拓扑学的产生

可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极 限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。 在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概 念(1854)。得出许多拓扑概念，
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑 学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研 究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓 扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应 用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓 扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。 通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结 构，从而掌握空间之间的函数关系。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在 分析学和力学的工作中，
实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统 地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑 概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现 了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成 一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象 空间的观念。这样，B.黎曼在复函数的研究中提出 了黎曼面的几何概念，
L.E.J.布劳威尔在1910～1912年间提出 了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重 要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空 间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形 之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了 不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、 论证严密方面达到了应有的标准，成为引人 瞩目的学科。
经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学 派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理， 一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战 后数学研究的共同基础。从其方法和结果对 于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空 间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问 题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑 学晚近的发展可见一般拓扑学。
到19、20世纪之ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，已经形成了组合拓扑学与 点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。
最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇，在 1906年引进了度量空间的概念。
F.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中 用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志 着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的 产生。
L.欧拉1736年解决了七桥问题，随后波 兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质 （分离性、紧性、连通性等）做了系统的研 究。
欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓 扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑 学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。
50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表 的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个 给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中 发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的 研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。
拓扑学的产生
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁 格勒）是东普鲁士的首都，普莱 格尔河横贯其中。十八世纪在这 条河上建有七座桥，将河中间的 两个岛和河岸联结起来。人们闲 暇时经常在这上边散步，一天有 人提出：
能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置？
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多面体的欧拉定理
这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱 数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事 实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。
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四色问题
英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现 了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四 种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同 的颜色。”
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向 伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家 都纷纷参加了四色猜想的大会战。
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上面的几个例子所讲的都是一些和几何 图形有关的问题，但这些问题又与传统的几 何学不同，而是一些新的几何概念。这些就 是“拓扑学”的先声。
二，拓扑学的发展阶段
十九世纪中期，黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
拓扑学建立后，由于其它数学学科的发 展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进 展。
在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了
组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析 学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和 关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问 题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在 n维流形。
在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流 形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同 调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。 他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠 系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了 著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远， 但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。 特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的 曲线的研究中，
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的 分支。它最初是几何学的一个分支，主要研 究几何图形在连续变形下保持不变的性质， 现在已成为研究连续性现象的重要的数学分 支。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存 在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对 于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基 本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和 方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、 广泛的应用。
拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变 过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关 的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、 线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路
之间的几何关系来表示网络结构，反映出网 络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是 建设计算机网络的第一步，也是实现各种网 络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通 信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信 子网的拓扑构型。