第2章1-4 离散时间信号和离散时间系统

综合以上结果，y(n)可归纳如下：
卷积结果y(n)如图2. 16所示
2.系统的稳定性和因果性 (Stability & Causality of System)
(1)稳定系统(Stable System )
稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输 出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)，有 |y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。
单位取样响应或单位冲激响应：
设x(n)是线性非移变系统的输入，y(n)是对应的输出。 当输入为δ(n)时，则输出
x ( n)
k
x(k ) (n k )
k

y (n) T [ x(n)] T [ x(k ) (n k )]

k
7.序列的加权表示
x(n) (n) x(0) x(0) (n)
x(n) (n n0 ) x(n0 ) x(n0 ) (n n0 )
x ( n)
k
x(k ) (n k )

由于任意序列皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅 度加权和，因此，讨论系统的特性时只需讨论系统在 单位取样序列作用下的响应即可。

2.1 概述
本课程研究的对象是离散信号的分析和处理。
信号：定义为一个载有信息的函数，一般表
示为一个或多个自变量的函数。 信号通常分为两大类；连续时间信号和离散 时间信号。 如果信号在 整个连续时间集合上都是有定义 的，那么这种信号被称为连续时间信号。 定义在离散时间点上的信号称为离散时间信 号。
(2)非移变系统（Shift-invariant System）
若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称 该系统为非移变系统。即如果输入x(n)产生的输出为 y(n)，则输入x(n-k)产生的输出为y(n-k)(k为任意整数)。 用数学式表示为：若T[x(n)]=y(n)，则T[x(n-k)]=y(n-k)。

n
| x ( n) |

2
6.序列的运算
对于两个序列x(n)和y(n)，有


序列的和
序列的积
x(n) y(n) {x(n) y(n)} x(n) y(n) {x(n) y(n)}
与数a相乘 x(n) {x(n)} 序列平移
y(n) x(n n0 )
② x(n) (n) x(0) x(n) (n n0 ) x(n0 )
x(t ) (t ) x(0) (t )
(2)单位阶跃序列 （Unit-step sequence）
说明：
①
②
(n) u(n) u(n 1)
u ( n)
k
(k )
n
和
在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时 变”特性。
例2.2 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。 计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
(3)线性非移变系统
一个既满足叠加原理，又满足非移变条件的系 统，被称为线性非移变系统。这类系统的一个 重要特性，是它的输入与输出序列之间存在着 线性卷积关系。
与
的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑， 下面举例说明。 例2．3 已知x(n)和h(n)分别为：
和
试求x(n)和h(n)的线性卷积。 解 参看图2. 15，分段考虑如下： (1)对于n<0： (2)对于0≤n≤4： (3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6时： (4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10时： (5)对于(n-6)>4，即n>10时：
系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求
的形式。 输入和输出都是连续时间信号的系统被称为 连续时间系统； 输入和输出都是离散时间信号 的系统被称为 离散时间系统； 输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟 系统； 输入和输出 都是数字信号的系统被称为数字 系统。
2. 2 离散时间信号——数字序列
例如 y(n) T [ x(n)] e x ( n) ，设| x(n) | M ，则有
| y(n) || e x ( n ) | e |M |
，所以系统稳定。
一个线性非移变系统稳定的充分和必要条件是其单位 取样响应h(n)绝对可和，即
S

k
| h(k ) |
cos( cos( ② 当 0 时， n) 变化最慢(不变化)；当 时， n) 变 化最快。故在DSP中，在主值区间上，将 0 附近称为数字 低频；而将 附近称为数字高频。
这一特点与模拟正弦信号 xa (t ) cos(t ) cos( 截然不同， 越大， t ) 变化越快， 其原因是t连续取值，而n只取int。
思考：右图所示波形表示什么类型的滤 波器？
0
H ( e j )

2

4.周期序列（Periodic sequence）
如果对所有n存在一个最小整数N，满足 则称x(n)为周期序列，记为 ，最小周期为N。
现在讨论正弦序列的周期性。设 根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列， 其周期为 （其中N，k为整数）

充要条件的证明
a.充分性 设
S
k
| h(k ) | 成立，并设x(n)为一个有界输入序列，即
k

| x(n) | M ，则 | y(n) ||
y(n) | |
x(n k )h(k ) | | x(n k ) || h(k ) | M | h(k ) |
第二章 离散时间信号和离散 时间系统
The Analysis of the Discrete Time Signal & System
本章习题（第3版课本P87）
2.1, 2.3(2), 2.4, 2.5, 2.7(1)(3)(4)
2.13, 2.14(9)(10), 2.15, 2.19, 2.21(3)(5) 2.23(4), 2.29(2), 2.31, 2.33, 2.35 选做：2.41
T
，T为采样周期。
几点说明：
①
e jn e j ( 2m) n cos(n) cos(( 2m)n) e jt e j ( 2m ) t cos(t ) cos(( 2m)t )
即：正弦序列和复指数序列对 变化以为 2 周期。
[ 在数字域考虑问题时，取数字频率的主值区间： , ] or [0,2 ] ， [ , ] 用于离散时间信号和系统的FT； 0,2 ] 用于DFT。 [
在（0,N-1）区间的N个值为1，其它整数点为0；
RN (n) u (n) u (n N )
(4)实指数序列（Real exponential sequence）
当n<0，x(n)＝0时，上式可表示为
图2. 5表示0<a<1时，anu(n)的图形
(5)复指数序列（Complex exponential sequence）
x(n)
（2）图形表示：
0.5,0.75,2,1.5,1,2,0.5, n 2,1,0,1,2,3,4 x ( n) 0, others
-2 0 1 3
n
2.自变量n的变换
（1）反转：
x(n) x(n)
（2）移位：
x ( n) x ( n n 0 )
u ( n) ( n k )
k 0
Fra Baidu bibliotek
③
1, t 0 u (t ) 0, t 0
和
1, t 0 1 u (t ) , t 0 2 0, t 0
（3）矩形序列 RN (n) （Rectangle sequence）
1,0 n N 1 R N ( n) 0, others
满足叠加原理的系统称为线性系统。设y1(n)和y2(n)分 别是系统对输入x1(n)和x2(n)的响应，即
若满足
则此系统是线性系统。 例2.1 y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。 计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3， 而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
(1)当 (2)当 为整数时，正弦序列为周期序列，且最小周期 为有理数时，正弦序列为周期序列，且周期大于 ,
3 如 x(n) A sin( n ), N 14 7
(3)当 为无理数时，则任何整数k都不能使N为整数，这时 正弦序列不是周期序列。
5.序列的能量(Energy of sequence )
2.3 离散时间系统（Discrete time system）
1. 线性非移变系统（Linear shift-invariant systems）
系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的 唯一变换或运算，并用T[]表示，即y(n)=T[x(n)]。
(1)线性系统（Linear System）
k k



b.必要性 假设系统的单位取样响应不绝对可和，即：S | h(k ) | k * h ( n) 定义一个有界的输入 , h(n) 0 式中 h (n) 是h(n)的 x ( n) | h( n) | 复共轭
(2)结合律
(3)分配律
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将 h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右 移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 图2.13为：
x ( n) x ( n n 0 )
其中n，为整数（int）。
3.常见序列
(1)单位取样序列(离散冲激) (n) （Unit-sampling sequence）
说明：① (n) 是一个确定的物理量，而 (t ) 是一种 数学抽象 , t 0 (t )
0, t 0
x(k )T [ (n k )] x ( k ) h( n k )

k
x(n) * h(n)
即：对线性非移变系统，输入 x (n) 和输出 y (n) 满足卷积关系。 通常把下式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*” 表示：
离散卷积满足以下运算规律： (1)交换律
这里ω为数字域频率，单位为弧度。当a＝0时， 上式可表示成
式(2．11)还可写成
(6)正弦型序列（sine sequence）
式中，A为幅度，ω为数字域频率，φ为初相， φ的单位为弧度。 比较：xa (t ) A sin(t ) A sin(2ft ) 其中 2f 是模拟域频率，单位rad/s；
在离散时间系统中，信号要用 离散时间
的数字序列来表示。
1.离散时间信号的表示
（1）数学表示
如果一个序列x的第n个数字表示为，则全部信号序列表示 为：x {x(n)}, n （其中n为整数，对于n的非整数点，没有定义。）
注意：① 有的书上也表示为Xn，注意n的取值范围。
② 取样信号和数字信号的区别。
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 – 序列的表示法和基本类型 – 用卷积和表示的线性非移变系统 – 讨论系统的稳定性和因果性问题 – 线性常系数差分方程 离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化 – 讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数 字序列)的频谱之间的关系 – 介绍了离散时间信号的取样、抽取和内插等基本 概念 讨论Z变换的定义和收敛域、逆 Z变换和Z变换的定 理和性质。