第四章 第三节 波动方程的混合问题-分离变量法
分离变量法在求解波动方程中的应用
Science &Technology Vision科技视界0引言自然界很多物理现象都可以归结为波动问题,在机械工程中经常遇到的振动问题,可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳,可归结为声波问题;在广播领域和光学领域,可归纳出电磁波。
他们都具有相同的数学物理基础,并且可以用一个式子表示:ə2u ət2=a 2Δ2u+f x ,t ()我们称它为波动方程,因为它描述了自然界的波动这种运动形式,其中△为拉普拉斯算子。
△中,变量的个数表示波动船舶空间的维数,现实生活中的波动,一般都是三维的。
但是为了研究方便,我们先讨论一维的波动。
分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法,这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题,经过变量分离,转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题,使原问题得到简化,这是一种很常用的方法。
它通常用来求解有限区域(区间)上的边值问题或初边值问题。
利用高数知识、级数求解知识,以及其他巧妙的方法,求出各个方程的通解。
最后将这些通解“组装起来”。
分离变量法又称Fourier 方法,而在波动方程情形也称为驻波法。
1变量分离法的基本步骤第一步:边界条件齐次化。
如果关于未知函数u 的混合问题中的边界条件不是齐次的,那么选取一个与u 具有相同边界条件的已知函数,作变换u=v+w,代入关于u 的混合问题,导出新的未知函数v 的混合问题,这时v 所满足的边界条件就是齐次的了。
当方程中的非齐次项与初始条件都与t 无关时,可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。
第二步:非齐次方程的处理。
若此时方程是非齐次的,可以利用叠加原理将问题转化一个齐次方程非齐次的初始条件与一个非齐次方程齐次初始条件的方程之和,而对齐次方程非齐次的初始条件的方程可以利用下面的步骤直接利用变量分量法,对非齐次方程齐次初始条件的方程可以利用特征函数法将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开进行求解。
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
第四章分离变量法-波动方程
2 l nπ an = ∫ ϕ ( x ) sin xdx = 0 0 l l 2 l nπ bn = ∫0ψ ( x) sin l xdx nπ a
l l 2 2 nπ nπ = xdx + ∫ l (l − x) sin xdx ∫0 x sin nπ a l l 2
2l 2l 2 nπ = sin 2 2 nπ a n π 2 2
A+ B = 0 Ae
−λl
X ''( x) + λ X ( x) = 0
X (0) = 0,
X (l ) = 0
A=B=0
−λl
X =0
+ Be −
=0
2）λ = 0 3）λ > 0
A=0
X ( x) = Ax + B
A= B=0
X =0
方程通解为
X ( x) = A cos λ x + B sin λ x
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 ∂x t >0 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) u ( x,0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t u ( x, t ) = X ( x )T (t ) X ′′ + λX = 0 ▪分离变量
而振幅依赖于点x的位置.
ml , m = 0,1,2,⋯ 弦上位于 x = 处的点在振动过程中保持 n
不动称为节点。这种形态的振动称为驻波。
t=t0时：
nπ un ( x, t0 ) = An cos(ωnt0 − θ n ) sin x l
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
第四章 分离变量(傅立叶级数)法1
X '(0) C2 l 0, 即 C2 0,
n l , (n 1, 2, ). l 将本征值ln代入式(16a) ，得相应的本征函数 (C0，D=0)，
n x X ( x) C1 cos . l 将l=0与l>0的情况合在一起，得本征值ln和本征函数
A0 B0t n a n a n u x, t An cos t Bn sin t cos 2 l l l n 1 x ,
系数由初始条件确定：
A0 n x 2 An cos l x , n 1 B 0 B n a cos n x x . n 2 l l n 1
ll 0.
第四章 分离变量法1
C1 C2 sin
ll 0.
6
2016/5/18
为了得到非平凡解，要求C20，因此必有 sin ll 0，则
l l n , n 1, 2,3, ,
即
n2 2 l ln 2 , n 1, 2,3, . l
相应地
n X x C2 sin l x,
(8)
(9)
其中C2为积分常数。注意n0，否则X(x)=0为平凡解。 常微分方程X’’+lX=0及边界条件X(0)=X(l)=0构成本征值问题， (8)式给出的特定的l值称为本征值，与之对应的非平凡解(9)式 称为本征函数。
n a 其中 N n = An Bn ，本征振动模式n的圆频率n = ，频率 l n na 为 f n = ，初始位相为 n =arctg( Bn An )，波数kn=n/l. 2 2l
第四章之分离变量法
l 1 1 ln l ln C 2 2 2 2 2 2 d 2 d cos d 2 d cos
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
l 1 1 ln l ln C 0 2 2 2 2 2 a a d 2ad cos 2 a d 2ad cos
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
确定待定系数
(0, y ) 0
C0 y D0 Bn Cn sinh kn y Dn cosh kn y 0
n 1
B0 0, Bn 0
x, y A0 x C0 y D0 An sin kn x Cn sinh kn y Dn cosh kn y
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4.4.1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
2 2 2 0 2 x y 将 (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即
( x, y) X ( x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
若取λ＝－k2 ，则有
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
当k
0
X ( x) X 0 ( x) A0 x B0 Y ( y) Y0 ( y) C0 y D0
( x, y) 0 ( x, y) X 0 ( x)Y0 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
y
b
U0
o
a
x
因 (0,y)＝0、 (a,y)＝0，故位函数的通解应取为
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
第四章 分离变量法、本征函数法
Tn
(t)
=
Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat l
，
从而得到变量分离状态的解，称之为驻波：
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
(Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat )sin l
nπx l
.
从这里可以看出，为什么我们在本征函数 X n (x) 把 D 取成 1 呢？事
实上是不失一般性的，无非是将 D 并入系数 Cn , Dn 中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满
相应的本征函数为
X
n
(x)
=
sin
μn l
x
,
(n = 1,2,3,...)
（3）把本征值 λn
=
(μn l
)2 代入关于
T(t)的常微分方程中有
得解 就有
Tn′(t)
+
(
μn l
a
)
2
Tn
(t)
=
0,
(n = 1,2,3...)
−( μna )2 t
Tn (t) = Cne l ,
(n = 1,2,3...) ，
(x)
=
+∞ n =1
nπa l
Dn
sin
nπx l
所以
∫ Dn
=
2 nπa
l
ψ (ξ ) sin
0
nπξ l
dξ ,
因此分离变量法又叫傅立叶解法.
n = 1,2,3...
分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 Fourier 解法
• 下面求解 • 其解为
常数归并
2.2 Fourier 解法
• 显然满足边界条件；使之满足剩下的初始条件， 需要确定两组未知系数。若要试图满足初始条件， 可取
n cx ( x) u (x, 0) Bn sin , 0 xL L n 1
n c n cx (x) ut (x, 0) An , 0 x L sin L L n 1
• 利用Fourier逆变换得到
作业：利用COMSOL求解波动方程
• 两端固定的弦震动问题之（初位移不为零初速度 为零）
u( x l, t ) 0 utt uxx ut ( x, t 0) 0 u ( x 0, t ) 0 ( x 1)2 log10 (2) 0.01 u ( x, t 0) e
2.3 驻波法
• 所以在物理上亦把分离变量法称为驻波法， 把弦 的振动看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 • 如果用弦振动来描述弦乐器的演奏，此时解ݑ൫ݔ， 表示乐器发出的声音，那么弦的基音是由最低频 率
• 不同的弦乐器之所以在同一个音调下发出的声音， 就是因为虽然它们具有同一个基音频率，它们却 有着完全不同的泛音，因此引起了音色的差异。
• 几个月后，Euler 发表了论文“论弦的振动” ， 提出用分段连续函数，指出振动弦的一切可能的 运动，无论弦的形状怎样，对于时间那是周期的。 • Daniel Bernoulli （ John Bernoulli的儿子） 也加 入了d’Alembert 与 Euler 的争论，断言振动弦的 许多模式能够同时存在，是这条弦响应所有这些 模式的和或叠加；但未给出数学论据以支持他们 论点。 • 1769年，年轻的的 Lagrange 参加了争论，引发 了求和号和积分号的交换问题。
2.2 Fourier 解法
• 在Daniel Bernoulli 的赞助下，Fourier 的工作解 决了关于弦振动问题的解的争论。下面研究一维 波动方程的混和问题：
2.2 Fourier 解法
• 按照Fourier提出的方法，取一乘积形式的解
• 带入原方程
• 分离变量，把上式写成
• 从而得到分离方程
3.4 Fourier变换
物理意义
Radon变换
广义函数的 Fourier 变换
1 ˆ，）（ ˆ） ˆ 0） （ = ， = （ = 2 1 ( , ) 2
1 ix0 （ x ） e dx 2
（x） dx
d’Alembert 公式
Fourier生平
• Jean Baptiste Joseph Fourier（1768－1830） ，也 译作傅里叶，法国数学家、物理学家。 • 9岁父母双亡， 被当地教堂收养。12岁由一主教送入 地方军事学校读书。17 岁回乡教数学，1794 到巴 黎， 成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工 科学校执教。 • 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院 秘书， 1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817 年 当选为科学院院 士，1822 年任该院终身秘书，后又 任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主 席。
2.2 Fourier 解法
• 根据分离方程和适当的齐次边界条件组成的问题， 确定分离常数的容许值。齐次边界条件 • 得到
• 从而得到函数的齐次方程组
2.2 Fourier 解法
• 为了得到非平凡和有意义的解，分别讨论
2.2 Fourier 解法
ห้องสมุดไป่ตู้
2.2 Fourier 解法
• 我们把这个解记为
第三节 一维波动方程的混合问题
分离变量—Fourier方法 Fourier 方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程定 解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解问题通 过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示成按特 征函数展开的级数形式。Fourier的思想影响深远。
内容
• • • • 3.1 世纪争论 3.2 Fourier 解法 3.3 驻波法 3.4 Fourier变换
点时，基音及所有的泛音频率就比原来的频率增加一倍， 这样色就发出了比原来高八度的音调。此外，经常用 拧紧弦线的方法来调整音调．其实从基音表达式可以 看出，这是通过改变弦的张力来促使基音频率变化。 张力越大，基音频率越高．不同的弦线有粗细之分， 反映了弦线在密度上的差异，粗弦线密度大，细弦线 密度小，因此两根不同的弦线在相同的条件下，细弦 线比粗弦线发出更高的音调。
3.1 世纪争论
• 1822 年法国数学家、物理学家 Fourier1的热的数学理论 （Theorie Analytique de la Chaleur） 一书的出版， 是应用数学发展中最重 要的一个里程碑． 该书不仅为一般类 型边值问题提供了一种示范性的形式 处理、 也开拓了一类具有很大普遍性 的数学方法的理论． 在他的著作中写 道； “深入研究自然是数学发现最丰 富的泉源”。
2.1 世纪争论
• 在数学史上，关于偏微分方程的第一次真正的成 功来自对以小提琴弦为典型的弦振动问题的重新 研究， 即考察弦发出的声音在空气中的传播。 在 研究了这种声音之后， 数学家们处理了各种形状 的号角、管风琴、铃、鼓和其他乐器发出的声音。 也在这个时期，交响音乐才得到真正的发展。
• 在当时处理弦振动问题时，弦被当成“小珠的 弦” ，即弦被看成由݊个离散的、相等的和等间 隔的、被此间用没有重量的柔软的弹性绳相连接 的重物构成． • 1727年，John Bernoulli 处理了离散质量的情况。 • 1746 年，d’Alembert 在论文“张紧的弦振动时形 成的曲线的研究”中提议，证明无穷多种与正弦 曲线不问的曲线是振动的模式。首先证明了一维 波动方程的解可以表示为
作业
2.2 Fourier 解法
•有
2.3 驻波法
• 分离变量法有明显的物理意义， 现在我们以两端 固定的一维弦振动为例来说明这一点．把形式解
• 的每一项改写
• 其中
u ( x, t ) = un ( x, t ) = N n sin
n=1 n 1
n x n ct sin( n ) L L