集合的概念及运算
集合的表示
集合的关系
子集、相等、真子集； 空集、全集；
幂集、n元集、有限集；
集合的概念 ①子集
集合的表示
集合的关系
[子集(subset)]设A、B是任意两个集合，如果A的
每一个元素是B的元素，则称A为B的子集,
A包含于B, 或说B包含A, 记作AB，或BA。
或说
AB (x)(xAxB)
第二部分 集合论
集合
• 概念：属于、包含 、子集、空集、幂集 • 运算：交、并、补、差 等价关系
序偶：
·
• 有序二元组 • 笛卡尔积
关系
• • • • • 概念：定义域、值域 性质：(反) 自反性、(反) 对称性、传递性 运算：复合关系、逆关系、闭包 集合划分和覆盖 等价关系（RST）、相容关系（RS）、序 关系（RiST）
xAxB是重言式，即 xA xB 若A不是B的子集, 则记作AB AB (x)(xAxB)
集合的概念 ①子集
集合的表示
集合的关系
证明AB x(xAxB)成立 [证明]：根据定义 AB (x)(xAxB) 则 AB (x)(xAxB) (x)((xA)(xB)) (x)((xA)(xB))
集合的关系
1．AAБайду номын сангаас（反自反性）
证明:
A A AA AA TF F.
2．若AB,则 BA （反对称性） 证明: (反证) 设BA, 则 AB AB AB AB BA BA BA BA 所以 AB BA A=B (=定义) 但是 AB AB AB AB (化简) 矛盾 (化简)
(0，10]
例2: 设An={xR|0x1/n},n=1,2,…,则 A1 A2 An =
[0，1]
交集
并集
补集
对称差
集合恒等式
集合并运算的性质
P∨PP P ∨ FP P ∨ TT P ∨ Q Q ∨ P
(P ∨ Q) ∨ R Q ∨(P ∨ Q)
交集
并集
补集
对称差
集合恒等式
例1: 设An={xR|n-1<xn},n=1,2,…,10,则
A1 A2 An=
例2: 设An={xR|0x1/n},n=1,2,…,则
A1 A2 An = {0}
交集
并集
补集
对称差
集合恒等式
[不相交(disjoint)]
不相交：AB= 互不相交：设A1,A2,…是可数多个集合, 若对于任意
A–B B
A
B
A
AB
~A
交集
并集
补集
对称差
集合恒等式
[交集(intersection)]
设任意两个集合A和B，由集合A和B的所有共同元 素组成的集合S，称为A和B的交集，记作AB 。 S=AB = { x | (xA) (xB) } xAB (xA) (xB)
交集
绝对补集、对称差 B A B
AB
{ {
苹果 张继科
Mac 宁泽涛
• A
} }
A
B
A–B
• 集合的表示法：
AB
• 列举法、叙述法
• 集合的关系： • 相等、子集、真子集 • 空集、全集、幂集
A
B
A
~A
B
AB
24
第二部分 集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-2 集合的运算 3-10 等价关系与等价类 3-11 相容关系
(x)(xAxB)(x)(xBxA)
(定义)
(量词分配)
(等价式)
集合的概念 ①子集 包含()的性质：
1．AA（自反性） 证明:
集合的表示
集合的关系
AA(x)(xAxA) T
2．若AB,且AB,则 BA（反对称性）
3．若AB,且BC, 则AC（传递性）
集合的概念 ①子集 ②真子集
集合的表示 ③空集
集合的关系
④全集
[全集]在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的 子集，则称这个集合是全集，记作E。
E={x | P(x) P(x)}，P(x)为任何谓词
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一。
集合的概念 ①子集 ②真子集
集合的表示 ③空集
集合的关系
集合的概念 ①子集 ②真子集 真包含()的性质
集合的表示
集合的关系
3．若AB,且BC, 则AC （传递性） 证明: AB AB AB AB (化简),
同理 BC BC, 所以AC.
假 设 A=C, 则 BCBA, 又 AB, 故 A=B, 此 与
AB矛盾, 所以AC.
交集
并集
[并集(union) ]
补集
对称差
集合恒等式
设任意两个集合A和B，由所有集合A和B的元素组成 的集合S，称为A和B的并集，记作AB 。 S=AB = { x | (xA) (xB) } xAB (xA) (xB)
交集
并集
补集
对称差
集合恒等式
例1: 设An={xR|n-1<xn},n=1,2,…,10,则 A1 A2 An=
|A|: 表示集合A中的元素个数, A是n元集 |A|=n
0元集: 记作 1元集(或单元集),如{a}, {b}, {}…
有限集 (finite set): |A|是有限数, |A|<, 也叫有穷集，否则为
无限集。
集合的概念
合
集合的表示
集合的关系
通常使用“列举法”和“叙述法” 两种方法来给出一个集 ①列举法(roster) 列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花 括号括起来，例如 A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
N={0,1,2,3,…} Z：整数(integers, Zahlen)集合 Z={0,1,2,…}={…,-2,-1,0,1,2,…}
Q：有理数(rational numbers, Quotient)集合
R：实数(Real numbers)集合
C：复数(Complex numbers)集合
集合的概念
3-4 序偶与笛卡尔积
3-5 关系及其表示 3-6 关系的性质 3-7 复合关系和逆关系 3-8 关系的闭包运算 3-9 集合的划分与覆盖
3-12 序关系
函数
4.1 函数的基本概念 4.2 复合函数与逆函数
交集
并集 3-2集合的运算 补集 对称差
集合恒等式
A
B
A
B
A
B
AB
AB
集合的概念 ①子集 ②真子集
集合的表示
集合的关系
[真子集(proper subset)]如果集合A的每一个元素
都属于B，但集合B至少有一个元素不属于A，则称A为
B的真子集，记作AB。
A B A B A B AB(x)(xAxB)(x)(xBxA)
集合的概念 ①子集 ②真子集
(x)(xAxB)
子集(举例) 设A={a,b,c},B={a,b,c,d},C={a,b},则 AB, CA, CB
集合的概念 ①子集
集合的表示
集合的关系
定理3-1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件是 这两个集合互为子集。 A=B ABBA A=B (x)(xAxB) [证明] A=B ABBA (x)((xAxB)(xBxA)) (x)(xA xB) (定理3-1.1)
集合的表示
集合的关系
AB的含义：
AB (AB AB) (定义)
(AB) (A=B) (德摩根律)
x(xAxB) (A=B) (定义)
AB (A=B)
含义：A不是B的子集或者A和B相等。
集合的概念 ①子集 ②真子集 真包含()的性质
集合的表示
⑤幂集
④全集
[ 幂集 (power set)] 给定集合 A ，由 集合 A 的 所有子集为元素组成的集合,称为A的幂集,记 作P (A)
P (A)={x|xA} 注意: xP (A) xA 密集是集合的集合，其元素是集合
例如: A={a,b},
P (A)={,{a},{b},{a,b}}.
构成一个集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)
用大写英文字母A,B,C,…表示集合
用小写英文字母a,b,c,…表示元素 aA：表示a是A的元素，读作“a属于A” aA：表示a不是A的元素，读作“a不属于A”
集合的概念
集合的表示
集合的关系
n元集(n-set) : 有n个元素的集合称为n元集。
A={x|P1 (x)}={x| x是英文字母} ={a,b,c,d,…,x,y,z} P2 (x): x是十进制数字 B={x|P2(x)}= {x|x是十进制数字} ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
集合的概念
集合的表示
集合的关系
两种表示方法可以相互转化
例如：E={2,4,6,8,…}
={x|x>0且x是偶数} ={x|x=2(k+1)，k为非负整数} ={2(k+1) | k为非负整数}
两个集合相等的外延性原理：
两个集合A、B是相等的，当且仅当它们有相同的元素， 记作A=B；否则记作AB 。
集合的元素还可以是一个集合:
例如：S={a,{1,2},p,{q}}
常用的数的集合
N：自然数(natural numbers)集合
所以, AC. #
集合的概念 ①子集 ②真子集
集合的表示 ③空集
集合的关系
集合的概念和运算
集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。
在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。
本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。
一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。
假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。
相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。
集合可以有有限个或者无限个元素。
如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。
如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。
二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。
2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。
例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。
三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。
例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。
5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。
集合的概念和运算
集合的概念和运算在数学中，集合是由一些特定对象组成的集合体。
这些对象可以是数字、字母、词语、图形或其他数学对象。
集合的概念是数学中的基础概念之一，它被广泛应用于各个领域。
一、集合的概念集合通常用大写字母表示，如A、B、C。
一个集合由特定的元素组成，我们可以用花括号“{}”来表示一个集合。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
这个集合中的元素是1、2、3和4。
在集合中，每个元素只能出现一次，不允许重复。
如果一个元素在集合中出现超过一次，也只会被计算为一个元素。
二、集合的运算集合可以进行各种运算，如并集、交集、差集和补集。
1. 并集并集是指将两个或更多集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合。
并集可用符号“∪”表示。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，它们的并集为A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集交集是指两个或更多集合中共同存在的元素组成的集合。
交集可用符号“∩”表示。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，它们的交集为A∩B = {3}。
3. 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的新集合。
差集可用符号“－”表示。
例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，A－B = {1, 2}，B－A = {4, 5}。
4. 补集补集是指在某个全集中，减去一个集合得到的差集。
补集可用符号“'”表示。
例如，全集U = {1, 2, 3，4, 5}，集合A = {1, 2, 3}，则A' = U －A = {4, 5}。
三、集合的应用集合的概念和运算在数学和其他学科中都有广泛的应用。
1. 数学在数学中，集合论是一门重要的数学分支，它研究集合的性质和运算。
集合论不仅是数学的基础，也是其他数学分支的基础，如代数、解析几何和概率论等。
2. 逻辑学在逻辑学中，集合被用来表示命题和谓词的真值。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
集合的概念及其运算
集合的概念及其运算1、集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性2、有n个元素的集合的子集的个数是2n，真子集的个数是2n-13、自然数集N 正整数集N* 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数C4、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}补集：一般地设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集S中的补集(或余集)．5、真子集关系对于集合A、B，如果A ⊆ B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集 显然，空集是任何非空集合的真子集1.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.82.若集合A={x|x2-4x＜0}，则集合A∩Z中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.23.已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a= .4、已知集合A={1，3，5}，B={2，4，6}.定义集合A+B={a+b|a∈A,b∈B},则A+B中元素的个数是( )A.9B.6C.5D.45、满足Φ A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A.7B.8C.6D.42＞0},N={x|x＞a}.若M⊆N,求实数a的取值范围6、 已知集合M={x|3+2x-x7、已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且M∩N=N,求实数a的值.8、集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.49、若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有A. A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅10、已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝（1/2）x，x＞1}，则A∩B等于A. ∅B.{y|0＜y＜1}C.{y|1/2＜y＜1}D.{y|0＜y＜1/211、.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则下图中阴影部分所表示的集合是A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}12、.设集合A＝{5，log2（a2－3a＋6）}，集合B＝{1，a，b}，若A∩B ＝{2}，则集合A∪B的真子集的个数是A.3个B.7个C.12个D.15个13、.设全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合{x|－1＜x＜2}是A. （UA）∪（UB）B. U（A∪B）C. （UA）∩BD.A∩B14、定义集合A*B＝{x|x∈A，且xB}，若A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则A*B的子集个数为10、A.1 B.2 C.3 D.415、.设集合M＝{x|x≤m}，N＝{y|y＝2-x，x∈R}，若M∩N≠，则实数m 的取值范围是A.m≥0B.m＞0C.m≤0D.m＜016、.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；命题及其关系充要条件1、2. 用命题的等价性判断：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．3. 原命题为“若P则q，则它的逆命题为若q则p;否命题为若非p则非q,逆否命题为若非q则非p 原命题与它的逆否命题等价，逆命题与它的否命题等价1、写出“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题、否命题、逆否命题2、写出“若a>b且c>d，则a+c>b+d”的逆命题、否命题、逆否命题3、设原命题”若p则q”假，而逆命题真，则p是q的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件3、0<x<5是不等式lx-2l<4成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件4、1命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥12．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
集合的概念与运算
分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，如果A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称集合的运算满足分配律。
解释
分配律意味着并集和交集运算可以分配给括号内的并集和交集运算。 即，括号内的并集和交集运算的结果可以与外部的并集和交集运算 的结果进行交换。
伍 集合的应用
集合的元素
元素可以是具体的， 如苹果、汽车等；也 可以是抽象的，如数 字、图形等。 元素是构成集合的基 本单位，可以是任何 对象或实体。
并集
并集是将两个集合中 的所有元素合并到一 个新的集合中。 并集运算可以用符号 “∪”表示。
交集
交集运算可以用符号“∩”表示。 交集是两个集合中共有的元素组成的集合。
壹
集合的概念与运算
目录 CONTENTS
0 1 集合的基本概念
0 4 集合的应用
0 2 集合的运算
0 5 集合运算的注意事项
0 3 集合运算的性质
贰 集合的基本概念
集的定义
集合中的元素具有确定性、 互异性和无序性。 集合是由确定的、互不相 同的元素所组成的总体。
集合的表示方法
将集合中的元素一一列举出 来，用大括号括起来。 列举法 通过描述集合中元素的共同 特征，用大括号括起来。 描述法
交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合，即同时属于A和B的元素组成的集合。 交集的表示方法为A∩B，其中A和B为两个集合。 交集的性质包括交换律、结合律和分配律。
差集
差集是指属于A但不属于B的元素的集合，即所有属于A但不属于B的元素组成的集合。 差集的表示方法为A−B，其中A和B为两个集合。 差集的性质包括反身律、对称律和传递律。
解释
数学集合的概念运算
课前案1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． ( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) [教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误． 1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．3．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 二典型例题集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或32．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A ∩B)＝________．角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k2－1，k∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．课后案 [A 组]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]3．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 5．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．11710．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________． 14．设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．[B 组]1．已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R C ．(∁U A )∪B ＝R D ．A ∩(∁U B )＝A .2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1} 3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13、 B ＝________，A ∩(∁R B )＝_14. M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________． 15. m ＝________，n ＝________．16. B ＝________． 17.B 组1 23. m ＝________，∁A B ＝________．4.5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．。
集合的基本概念和运算
集合的基本概念和运算集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，并且在解决实际问题时也发挥着重要的作用。
本文将介绍集合的基本概念以及集合的运算。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
如果一个元素a属于一个集合A，我们可以写作a∈A。
相反地，如果一个元素b不属于一个集合B，我们可以写作b∉B。
集合的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、符号或者其他集合。
例如，自然数的集合可以表示为N={0,1,2,3,...}，其中0、1、2、3等都是集合N的元素。
二、集合的表示方法集合有多种表示方法，其中最常见的是列举法和描述法。
1. 列举法：通过列举集合的元素来表示一个集合。
例如，集合A={1,2,3}表示由整数1、2、3组成的集合A。
2. 描述法：通过描述集合元素的特征来表示一个集合。
例如，集合B={x|x是大于0且小于10的整数}表示在0和10之间的整数构成的集合B。
值得注意的是，集合中的元素是没有顺序的，且集合中的元素是互不相同的。
这意味着{1,2,3}和{3,2,1}表示的是相同的集合。
三、集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集等。
1. 并集：如果A和B是两个集合，它们的并集表示为A∪B，包含了属于集合A或者属于集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：如果A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的交集为A∩B={3}。
3. 差集：如果A和B是两个集合，它们的差集表示为A-B，包含了属于集合A但不属于集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的差集为A-B={1,2}。
集合的概念与运算
集合的概念与运算(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除01集合的概念知识梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A}并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B．补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A．题型一．集合例1. (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m}，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 (1)C (2)－32(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．变式1.设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 变式2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 1.B 2.2解析 1.因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．2.因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.题型二. 集合间的基本关系例2.(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4B⊆，则实数m的最大值为(2)已知集合},xm-≤≤xA若A=xBx=m|{121},7≤≤{-|2+_____.答案(1)D(2)4 注：若B是A的真子集，则m的最大值为什么？【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．变式1.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A变式2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是________．答案 1.D 2.(4，＋∞)解析 1.A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.2.由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝{x|x<a}，由于A ?B ，如图所示，则a>4. 题型三. 集合的基本运算例3.（1）已知}2|1||{<-=x x A ，}06|{2<-+=ax x x B ，}0152|{2<--=x x x C ， ① ，B B A =⋃求a 的范围；② 是否存在a 的值使C B B A ⋂=⋃，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由. (2)设集合U ＝R ，A ＝{x|2x(x －2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x<2}C ．{x|0<x ≤1}D ．{x|x ≤1}答案 (1)✍（-5≤a ≤-1）;✍1519,-≤≤-⊆⊆a C B A (2)B变式1.已知集合A ＝{1,3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3变式2.}32|{+≤≤=a x a x A ，}51|{>-<=x x x B 或，∅≠⋂B A ，则a 的取值范围为_______.答案1.B 2.]3,2()21,(⋃--∞【感悟提升】1.一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．2.运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．变式3.(2015·天津)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(?UB)等于( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}变式4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B ＝?，则m的值是__________．答案 3.A 4.1或2解析 3.由题意知，?UB＝{2,5,8}，则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.4.A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四. 集合的新定义问题例4．若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C变式: (2015·湖北)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，B ＝{(x ，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A*B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B}，则A*B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 答案 C解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A*B 显然是集合{(x ，y)||x|≤3，|y|≤3，x ，y ∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A*B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A*B 中元素的个数为45.故选C. 【真题演练】1.【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =--，故其中的元素个数为5，选C. 4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ） （A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞（-1，+），选C. 5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}，（C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.6.【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B 【解析】根据补集的运算得．故选B ．7.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．8.【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．。
复习课件11集合的概念及其基本运算
变式训练 2 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0}， (1)若 B⊆A，求 a 的值； (2)若 A⊆B，求 a 的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
Hale Waihona Puke 变式训练 3 (2010·重庆)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2 ＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝__－__3____.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3 是方程 x2＋mx ＝0 的两根，∴m＝－3.
易错警示 1．忽略空集致误
试题：(5 分)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}， 若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____． 学生答案展示
正确答案 {－1,0,1}
批阅笔记 本题考查的重点是集合的关系以及集合元素
的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易 忽略集合 B 为∅的情况；二是忽视对 B 中的元素－1a的值 为 1 或－1 的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分 类讨论，避免误解．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
则实数 a 的取值范围是_a_≤__0__．
题型分类 深度剖析
题型一 集合的基本概念 例 1 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，
y∈B}，设集合 A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合 A⊙B 的 所有元素之和为________． 思维启迪 集合 A⊙B 的元素：z＝xy(x＋y)．求出 z 的 所有值，再求其和．