM yPN x y =+∈R ，试用θ表示x y +； （3）求x y +的最小值.19．已知：定义在R 上的函数()222x mf x x -=+的极大值为12. （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()222220f x a x a a f --+->有且只有一个整数解，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值. 21．[选修4-2：矩阵与变换] 已知1是矩阵102a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长． 23．选修4—5：不等式选讲对于任意实数a (0)a ≠和b ，不等式(12)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，试求实数x 的取值范围．24．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．25．考察1,2,...n 所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组()12,,...n A a a a =，设*n N ∈且2n ≥，设k b 为()12,,...k a a a 的最大项，其中1,2,...k n =.记数组()12,,...n b b b 为B .例如，()1,2,3A =时，()1,2,3B =；()2,1,3A =时，()2,2,3B =.若数组B 中的不同元素个数为2.（1）若4n =，求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数； （2）求所有n 元有序实数组()12,,...n A a a a =的个数.参考答案1．{}1,0- 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{|22}A x x =-<<，{}2,1,0,2B =--， {1,0}A B ∴=-．故答案为：{}1,0-． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法，交集的运算． 2．()1,7- 【分析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【详解】函数22log (76)y x x =+-中，2760x x +->，即2670x x --<，可化为(1)(7)0x x +-<，解得17x -<<， 所以y 的定义域是(1,7)-． 故答案为：(1,7)-． 【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.3【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则6136(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解． 4．3 【分析】由题意得知，函数()ln 1y ax x =-+在0x =处的导数值为2，由此可求出实数a 的值. 【详解】()ln 1y ax x =-+，11y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值. 考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．(35,−45) 【解析】∵点A(1,3)，B(4,−1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+(−4)2=5， 因此，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为：e =AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,−4)=(35,−45) 故答案为：(35,−45) 6．2- 【分析】根据()f x 是奇函数，且0x <时，()axf x e =-，并且30ln >，从而得出131(3)()93aln f ln f ln e =-==，从而可求出a ．【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()ax f x e =-，30ln >，∴11()3311(3)(3)()()933a aln ln a f ln f ln f ln e e =--=-====，233a -∴=，即2a -=，2a ∴=-．故答案为：2-． 【点睛】本题考查奇函数的定义、已知函数求值的方法、对数的运算性质、对数恒等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 7．2- 【分析】先由题意得到不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<，不等式的解集得到12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根，进而可求出结果. 【详解】 因为不等式101ax x -<+等价于()()110ax x -+<， 又其解集是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 所以12-和1-是关于x 的方程()()110-+=ax x 的两个根， 因此112a =-，解得2a =-，故答案为2- 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.8．3【分析】根据条件求出5a c ⋅=，||3c =，结合数量积公式即可求到结果． 【详解】根据条件，可知22(52)5||25||5a c a a b a a b a ⋅=⋅+=+⋅==，||1a =，2||(52)53c a b =+=+=，则cos a <，5||||a c c a c ⋅>==⋅．故答案为：3． 【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算、向量夹角余弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9 【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值． 【详解】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数，则0ϕ=， 由于()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()sin g x A x =．若()3g π=，所以sin3A π=2A =．所以33()2sin 84f ππ==【点睛】本题考查三角函数关系式的变换、正弦型函数的图象的应用、三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 10．()1,4 【分析】由(1)f x +为R 上的偶函数，结合函数图象的平移可知()f x 关于直线1x =对称，结合已知可得函数()f x 在1x 时的()f x 单调递减，由(2)(0)1f f ==，即可求解． 【详解】)1(f x +为R 上的偶函数， ∴函数()f x 关于直线1x =对称，对121x x ∀<，满足满足2121()()0f x f x x x -<-，等价于121x x ∀<，21()()f x f x <，即函数()f x 在1x 时，函数()f x 单调递减．(2)1f =，(0)1f ∴=，由2(log )1f x <可得，20log 2x <<，解得：14x <<。
2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷2一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1,2，9}，B ={1,7}，则A ∩B =______．2. 函数f (x )=lg (x 2+3x −4)的定义域为__________．3. 在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，且△ABC 的面积为√32，则边AC 的长为______ ．4. (1)曲线y =−5e x +3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x ，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y =f(x)相切，则直线ι的方程为________．5. 已知点A(−1,2)，B(3,−1)，那么与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为________． 6. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．7. 已知a <0，则关于x 的不等式axx−2>1的解集是________．8. 设向量a ⃗⃗⃗ =(−1,2)，若单位向量b ⃗ 满足a ⃗ ⊥(a ⃗ −3b ⃗ )，则a ⃗ ⋅b⃗ =______． 9. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移π6个单位后，所得图象关于原点对称，则ϕ的值为__________．10. 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−4x.那么，不等式f(x +2)< 5的解集是 ．11. 已知正实数x,y 满足x +2y =4，则y 4x +1y 的最小值为____．12. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 满足c =acos(A +C)，则tan C 的最大值是________． 14. 任意x ∈[1,e ]，使得x +1+a x>alnx (a >0)成立，则a 的取值范围是_______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 已知函数f(x)=cos(2ωx −π6)−cos(2ωx +π6)+1−2sin 2ωx ，(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π． (I)求ω的值；(II)求函数f(x)在区间[−π4,π3]上的最大值和最小值．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC =ab ．(1)求B ；(2)设CM 是角C 的平分线，且CM =1，b =6，求cos∠BCM ．17. 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x ≤12)满足：当1<x ≤4时， y =a(x −3)2+bx−1，(a,b 为常数)；当4<x ≤12时，y =2800x−100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大．(√7≈2.65)18. 已知A (2,1),B (−2,3)，如果点P 和点M 分别满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点P 和点M 的坐标．19. 已知函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．(1)对于任意实数x,f ′(x)⩾m 恒成立，求实数m 的最大值； (2)若方程f(x)=0有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=aln(x +1)−x −1(a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性(2)令函数g(x)=f(x)+e x ，若x ∈[0,+∞)时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．21. 已知矩阵A =[1321]，B =[−2311]，若矩阵M 满足AM =B ，求矩阵M 的特征值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =ty =t −a (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin(θ−π4)−2=0(ρ≥0)，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点．若弦长AB =2√2，求实数a 的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|2x −5|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥5；(2)当x ∈[a,2a −2]时，不等式f(x)≤|x +4|恒成立，求实数a 的取值范围．24. 某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”(如1、2、3)的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高．．．．．．．．．．奖项兑现．．．．．．.记X表示一次摇奖获得的购物券金额．．．．．，且不重复兑奖(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；(2)求X的概率分布列和数学期望．25.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n.求(Ⅰ)a1，a2，a3，a4；(Ⅱ)a n与a n+1(n≥2)的关系式；(Ⅲ)数列{a n}的通项公式a n，并证明a n≥2n(n∈N∗).-------- 答案与解析 --------1.答案：{1}解析：解：∵A={1,2，9}，B={1,7}；∴A∩B={1}．故答案为：{1}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：(−∞,−4)∪(1,+∞)解析：解析：由题意可知x2+3x−4>0，解得x<−4或x>1，所以函数f(x)的定义域为(−∞,−4)∪(1,+∞).3.答案：1解析：解：∵A=π3，AB=2，且△ABC的面积为√32，∴由三角形面积公式可得：S=12×AB×AC×sinA可得：√32=12×2×AC×sinπ3，∴解得：AC=1．故答案为：1．利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．4.答案：(1)5x+y+2=0(2)x−y−1=0解析：(1)【分析】本题考查由导数求函数在某点处的切线方程．先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程．【解答】解：∵y=−5e x+3，∴y′=−5e x，∴在点(0,−2)处的切线的斜率为k=y′|x=0=−5，∴在点(0,−2)处的切线方程为y+2=−5x，即5x+y+2=0．故答案为5x+y+2=0．(2)【分析】本题考查导数得几何意义．设切点为(x 0,x 0lnx 0)，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点(0,−1)得x 0的值，从而得切线方程． 【解答】解：∵函数f(x)=xln x ， ∴f ′(x)=1+lnx ， 设切点为(x 0,x 0lnx 0)，∴函数在点(x 0,x 0lnx 0)处的切线方程为y −x 0lnx 0=(1+lnx 0)(x −x 0)， ∵切线ι过点(0,−1)，∴−1−x 0lnx 0=(1+lnx 0)(−x 0)， 解得x 0=1，∴切线方程为x −y −1=0． 故答案为x −y −1=0．5.答案：(45,−35)解析： 【分析】本题给出A 、B 两点的坐标，求与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量．着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定义等知识，属于基础题．由点A 、B 的坐标算出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3)，从而得到|AB →|=5，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案． 【解答】解：∵点A(−1,2)，B(3,−1)， ∴AB →=(4,−3)，可得|AB →|=5，因此与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为e ⃗ =1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15(4,−3)= (45,−35)． 故答案为 (45,−35)．6.答案：−(x −14)2【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x+7)是定义在R上的奇函数，∴f(x+7)=−f(−x+7)，∴f(x)=−f(−x+14)，∴当x>7时，−x+14<7，故f(x)=−f(−x+14)=−(−x+14)2=−(x−14)2，故答案为−(x−14)2．,2)7.答案：(21−a解析：【分析】本题考查了一元二次不等式和简单分式不等式的解法，解答的关键是明确二次不等式对应二次方程的两个根的大小及对应二次函数图象的开口方向，是基础题．【解答】>1可化为[(a−1)x+2](x−2)>0,解：不等式axx−2因为a<0，所以a−1<0，,2),所以不等式[(a−1)x+2](x−2)>0的解集为(21−a,2),故原不等式的解集为(21−a,2).故答案为(21−a8.答案：53解析：解：根据题意得，a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=0，∴a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =0，∴3a⃗⋅b⃗ =1+4=5，∴a⃗⋅b⃗ =5，3．故答案为：53运用平面向量的数量积运算可得结果．本题考查平面向量数量积的性质及其运算．9.答案：解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用三角函数的平移和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的对称性求出结果．【解答】解：函数f(x)=sin(x+ϕ)(0<ϕ<π)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到：．再将图象向右平移个单位后，得到：所得图象关于原点对称，则：，0<ϕ<π，则．故答案为．10.答案：(−7,3)解析：【分析】本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．【解答】解：当x≥0时，f(x)=x2−4x，由f(x)=5⇒x=5，∵函数是偶函数，故f(x+2)<5⇔|x−2|<5解得，−7<x<3．故答案为(−7,3)．11.答案：1解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．=1是解题的关键．将x+2y=4可化为x+2y4【解答】解：x +2y =4可化为x+2y 4=1， 因为x >0，y >0，所以y4x +x+2y 4y=y 4x+x 4y+12≥2√y 4x·x 4y+12=2√116+12=2×14+12=1，当且仅当x =y =43时等号成立， 所以y4x +1y 的最小值为1， 故答案为1．12.答案：−4解析：【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4 【分析】由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。
江苏省常州市第二中学2020学年度高三数学期中考试卷 新课标 人教版
江苏省常州市第二中学2020学年度高三数学期中考试卷时间:120分钟 分值:150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}2,1,,,,,==B e d c b a A ,设映射B A f →:,满足B 中的元素在A 中都有原象,这样的映射个数有( )A. 32B. 31C. 30D.28 2. ABC Rt ∆中,090=∠C ,1sin sin 2=B A ,则A tan 的值为( )A. 1B. 2C. 3D.333.设函数,)(2x x f =,则函数的切线中的过点(3,5)的直线有( )条 A. 0 B. 1 C. 2 D.3 4.数)1lg(,2,2.02.02-+===b a c b a ,则c b a ,,的大小关系为(A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD.b>c>a5.条件p:不等式1)1(log 2<-x 的解,条件q: 不等式0322<--x x 的解,则p 是q 的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.非充分非必要条件( )6.由数字1,2,3,…,9组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“156”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是 ( )A ．120B ．168C ．204D ．216 7.原点O 和点P(1,1)在直线x+y －a=0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a <0或a >2B ．a=0或a =2C ．0<a <2D ．0≤a ≤28.若数列{}n a 的通项公式为a n =5(25 )2n-2-4(25)n-1(n ∈N *),{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x y +等于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9. 若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数rxx f 2sin30)(π=的一个最大值点和一个最小值点，则r 的取值范围是 ( )A ．),30[+∞B ．),6[+∞C ．),2[+∞πD ．以上都不对10.设F(x)=f(x)+f(-x),x ∈R ,[-π,- π2]是函数F(x)的单调区间,将F(x)的图象按向量a =(π,0)平移到一个新的函数G(x)的图象,则G(x)的单调递减区间必定是 ( ) A.[- π2 ,0] B.[π2 ,π] C.[π,3π2 ] D.[3π2,2π]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。