2019-2020年全国版2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件理(1)
故乡给予我们的，更多的是精神层面的影响。这也是我们 不管走到哪里，都放不下故乡的原因。我想，穷尽我一生都无 法忘记那些年在田地里干活的场景。小时候，一家子在稻田里 收稻谷；长大了，一个人去拔秧苗，拔花生，拿着书在晒谷场 上守谷子。在那不谙世事的年华里，那样的日子其实苦不堪 言。现在，我深深地感激那些劳累而辛勤的岁月，感谢那片土 地，是它们给了我最宝贵的精神财富。如果说今天的我，有那 么一丝不怕苦的精神，能够宽容待人，懂得珍惜，都要感谢那 片红色的土地。
[参考答案] ①年馍，是在“民以食为天”的生命旋律 中民间自然形成的过年食用的美食，轻省快捷，过年吃年馍 是民众创造、共享、传承的风俗习惯。这种民俗具有创造 性、共享性和传承性。②枣山和枣糕等作为年馍的代表，不 仅让人们填饱肚子，更是寄寓了吉祥仁爱、尊老爱幼、礼尚 往来、平安和谐等基本的道德礼仪，以及家庭纲常、社会伦 理等意蕴。
[例三] (2015·福建高考)阅读下面的文字，完成题目。 纸上故乡 邓琴
故乡给了我一颗多愁善感的心，它常常在梦中打探故乡的 消息。
我的家乡在千里之外的赣南，它的每一寸肌肤都浸润在红 色文化里，在淡淡茶香中，在田间地头悠悠的歌声里。它是贫 穷的，但它又是富硕的。它没有飞驰的动车，没有轰鸣的机器， 有的是叮咚的流水、黛色的群山。且不说章江水日夜川流不息、 润泽万物；也不说成片的稻田如一张巨大的地毯静卧天地间， 恩惠万家；就说梅岭那漫山遍野、傲立寒冬的梅花盛景，已是 天下一绝。
题型二 标题式探究 一部好的作品，标题犹如画龙所点之睛。文学作品的 标题不仅饱含着作者的种种情感因素，同时还能够深化主 题思想，增强全篇的艺术感染力，直接影响作品内容的表 达和阅读效果。
[常见设问方式]
(2015·福建高考)请根据文本，分析标题“纸上故乡”的含 意。
(2014·天津高考)本文标题为“枣香醉人”，有人认为也能 以“根”为标题，你认可哪一个？请阐明理由。
离家多年，到过很多地方，心中始终挥不去的是故乡的景 象。在秋收的季节里，打谷机工作的声音，一声一声鼓动我的 耳膜，提醒着我曾是故乡的孩子。内心深处的一丝不安也被催 生出来，那就是当年因对外面世界的向往而离开了家乡。如 今，我虽然站立在了外面的缤纷世界里，但我奋斗的每一个脚 印，享受的每一份安逸，却都被打上了“外乡人”的烙印。我 对故乡的情感，只能在诗人的诗歌里、乡土作家的文字里寻找 慰藉，只能寄托在自己尚不成熟的文字中。那些遥远的记忆， 飘过了我最不懂乡愁的年华，飘过了故乡的山头，飘进了书页 里，却厚重得让我无法高言阔谈。
云丘山的年馍还有枣糕。枣山是敬祀灶神的，枣糕是敬奉 老人的。枣糕形如磨盘，是一层面、一层枣合成的。面中裹 枣，是要老人的日子甜甜蜜蜜；称之为糕，是要老辈人健康高 寿。枣糕酷似磨盘，是怀恋伏羲、女娲兄妹滚磨盘成婚的意 思，是他们的成婚才繁衍出这众多的后人呵。谁会想到，这不 起眼的年馍上竟有如此深远的文化意蕴？
3．思考题目是否表达作者的感情和态度。在这些题目 中要特别注意表达感情的词语，这些词语往往是作者对对象 的主体特征内在感情的一种概括，要结合文章内容准确理解 其含义。
4．思考题目是否揭示文章的主旨或哲理。有些题目是 以句子为标题的，常常就是主旨的表达或哲理的启示。
5．思考题目是否是文章的线索和结构思路。从构思 看，写景状物的散文如果以写作对象为标题，这个写作对象 常常就成为了文章的线索，并能够设定全文的结构思路。
古往今来的文明极像山间的清泉，总会跌宕而出，蜿蜒着 流往远方。云丘山亦然。灵秀的山水是农人生存的根脉，也是 养育他们的家园。他们接过先祖的犁、耧、耙、耱，也接过前
辈的风俗礼仪。当“民以食为天”成为他们的生命旋律后，几 千年来，他们的日子几乎没有一步不践行在这无形的轨道上。 即使在今天，要打开他们的往昔也不算难，仅饮食而言，就是 一幅“仓廪实则知礼节”的鲜活画卷。
大年初一，敬献在灶槛上的是一个很大的花馍。这花馍名 叫枣山，由一个个裹着红枣的白面卷层层加高而成，高高的顶 端还挺立着一个昂首啼鸣的大公鸡。大公鸡，大吉大利；大红 枣，早早高升，一年美好的愿景都寄寓在这枣山上了。枣山献 的是灶神，灶神是玉皇大若是铺张浪费，抛米撒面，他 就会如实向天庭汇报。来年这家说不定会遭受天火烧房子、槽 头死骡子的横祸。谁不愿意过平安日子？所以，每日每时都勤 恳、节俭。就这样还怕万一有个疏忽被灶神抓住小辫，因而， 每当腊月二十三灶神上天时，还要给带上些炒豆和糖瓜。糖瓜 又甜又粘，让灶神甜蜜得不好意思说坏话，即使想说也粘得张 不开嘴。炒豆是马料，是供给灶神坐骑的吃食。农人不仅尽心 巴结灶神，还要把人家的坐骑也打点好。如此一来，灶神就只 能上天言好事、回宫降吉祥啦！大年初一的爆竹声一响，即把 前往天宫汇报的灶神又迎到家里。迎进门当然不敢怠慢，那高 高大大的枣山就是敬献给他老人家的第一份厚礼。
过年是食物最丰盛的时节，在这最隆重的节日里，无论是 城里人还是乡下人都会歇息下来，欢度佳节。不过，过年对于 山中的农人来说有着比城里人更为喜庆的意义。他们没有周 末，年节是一年里唯一的假日，因而珍贵得一点也不敢浪费。 尤其是女人，一年到头从没有闲歇的空隙，家里的老老少少要
张口吃饭，解决的办法便是早早蒸好年馍，到时稍稍一热，轻 省而又快捷。年馍，很早就成了山乡人的“方便面”。但是， 谁要因此简单地看待年馍，那就辜负了五千年的文明积淀。年 馍犹如一部发黄的古书典籍，没有一定的文化修养还真难读懂 其丰富的内涵。
[参考答案] 不同的生活状态也有相同的生活内容； 蕴含了对端午等传统文化的认同感；艾草的熏烟升华了不 同的生活状态，从而达成一种火辣与安静、绚烂与明净的 平衡。
[例二] 阅读下面的文字，完成后面的题目。 山中年馍 乔忠延
云丘山，多么富有诗意的名字，它在吕梁山的最南端。传 说，后稷出生时被遗弃却大难不死的那座山就是云丘山，他教 民稼穑也就从那里开始，最早的耕植技术即由此传播开去。
(有删改)
请结合文本，简要谈谈你对过年吃年馍这种民俗的理解。 [解题指导] 本题考查从不同角度发掘作品的思想意蕴。 根据题干中“民俗”字眼的提示，可确定解答本题应从历史传 承、文化习俗角度思考。解答时宜结合全文，整合有关民俗的 信息。第二段“他们接过……风俗礼仪。当‘民以食为天’成 为……轨道上”和第三段集中讲过年吃年馍这种民俗的由来， 第四至六段是对年馍寓意的阐释，第七段是对年馍蕴含的道德 礼仪的揭示。
[解题策略] (一)掌握1个探究原则 挖掘文本意蕴要遵循由表及里的原则，即以题干中涉 及的文本内容为依据和基础，一可分析文本蕴含的民族心 理(如“与世无争”“和谐相处”“精忠报国”“知足常 乐”“中庸之道”等)和人文精神(包含“人生意义和价 值”“人的尊严”“社会责任”“悲悯情怀”等)，二可分 析哲理、美感、规律等。
题型一 意蕴式探究 高考所选散文往往意蕴丰富，这意蕴有社会的、政治 的、道德的意义，有现实的、历史的意义，有民族心理的、 人文精神的意义，也有心理的、情感的、审美的意义。其深 刻的意蕴和作者的情感取向往往是命题者关注的探究点，其 探究的类型常有两种：1.探究重要句子的意蕴；2.探究文本 某些方面(如形象、情节、环境氛围等)的思想情感意蕴。
(二)把握2种常见题目的解答思路 1．探究重要句子的意蕴的思路 首先依据语境，解释表层意义；其次可由以下角度进行探 究：①总结与主旨或与作者情感相关的意思；②总结与背景相 关的意思；③总结与现实生活相关的意思；④总结与历史相关 的意思；⑤总结与文化相关的意思。 2．探究思想情感意蕴的思路 基本思路是由材料到意义，即先看文本写了哪些材料(人、 事、物、景等)，再具体分析材料蕴含的不同的意义和作者的情 感态度。可探究的角度同上面“探究重要句子的意蕴”。
云丘山的年馍里有远去的历史、古老的信仰，更重要的 是蕴含了民族的道德礼仪。年馍使“民以食为天”隐含了仁 爱、孝敬、长幼有序等道理，不仅让人们吃饱肚子，安定天 下，而且将家庭纲常、社会伦理，由年馍悄悄潜进人们的血 脉神魂，一种稳固的社会秩序、和谐的山乡生活，就这么在 农人的炕头上构建着，传承着，从遥远的古代直至今天。
儿时最熟悉的影像，莫过于茶山。一到春天，漫山遍野 的茶树抽出新叶，新叶从老叶中间小心翼翼地探出头来，好 奇地张望这个美丽的地方。只有我们那群孩子才知道，这个 美丽的地方究竟有多么贫穷。一到周末，我们就跑到茶场， 学着大人的样子采茶叶，茶叶一毛钱一斤，动作快的一天能 摘个四十斤。四块钱在当时，可是一笔巨大的收入。在那贫 穷的岁月里，茶山无疑给我们苍白的生活增添了不少乐趣。 而农人与生俱来的勤俭生活态度，也开始渗透到我们的思想 里了。
[常见设问方式]
(2015·山东高考)文中的五个问句，意蕴丰富，设置巧妙。请结合全 文谈谈你的认识。(探究句子意蕴)
(2015·江苏高考)请探究文章最后一段中画线句的意蕴。(探究句子意 蕴)
(2014·福建高考)请根据文本，探析“她也经常思念过去”这句话的 含意。(探究句子意蕴)
其他常见设问方式： (1)请结合文意，联系自己的经历或阅读体验，谈谈你对×× ×(句、段)内涵的理解。(探究句子意蕴) (2)请探究文本中的×××包含了哪几层深意。(探究思想情感意蕴) (3)×××在作者心中有怎样的意义(价值、地位)？(探究思想情感意 蕴) (4)结合全文，谈一谈你对文中×××的理解。(探究思想情感意蕴)
晚辈敬奉老人，老人疼爱儿孙。礼尚往来是云丘山人根深 蒂固的习俗。收受了枣糕的老人回馈给晚辈的是花卷。别看花 卷蒸着不复杂，白馍的层层纹理却像一朵盛开的花，这是象征
年轻人风华正茂，愿他们的前程像鲜花一样美好。倘若晚辈还 是个孩童，那就多了一份讲究，馍的形状如同一个很大的玉 佩，当中再缀上一朵牡丹花，是在夸孩子可爱得如花似玉。热 情的赞誉、美好的祝愿不言而喻，年馍温暖着老老少少的心。 一家人饭桌上吃的馍则叫卷子。年馍里头数卷子最好蒸，把发 好的白面揉成圆圆的长条，剁开蒸熟即成。那形状顶圆底方， 方可以站得端正，圆便于进退自如。该方则方，当圆则圆，方 圆里面浓缩的是做人的规矩。这是勉励，更是自律，年馍哺育 的不只是有形的肉身，还有无形的精神。
2017版新课标全国卷地区专用一轮数学(文)复习第1单元集合与常用逻辑用语 (共163张PPT)
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真题再现
2．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知集合 A＝{－ 2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则 A∩B＝( ) A． B．{2} C．{0} D．{－2}
[答案]
B
[解析] 因为 B＝{－1， 2}， 所以 A∩B＝{2}．
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真题再现
3 ． [2013· 新课标全国卷 Ⅱ ] 已知集合 M ＝ {x| － 3<x<1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则 M∩N ＝( ) A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0} C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}
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第1讲
课 前 双 基 巩 固
集合及其运算
►
通性通法
6．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法． (1)若集合 A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则 A∩B 的子集的 个数为________． (2)[2015·北京卷改编] 若集合 A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－ 3<x<3}，则 A∩B＝________．
第1讲
课 前 双 基 巩 固
集合及其运算
—— 正本清源 ——
► 链接教材
1．[教材改编] 已知集合 A＝{1，3，7，9，10}，集合 B＝ {3，5，7，8，10}，则 A∩B＝________．
[答案] {3，7，10}
[解析] A∩B 指既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合， 即 A 与 B 的公共元素组成 的集合，所以 A∩B＝{3，7，10}．
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课 前 双 基 巩 固
2．集合的基本关系
表示 关系 子 集 基 真 本 子 关 集 系 相 等 空集 文字语言 集合 A 的________ 都 元素 是集合 B 的元素 集合 A 是集合 B 的子 集，但集合 B 中 ________ 有一个元素 至少 不属于 A 集合 A，B 的元素完全 ________ 相同 不含 ________ 任何元素的 集合． 空集是任何集合 子集 的________ 符号语言 x∈A⇒x∈B 记法 则 A ⊆ B _______ B⊇A 或
2020届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合教师用书文(PDF,含解析)
０７ 命题趋势 １．高考对集合的考查比较稳定，考查内容、
频率、题型、难度均变化不大． ２．适当关注 集 合 与 充 分、 必 要 条 件 相 结 合
的命题方 式； 适 当 了 解 命 题 及 其 真 假 判 定问题，在 不 同 背 景 下 抽 象 出 数 学 本 质 的方法值得关注．
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
（ 自然数集）
符号
Ｎ
正整数集 Ｎ∗ 或 Ｎ＋
整数集 有理数集 实数集
Ｚ
Ｑ
Ｒ
注意 １．集合中元素互异性的应用：（１） 利用集合中元素的 互异性找到解题的切入点；（２） 在解答完毕时，注意检查集合中 的元素是否满足互异性，以确保答案正确．
２．Ｎ 为自然数集（ 即非负整数集），包含 ０，而 Ｎ∗ 或 Ｎ＋ 表示 正整数集，不包含 ０．
或第二题，难度不大，分值为 ５ 分． ２．常用逻辑用语偶尔出现，难度属容易，分
值为 ５ 分．
最新真题示例
０３ 命题特点 １． 集合的 交、 并、 补 运 算 是 高 频 考 点， 元 素
与集合间的关系偶有出现，难度较小． ２．充分、必要条件的判定，命题及其真假判
定，逻辑联结词等内容出现较少，难度以 中等偏下为主，一般是“小综合” 类型．
题常常需要合理利用数轴、Ｖｅｎｎ 图帮助分析．
对于涉及 Ａ∪Ｂ ＝ Ａ 或 Ａ∩Ｂ ＝ Ａ 的问题，可利用集合的运算
2019版高考数学(文理通用,新课标)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全
[解析] 由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是 {x|x<0}，知0<a<1.
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋ a>0的解集为R，则a1>－04，a2<0， 解得a>12.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即 “p假q真”或“p真q假”，
④(綈p)∨q中，真命题的序号是
A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
()
[解析] 依题意可知，命题 p 为真命题，命题 q 为假命题， 则綈 p 为假命题，綈 q 为真命题．
所以 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∨q 为假命题．
[答案] C
[方法技巧] 判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
故1≤a≤2.
答案：[1,2]
4．[考点二]已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题 q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或 a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.因为p∨ q是真命题，所以a∈R. 答案：R
对M中的_任__意__一__个___ x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x) _∃___x_0_∈___M__，___綈___p_(_x_0_)__
_存__在__M中的一个x0，使 p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0) ∀__x__∈__M___，__綈___p_(_x_ )
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
第三节 简单的逻辑联 结词、全称量 词与存在量词
高三数学一轮复习课件--集合与常用逻辑用语
2．创新集合新运算
创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求
给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求
结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问
题的目的．
1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图 和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时 用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴 表示时注意端点值的取舍．
2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一 定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分 类讨论和数形结合思想的应用．
3．常见集合的符号表示：
集合 表示
自然 数集
N
正整数集 整数集 有理数集 实数集
N*或N＋ Z
Q
R
4．集合的表示法： 列举法 、 描述法 、 韦恩图 ．
二、集合间的基本关系
描述 关系
文字语言
符号语言
相 集合A与集合B中的所有元素都
等 相同
A＝B
集合
子
间的 集 A中任意一元素均为B中的元素 A⊆B 或 B⊇A
解析：因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB) ＝{x|3＜x＜4}．
答案：B
3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，
a∈A}，则A∩B＝B时a的值是
()
A．2
B．2或3
C．1或3
D．1或2
解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}
也满足条件．
答案：D
4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举 法写出图中阴影部分表示的集合为________． 解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}． 答案： {2,8}
全国版2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1集合常用逻辑用语函数与导数课件理
6.函数的零点:零点存在性定理 7.导数的几何意义
8.函数的单调性与导函数值的关系
9.函数的极值、最值 10.定积分、微积分基本定理
热考题型一 【考情分析】
集合
难度:基础题
题型:以选择题、填空题为主
考查方式:以集合的运算为主要考查对象,常与函数、 不等式、方程等知识交汇命题.
A ðU B
ðU B
加油时间 2015年5月1日 2015年5月15日
加油量(升) 12 48
加油时累计里程(千米) 35 000 35 600
注:“累计里程”是指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
)
【解析】选B.
48 35 600 35 000
【考题集训】 1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定 是 ( ) B.∀x∈R,x2=x D.∃x0∈R,x02=x0
A.∀x∉R,x2≠x C.∃x0∉R,x02≠x0
【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,所以命题 “∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.
A.∅
ðU ห้องสมุดไป่ตู้ B.{2}
=(
)
C.{5}
D.{2,5}
【解析】选B.A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥ ={x∈N|2≤x＜ }={2}.
5}，ðU A
5
热考题型二
【考情分析】
常用逻辑用语
难度:基础题
题型:以选择题为主
考查方式:涉及知识面较广,常与函数、不等式、三 角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在 一起考查.
x 2 x 2, x 0, 即h(x)=f(x)+f(2-x)= 2,0 x 2, x 2 5x 8, x 2. y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 含答案
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在存在一个、至少有一个、有一个、∃34判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) (1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（×）(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √）(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( √)（4）全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．( ×）(5）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（√）(6)∃x0∈M，p（x0)与∀x∈M，綈p(x）的真假性相反．( √)1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称，则下列判断正确的是( ) A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案C解析函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!＝π，故命题p为假命题;x ＝错误!不是y＝cos x的对称轴,命题q为假命题，故p∧q为假．故选C。
2．已知命题p：对任意x∈R，总有｜x｜≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ）A．p∧（綈q) B．（綈p）∧qC．(綈p)∧(綈q）D．p∧q答案A解析由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题,故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．3．（2015·浙江）命题“∀n∈N＊，f（n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是（)A．∀n∈N＊，f（n)∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N＊且f（n0)＞n0D．∃n0∈N＊，f(n0)∉N*或f(n0）＞n0答案D解析写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃，并且否定结论,注意把“且"改为“或"．故选D。
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 含答案
大一轮复习数学（文) 第一章集合与常用逻辑用语1．集合与元素（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＊(或N＋）Z Q R2.关系自然语言符号语言Venn图子集集合A 中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B）A⊆B（或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B（或B A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B3。
集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝A∩B＝{x|x∈A且x∈B｝∁U A＝{x｜x∈U，且x∉A｝4.（1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个,真子集有2n－1个．（2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1){x｜y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y）｜y＝x2＋1}．（×）（2）若{x2，1｝＝{0,1｝，则x＝0，1.( ×）(3）｛x｜x≤1｝＝{t｜t≤1}．( √)（4）对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B）恒成立．（√)（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×）(6)含有n个元素的集合有2n个真子集．( ×)1．（2015·四川)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝｛x|1＜x＜3｝，则A∪B等于( ）A．{x｜－1＜x＜3｝B．{x｜－1＜x＜1}C．｛x｜1＜x＜2｝D．{x｜2＜x＜3}答案A解析借助数轴知A∪B＝{x|－1＜x＜3｝．2．已知集合A＝{x｜x2－x－2≤0},集合B为整数集，则A∩B等于（)A．｛－1，0,1,2} B．{－2,－1，0，1}C．｛0,1} D．｛－1，0｝答案A解析因为A＝｛x|x2－x－2≤0}＝{x｜－1≤x≤2}，又因为集合B 为整数集,所以集合A∩B＝{－1,0,1，2｝，故选A。
2019版高考数学文精准备考一轮全国讲义：第一单元 集
第一单元集合与常用逻辑用语第1课集__合[过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系3．集合的基本运算(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . [小题速通]1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,8}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2解析：选B 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝8，则k ＝±10，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.2．(2018·河北武邑中学期中)集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪6y ∈N *，y ∈A 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}＝{x |0<x <7，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪6y ∈N *，y ∈A ＝{1,2,3,6}，则B 中元素的个数为4个． 3．(2017·黄冈三模)设集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4<0}，则∁U A 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,4}D ．{1,3,4}解析：选B 因为集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4<0}＝{x ∈N |1<x <4}＝{2,3}，所以∁U A ＝{1,4}．4．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 5．(2017·衡水押题卷)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }，则A ∩B为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(1,2)D ．[1,2]解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }＝{y |1≤y ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}．[清易错]1．在写集合的子集时，易忽视空集．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．1．(2018·西安质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个，故选B.2．已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|,2}，∁U A ＝{a ＋3}，则实数a 的值为________．解析：∵∁U A ＝{a ＋3}，∴a ＋3≠2且a ＋3≠|a ＋1|且a ＋3∈U ， 由题意，得a ＋3＝3或a ＋3＝a 2＋2a －3， 解得a ＝0或a ＝2或a ＝－3，又∵|a ＋1|≠2且A U ，∴a ≠0且a ≠－3，∴a ＝2. 答案：23．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．解析：由题意知A ＝{2,3}，又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅，显然成立；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ⊆{2,3}，所以1m ＝2或1m ＝3，即m ＝12或13.故m 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13[全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度集合的基本概念 5年2考 集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系 未考查集合的基本运算 5年11考交、并、补运算，多与不等式相结合集合的基本概念[典例] (1)设集合，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2018·厦门模拟)已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．[解析] (1)∵a ∈A ，b ∈B ，∴x ＝a ＋b 为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．(2)因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. [答案] (1)B (2)(5,6] [方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C.2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32集合间的基本关系[典例] (1)a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．[0,2]D ．[0,3](2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)∵C ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤3，解得0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]．(2)因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，满足B ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． [答案] (1)C (2)(－∞，－1] [方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Ve nn 图帮助分析．[即时演练]1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若B ⊆A ，则m ＝________.解析：由已知得A ＝{x |x ＝－2或x ＝－1}， B ＝{x |x ＝－1或x ＝－m }． 因为B ⊆A ，当－m ＝－1，即m ＝1时，满足题意；当－m ＝－2，即m ＝2时，满足题意，故m ＝1或2.答案：1或22．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：41．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝l n(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．角度二：交、并、补的混合运算3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁U B)＝()A．(0,2] B．(－1,2]C．[－1,2]D．[2，＋∞)解析：选D因为A＝{x|x>0}，B＝{x|－1<x<2}，所以∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥2}， 所以A ∩(∁U B )＝{x |x ≥2}．4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<2x <4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则∁U B ＝{x |x <1}，所以A ∪(∁U B )＝{x |x <2}． 答案：{x |x <2}角度三：集合运算中的参数范围5．(2017·上海高考)设集合A ＝{x ||x －2|≤3}，B ＝{x |x <t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x <t }，且A ∩B ＝∅，所以t ≤－1，即实数t 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 角度四：集合的新定义问题6．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )＝( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解析：选B 设全集U ，由题意可得M －P ＝M ∩(∁U P )，所以M －(M －P )＝M ∩P .7．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB 的结果为________．解析：由题意知当x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A 时，有f A (x )·f B (x )＝－1成立，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12} [方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形常用的数形结合形式有数轴和Ve nn 图． (4)创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：选A∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：选B因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B解析：选B因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B.一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．设集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |2x ∈N }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 因为A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |2x ∈N }，所以由2x ∈N 可得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，3) C ．(0,3)D ．(－1,3)解析：选A 因为集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >0}，所以A ∪B ＝{x |x >－1}．5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3.所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：所以A *B 中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(如图所示)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B.8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1810．已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x －1≥1}．若A ∩B 是集合{x |x ≥a }的子集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵由x －1≥1，得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}． ∵A ＝{x |1≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}．若集合A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}是集合{x |x ≥a }的子集，则a ≤2.答案：(－∞，2]11．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧ 16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )mi n ＝43－14＝29.答案：①16 ②29三、解答题13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，则m ≥1＋3m ，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A ，须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 14．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0， 解得x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．(2)由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0，∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2， ∵a <1，∴12≤a <1或a ≤－2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.1．已知定义域均为{x |0≤x ≤2}的函数f (x )＝x e x －1与g (x )＝ax ＋3－3a (a >0)，设函数f (x )与g (x )的值域分别为A 与B ，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[1，＋∞) 解析：选B 因为f ′(x )＝1－x e x －1，所以f (x )＝x ex －1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数， 又因为f (1)＝1，f (0)＝0，f (2)＝2e，所以A ＝{x |0≤x ≤1}； 由题意易得B ＝[3－3a,3－a ]，因为[0,1]⊆[3－3a,3－a ]，所以3－3a ≤0且3－a ≥1，解得1≤a ≤2.2．已知集合A ＝{x |x 2－2 018x ＋2 017<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 018x ＋2 017<0，解得1<x <2 017，故A ＝{x |1<x <2 017}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m }．由A ⊆B ，可得2m ≥2 017，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：11第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[过双基]1．命题2．(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[1．命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题是( )A ．若a >b ，则ac ≤bcB ．若ac ≤bc ，则a ≤bC．若ac>bc，则a>b D．若a≤b，则ac≤bc解析：选B由逆否命题的定义可知，答案为B.2．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．(綈p)∨q为真C．p∧(綈q)为真D．(綈p)∧q为真解析：选C由指数函数与基本不等式可知，命题p是真命题；当函数f(x)＝1x时，是奇函数但不过原点，则可知命题q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，故选C.3．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)解析：选A法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B、C；同理，取a＝－4，排除D，选A.4．已知命题p：x≠π6＋2kπ，k∈Z；命题q：si n x≠12，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B令x＝5π6，则si n x＝12，即p⇒/ q；当si n x≠12时，x≠π6＋2kπ或5π6＋2kπ，k∈Z，即q⇒p，因此p是q的必要不充分条件．[清易错]1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．1．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2＝0解析：选B原命题的条件：x，y∈R且x2＋y2＝0，结论：x，y全为0.否命题是否定条件和结论．即否命题：“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．2．设a ，b ∈R ，函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则f (x )>0恒成立是a ＋2b >0成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 充分性：因为f (x )>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b >0，f (1)＝a ＋b >0，则a ＋2b >0，即充分性成立； 必要性：令a ＝－3，b ＝2，则a ＋2b >0成立，但是，f (1)＝a ＋b >0不成立，即f (x )>0不恒成立，则必要性不成立．所以答案为A.[全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 四种命题的相互关系及真假判断5年1考 命题的真假判断 充分条件、必要条件5年1考 充要条件的判断命题的相互关系及真假性 [典例] 0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定 (2)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的依次判断正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假[解析] (1)命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．(2)原命题是：“若a n ＋1<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n }为递减数列，n ∈N *，则a n ＋1<a n ”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案] (1)B (2)A[方法技巧]命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[即时演练]1．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个． 充分、必要条件的判定[典例] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设α：1≤x ≤3，β：m ＋1≤x ≤2m ＋4，m ∈R ，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤1，2m ＋4≥3，解得－12≤m ≤0. [答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤－12，0 [方法技巧]充要条件的3种判断方法[1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，∴x ＋y >2，即p ⇒q . 而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．2．已知m ，n ∈R ，则“mn <0”是“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若“mn <0”，则x 2＝－n m y 中的－n m >0，所以“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”，则x 2＝－n m y 中的－n m >0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.－3x ＋1≤0，条件q ：x －(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴条件p 对应的集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴条件q 对应的集合为Q ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．法一：用“直接法”解题綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，即B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，∴0≤a ≤12. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 法二：用“等价转化法”解题∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p 是q 的充分不必要条件．∴p ⇒q ，即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. [答案] ⎣⎡⎦⎤0，12 [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时演练]1．(2018·安阳调研)已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)2．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－11．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6， 故si n θ<12.由si n θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒si n θ<12，而当si n θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“| a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.5．(2015·重庆高考)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵x ＞1⇒log 12 (x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．一、选择题1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α＝π4 D ．若tan α≠1，则α≠π4解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4. 2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0<b<1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交可得|b|2<1，所以－2<b<2，因此，“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”⇒/ “0<b<1”，但“0<b<1”⇒“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”．故选C.4．命题p：“∀x>e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≤1 B．a<1C．a≥1 D．a>1解析：选B由题意知∀x>e，a<ln x恒成立，因为ln x>1，所以a≤1，故答案为B.5．a2＋b2＝1是a si nθ＋b cos θ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a2＋b2＝1，所以设a＝cos α，b＝sin α，则a sin θ＋b cos θ＝si n(α＋θ)≤1恒成立；当a sin θ＋b cos θ≤1恒成立时，只需a sin θ＋b cos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足必要性．6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x＝2或x＝－12；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B在△ABC中，当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A显然成立，即必要性成立；当sin A－sin B＝cos B－cos A时，则sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝π2，即充分性不成立．则在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．8．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是() A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B ．当m ⊈α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C ．当m ⊈α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D ．当m ⊈α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当m ⊈α时，“m ⊥β”⇒“α⊥β”；当m ⊈α时，“α⊥β”⇒/ “m ⊥β”，故B 正确；当m ⊈α时，“m ∥n ”⇒/ “n ∥α”， n 也可能在平面α内，故C 错误；当m ⊈α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，反之不成立，故D 正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：210．下列命题正确的序号是________．①命题“若a >b ，则2a >2b ”的否命题是真命题；②命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件； ④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是a ＝±12.解析：①否命题“若2a ≤2b ，则a ≤b ”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a 2＝0，a ≠0，求解可得a ＝0或a ＝±12，故④是假命题．答案：①②③11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞) 12．给出下列四个结论： ①若am 2<bm 2，则a <b ；②已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关；③“已知直线m ，n 和平面α，β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题； ④m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件． 其中正确的结论是________(填序号)．解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y 和z 是正相关时，x 与z 负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；④当m ＝3时，直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直；当直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直时，(m ＋3)m －6m ＝0，则m ＝3或m ＝0，即m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．答案：①②④ 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.1．下列四个命题中，①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0且n ≠0”；⑤对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面．其中真命题的为________．(填序号)解析：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故①正确；②x ＝4⇒x 2－3x －4＝0；由x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4. ∴“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2＋x －m ＝0有实根，故③错误；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故④错误；⑤∵34＋18＋18＝1，∴对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面，故⑤正确．答案：①②⑤2．已知p ：－x 2＋4x ＋12≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)． (1)若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________； (2)若“綈p ”是“綈q ”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 解析：由题知，p 为真时，－2≤x ≤6，q 为真时，1－m ≤x ≤1＋m ， 令P ＝{x |－2≤x ≤6}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >6或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥6，解得m ≥5， ∴实数m 的取值范围是[5，＋∞)．(2)∵“綈p ”是“綈q ”的充分条件，∴“p ”是“q ”的必要条件，∴Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤6，m >0，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]． 答案：(1)[5，＋∞) (2)(0,3]第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[过双基]1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2．全称量词与存在量词3．全称命题和特称命题[1．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题的是( )A ．①③B ．①④C．②③D．②④解析：选C当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．2．若命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是()A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧q解析：选A由指数函数的性质可知，命题p是真命题，则命题綈p是假命题；显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题q是假命题，命题綈q是真命题．所以命题p∧(綈q)是真命题．3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为()A．∃x0∈R，x20＋x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x20＋x0＋1<0C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋x＋1<0解析：选B原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0为全称命题，所以原命题的否定为：∃x0∈R，x20＋x0＋1<0.4．若命题p：∃x0，y0∈Z，x20＋y20＝2 018，则綈p为()A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018B．∃x0，y0∈Z，x20＋y20≠2 018C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 018D．不存在x，y∈Z，x2＋y2＝2 018解析：选A原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018.[清易错]1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等解析：选D命题是省略量词的全称命题，易知选D.。
2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第一章 集合与
6．已知命题 p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈 q”同时为假命题，则 x＝________.
解析：若 p 为真，则 x≥－1 或 x≤－3， 因为“綈 q”为假，则 q 为真，即 x∈Z， 又因为“p∧q”为假， 所以 p 为假， 故－3<x<－1， 由题意，得 x＝－2. 答案：－2
2．(2018· 河北“五个一名校联盟”二模，3)已知命题 p，q 是简单命题， 则“綈 p 是假命题”是“p∨q 是真命题”的( 又不必要条件 )
解析：綈 p 是假命题，则 p 是真命题，则 p∨q 是真命题， 即充分性成立，而 p∨q 是真命题只需 p，q 中的一个是真命题即 可，即 p∨q 是真命题推不出 p 是真命题，即推不出綈 p 是假命 题，必要性不成立．故选 A. 答案：A
考向一
全称命题与特称命题 )
[自主练透型] 1．下列命题中是假命题的是( π A．∀x∈0，2，x>sinx B．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2 C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0
π 解析： 因为对∀x∈R， sinx＋cosx＝ 2sinx＋4≤ 2， 所以“∃ x0∈R，sinx0＋cosx0＝2”为假命题． 答案：B
C．綈 p∧綈 q
解析：由题意知命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，故綈 p 是假命题，綈 q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可 知 p∧綈 q 是真命题． 答案：A
5．(2018· 合肥检测)命题：“∃x∈R，x2－ax＋1<0”的否定 为________．
解析： 本题考查命题的否定． 命题“∃x∈R， x2－ax＋1<0” 的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．特称命题的否定是全称命 题． 答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥0
2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第一单元 集合与常用逻辑用语
第一单元集合与常用逻辑用语考点一集合1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则().A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.【答案】A2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=().A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.【答案】C3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为().A.3B.2C.1D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.【答案】B4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=().A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【答案】C5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(R Q)=().A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},∴R Q={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(R Q)={x|-2<x≤3}=(-2,3].【答案】B6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.【答案】A考点二命题及其关系、充分条件与必要条件7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为().A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】设z=a+b i(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=-∈R,则b=0,所以z=a+b i=a∈R,所以p1为真命题.对于p2,若z2∈R,即(a+b i)2=a2+2ab i-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+b i=b i∈/R,所以p2为假命题.对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.对于p4,若z∈R,即a+b i∈R,则b=0⇒=a-b i=a∈R,所以p4为真命题.故选B.【答案】B8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足-则p是q的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p表示以点(1,1)为圆心,为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).由图可知,p是q的必要不充分条件.【答案】A9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.【答案】C考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为().A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组-的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由-得交点A(2,-1).->-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-+,表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则p为假命题,q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q 为真命题,③p∧(q)为真命题,④(p)∨q为假命题.所以选C.【答案】C13.(2015年山东卷)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解析】∵函数y=tan x在上是增函数,∴y max=tan=1.依题意,m≥y max,即m≥1,∴m的最小值为1.【答案】1高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.§1.1集合一集合的概念1.集合中元素的特征:、、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作;b不属于集合A,记作.3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系子集:A⊆B或.真子集:A⫋B或.集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.空集是集合的子集,是集合的真子集.二集合的性质1.集合的运算(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)补集:U A={x|x∈U且x∉A}.2.需要特别注意的运算性质和结论A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(U A)=⌀,A∪(U A)=U;A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)若A∩B=A∩C,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.()若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是().A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.知识清单一、1.确定性互异性2.a∈A b∉A5.B⊇A B⫌A任何任何非空基础训练1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】因为a=2=N,所以a∉A,故选D.【答案】D3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x<a},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≥2.【答案】[2,+∞)题型一集合的概念【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为6.【答案】6A.1B.3C.5D.9(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为.【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)由题意得--即或故1<a≤2.【答案】(1)C(2)(1,2]题型二集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m≤2.当B≠⌀时,若B⊆A,则--解得2<m≤4.综上,实数m的取值范围是(-∞,4].【答案】(-∞,4]2+x+2>0},则下列结论正确的是().A.A∪B=RB.A∩B≠⌀C.A⊆R BD.A⊇R B(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|=-,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为().A.2B.-1C.-1或2D.2或【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},R B={x|x≥2或x≤-1},则A⊆R B.(2)由=-,得x=2,则A={2}.因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.【答案】(1)C(2)A题型三集合的运算【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|lo(x-1)>0},B=-,则阴影部分表示的集合是().A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]【解析】图中阴影部分表示集合B∩R A.∵A={x|lo(x-1)>0}={x|1<x<2},B=-=,∴R A={x|x≤1或x≥2},B∩R A={x|0<x≤1},故选D.【答案】D2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ).A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1](2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(U N)=(-3,-1).【答案】(1)A(2)D方法数形结合思想在集合中的应用对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30+3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33-x.依题意,(30-x)+(33-x)+x+=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【答案】D2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=().A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,1,2,3}【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.【答案】B3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【答案】B4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N=,则M∩N=().A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】由≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.【答案】C5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N=,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【解析】∵-2<0,即->0,解得x<0或x>,∴N=(-∞,0)∪.又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.【答案】B6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(-∞,1)B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,所以A={x|x>2或x<1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x>a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【答案】D7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(R B)=().A.{-1,2}B.{-2,-1,1,2,4}C.{1,4}D.⌀【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},R B={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(R B)={-1,2}.【答案】A8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,x∈U},则A∩(U B)=.【解析】A={x|0<x<5,x∈U}={1,2,3,4},B={x|x≤1,x∈U},则U B={x|x>1,x∈U}={2,3,4,5,…},则A∩(U B)={2,3,4}.【答案】{2,3,4}9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆U A,则集合B的个数是.【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以U A={-2,4},所以集合B的个数是22=4.【答案】410.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(R B)=().A.⌀B.{x|x>2或x≤-1}C.{x|x<-1}D.{x|x≥2或x<-1}【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log3(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},R B={x|x≥2或x<-1},则A∩(R B)={x|x≥2或x<-1}.【答案】D11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则().A.A⊆BB.A∪B=RC.A∩B={2}D.A∩B=⌀【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,∴B={x|-1≤x≤2}.∴A∩B=⌀.【答案】D12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,∴4n+2=(x+y)(x-y).∵x+y和x-y的奇偶性相同,若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4n+2是偶数;若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被4整除,而4n+2不能被4整除,∴4n+2∉M.【答案】C13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0<x<2},集合B={x|-1<x<1},集合C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|-2≤m≤1}B.-C.-D.-【解析】由题意得A∪B={x|-1<x<2}.∵集合C={x|mx+1>0},(A∪B)⊆C,①当m<0时,x<-,∴-≥2,∴m≥-,∴-≤m<0;②当m=0时,满足题意;③当m>0时,x>-,∴-≤-1,∴m≤1,∴0<m≤1.综上可知,实数m的取值范围为-.【答案】B14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是.【解析】S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.【答案】6§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一命题用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.二四种命题及其相互关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.三充分条件与必要条件1.如果p⇒q,那么p是q的条件,q是p的条件.2.如果p⇔q,那么p是q的条件.3.如果p⇒/q且q⇒/p,那么p是q的条件.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识清单一、判断真假判断为真判断为假二、1.若q,则p若q,则p2.(1)相同(2)没有关系三、1.充分必要2.充要3.既不充分也不必要基础训练1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.(2)正确,由充分条件的定义知正确.(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.【答案】[2,+∞)3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.【答案】C题型一四种命题及其关系【例1】下列命题中为真命题的是().A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若>1,则x>1”的逆否命题【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于D,逆否命题为“若x≤1,则≤1”,易知其为假命题.故选B.【答案】B当一个命题不易直接判断其真假时,直接判断该命题的真假可转化为判断其等价命题的真假.z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如1,下,则正确的是().A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.【答案】B题型二充分条件、必要条件的判断【例2】下列说法正确的是().A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件C.已知数列{a n},若p:对于任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,q:{a n}为等差数列,则p是q的充要条件D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.C错误,因为点P n(n,a n)在直线y=2x+1上,所以a n=2n+1(n∈N*),则a n+1-a n=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{a n}是公差为2的等差数列,即p⇒q.反之则不成立,如:令a n=n,则{a n}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件.D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.故选D.【答案】D判断充分条件、必要条件的方法有定义法,集合法,等价转化法.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.【答案】A题型三充分条件、必要条件的应用【例3】方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是().A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0【解析】当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根.当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,当方程有一个负实根和一个正实根时,有⇒a<0;当方程有两个负实根时,有-⇒综上所述,a≤1.【答案】C解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为.【解析】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.【答案】3方法集合与充分条件、必要条件“联手”求参数集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.3.若A=B,则p是q的充要条件.【突破训练】已知p:-≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】由-≤2,得-2≤x≤10,所以p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.设A={x|x>10或x<-2}.因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),所以q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以且不能同时取得等号,解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).【答案】[9,+∞)1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是().A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.【答案】D2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.【答案】B3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是().A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.【答案】B4.(2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是().A.0B.1C.2D.4【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.【答案】D5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.【答案】B6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.【答案】B7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.【答案】A8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为().①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;④“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1B.2C.3D.4【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.【答案】B9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:①“面积相等的三角形全等”的否命题;②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题是.(填写所有真命题的序号)【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.【答案】①②10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1<m<3.故p是q的充分不必要条件.【答案】A11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则().A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.【答案】D12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是().A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题【解析】∵f(x)=e x-mx,∴f'(x)=e x-m.又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f'(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B正确,C,D错误.A错误,否命题应为“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B.【答案】B13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.【解析】∵函数f(x)=+m-的图象不过第三象限,∴1+m-≥0,解得m≥-.∵“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-.【答案】--14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-<x≤m+(m∈Z),则m叫作离实数x最近的整数,记作{x},即m={x}.给出关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:①定义域为R,值域为-;②点(k,0)(k∈Z)是函数f(x)图象的对称中心;③函数f(x)的最小正周期为1;④函数f(x)在-上是增函数.其中,真命题的序号是.【解析】令x=m+a,a∈-,则f(x)=x-{x}=a∈-,∴①正确.令k=0,∵f=-=,f-=---=-+1=,∴f≠-f-,即函数f(x)不关于点(0,0)对称,∴②错误.∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为1,∴③正确.当x=时,m=1,f=,当x=时,m=0,f=,∴f=f,∴④错误.【答案】①③§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一简单的逻辑联结词1.命题中的“”“”“”叫作逻辑联结词.2.命题p∧q,p∨q,p的真假判定二全称命题与存在命题1.全称量词:短语“”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.2.全称命题:含有的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为.3.存在量词:短语“”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为.三含有一个量词的命题的否定☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和p不可能都是真命题.()命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命题的是().A.p∧qB.(p)∧qC.p∨(q)D.(p)∧(q)给出下列命题:①对任意x∈N,x3>x2;②存在x0∈R,-x0+1≤0;③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.以上命题的否定中,真命题为.(填序号)下列命题中的假命题是().A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,ln x0<1D.∃x0∈R,tan x0=2知识清单一、1.或且非2.真真假假真假假真真假假真二、1.所有的2.全称量词∀x∈M,p(x)3.存在一个∃4.∃x0∈M,p(x0)三、∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)基础训练1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.(2)正确,命题p和p真假相反,故不可能都是真命题.【答案】(1)×(2)√2.【解析】当x=时,sin x=1,所以p为假命题,p为真命题;当x=π时,cos x=-1,所以q为真命题,q为假命题.故(p)∧q为真命题.【答案】B3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.【答案】①②4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0<x0<e,使得ln x0<1,所以选项C中的命题是真命题;因为正切函数y=tan x的值域是R,所以选项D中的命题是真命题.【答案】B题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题p:函数y=sin和函数y=cos-的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+(k∈Z)时,函数y=(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是().A.p∨q是假命题B.(p)∧q是假命题C.p∧q是真命题D.(p)∨q是真命题【解析】命题p中,y=cos-=cos--=cos--=sin-,y=sin-与y=sin的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=(sin 2x+cos 2x)=2sin取得极小值时,2x+=2kπ-,即x=kπ-,k∈Z,故q为假命题.所以(p)∧q为假命题,故选B.【答案】B【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(q)”是假命题;③命题“(p)∨q”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题.其中结论正确的是().A.②③B.②④C.③④D.①②③【解析】因为>1,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=+≥>0,所以命题q是真命题.故结论②③正确.【答案】A题型二全称命题与特称命题【例2】下列命题中的真命题是().A.存在x∈R,使得sin x+cos x=B.对任意x∈(0,+∞),e x>x+1C.存在x∈(-∞,0),2x<3xD.对任意x∈(0,π),sin x>cos x【解析】因为sin x+cos x=sin≤<,所以A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈时,sin x<cos x,故D错误.所以选B.【答案】B对全(特)称命题进行否定的方法:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;②对原x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则p是().1,A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0【解析】由命题的否定的定义可得,p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.【答案】C题型三根据命题的真假求参数的取值范围【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a的取值范围.【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.由或得a=1或a≤-2,故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:先根据题目条件,得出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);然后2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】依题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2.因此由p,q均为假命题得或即m≥2.【答案】A方法分类讨论思想在命题真假判断中的应用【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以--得0<a<1.若命题q为真命题,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,由Δ=(2a-3)2-4>0,得4a2-12a+5>0,解得a<或a>.因为p且q是假命题,p或q是真命题,所以p,q一真一假.若p真q假,则解得≤a<1;若p假q真,则或或解得a≤0或a>.故实数a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.【答案】a≤0或≤a<1或a>。