矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用
线性代数在微分方程中的应用
线性代数在微分方程中的应用线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射等概念。
它通过矩阵和向量的运算来描述和解决各种数学问题。
在微分方程中，线性代数的应用发挥着重要的作用。
本文将探讨线性代数在微分方程中的具体应用。
1. 线性代数与齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0的微分方程，其中p(x)和q(x)是已知的函数。
利用线性代数的概念和技巧，可以通过矩阵和向量的方法解决这类微分方程。
首先，将齐次线性微分方程转化为矩阵形式。
假设y(x)是方程的解，可以构造一个向量函数Y(x) = (y(x), y'(x))^T，其中y'(x)是y(x)的导数。
将Y(x)代入方程，得到一个关于Y(x)的矩阵方程Y''(x) + P(x)Y'(x) +Q(x)Y(x) = 0，其中P(x)和Q(x)是由p(x)和q(x)构成的矩阵。
接下来，考虑特征值问题。
对于矩阵方程，可以找到一个特征值λ和对应的特征向量V，满足矩阵方程的特征值问题(A - λI)V = 0，其中A是由P(x)和Q(x)构成的矩阵，I是单位矩阵。
最后，利用特征值和特征向量构建齐次线性微分方程的解。
通过求解特征值问题，可以得到特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量V1和V2。
齐次线性微分方程的通解可以表示为y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)，其中c1和c2是常数，y1(x)和y2(x)分别是由特征向量V1和V2构成的解函数。
2. 线性代数与非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程是指形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的微分方程，其中r(x)是已知的函数。
通过线性代数的方法，可以利用特解和齐次解的线性组合来求解非齐次线性微分方程。
首先，找到非齐次线性微分方程的特解。
通过试探法，假设非齐次线性微分方程的特解为y(x) = u(x)v(x)，其中u(x)是待定函数，v(x)是齐次线性微分方程的解函数，通过求导和代入方程，可以得到u(x)的表达式。
矩阵微分方程
矩阵微分方程第九讲 矩阵微分方程一、矩阵的微分和积分1. 矩阵导数定义：若矩阵ij m n A(t)(a (t))⨯=的每一个元素a (t)ij 是变量t 的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为ij m n da dA A (t)()dt dt⨯'==由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。
2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则（1）d dA dB[A(t)B(t)]dt dt dt ±=±（2）d dA dB[A(t)B(t)]B Adt dt dt=+ （3）d da dA [a(t)A(t)]A adt dt dt =+ （4）()()()()tAtA tA d de Ae e A cos tA Asin tA dtdt===- ()()()dsin tA Acos tA dt=(A 与t 无关) 此处仅对tAtA tA d (e )Ae e A dt==加以证明 证明：tA 2233223d d 111(e )(1tA t A t A )A tA t A dt dt 2!3!2!=++++=+++22tA 1A(1tA t A )Ae 2!=+++=又22tA 1(1tA t A )A e A 2!=+++=3. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij =⨯的每个元素ij a (t)都是区间01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]上的积分为1100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n ⎛⎫=⎰⎰ ⎪⎝⎭⨯4. 矩阵积分性质（1）111000t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±⎰⎰⎰（2）11110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰（3）t baadA(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-⎰⎰二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组11111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dtdx a x (t)a x (t)a x (t)dt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩ 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,,n),=ij a (i,j 1,2,,n)=是常系数。
线性微分方程组的解法
线性微分方程组的解法线性微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的线性方程组成的，可以用矩阵形式来表示。
解这类方程组的方法有很多种，例如矩阵法、特征方程法等。
下面将介绍线性微分方程组的解法。
一、线性微分方程组的矩阵法考虑一个n个未知函数的线性微分方程组：$\frac{d}{dt}\mathbf{y}=A\mathbf{y}$其中$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}$，A是一个$n \times n$的矩阵。
解法：1. 将线性微分方程组写成矩阵形式：$\frac{d}{dt}\mathbf{y}=A\mathbf{y}$2. 求出矩阵A的特征值和特征向量。
设特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\mathbf{v}$。
3. 根据特征值和特征向量，构造矩阵的对角形式：$D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &\lambda_n \end{pmatrix}$4. 求出初值条件的向量$\mathbf{c}$，使得$\mathbf{y}(t=0) =\mathbf{c}$。
5. 利用变量分离法求出解向量$\mathbf{y}$：$\mathbf{y}=e^{At}\mathbf{c}$其中$e^{At}$表示矩阵的指数函数，它可以通过特征值和特征向量来计算，即：$e^{At}=P e^{Dt}P^{-1}$其中P是一个由特征向量组成的矩阵，$P^{-1}$是P的逆矩阵，$e^{Dt}$是一个由特征值构成的对角矩阵的指数函数：$e^{Dt}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0\\ 0 &e^{\lambda_2 t} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_n t} \end{pmatrix}$6. 将解向量$\mathbf{y}$代入初值条件$\mathbf{y}(t=0) =\mathbf{c}$，求出常数向量$\mathbf{c}$的值。
单 元 雅 可 比 矩 阵 的 行 列 式
单元雅可比矩阵的行列式下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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矩阵相似在微分方程组中的应用
向 量为 。 ＝ Ｉ Ｌ １ ｌ Ｊ Ｉ ， 而 对应于 二 重特 征根Ａ ： ＝ Ａ ＝ － １ ， 有
ｆ （ ２ Ｅ— Ａ ） ｘ 。 ＝ ０
两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ＝ 医 １ ］ ， ， ＝ １ ］ ， 故 Ａ
可 对 角 化。 则 存 在可 逆 矩 阵Ｐ ＝ ｌ ｉ １ ０ Ｊ ， 使 得
０ｅ ｔ ２ ０ １ ６
文章编号： ｌ ６ ７ ４ 一 Ｏ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ５ — ０ ０ ０ ５ — ０ ２
矩阵相似在微分方程组中的应用
张海涛
（ 山西大同大学数学与计算机科 学学院 ， 山西大同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 在 高等代数的研 究范围 内， 计 算矩阵的特征值 与特征 向量是一个基本 问题 。矩阵的相似性会 关系到 特征值 与特征 向量 的计算， 同时也会关 系到矩阵对角化 问题 。主要探讨 了矩 阵的相似在微分方程组 中的应用。
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【 ｄ ｙ ． ＝ ） ，
誓： ： ＋ ，
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（ ） ： ： （ ） ＋ ． ． ・ ＋ 口 （ ）
的方 程组 为常 系数 线性 齐次 微分 方程 组 ， 简称 微分
方程组， 其中 ＝ （ ｆ ） （ １ ， ２ ， …， ｎ ） 是自变量 ｔ 的函
则 方程 组可 表示 为 ｄ ｘ＝ Ａ 。 矩 阵 Ａ的特征 多项 式
由此 必 然 存 在 一 个 非 奇 异 矩 阵 Ｃ和 若 当矩 阵
Ｉ ２ ０ ０ １
． ， ， 使 得Ａ ～ ｔ ， ＝ １ ０ １ １ ｌ 。
ｌ ０ ０ １ Ｉ
ｌ Ａ Ｅ — Ａ ｌ ＝ ｌ ＿ ２ Ａ 一 １ — ２ ｌ ＝ （ Ａ 一 ５ ） ＋ １ ） ， 矩阵Ａ
矩阵系数函数
矩阵系数函数一、矩阵系数函数的定义矩阵系数函数是指定义在矩阵上的一类特殊函数，它们具有与矩阵相乘的性质。
矩阵系数函数在数学、工程学和物理学等领域有着广泛的应用。
矩阵系数函数通常用于描述矩阵与向量之间的线性关系，以及矩阵之间的乘积运算。
二、矩阵系数函数的性质矩阵系数函数具有以下性质：1.线性性质：矩阵系数函数与矩阵的线性运算相容，即满足分配律和结合律。
2.乘法性质：当两个矩阵相乘时，矩阵系数函数满足相应的乘法性质。
3.对称性质：当矩阵是对称的时，矩阵系数函数也具有对称性质。
4.微分性质：矩阵系数函数在某些条件下具有微分性质，即它们的导数和偏导数满足一定的关系。
5.唯一性：对于给定的矩阵和向量，与其相关的矩阵系数函数是唯一的。
三、矩阵系数函数的应用矩阵系数函数在许多领域都有应用，以下是几个常见的应用实例：1.控制系统：在控制系统的分析和设计中，矩阵系数函数用于描述系统的状态方程和输出方程，以及系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
2.线性代数方程组：在求解线性代数方程组时，矩阵系数函数用于描述方程组中的系数矩阵和常数项向量，以及它们之间的关系。
3.数值分析：在数值分析中，矩阵系数函数用于描述数值算法中的系数矩阵和向量，如线性方程组的迭代解法和数值积分等。
4.工程学：在工程学中，矩阵系数函数用于描述结构分析、流体动力学、振动分析等领域的物理现象和数学模型。
5.量子力学：在量子力学中，矩阵系数函数用于描述量子态和测量过程，以及它们之间的概率关系。
四、总结与展望矩阵系数函数作为数学和工程学中的重要概念，已经得到了广泛的研究和应用。
在未来，随着科学技术的不断发展，矩阵系数函数的应用领域将会更加广泛和深入。
特别是在大数据处理、人工智能和机器学习等领域，矩阵系数函数将会有更多的应用场景和挑战。
此外，随着数学和其他学科的交叉融合，新的矩阵系数函数和性质将会不断涌现，为解决实际问题提供更多的方法和工具。
因此，我们需要进一步深入研究矩阵系数函数的性质和应用，以期在未来的科学研究和工程技术领域取得更多的成果和突破。
微分方程组的基解矩阵_理论说明
微分方程组的基解矩阵理论说明1. 引言1.1 概述微分方程组是数学中研究自然现象和物理现象的重要工具，它描述了变量之间的变化率以及它们与时间或空间的关系。
在科学和工程领域，微分方程组被广泛应用于预测、建模和优化等问题的求解中。
其中，微分方程组的基解矩阵作为一个核心概念，扮演着重要的角色。
1.2 文章结构本文将对微分方程组的基解矩阵进行深入探讨，并介绍其性质、求解方法以及应用及意义等方面的内容。
具体结构如下：第2部分：微分方程组的基本概念该部分将介绍微分方程组的定义，以及基本解和通解这两个重要概念，并引入基解矩阵这一主题。
第3部分：基解矩阵的性质与求解方法在此部分中，我们将讨论基解矩阵存在性与唯一性的问题，并探究基解矩阵与常系数微分方程组之间的关系。
同时，我们也会介绍一些求解基解矩阵的常见方法和步骤。
第4部分：微分方程组基解矩阵的应用及意义该部分将探讨基解矩阵在初始值问题求解方法和非齐次线性微分方程组中的特殊情况下的应用。
同时，我们也会对理论说明与实际应用之间的联系和差异进行讨论。
第5部分：结论与展望最后一部分将总结本文主要观点和发现，并对未来研究的方向和前景进行展望。
1.3 目的本文旨在全面深入地介绍微分方程组的基解矩阵，明确其定义以及相关概念，并深入探讨其性质、求解方法以及应用及意义。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解微分方程组中基解矩阵这一重要概念的作用和应用，为进一步开展相关研究提供有益指导。
2. 微分方程组的基本概念：2.1 微分方程组的定义：微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的一组方程。
通常形式为：\[ \begin{cases}F_1(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0 \\F_2(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0 \\... \\F_n(x, y_1, y_2, ..., y_n, y_{n+1}) = 0\end{cases}\]其中，\( x \) 是自变量，\(y_1, y_2, ..., y_n\) 是未知函数，\(y_{n+1}\) 是关于\(x\) 的已知函数。
矩阵标准型在常微分方程定性分析中的应用
贾 诺， 王 涛， 王世 凯
（ 哈尔滨师范大学 数学科学学院 ， 黑龙江 哈尔滨 １ ５ ０ ０ ２ ５ ）
摘
要 根 据 二 阶 实 方 阵 对 应 的 矩 阵 标 准 型 ， 归 纳 了 平 面 自治 线 性 常 微 分 方 程 组 的 ４种 标 准 型 ， 并 结 合 实 例
给 出 了不 同类 型 方 程 组 的定 性 分析 ． 关 键 词 平 面 自治 线 性 常 微 分 方 程 组 ； 矩阵标准型 ； 定 性 分 析 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ０ ４ ４ — ０ ４
则 由矩 阵与 向量 的乘法 ， 方程 组 （ １ ）即为
一
ｏ ］ ＇ ［ ， ］
对应 的微分 方程 组 的 ４种标 准 型 即为
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§7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ⨯∈. 1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e!1!1对任何t 收敛。
因而可以逐项求导。
()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∑∞=-11!11m m At m A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∑k At k A !1Ate A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅-=∑∑∞=∞=---01111!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =⋅ ②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=⇒+=+-=+=proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t m At e B ⋅=②令()Bt At B A e e e t C --+⋅⋅=)( 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-⋅===000)0()1()(当1=t 时，E e e e B A B A =⋅⋅--+ …………………. （@）特别地 A B -= 有E e e e A A =⋅⋅-0∴ 有 ()A Ae e --=1∴同理有()B Be e --=1代入（@）式 因而有B A B A e e e ⋅=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A ---=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos -=-=-4.E A A =+22cos sin()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二.矩阵函数再微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常导数其次方程组的通解 AZ dtdZ = 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21 =∈⨯ 则有()K e t X At ⋅= 其中()Tn k k k K ,,,21 =1eg 解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A ()Tx x x X 321,,=由()()212--=-λλλA E 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→100110002J A1200000-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴P e e e e P e t tt t At⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴-3211200000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常导数微分方程的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x Z AZdt dZ)0(,),0(),0(210 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AZ dtdz=的通解为K e t Z At ⋅=)( 将初值)0(X 代入，得)0(X k =)0(Z e X At =∴由1Th 可的定解问题()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AZ dt dZ)(,),(),()(002010的唯一解为()()00)(t X e T X t t A ⋅=-2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1221A 的解解：由0=-A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=231,1α ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=231,1i β 则，于是矩阵：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=23123111i iP13300--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)(3.一阶常导数齐次方程组地定解问题：()t F Ax dtdx=- 两边同乘以At e -得：()()t F e x e dtd At At--= 从0t 到t 上积分得：()()ττd F e t x e t x e tt AE At At ⎰---=-000)(()()()()τττd F e t x e t x tt t A t t A ⎰--+=∴000)(3eg .求：非齐次微分方程组的解：()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=Tx t F AX dt dx1,0)0( 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3553A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0t e t F解：由i A E 5302,1±=⇒=-λλ对应特征向量为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i 1α ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1i β 得可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11i i P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211i i P ()()ti i Ate t t t t P e e P e3153535cos 5sin 5sin 5cos 00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴--+ ()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--t t A Atd e e e t x 0010)(τττ τd e t t t t t t t t e t t e tt t t40335sin 5cos 5cos 5sin 5sin 5sin 5cos 5cos 5cos 5sin -⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=注：关于线性系统的能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习。
第三部分 矩阵特征值的估计§1.特征值界的估计引理1.n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。
即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使TAU U T =引理2.设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，则∑∑====n i nj FijHAa AA tr 1122)(Proof :设n n ij H b AA B ⨯==)(则∑∑===++==nj jn n nj j j a a a a a a a a a b 121111212111111111∑∑====nj jn j j j a a a b 12212222∑∑====nj ijn j ij ij ii a a a b 121∑∑∑======ni nj ij ni ii Ha b B tr AA tr 1121)()(引理3.A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角矩阵。
（注：正规矩阵：A A A A H H ⋅=⋅）即存在酉矩阵U 使),,,(21n H diag AU U λλλ =Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则：⇔=≤∑∑∑===ni n i nj FijiAa 111222λA 为正规矩阵，等号成立。
Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——① 对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①⨯②H H H H T T U A U AU U ⋅=⋅)()(H H H T T U AA U ⋅=⇒（为酉阵）)()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ⋅==⇒即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i nj ni ni i iiijn i nj ijt t a 1111222112λ设nn CA ⨯∈令2,2HH A A C A A B -=+=，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即HB ）实BC 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚注：引入B ,C 的目的是为了研究A 的特征值的实部和虚部的估计。
Th 2.设A ,B ,C 如上所设，i λ为A 的特征值，则有：Proof :由T AU U H =, *T U A U H H =2222HH HH H H HHT TU A A U CU U T TU A A UBU U -=-=⇒+=+=⇒ ∑∑∑∑∑∑======≤≤+=+=ni ijji ni ni nj ijiiii ni ni ii i b n b t t 12,2111221122max 22)Re(λλλij i iji b n b n max )Re(max )Re(222⋅≤⇒≤⇒λλ同理可证：其它两个注：该定理对A 特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A 特征值虚部估计更精确的一个定理。
其中ij c k max =，ij c 为上述C 的第i 行第j 列元素Proof :eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5.06.07.07.08.0112.01A则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+=5.065.015.065.08.06.015.06.01)(21HA AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=005.085.005.004.085.04.00)(21H A A C3max 3=⨯≤ij i a λ 3max 3)Re(=⨯≤ij i b λ55.285.03max 3)(=⨯=⨯≤ij i m c I λ由Th 3. 55.285.03max 223)(<⨯=⨯≤ij i m c I λ 易见，Th 3.比Th 2.中③要精确。
据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。
推论2：Hermit 矩阵的特征值令为实数。
推论3：反Hermit 矩阵的特征值令为虚数或零。
Proof 1:A 为实对称，则A A A TH==，则02=-=HA A C 即0=ij c 由Th 2 0max )(=⋅≤ij i m c n I λ 即0)(=i m I λi λ∴为实数Proof 2:A 为H —阵，则A A H-=，则02=-=HA A C ，即0=ij c i λ∴为实数Proof 3: A 为反H —阵，则A A H-=，设i λ为特征值，02=+=HA AB 0=∴ij b 由Th 2. 0max )Re(=⋅≤ij i b n λ 0)Re(=i λ 即i λ为纯虚数或零。