范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-不确定性(圣才出品)

第11章不确定性
r w v。

1．证明：为避免一个方差为v的小赌博，受益者负担近似等于()/2
Show that the willingness-to-pay to avoid a small gamble with variance v is r w v.
approximately()/2
证明：假设赌博的收益为随机变量z，相应的均值和方差为w和v，再假设消费者为了避免赌博最多愿意支付a元。

从而有如下的恒等式：
（1）u z作近似的泰勒展开得到（注意，这只是一个小赌博，所以二阶泰勒展开足以逼对()
近原函数）：
从而，把此式代入（1）式中得到：
（2）
又因为，结合（2）式可知：
2．若风险规避为常数，预期效用函数为何种形式？如若相对风险规避为常数，预期效用函数为何种形式？
What will the form of the expected utility function be if risk aversion is constant? What if relative risk aversion is constant?
答：如果风险规避为常数，则有：
求解该微分方程得到()12rx u x c e c -=-+，这里1c 和2c 是任意的常数。

因为()u x 是单增的，所以必有10c ＞，由于单调变换不改变效用函数代表的偏好关系，所以风险规避为常数的效用函数也可以写作：
()rx
u x e -=-如果相对风险规避为常数，则有：
解该微分方程得到预期效用函数为：
3．预期效用函数为何种形式，在风险资产上的投资才会独立于财富的变化？
For what form of expected utility function will the investment in a risky asset be independent of wealth?
答：首先陈述一个定理：假设投资者的总财富是w ，他在风险资产上的投资为a ，方便
起见，假设无风险资产的收益率为0，风险资产的收益率为随机变量 R ，那么对投资者而言，
他在风险资产上的最优投资数量()a w *依赖于他的总财富，特别地，()a w *关于w 的一阶导
数为：
4．考察预期效用方程为二次方程的情况，证明在某一财富水平边际效用是递减的。

更重要的是，要证明在任意财富水平，绝对风险规避是递增的。

Consider the case of a quadratic expected utility function.Show that at some level of wealth marginal utility is decreasing.More importantly,show that absolute risk aversion is increasing at any level of wealth.
答：假定预期效用函数为：()2u w w bw c =-+，其中c 为任意常数。

那么边际效用是
，所以边际效用递减。

消费者的
绝对风险规避系数为：
并且，所以绝对风险规避是递增的。

5．某人抛一硬币，正面向上的概率为p 。

如果抛第j 次时，首次出现了正面向上，此人会得到2j
美元的支付。

（a）当12p =时，此次打赌的预期值为多少？
（b）假设预期效用函数为()ln u x x =，描述这次博弈的效用之和。

（c）求效用和的值（这需要一些求和公式方面的知识）。

（d）令0w 为能够带来与参加这一博弈的效用相同的货币数量，求解0w 。

A coin has probability p of landing heads.You are offered a bet in which you will be paid ＄2j if the first head occurs on the j th flip.
（a）What is the expected value of this bet when 12p =?
（b）Suppose that your expected utility function is ()ln u x x =.Express the utility of this game to you as a sum.
（c ）Evaluate the sum.（This requires knowledge of a few summation formulas.）
（d）Let 0w be the amount of money that would give you the same utility you would have if you played this game.Solve for 0w .
答：（a）在第j 次抛掷时才第1次出现正面的概率，即前1j -次都是反面，但是在第j 次出现了正面，此时的概率为：。

因此，赌注的期望值为：
（b）期望效用为：
（c）根据标准求和公式：
将这一表达式的两端关于p 求微分后整理得：
所以可以得到：
（d）为了求解所需的货币量，令参与赌博的效用与不参与赌博的效用相等，即：
解得:1/2p
w=。

6．埃斯佩兰萨自5岁起就是一个效用最大化者。

由于在一所偏僻的英国寄宿学校所接受的严格教育，她的效用函数是严格递增和严格凹的。

现在，在她30岁左右时，她正在对具有随机结果R的一份资产进行评估，结果R是具有均值μ和方差2σ的正态分布。

因此，此密度函数为
（a）证明埃斯佩兰萨对R的预期效用仅是μ和2σ的函数，进而证明。

φ 对μ是递增的。

（b）证明()
φ 对2σ是递减的。

（c）证明()
Esperanza has been an expected utility maximizer ever since she was five years old.As a result of the strict education she received at an obscure British boarding school,her utility function u is strictly increasing and strictly concave.Now,at the age of thirty-something,Esperanza is evaluating an asset with stochastic outcome R which is normally distributed with meanμand variance2σ.Thus,its density function is given by
（a）Show that Esperanza’s expected utility from R is a function ofμand2σ
alone.Thus,show that ()()2E u R φμσ= ⎡⎤⎣⎦，.
（b）Show that ()φ is increasing in μ.
（c）Show that ()φ is decreasing in 2σ.
证明：（a）埃斯佩兰萨对R 的预期效用为：
（b）将（a）中的式子关于μ求导得：
对上式作变量代换，令t s μ=-，得到：
对上式的第二项作变量代换，令z t =-，那么就有：
最后不等号成立是因为埃斯佩兰萨的效用函数单调增加，所以对任意的0t >都有()()0u t u t μμ+--+＞，以及恒成立。

（c）因为2σ是σ的单调变换，所以()φ⋅对2σ递减和()φ⋅对σ递减是等价的，所以只需证明()E u R σσ⎡⎤⎣⎦
∂即可。