拓扑学发展史
数学专业中的拓扑学研究
数学专业中的拓扑学研究拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的连接性、连续性以及变形等性质。
在数学专业的学习中，拓扑学是一门关键的课程，它为我们提供了一种独特的思维方式和解决问题的工具。
本文将探讨数学专业中的拓扑学研究，重点介绍其基本概念、应用领域以及未来发展趋势。
一、基本概念1.1 拓扑空间拓扑学研究的基础是拓扑空间概念。
拓扑空间是指一个集合和一个在这个集合上的拓扑结构的组合。
拓扑结构由开集组成，满足以下条件：空集和整个集合都是开集，有限个开集的交集是开集，任意多个开集的并集是开集。
1.2 连通性连通性是拓扑学中的一个重要概念，它描述了空间中元素的连续性和相互联系的程度。
一个拓扑空间如果不能被分成两个不相交的非空开子集，则称之为连通空间。
连通性是刻画空间形状和性质的重要工具。
1.3 同伦同伦是拓扑学的核心概念之一，它研究的是空间之间的连续变形。
同伦意味着一个空间可以通过连续的变形经过一系列步骤变为另一个空间，而保持其内部的连通性。
同伦理论为研究空间形变提供了一种严谨的数学工具。
二、应用领域拓扑学在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
以下是数学专业中拓扑学的几个典型应用领域。
2.1 布朗运动布朗运动是一种随机运动的数学模型，也被称为“艾因斯坦－斯莫洛茨基过程”。
拓扑学在布朗运动的研究中起到了重要作用。
通过拓扑学的方法，我们可以研究布朗运动的路径连续性、维数等性质，从而更好地理解和描述这一随机现象。
2.2 图论图论是数学中的一个重要分支，研究的是由节点和边构成的图的性质。
在图论中，拓扑学提供了一种分析和描述图形连通性的方法。
通过拓扑学的工具和概念，我们可以研究图的连通性、平面性以及颜色分配等问题。
2.3 数据分析在现代数据科学中，拓扑学也扮演着重要的角色。
拓扑学提供了一种非线性的数据分析方法，可以揭示数据之间的内在关系和结构。
通过拓扑学的技术，我们可以对高维数据进行可视化和分类，从而更好地理解和分析数据。
数学拓扑学与傅里叶级数
两者结合的研究方向和前景展望
拓扑学与傅里叶级数在数学领域的应用 两者结合在物理、工程等领域的应用前景 未来研究方向：拓扑学与傅里叶级数的交叉研究 未来展望：拓扑学与傅里叶级数在科技领域的重要作用
计算机科学：拓扑数 据分析用于处理大规 模数据集，拓扑排序 用于解决图论问题
生物学：研究生物 系统的拓扑结构， 如神经网络、蛋白 质折叠等
社会科学：研究社 会现象的拓扑结构 ，如社交网络、城 市规划等
傅里叶级数简介
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法 它由正弦函数和余弦函数组成 每个函数项的系数是原函数的傅里叶系数 傅里叶级数在信号处理、量子力学等领域有广泛应用
汇报人：XX
数学拓扑学与傅里叶级 数
汇报人：XX
目录
添加目录标题 数学拓扑学概述 傅里叶级数简介
01 02 03
数学拓扑学与傅里叶级数 的联系
04
数学拓扑学与傅里叶级数 的实例分析
05
数学拓扑学与傅里叶级数 的发展趋势和未来展望
06
添加章节标题
数学拓扑学概述
拓扑学的定义和起源
定义：数学拓扑学是 研究几何图形或空间 在连续变换下保持不 变的性质的学科。
对未来研究的建议和展望
深入研究拓扑学与傅里叶级数的内在联系，以揭示更多数学规律。 探索拓扑学与傅里叶级数在物理、工程等领域的应用，推动交叉学科发展。 利用现代计算技术，开发高效算法，以解决拓扑学与傅里叶级数中的复杂问题。 加强国际合作与交流，共同推进数学拓扑学与傅里叶级数的发展。
数学发展中的历史人物与成就
数学发展中的历史人物与成就数学是一门古老而重要的学科，它的发展历程中涌现出了许多杰出的历史人物，他们的贡献对数学学科的发展起到了重要作用。
本文将介绍几位数学史上的重要人物及其成就，带领读者一起回顾数学的演进历程。
1. 毕达哥拉斯毕达哥拉斯（公元前570年－公元前495年）是古希腊数学史上的重要人物之一。
他提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
这个定理为几何学和三角学的发展奠定了基础。
他还发现了整数的奇偶性与平方数的关系，为数论的研究做出了重要贡献。
2. 欧几里得欧几里得（公元前330年－公元前275年）是古希腊数学家，《几何原本》的作者。
他以其几何学的成就而闻名于世。
欧几里得的《几何原本》是一部系统而完整的几何学教科书，内容包括了平面几何和立体几何的基本定理与推论。
这部作品对后世的几何学研究产生了深远的影响，直到现代仍然被广泛应用。
3. 阿基米德阿基米德（公元前287年－公元前212年）是古希腊科学家和数学家，被誉为科学史上最有天赋的人之一。
他在数学、物理学和工程学等领域都有重要贡献。
阿基米德在几何学中使用了方法论和证明技巧，提出了许多关于测量和计算的理论和方法。
他发明了杠杆原理、浮力定律，并计算了圆周率的上限和下限，为解析几何学的发展奠定了基础。
4. 卡尔·弗里德里希·高斯卡尔·弗里德里希·高斯（1777年－1855年）是德国著名数学家、物理学家和天文学家。
他是现代数学的奠基人之一，对数学的发展做出了深远的贡献。
高斯的贡献涵盖了数论、代数学、几何学和物理学等多个领域。
他提出了高斯消元法，并发现了正多边形的构造方法。
他的研究对数学分析和数论的发展产生了重要影响，并被广泛应用于科学和工程领域。
5. 埃米尔·勒雅维尔埃米尔·勒雅维尔（1882年－1968年）是法国著名数学家，被誉为20世纪最伟大的数学家之一。
解析几何的发展简史
解析几何的发展简史解析几何学是数学的一个分支，研究点、线、面及其相互关系的形状和性质。
它起源于古代文明，随着时间的推移，逐渐发展成为现代数学的一部分。
下面是解析几何发展的简史。
古代：解析几何的起源可追溯到古埃及和古希腊时期。
古埃及人以地理测量和土地标记为目的，开始研究几何学。
而在古希腊，数学家毕达哥拉斯和欧几里得作出了关于点、线和面的基本定义和公理，为几何学建立了坚实的基础。
17世纪：解析几何在17世纪得到了重要的发展。
法国数学家笛卡尔提出了坐标系，将代数与几何学相结合，从而建立了现代解析几何的基础。
笛卡尔坐标系将点的位置通过坐标表示，使得几何问题可以转化为代数方程。
这为后来的数学家们提供了研究平面和空间中几何图形的新方法。
19世纪：19世纪是解析几何学发展的黄金时代。
法国数学家拉格朗日和欧拉等人进一步发展了解析几何的方法和理论。
此外，高斯、黎曼和庞加莱等数学家的研究推动了解析几何学的进一步发展。
他们建立了非欧几何学，推翻了欧几里得几何学的一些公理，为后来的几何学发展开辟了新的方向。
20世纪：20世纪是几何学发展的一个重要时期。
在这一时期，解析几何研究的焦点逐渐从平面和空间的几何图形转向了更抽象的代数和拓扑几何。
19世纪末和20世纪初，法国数学家庞加莱提出了拓扑学的概念，这是一种研究几何形状变化的新方法。
庞加莱的工作对后来拓扑学的发展产生了重要影响。
当代：在当代，随着计算机技术的发展，解析几何学得到了进一步发展和应用。
计算机辅助几何设计（CAGD）是解析几何的一个重要应用领域，它将几何形状的描述和计算机图形学相结合，用于工程设计、制造和动画等领域。
总结起来，解析几何经历了几个重要的发展阶段。
古代时期几何学的基本概念和公理得到确立；17世纪随着笛卡尔坐标系的引入，解析几何开始研究代数与几何的关系；19世纪期间，非欧几何学和拓扑学的发展对解析几何的发展起到了重要作用；20世纪以来，解析几何进一步发展和应用于计算机技术。
图论的发展及其在现实生活中的几个应用
图论的发展及其在生活中的应用数学与应用数学张佳丽指导教师刘秀丽摘要E要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。
同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。
关键词图论生活问题应用Graph Theory Development and the Application in LifeMathematics and applied mathematics ZhangJialiTutor LiuXiuliAbstractThis papermainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as:crossing river problem traveling salesman problem,minimum spanning tree problem, fourcolor problem • arrangement problem» Chinese postman problem. It alsoresearchesseveral methodsthat are more widely applied in graph theory.for example:the method of most neighboringjhe method of solving theminimum spanning tree, the method of the best route, and so on.Key wordsgraph theorylifeproblemapplication引言图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系.图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系.事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟.而且，图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰.山于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要.图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用.随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上存在着许多重大的事件和里程碑式的发现，但是其中仍然有一些是无法被忽略的重要高峰。
下面将介绍数学发展史上的四个高峰。
第一高峰：古希腊数学
古希腊数学是数学发展史上的第一个高峰。
早在公元前6世纪，古希腊人就开始研究数学，并取得了一些重要的成果。
他们用几何学方法解决了很多数学问题，比如平方根和三角函数的计算。
古希腊人还开发了一套形式化的逻辑系统，这成为了现代数学的基础。
第二高峰：文艺复兴数学
文艺复兴时期，数学经历了第二个高峰。
在欧洲，数学家们开始对古希腊数学的成果进行研究，并进行了深入的发展。
他们开发了代数学、微积分学和概率论等重要分支，这些成果为现代科学的发展奠定了基础。
第三高峰：19世纪数学革命
19世纪是数学发展史上的第三个高峰。
这是由于当时许多重要的数学家在短时间内取得了很多重要的成果，这些成果大大推动了数学的发展。
比如高斯、欧拉和拉格朗日等人在代数和分析领域做出了很多突破性的贡献。
第四高峰：20世纪数学
20世纪是数学发展史上的最后一个高峰。
在这个时期，数学经历了巨大的变革和发展。
比如，20世纪初，G·庞加莱提出了拓扑学
的想法，这引发了一个新的分支的发展。
随后，数学家们还在计算机科学和数学物理学等领域做出了很多重要的发现，这些成果深刻地改变了数学的面貌。
拓扑学发展史
拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英topology]举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
拓扑学发展史
拓扑学最初被称为位置分析（Analysis situs），它是一门研究图形（或集合）在连续变形下的不变的整体性质的一门几何学。
17世纪莱布尼茨时期，拓扑学思想的萌芽开始出现。
到了1895年，庞加莱发表了论文《位置分析》，标志着拓扑学从前期的研究阶段开始转向现代拓扑学的发展阶段。
庞加莱的工作确定了新的拓扑学的研究对象，为证明拓扑学中许多结论的合法性提供了依据。
欧拉公式是拓扑学发展过程中的一个重要里程碑。
这个公式表明了多面体的顶点数、边数和面数之间存在一种关系，而且满足这个关系所必须的条件是：在欧氏空间中，任意一个简单凸多面体（简单凸多面体指其表面是连续的平面或曲面，没有任何凹角或竖直面）的顶点数减去边数再加上面数等于2。
欧拉公式实际上是将多面体在欧氏空间中的性质转化为一个简单的公式，使得人们可以更加方便地研究多面体的几何形态和性质，以及对复杂的多面体进行分类和研究。
随着时间的推移，拓扑学已经从研究几何图形在连续变形下保持不变的性质发展成为研究连续性现象的分支。
现在，拓扑学已经成为数学的基础性学科之一，并在数学的其它领域，甚至非数学领域有着广泛且极其重要的应用。
20世纪以来，拓扑学得到了进一步的发展，并逐渐形成了几个重要的分支。
这些分支包括：1. 代数拓扑学：代数拓扑学是利用代数学的方法研究拓扑学问题的分支。
它主要关注拓扑空间的同胚分类以及相关的代数不变量，如同伦分类、同调理论等。
2. 微分拓扑学：微分拓扑学主要研究流形（包括微分流形、光滑流形等）的几何性质和结构。
它关注流形的嵌入、浸入、微分同胚等问题，以及与微分几何的联系。
3. 几何拓扑学：几何拓扑学主要研究高维空间中的几何结构和性质，如高维流形、几何群论等。
它与微分几何、代数几何等学科有密切的联系，并涉及到一些重要的数学问题，如庞加莱猜想等。
4. 泛函分析在拓扑学中的应用：泛函分析在拓扑学中的应用主要涉及无穷维拓扑空间的研究。
它包括对Banach空间、Fréchet空间等的研究，以及与调和分析的联系。
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拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英topology]举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。
十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。
人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。
这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。
欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。
那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。
经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。
并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。
这是拓扑学的“先声”。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。
这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。
它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
中国曾邦哲于20世纪80-90年代（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题。
拓扑学四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。
这些就是“拓扑学”的先声。
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。
它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。
拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。
十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。
从此开始了现代拓扑学的系统研究。
连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。
拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。
拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。
拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。
拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变过来的。
拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、线、面之间的关系。
网络拓扑通过结点与通信线路之间的几何关系来表示网络结构，反映出网络中各个实体之间的结构关系。
拓扑设计是建设计算机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通信代价有很大影响。
网络拓扑主要是指通信子网的拓扑构型。
编辑本段拓扑性质拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。
比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。
换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。
在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。
一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。
应该指出，环面不具有这个性质。
把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。
所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。
在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。
但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。
这种曲面就不能用不同的颜色来涂满，因为只有一个面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。
编辑本段拓扑发展拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。
特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。
拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。
拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。
通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。
上世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。
比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。
有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。
1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。
一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。
另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。
现在，这两个分支又有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。
编辑本段发展简史形势分析学拓扑学起初叫形势分析学，这是G.W.莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。
随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。
L.欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;C.F.高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。
拓扑学这个词（中文是音译）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。
这是萌芽阶段。
1851年起，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。
从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。
如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。
在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。
得出许多拓扑概念，组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。
他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。
在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。
他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。
他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。
他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。
特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。
他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。