三角形中地最值问题
三角形内最值问题
三角形内最值问题
三角形内最值问题是一个常见的问题，它涉及到在给定三角形中找到某些几何量的最大值或最小值。
下面是一些解决这类问题的一般方法：
1. 基础几何知识：解决这类问题需要掌握一些基本的几何知识，如三角形的性质、三角函数、勾股定理等。
2. 对称性：考虑三角形是否具有某种对称性，如轴对称或中心对称，这有助于找到最值的位置。
3. 极值定理：在某些情况下，可以使用极值定理（如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等）来找到最值。
4. 函数建模：将问题转化为函数的最值问题，然后使用导数或其他数学工具来找到最值。
5. 参数方程：有时可以通过引入参数来表示几何量，然后通过参数的变化找到最值。
6. 优化技术：可以使用一些优化技术，如梯度下降、牛顿法等，来找到最值。
解决三角形内最值问题的具体方法取决于问题的具体情况和给定的条件。
在处理这类问题时，需要仔细分析问题，选择合适的数学工具和方法来解决。
试析解三角形中最值与范围问题
试析解三角形中最值与范围问题三角形是一种最基本的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。
本文将从三个方面来试析三角形中最值与范围问题，分别是三角形的边长最值、角度最值和面积最值。
首先，讨论三角形的边长最值。
根据三角形的定义，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大。
这是因为三角形的边长可以是任意长度，只要满足三角形的定义即可。
其次，讨论三角形的角度最值。
根据三角形的定义，三角形的角度最小值为0度，最大值为180度。
这是因为三角形的角度必须小于180度，否则就不是三角形了。
最后，讨论三角形的面积最值。
根据三角形的定义，三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。
这是因为三角形的面积可以是任意大小，只要满足三角形的定义即可。
综上所述，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大；三角形的角度最小值为0度，最大值为180度；三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。
从这些最值和范围可以看出，三角形是一种非常灵活的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。
三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。
例如，在建筑设计中，三角形的最值与范围问题可以帮助建筑师更好地设计建筑物，以满足建筑物的结构要求。
此外，三角形的最值与范围问题也可以帮助工程师更好地设计机械设备，以满足机械设备的结构要求。
因此，三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。
三角形的最值与范围问题的研究可以帮助我们更好地理解三角形，并且可以帮助我们更好地应用三角形，从而更好地解决实际问题。
解三角形面积最值问题
解三角形面积最值问题概述三角形是我们学习几何学时最常见的图形之一，其面积的计算是一个基本的几何问题。
而解三角形面积最值问题则是在给定一些限制条件下，求解三角形的最大面积或最小面积。
这涉及到数学中最优化的一个重要问题。
限制条件在解三角形面积最值问题时，我们通常会给出一些限制条件，这些条件可能包括角度的大小、边长的关系等。
下面是一些常见的限制条件：1.固定底边：给定三角形的底边长度为a，求使得面积最大或最小的三角形。
2.固定高：给定三角形的高为h，求使得面积最大或最小的三角形。
3.固定边长：给定三角形的两条边长为a和b，求使得面积最大或最小的三角形。
4.固定比例：给定三角形的边长比例为k，求使得面积最大或最小的三角形。
5.固定对角线：给定三角形的对角线长度为d，求使得面积最大或最小的三角形。
求解方法1. 利用面积公式三角形的面积可以通过以下公式来计算：A=12⋅base⋅ℎeigℎt其中A表示三角形的面积，base表示底边的长度，height表示高的长度。
根据给定的限制条件，我们可以通过求导等方法，将面积公式中的变量表示为常量，从而得到面积和其他变量之间的关系。
然后我们可以通过求解极值问题，找到使得面积最大或最小的变量取值。
2. 利用三角形特性三角形的边长、角度和面积之间有很多重要的关系。
利用这些关系，我们可以得到一些有助于解题的结论。
下面是一些常用的结论：1.等边三角形面积最大：当三角形的三条边相等时，三角形的面积最大。
2.高所对边最大：在给定三角形底边的情况下，使得三角形面积最大的情况是：底边为定长，底边两点的连线为垂线。
3.边长相等，角度越大，面积越大：在给定角度的情况下，如果三角形的两条边长相等，则面积最大的情况是这两条边垂直。
4.给定两边，夹角越大，面积越大：在给定两边的情况下，当这两边夹角最大时，三角形的面积最大。
通过利用这些有助于解题的结论，我们可以缩小解题的范围，降低解题的难度。
求解实例例题1：固定底边假设我们需要在给定底边长度为5的情况下，找到一个三角形，使得其面积最大。
专题17 三角形中的最值问题-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)
【高考地位】三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 求三角形面积的最值问题使用情景：一般三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步 通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；第三步 得出结论.例1 求满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值.【答案】【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题.例2 在ABC 中，22223a b c ab +=+，若ABC ，求ABC 的面积的最大值.【答案】【解析】由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以sin C =，【点评】先利用余弦定理求cos A 的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用.【变式演练1】已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22()ABC S a b c =--且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC S的最大值为 【答案】8sin 17A =，25617.考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．【变式演练2】在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+（1）求证：ABC 为直角三角形；（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）由(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+，得sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+，由正弦定理得cos cos a B a C b c +=+，由余弦定理得22222222a c b a b c a a b c ac ab+-+-⋅+⋅=+，整理得222()()0b c a b c +--=，又由于0b c +>，故222a b c =+，即ABC 是直角三角形.（或者：由sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+得，sin cos sin cos sin()sin()A B A C A C A B +=+++，化简得cos (sin sin )0A B C +=，由于sin sin 0B C +>，故cos 0A =，即ABC 是直角三角形）.（2）ABC 的周长的取值范围为(4,2+.【变式演练3】在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值；（2）若a =ABC 面积的最大值.【答案】（1）1m =.（2类型二 求三角形中边或角的取值范围使用情景：三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；第三步 得出结论.例3 在锐角ABC 中，2A B =，则c b的取值范围是 . 【答案】(1,2).【点评】①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件；②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.例4 若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 .【答案】.【点评】本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力.【变式演练4】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。
三角形中的周长最大值问题(斜边法求周长)
三角形中的周长最大值问题(斜边法求周
长)
问题描述
给定一个三角形，边长为a、b、c。
我们要求在满足以下条件的情况下，使得三角形的周长最大。
条件：
- 三角形的两条边之和大于第三边。
- 三角形的两条边之差小于第三边。
解决方案
对于给定的三角形，我们可以通过斜边法来求解最大周长。
首先，我们需要找到三角形中最长的边。
通过比较a、b和c 的大小，我们可以找到最长的边l。
然后，我们需要找到两条较短的边之和s。
我们可以通过s = a + b + c - l得到。
最后，我们可以得到最大周长L = s/2 + l。
算法流程
1. 输入三角形的边长a、b、c。
2. 比较a、b和c的大小，找到最长的边l。
3. 计算两条较短边之和s = a + b + c - l。
4. 计算最大周长L = s/2 + l。
5. 输出最大周长L。
示例
假设给定三角形的边长为a = 5、b = 3、c = 7。
根据算法流程：
1. 比较a、b和c的大小，找到最长的边l = 7。
2. 计算两条较短边之和s = 5 + 3 + 7 - 7 = 8。
3. 计算最大周长L = 8/2 + 7 = 11。
因此，对于边长a = 5、b = 3、c = 7的三角形，最大周长为11。
总结
通过斜边法求解三角形中的最大周长问题，我们可以通过找到最长边和计算较短边之和来得到最终的解。
这个方法可以简单地应用于各种三角形情况，从而得到最优的结果。
知一边及其对角的三角形的最值问题
我们有一个三角形，已知一边长度和它所对的角，我们要找出这个三角形的最大面积和最小周长。
假设三角形的三边长度分别为a, b 和c，其中已知边长为a，已知角度为角A，对应的边长为b。
根据题目，我们可以建立以下方程和不等式：三角形的面积公式是：面积= (1/2) × a × b ×sin(A)。
三角形的周长是：周长= a + b + c。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：a + b > c, a + c > b, b + c > a。
同样地，任意两边之差小于第三边，即：|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。
现在我们要来解这个问题，找出三角形的最大面积和最小周长。
为了找到三角形的最大面积，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
假设三角形的三边长度分别为a, b 和c，其中已知边长为a，已知角度为角A，对应的边长为b。
根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：面积= sqrt[3] * (p * p * q) / (2 * q)其中，p 是半周长，q 是半周长减去已知边长a。
通过求导数并令其为0，我们可以找到面积的最大值。
最大面积是：0.5为了找到三角形的最小周长，我们可以使用不等式来求解。
根据不等式，三角形的周长可以表示为：周长= a + b + c根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：a + b > c, a + c > b, b + c > a。
通过求解不等式组，我们可以找到周长的最小值。
最小周长是：2.8284271247461903。
三角形中的范围(最值)问题
三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6.(1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围； (2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值； (2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac ，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分(2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分例题1 答案：9.解法1由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac≥5＋2c a ·4a c ＝9.当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法2如图作DE ∥AB 交BC 点E ，所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长为1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1. 于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c ，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC 中，BC sin θ＝BDsin C ，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝ 2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9. 解法4以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限，设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0，令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0，所以c ＝－2x A ＝3－k （k ＋3）>0，则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9. 当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9. 变式联想变式1答案：(1)2π3；(2)[23，＋∞)．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得(4R ·sin A ＋2R ·sin C )cos B ＋2R ·sin B cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，即sin A (2cos B ＋1)＝0，因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ≠0，解得cos B ＝－12，B ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，S △ABC ＝12xy sin 2π3＝34xy ，S △ABD ＝12y sin π3＝34y ，S △BCD＝12x sin π3＝ 34x ，所以xy ＝x ＋y ， 即y ＝xx －1，x ∈(1，＋∞)．在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos2π3＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝(x ＋y －12)2－14，因为x ＋y ＝xy ≤（x ＋y ）24，x >0，y >0，所以x ＋y ≥4，所以AC 2≥(4－12)2－14，所以AC ≥2 3.所以AC的取值范围是[23，＋∞)． 变式2答案：(1)y ＝xx －1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5；(2) 3. 解析：(1)由S △ABC ＝S △ABD ＋ S △ACD 得，12x sin 60°＋12y sin 60°＝12xy sin 120°，所以x ＋y ＝xy ，所以y ＝x x －1，又0<y ≤5，0<x ≤5，所以54≤x ≤5，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5. (2)设△ABC 的面积为S ，则结合(1)得S ＝12xy sin A ＝12x·x x －1·sin 120°＝3x 24（x －1）(54≤x ≤5)，因为x 2x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号． 故当x ＝y ＝2时，面积S 取得最小值3平方千米． 答：该渔民至少可以围出3平方千米的养殖区．串讲激活串讲1 答案：726. 解析：设∠BDA ＝θ，AD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BD·cos ∠BDA ，可得15a 24－28a ＋49＝x 2－xa cos θ，①在△ACD 中，由余弦定理得3a 24＝x 2＋xa cos θ，②，由①＋②可得2x 2＝92a 2－28a ＋49＝92(a －289)2＋499≥499，所以x ≥726，当且仅当a ＝289时等号成立，所以中线AD 的最小值为726.串讲2 答案：(1)OM ＝2sin （α＋π4），ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3；(2)α＝π6，8－4 3.解析：(1)在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，即OM ＝2sin （α＋π4），同理ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3.(2)S △OMN ＝12OM·ON sin ∠MON ＝1sin （α＋π4）×sin （α＋5π12）＝1sin （α＋π4）×sin （α＋π4＋π6）＝132sin 2（α＋π4）＋12sin （α＋π4）cos （α＋π4）＝134[1－cos （2α＋π2）]＋14sin （2α＋π2）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝112sin （2α＋π6）＋34，因为0≤α≤π3，π6≤2α＋π6≤5π6，所以当α＝π6时，sin (2α＋π6)的最大值为1，此时△OMN 的面积最小．即α＝π6时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(c ＋a )(c －a )＋b (b ＋c )＝0，即c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，所以 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A 是三角形的内角，所以A ＝120°，由c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，且a ＝3，所以b 2＋c 2＝9－bc ≥2bc ，解得bc ≤3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3·sin120°＝334.(2)由(1)可知c 2＋b 2＋bc ＝9，(b ＋c )2－bc ＝9，即(b ＋c )2－9＝bc ≤(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤23，又b ＋c >a ＝3，所以b ＋c 的取值范围是(3，23]．。
高中数学三角函数专题20 三角形中的范围与最值问题
专题20 三角形中的范围与最值问题一．选择题（共13小题）1．（2019•黄冈模拟）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，已知45C ∠=︒，2c =，a x =，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A ．21x << B ．22x << C ．12x <<D ．12x <<2．（2020•邵阳三模）锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 3a C c =，1a =，则ABC ∆周长的最大值为( )A ．31+B ．21+C ．3D ．43．（2019春•河北月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos a B b A =，4b c +=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．1B ．3C ．2D ．234．（2020春•金安区校级月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，(c a = ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．335．（2016•南昌校级二模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角B 为锐角，且22sin sin sin A C B =，则a cb +的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(2,3) C ．13(,)22 D ．23(,)226．（2018•河南一模）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2()b a a c =+，则2sin()sin A B A -的取值范围是( ) A ．2(0,)2 B ．13(,)22 C ．12(,)22 D ．3(0,)27．（2018春•雅安期末）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是( )A ．(0,62)+B ．(32-，32)+C ．D ．8．（2018•惠州模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为312S c =，则ab 的最小值为( ) A ．12 B ．13 C ．16 D ．3 9．（2017秋•罗庄区期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2cos 2c B a b =-，若ABC ∆的面积为32S =，则c 的最小值为( ) A ．423- B ．31- C ．2 D ．210．（2021春•赛罕区校级期中）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．3B ．2C ．22D ．2311．（2021春•瑶海区月考）若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是( )A ．624-B ．624+C ．622-D ．622+ 12．在ABC ∆中，3a b c +=，则cos cos cos A B C 的最大值为( )A ．781B ．18C ．19D ．88113．（2019•天河区二模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A B =，则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0，1] D ．(1，2]二．填空题（共22小题）14．（2018春•昆山市期中）在ABC ∆中，若sin(2)2sin A B B +=，则tan B 的最大值为15．（2018•黑龙江模拟）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan()A B -取最大值时，角B 的值为 ． 16．（2018秋•南城县校级期末）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222(cos cos )a b a B b A -=+，且ABC ∆的面积为25，则ABC ∆周长的最小值为 ．17．（2014•萧山区模拟）ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积S 满足：22()S a b c =--，且ABC ∆的外接圆的周长为17π，则面积S 的最大值等于 ．18．（2017春•扬州期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22242a b c ++=，4ab =，则2sin sin 2C tan A B 的最小值是 ． 19．（2018秋•连云港期中）在ABC ∆中，4AB BC +=，sin tan24cos B A A =-，则当B ∠取最大值时，ABC ∆面积为 ．20．（2016•杭州校级模拟）直角ABC ∆中，2C π=，2AC =．若D 为AC 中点，且1sin 3ABD ∠=，则BC = ；若D 为AC 上靠近点C 的三等分点，则ABD ∠的最大值为 ．21．（2018秋•河南期中）在ABC ∆中，若cos 4AB BC B =，||32BC BA -=，则ABC ∆面积的最大值为 ．22．（2020•晋中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC ∆的面积3S b =，则ABC ∆面积的最小值为 ．23．（2020•渭南二模）在ABC ∆中，60B =︒，3AC =，则2AB BC +的最大值为 ．24．（2017秋•邯郸期中）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A C B +=，sin 6sin b A B =，若符合条件的三角形有两解，则b 的取值范围是 ．25．（2020•郑州一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (2cos )A a C =-，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．26．（2018春•柳南区校级月考）在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为 ．27．（2019•江苏二模）在ABC ∆中，若sin 2C =cos cos A B ，则22cos cos A B +的最大值为 ．28．（2019春•广陵区校级期中）在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为 ．29．（2012秋•东台市校级月考）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC边上的高为2a ，则2b c a c b bc++的最大值为 ． 30．（2020春•高安市校级期中）在锐角ABC ∆中，3B π=，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos 32A C a c ac+=，则a c +的取值范围是 ． 31．（2021•信阳开学）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BD 为边AC 上的高，若b =23ABC π∠=，则BD 的最大值是 ． 32．（2021秋•鼓楼区校级月考）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且22222a b c +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ． 33．（2021春•朝阳区校级期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3A π=，则223b c bc ++的取值范围是 ．34．（2021春•沈河区校级期末）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且32sin()3a b C π=+，则角B 为 ；若ABC ∆的面积为3，D 为AB 边的中点，则CD 的最小值 ．35．（2016•湖南模拟）已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．三．解答题（共15小题）36．（2020春•包河区校级月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b =．（1）求ABC ∆的外接圆面积；（2）求2c a +的最大值．37．（2020春•香坊区校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin 1sin sin A a b B C a c-=-+-． （Ⅰ）设(sin ,1),(8cos ,cos2)m A n B A ==，判断m n ⋅最大时ABC ∆的形状． （Ⅱ）若3b =，求ABC ∆周长的取值范围．38．（2021春•龙泉驿区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin sin cos 2b A C a B C b +=． （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆为锐角三角形，其外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围．39．（2021•章丘区模拟）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．40．（2021春•龙泉驿区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围．41．（2020秋•浙江月考）已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()02A f =，2a =，求ABC ∆面积的最大值．42．（2019春•沈阳期末）已知ABC ∆的外接圆的半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量(sin sin ,)m A C b a =--，2(sin sin ,sin )4n A C B =+，且m n ⊥． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长．43．（2020•鹤壁模拟）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )a c B B =+．（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ABC ∠=∠，点A ，D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值．44．（2017秋•赫山区校级期中）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆周长的最大值．45．（2017•资阳模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21sin sin sin 24B C B C -+=． （Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 若2b c +=，求a 的取值范围．46．（2015秋•北票市校级月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C c B =+．（1）求B ；（2）若4b =，求ABC ∆面积的最大值．47．（2020春•禅城区期末）在ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知=+．a b C c Bcos sin（1）求角B；（2）若2∆面积的最大值．b=，求ABC48．（2017秋•金台区期中）已知ABC∆的内角A，B，C所对底边分别是a，b，c．（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin sin2sin()+=+；A C A C（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．49．（2020春•盐城期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且11 cos (1cos )a C c A =+．（1）若ABC ∆为锐角三角形，求c a 的取值范围； （2）若2b =，且[4B π∈，]2π，求ABC ∆面积的最小值．50．（2020秋•烟台期末）为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m 的正方形空地ABCD ，若已规划出以A 为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF ，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN ，其中点P 在圆弧EF 上，点M ，N 分别落在BC 和CD 上，设PAB θ∠=，矩形草坪PMCN 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值以及相应θ的值．。
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第42课 三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ；（2）△ABC 中，当A=3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值围是 21>m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==，令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得21>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值围是 30º＜B ＜45º ．4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和切圆半径，则rR1． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值围是 0°＜B ≤120° ．6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．①A sin >B sin ； ②A cos <B cos ； ③A 2sin >B 2sin ； ④A 2cos <B 2cos ． 解 A>B ⇔a >b A R sin 2⇔>B R sin 2⇔A sin >B sin ，故①正确；A cos <B cos ⇔)2sin(A -π<)2sin(B -π⇔A>B ，故②正确（或由余弦函数在(0,)π上的单调性知②正确）；由A 2cos <B 2cos ⇔212sin A -<212sin B -⇔A sin >B sin ⇔A>B ，故④正确．知识梳理1．直角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若切圆的半径为r ，则2a b cr +-=． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评例2 已知△ABC 中，1,2a b ==．（1）求最小角的最大值； （2）若△ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值围．解 （1）由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩解得13c <<，故最小角为A ．又22223131cos 24442b c a c A c bc c c +-+===+⨯=()≥（当且仅当c =，所以A ≤30°，即最小角的最大值为30°．（2）因为△ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a ＜b ，所以A ＜B ，故只需说明B ，C 为锐角即可．由B ，C 为锐角得0<cos 10<cos 1B ,C ,<⎧⎨<⎩ 即221401214014c ,c c ,⎧+-<<⎪⎪⎨+-⎪<<⎪⎩c <<．点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“角A 为锐角0<1cos A ⇔<”．例3 （2008）求满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值．解 设BC ＝x ，则AC．根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯= 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有2,2,x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当212,x x ==时ABC S ∆= 点评例4 如图，已知∠A=30°，P ，Q 分别在∠A 的两边上，PQ=2．当P ，Q 处于什么位置时，△APQ 的面积最大？并求出△APQ 的最大面积．点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．例5 已知△ABC 的周长为6，||,||,||BC CA AB 成等比数列，求： （1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BC BA ⋅的取值围． 解 设||,||,||BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b 2 =ac ．由622a c bb ac +-==≤得02b <≤（当且仅当a =c 时，等号成立）， 又由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥（当且仅当a =c 时，等号成立），故有03B π<≤，（1）22111sin sin 2sin 32223S ac B b B π==⋅⋅=≤，即max 3S =（当且仅当a =b =c 时，等号成立）；（2）22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++． 02,218b BA BC <⋅<∴≤≤．点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．方法总结1．三角形中角的最值（围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和角围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．2．三角形中边的最值（围）问题，主要由有三角形三边关系决定．3．三角形中面积的最值（围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的围．练习42 三角形的最值问题班级 学号1．若直角三角形斜边的长m （定值），则它的周长的最大值是 m ．2．在锐角△ABC 中，若2C B =，则ACAB解 B B B C AC AB sin 2sin sin sin ==B cos 2=，而46ππ<<B ，32<<ACAB ．3．在△ABC 中，若1b ==，则A 的取值围是 0º＜B ≤45º ．4．若2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值围是 )13,5( ．5．若三角形两边之和为16 cm ，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 周长的最小值是 24 ．6．已知△ABC 中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC 的最大值为___． 7．钝角三角形的三边为2,1,++a a a ，其中最大角不超过120°，则a 的取值围是332a <≤ ． 解 由题意钝角三角形中，2+a 为最大边且最大角不超过120°，因此得2)1(+>++a a a ①，222)2()1(+<++a a a ②，222121cos 212a (a )(a )A a(a )++-+=-+≥ ③，由①得1>a ，②得31<<-a ，③得a ≤1-或a ≥23，故23≤3<a ． 8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =9，S △COD =16，则四边形面积的最小值是 49 ．9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 610 cm 2． 解 由题意可围成以下几种三角形． 图（1）中，115cos sin 4,θθ==，415S =； 图（2）中，210210sin AD ,θ==，610S =； 图（3）中，13cos sin 22,θθ==，103S =．比较 上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为610cm 2．点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．10．在△ABC 中，已知223coscos 222C A a c b +=． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）求角B 的取值围．解11．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，∠EAF=30°，求△AEF 面积的最小值．解 设△AEF 的面积为S ，∠BAE=θ（15º≤θ≤45º），则由∠EAF=30°得∠DAF=60θ-． ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴在Rt △BAE 中，cos cos AB aAE θθ==； 在Rt △DAF 中，cos(60)cos(60)AD aAF θθ==--，∴1sin 2S AE AF EAF =⋅⋅∠ 21sin302cos cos(60)4cos cos(60)a a a θθθθ=⋅⋅⋅=--22 22==22==22==2222sin(230)12sin(23030)13a a aθ==++⨯++≤．12．（2008延考）在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是,,a b c，已知2222a c b+=．（1）若4Bπ=，且A为钝角，求角A与C的大小；（2）若2b=，求△ABC面积的最大值．解（1）由题设及正弦定理，有222sin sin2sin1A C B+==．故22sin cosC A=．因A为钝角，所以sin cosC A=-．由cos cos()4A Cππ=--，可得sin sin()4C Cπ=-，C=8π，A=58π．（2）由余弦定理及条件2221()2b a c=+，有22cos4a cBac+=，故cos B≥12．由于△ABC面积1sin2ac B=，又ac≤221()42a c+=，sin B当a c=时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC面积的最大值为1422⨯⨯=．备用题1．直角△ABC 的斜边AB=2，切圆的半径为r ，则r 的最大值为 21- ．2．在△ABC 中，已知sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，求证：3sin 5C ≤． 解 等式sin 2A + sin 2B = 5sin 2C 立即联想正弦定理，有a 2+b 2=5c 2． 而a 2+b 2=5c 2与余弦定理连起来也无可非议． ∵c 2= a 2+b 2－2ab cosC ，∴5c 2= c 2+2ab cosC ，∴4c 2=2ab cosC ．于是可知cosC ＞0，C 为锐角，而5c 2= a 2+b 2≥2ab ， 故4c 2=2ab cosC ≤5c 2cosC ． ∴cosC ≥45，∴sinC ≤35． 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中．3．已知△ABC 的角满足)cos (cos sin sin sin C B A C B +=+． （1）求A ； （2）若△ABC 的面积为4，求△ABC 周长的最小值．4．如图，边长为a 的正△ABC 的中心为O ，过O 任意作直线交AB 、AC 于M 、N ，求2211ON OM +的最大值和最小值． 答案 最大值218a 、最小值215a．5．如图∠A = 90°，∠B = α，AH = h ，α，h 为常数，AH ⊥BC 于H ，∠AHE=∠AHD = x ，问当x 取何值时，△DEH 的面积最大？并求出最大面积．。