2015年咸阳市一模理科数学答案
2015年高考理科数学陕西卷-答案
n nn 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题1. 【答案】A【解析】由 M ={x | x 2 = x } ⇒ M ={0,1},N ={x | lg x ≤ 0}⇒ N ={x | 0 < x ≤1}所以 M N =[0,1] ．【提示】求解一元二次方程化简 M ，求解对数不等式化简 N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算2. 【答案】C【解析】初中部女教师的人数为110⨯ 70% = 77 ；高中部女教师的人数为40⨯150% = 60 ，∴该校女教师的 人数为77 + 60 =137 ，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数．【考点】收集数据的方法．3. 【答案】C【解析】解：由题意可得当sin⎛ π x + ϕ ⎫取最小值-1 时，函数取最小值 y= -3 + k = 2 ，解得 k = 5 ，∴ 6 ⎪ min ⎝ ⎭ y = 3sin ⎛ π x + ϕ ⎫ + 5 ，∴当sin ⎛ π x + ϕ ⎫取最大值1 时，函数取最大值 y = 3 + 5 = 8 ， 3 ⎪ 6 ⎪ max ⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值． 【考点】 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象性质．4. 【答案】B【解析】二项式(x +1)n 的展开式的通项是T= C r x r，令 r = 2 得 x 2 的系数是C 2 ，因为 x 2 的系数为15 ，所以C 2 = 15 ，即 n 2 - n - 30 = 0 ，解得： n = 6 或n = -5 ， 因为n ∈ N + ，所以n = 6r +1n 几何体 2 2【提示】由题意可得C 2= 15 ，解关于 n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用．5. 【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V = π 12 + π⨯1⨯2 + 2⨯ 2= 3π + 4【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【考点】由三视图求面积，体积6. 【答案】A【解析】cos2α = 0 ⇒cos 2 α -sin 2 α = 0⇒(cos α -sin α)(cos α +sin α) = 0所以sin α = cos α或sin α = - cos α【提示】由cos2α = cos 2 α -sin 2 α ，即可判断出． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7. 【答案】B【解析】因为a b =| a || b | cos < a ,b >≤| a || b | ，所以选项A 正确； 当 a 与b 方向相反时，| a - b |≤ | a | - | b | 不成立，所以选项 B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a + b)(a - b) = a - b 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算8. 【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 x = 2006，x = 2004 满足条件 x ≥ 0，x = 2002 满足条件 x ≥ 0，x = 2000 ……满足条件 x ≥ 0，x = 0ab ⎨ ⎩ ⎩ ⎩ 满足条件 x ≥ 0不满足条件 x ≥ 0，y =10 输出 y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当 x = -2 时不满足条件 x ≥ 0 ，计算并输出 y 的值为10 . 【考点】程序框图9. 【答案】B【解析】 p = f ( ab ) = ln ab ，q = f ⎛ a + b ⎫= lna +b ，2 ⎪ 2 ⎝ ⎭r = 1 ( f (a ) + f (b )) = 1ln ab = ln 2 2函数 f (x ) = ln x 在(0, +∞) 上单调递增，因为 a + b > ，所以 f ⎛ a + b ⎫> f (ab ) ， 22 ⎪ ⎝ ⎭ 所以q > p = r【提示】由题意可得 p = 1 (ln a + ln b ) ， q = ln ⎛ a + b ⎫ ≥ ln( ab ) = p ， r = 1 (ln a + ln b ) ，可得大小关系． 2 2 ⎪ 2【考点】不等关系与不等式．10. 【答案】D⎝ ⎭⎧3x + 2 y ≤ 12【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，则⎪x + 2 y ≤ 8 ⎪x ≥ 0, y ≥ 0 ，目标函数为 z = 3x + 4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由 z = 3x + 4y 得 y = - 3 x + z ，平移直线 y = - 3 x + z 由图象可知当直线 y = - 3 x + z经过点 B 时，直线4 4 4 4 4 4y = - 3 x + z的截距最大，此时 z 最大，解方程组⎧3x + 2 y = 12 ，解得⎧ x = 2 ，即 B 的坐标为 x = 2，y = 3 ，4 4∴z max = 3x + 4y = 6 +12 =18 ⎨x + 2 y = 8 ⎨ y = 3即每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元ab【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为 x ，y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值． 【考点】简单线性规划的应用11. 【答案】D【解析】∵复数 z = (x -1) + y i(x ，y ∈R ) 且| z |≤1，∴| z |= ≤ 1，即(x -1)2 + y 2≤ 1 ，∴点(x ，y ) 在(1，0) 为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y ≥ x 表示直线 y = x 左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P = 1 π 12 - 1 ⨯1⨯1 = 1 - 14 2 4 2π【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【考点】几何概型12. 【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确， f '(x ) = 2ax + b ，因为 1 是 f (x ) 的极值点，3 是 f (x ) 的极值， ⎧ f '(1) = 0 ⎧2a + b = 0 ⎧b = -2a 所以⎨ f (1) = 3 ， ⎨a + b + c = 3 ，解得⎨c = 3 + a ，⎩ ⎩ ⎩因为点(2,8) 在曲线 y = f (x ) 上，所以4a + 2b + c = 8，解得： a = 5 ，所以b = -10 ， c = 8 ， 所以 f (x ) = 5x 2 -10x + 8因为 f (-1) = 5⨯(-1)2 -10⨯(-1) + 8 = 23 ≠ 0 ， 所以-1不是 f (x ) 的零点，所以假设成立，选 A【提示】可采取排除法．分别考虑 A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为非零整数，(x -1)2 + y 21即可得到结论．【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题13. 【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为 a ，由题意和等差数列的性质可得2015 + a =1010⨯ 2 解得 a = 5【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列14. 【答案】2 【解析】抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线方程是 x =- p，2 双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点 F (- 2, 0) ，因为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点，所以- p= - 22 ，解得 p = 2 【提示】先求出 x 2 - y 2 = 1 的左焦点，得到抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线，依据 p 的意义求出它的值．【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】(1,1)【解析】∵ f '(x ) = e x ，∴ f '(0) = e 0= 1∵ y = e x在(0,1) 处的切线与 y = 1 (x > 0) 上点 P 的切线垂直x∴点 P 处的切线斜率为-1又 y ' = 1x 2 ，设点 P (x 0，y 0 )∴ - 1x 0= -1∴x 0 = ±1， x > 0，∴ x 0 =1∴y 0 = 1 223 ∴点 P (1,1)【提示】利用 y = e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程16. 【答案】1.2【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y = ax 2，因为抛物线经过(5，2) ，可得a = 2， 25所以抛物线方程： y =2x 2 ，横截面为等腰梯形的水渠， 25 泥沙沉积的横截面的面积为： 2⎛ 5 2 x 2 - 1 ⨯ 2 ⨯ 2⎫ = 2⎛ 2 x 3 |5 -2⎫ = 8， ⎰0 25 2 ⎪ 75 0 ⎪ 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭10 + 6 ⨯ 2 = 16 ，当前最大流量的横截面的面积16 - 8，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：1618 - 82 3= 1.2【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积， 即可推出结果．【考点】直线与圆锥曲线的关系． 三、解答题17. 【答案】（Ⅰ） A = π3（Ⅱ）3 32 【解析】（Ⅰ）因为向量m = (a , 3b ) 与n = (cos A ，sin B ) 平行，所以a sin B -3b cos A = 0 ，由正弦定理可知：sin A sin B - 3 sin B cos A = 0 ，因为sin B ≠ 0 ，所以tan A =3，可得 A = π ； 3（Ⅱ）由正弦定理得 7 = 2 ，从而sin B = 21，sin π sin B 73等腰梯形的面积为：3 ⎩ ⎨又由a > b ，知 A > B ，所以cos B =故 = ⎛π ⎫sin C = sin(A + B ) sin B + ⎪⎝⎭ = sin B cos π + cos B sin π = 3 213 314 所以∆ABC 的面积为 1 bc sin A = 3 32 2【提示】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；（Ⅱ）利用 A ，以及a = 7，b = 2 ，通过余弦定理求出 c ，然后求解∆ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示18. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 63【解析】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB = BC =1，AD = 2 ，E 是 AD 的中点，∠BAD = π， 2∴ BE ⊥ AC ，即在图 2 中， BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，则 BE ⊥ 平面A 1OC ；∵CD ∥BE ， ∴ CD ⊥ 平面A 1OC ；（Ⅱ）若平面A 1BE ⊥ 平面BCDE ，由（Ⅰ）知 BE ⊥ OA 1，BE ⊥ OC ，∴ ∠A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，∴ ∠AOC = π，如图，建立空间坐标系，12∵A 1B = A 1E = BC = ED =1 ， BC ∥EDB ⎛ 2 ，0 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ∴ 2 ，0 ⎪，E - 2 ，0，0 ⎪，A 1 0，0, 2 ⎪，C 0, 2 ，0 ⎪ ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭BC⎛ 2 2 ⎫ ⎛ 2 2 ⎫ = - 2 , 2 , 0 ⎪, A 1C = 0, 2 , - 2 ⎪，CD = BE (- 2, 0, 0)⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面A 1BC 的法向量为m = (x , y , z ) ，平面A 1CD 的法向量为n = (a ，b ，c ) ，则⎧⎪m B C ⎨ ⎪⎩m A C 1= 0 ⎧- x + y = 0 = 0 得⎨ y - z = 0 ，令 x =1 ，则y =1，z =1，即m ⎧⎪n A 1C = 0 = (1,1,1) ，由⎨ ⎪⎩n CD = 0⎧a = 0得 ⎩b - c = 0，取n = (0，1，1) ， 2 77m, n >=m n=2| m || n | 3 ⨯ 26则cos <=，3即平面A BC 与平面ACD 夹角的余弦值为6 ．1 1 3【提示】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面A1OC ；（Ⅱ）若平面A1BE ⊥平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质【答案】（Ⅰ）T 的分布列为：T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1ET = 32 （分钟）（Ⅱ）0.91T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）（Ⅱ）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”b 2 +c 210(b 2- 2) 101 12 2P (A ) = P (T 1 + T 2 > 70) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35) + P (T 1 = 40，T 2 = 40)= 0.4⨯ 0.1+ 0.1⨯ 0.4 + 0.1⨯ 0.1 = 0.09 故 P ( A ) =1- P (A ) = 0.91【提示】（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量， 数学期望 ET = 25⨯ 0.2 + 30⨯ 0.3 + 35⨯ 0.4 + 40⨯ 0.1 = 32 （分钟）；（Ⅱ）设T 1，T 2 分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授共用时间不超过 70 分钟”，先求出P (A ) = P (T 1 = 35，T 2 = 40) + P (T 1 = 40，T 2 = 35)+ P (T 1 = 40，T 2 = 40 )= 0 .09【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列20. 【答案】（Ⅰ） 32（Ⅱ） x 2 + y 2 =12 3【解析】（Ⅰ）经过点(0,b ) 和(c ,0) 的直线方程为bx + cy - bc = 0 ，则原点到直线的距离为d = bc = 1 c 2 ，即为a = 2b ，e = c = a = 3 ； 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2①，由题意可得圆心 M (-2，1) 是线段 AB 的中点，则| AB |= 10 ，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为 y = k (x + 2) +1，代入①可得(1+ 4k 2 )x 2 + 8k (1+ 2k ) x + 4(1+ 2k )2- 4b 2 = 0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y ) ，x +-8k (1+ 2k )4(1 + 2k )2 - 4b 2x + x = -4 -8k (1+ 2k ) 1则 1 x 2 =1+ 4k2， x 1 x 2 =1 + 4k 2，由 1 2，得 1+ 4k 2 = -4 ，解得k = ， 2从而 x 1 x 2 = 8 - 2b ，于是| AB |= 2x 2 y 2= = ， 解得b 2= 3 ，则有椭圆 E 的方程为 + = 112 3【提示】（Ⅰ）求出经过点(0，b ) 和(c ，0) 的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b 2，①设出直线 AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2 = 3 ，即可得到椭圆方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程b 2 1 - a 2 1 + | x + x |= ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭⎪ 1 2 5 2(x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 1n 021. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当 x =1 时， f n (x ) = g n (x )当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x )【解析】证明：（Ⅰ）由 F n (x ) = f n (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，则 F (1) = n -1 > 0 ，⎛ 1 ⎫n +1⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫2⎛ 1 ⎫n1- 2 ⎪ 1 F = 1+ + +⋯+- 2 = ⎝ ⎭ - 2 = - < 0 ，n 2 ⎪ 2 2 ⎪ 2 ⎪ 1 2n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 1-2 ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫ 内至少存在一个零点，又 F '(x ) = 1+ 2x +⋯+ nx n -1> 0 ， n 2 ⎪ n ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内单调递增， n 2 ⎪ ⎝ ⎭ ∴ F (x ) 在⎛ 1 ,1⎫内有且仅有一个零点 x ， n 2 ⎪ n⎝ ⎭∵ x n 是 F n (x ) 的一个零点，1 - x n +1 ∴ F (x ) = 0 ，即 n -2 = 0 ，故 x = 1 + 1 x n +1 ； 1 - x nn 2 2 n(n + 1)(1 + x n ) （Ⅱ）由题设， g n (x ) =， 22n(n +1)(1 + x n )设 h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ．+⋯+ x -，x > 0 ． 2当 x ≠ 1 时， h '(x ) = 1 + 2x +⋯+ nxn -1 n (n + 1)x n -1-．2若0 < x < 1， h '(x ) > xn -1 + 2xn -1 + ... + nx n -1 -n (n + 1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2若 x >1 ， h '(x ) < xn -1+ 2xn -1+ ... + nxn -1-n (n +1)x n -12= n (n +1)x n -1 - n (n +1)x n -1 = ． 2 2∴h (x ) 在(0，1) 内递增，在(1，+ ∞) 内递减， ∴ h (x ) < h (1) = 0 ，即 f n (x ) < g n (x ) ．n n2 综上，当 x =1 时， f n (x ) = g n (x ) ；当 x ≠ 1 时， f n (x ) < g n (x ) ．【提示】（Ⅰ）由 F (x ) = f (x ) - 2 = 1+ x + x 2 +⋯+ x n - 2 ，求得 F (1) > 0 ， F ⎛ 1 ⎫ < 0 ．再由导数判断出函 n n n n 2 ⎪ ⎝ ⎭ 数 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内单调递增， 得到 F (x ) 在 ⎛ 1 ,1⎫ 内有且仅有一个零点 x ，由 F (x )= 0，得到 n 2 ⎪ n 2 ⎪ n n n⎝ ⎭ ⎝ ⎭ x = 1 + 1 x n +1 ；n 2 2 n (n + 1)(1 + x n ) 2 n (n +1)(1 + x n ) （Ⅱ）先求出 g n (x ) = 2 ，构造函数h (x ) = f n (x ) - g n (x ) = 1 + x + x +⋯+ x - ，当 2x =1 时， f n (x ) = g n (x )； 当 x ≠ 1 时， 利用导数求得 h (x ) 在(0，1) 内递增， 在(1，+ ∞) 内递减，即得到f n (x ) <g n (x )．【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合22. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】证明：（Ⅰ）∵ DE 是 O 的直径，则∠BED + ∠EDB = 90︒ ，∵BC ⊥ DE ， ∴ ∠CBD + ∠EDB = 90︒ ，即∠CBD = ∠BED ，∵ AB 切 O 于点 B ，∴ ∠DBA = ∠BED ，即∠CBD = ∠DBA ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD 平分∠CBA ，则BA = AD = 3 ，∵ BC = ， ∴ AB = 3 2 ， A C = BC CD= 4 ，则 AD = 3 ， AB 2由切割线定理得 AB 2 = AD AE ，即 AE = = 6 ，AD 故 DE = AE - AD = 3 ，即 O 的直径为 3．【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明： ∠CBD = ∠DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求 O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系23.【答案】（Ⅰ）x 2 + ( y - 3)2 = 3 AB 2 - BC 2t 2 +12 3 3 at +12 bt -3t +12 3 4 - t 4 - t + t t ⎩ ⎨ ⎨ （Ⅱ） P (3,0)【解析】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．∴ ρ2 = 2 3ρ sin θ ，化为 x 2 + y 2 = 2 3y ，配方为 x 2 + ( y -3)2 = 3 ．⎛ 1 3 ⎫ （Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ． ⎝ ⎭ ∴|PC |== ≥ 2 ，因此当t = 0 时，| PC | 取得最小值2 ．此时 P (3,0) ．【提示】（Ⅰ）由 C 的极坐标方程为 ρ = 2 3ρ sin θ ．化为 ρ2 = 2 3ρ sin θ ，把⎧ρ 2 = x 2 ⎨ y = ρn+2y θ 代入即可得出． ⎛ 1 3 ⎫（Ⅱ）设 P 3 + 2 t , 2 t ⎪ ，又C (0, 3) ．利用两点之间的距离公式可得|PC |=，再利用二次函数的⎝ ⎭性质即可得出．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化⎧a = -3 24.【答案】（Ⅰ） ⎨⎩b = 1（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）关于 x 的不等式| x + a |< b 可化为-b - a < x < b - a ，又∵原不等式的解集为{x | 2 < x < 4}， ⎧-b - a = 2 ∴ ⎩b - a = 4 ⎧a = -3 ，解方程组可得 ； ⎩b = 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 + = += +≤= 2 = 4 ，当且仅当 = 即t =1时取等号， 1∴所求最大值为 4⎛ 1 ⎫2 3 + t ⎪ + t - 3 ⎪ ⎛ 3 ⎫ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ t 2 +12 tt [( 3)2 +12 ][( 4 - t )2 + ( t )2 ]4 - t 3-3t +12 t 3 4 - t t 【提示】（Ⅰ）由不等式的解集可得 a 与 b 的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式= + = + ，由柯西不等式可得最大值．【考点】不等关系与不等式。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
2015年陕西省咸阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2﹣i，则|z|＝（）A．B．C．2D．2．（5分）已知函数f（x）＝sin2x（x∈R），为了得到函数g（x）＝sin（2x+）的图象，只要将y＝f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度3．（5分）平面向量，的夹角为60°，＝（2，0），||＝1，则|+2|＝（）A．B．C．D．24．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3≤0；命题q：x≤a，且q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 6．（5分）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9＝3a8，则＝（）A．3B．5C．7D．217．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O 两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．14B．30C．20D．5511．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．B．4πC．D．12．（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝x+3y+1的最大值为．14．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2经过椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为．15．（5分）在我市2015年“创建文明城市”知识竞赛中，考评组从中抽取200份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如图所示，则分数在区间[60，70）上的人数大约有人．16．（5分）在数阵里，每行、每列的数依次均成等比数列，且a22＝2，则所有数的乘积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a＝7，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．（I）求数学小组的甲同学没有被选中、自然小组的乙同学被选中的概率；（II）求数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的概率．19．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）当AC＝2时，求三棱锥V E的值．﹣ABM20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A 到F的距离为2，且A的横坐标为1．（1）求抛物线C的方程；（2）若点M（a，0），P是抛物线C上一动点，求|MP|的最小值．21．（12分）函数f（x）＝﹣x3+ax2（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数y＝f（x）的极值；（2）若x∈[0，1]时，函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）＝|x+l|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．2015年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2﹣i，则|z|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴＝＝，则|z|＝＝．故选：B．2．（5分）已知函数f（x）＝sin2x（x∈R），为了得到函数g（x）＝sin（2x+）的图象，只要将y＝f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵g（x）＝sin（2x+）＝sin[2（x+）]，∴y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．3．（5分）平面向量，的夹角为60°，＝（2，0），||＝1，则|+2|＝（）A．B．C．D．2【解答】解：由得；所以根据已知条件可得：＝．故选：A．4．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A．5．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3≤0；命题q：x≤a，且q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【解答】解：由x2+2x﹣3≤0得﹣3≤x≤1，∵q的一个充分不必要条件是p，∴a≥1，故选：B．6．（5分）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9＝3a8，则＝（）A．3B．5C．7D．21【解答】解：在等差数列中，若S9＝3a8，则＝3a8．即9a5＝3a8，∴a8＝3a5，∴＝3，故选：A．7．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为5的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于2，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为（5﹣2）3＝27，故安全飞行的概率为p＝．故选：C．8．（5分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O 两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），由x＝a和一条渐近线y＝x，可得A（a，b），以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则|AF|＝|OF|＝c＝2，即有＝2，c2＝a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，即有双曲线的方程为x2﹣＝1，故选：A．9．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时，是增函数，又因为y＝lnx是增函数，所以函数是增函数．故选：B．10．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．14B．30C．20D．55【解答】解：由程序框图知：第一次运行S＝1，i＝1+1＝2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S＝1+4＝5，i＝2+1＝3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S＝5+9＝14，i＝3+1＝4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S＝14+16＝30，i＝4+1＝5，满足条件i＞4，终止程序，输出S＝30，故选：B．11．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．B．4πC．D．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB＝1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d＝R时，r＝1，故由R2＝r2+d2得R2＝12+（R）2，∴R2＝∴球的表面积S＝4πR2＝．故选：C．12．（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个【解答】解：“孤立元“是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元“是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元“是3的集合：{3}；“孤立元“是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元“是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．共有13个；故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝x+3y+1的最大值为12．【解答】解：由z＝x+3y+1，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点A时，直线，的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，即A（2，3）代入z＝x+3y+1，得z＝2+3×3+1＝12，即目标函数z＝x+3y+1的最大值为12．故答案为：1214．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2经过椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为．【解答】解：由题意得，椭圆的右焦点F为（c，0）、上顶点B为（0，b），因为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以，解得b＝c＝2，则a2＝b2+c2＝8，解得a＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝，故答案为：．15．（5分）在我市2015年“创建文明城市”知识竞赛中，考评组从中抽取200份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如图所示，则分数在区间[60，70）上的人数大约有80人．【解答】解：根据频率分布直方图，得；分数在区间[60，70）上的频率为0.04×10＝0.4，∴分数在区间[60，70）上的人数为200×0.4＝80．故答案为：80．16．（5分）在数阵里，每行、每列的数依次均成等比数列，且a22＝2，则所有数的乘积为512．【解答】解：利用等比中项公式，得a11a31＝a212，a12a32＝a222，a13a33＝a232，a21a23＝a222，于是，所有数的乘积为a229＝29＝512．故答案为：512．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a＝7，求△ABC的周长的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sin A cos C+sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，∴sin A﹣cos A＝1，∴sin（A﹣30°）＝，∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a＝7，∴由余弦定理49＝＝（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b ＝c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．18．（12分）某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．（I）求数学小组的甲同学没有被选中、自然小组的乙同学被选中的概率；（II）求数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，我们把数学小组的三位成员记作S1，S2，S3，自然小组的三位成员记作Z1，Z2，Z3，人文小组的三位成员记作R1，R2，R3，则基本事件是（S1，Z1，R1），（S1，Z1，R2），（S1，Z1，R3），（S1，Z2，R1），（S1，Z2，R2），（S1，Z2，R3），（S1，Z3，R1），（S1，Z3，R2），（S1，Z3，R3），然后把这9个基本事件中S1换成S2，S3又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．以S1表示数学组中的甲同学、Z2表示自然小组的乙同学；（I）甲同学没有选中、自然小组的乙同学被选中所含有的基本事件是上述基本事件中不含S1、含有Z2的基本事件，即（S2，Z2，R1），（S2，Z2，R2），（S2，Z2，R3），（S3，Z2，R1），（S3，Z2，R2），（S3，Z2，R3）共6个基本事件，故所求的概率为；（II）“数学组的甲同学、自然小组的乙同学至少有一人不被选中”的对立事件是“数学组的甲同学、自然小组的乙同学都被选中”，这个事件所包含的基本事件是（S1，Z2，R1），（S1，Z2，R2），（S1，Z2，R3），共3个基本事件，这个事件的概率是．根据对立事件的概率计算方法，所求的概率是．19．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）当AC＝2时，求三棱锥V E﹣ABM的值．【解答】解：（1）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC；又∵平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面EAC；∵AM⊂平面EAC，∴BC⊥AM；又EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC；（2）解：∵AC＝2，∴由（1）可得S△AME＝＝＝1，又∵由（1）可得BC⊥平面EAM，∴由棱锥体积公式得V E﹣ABM ＝V B﹣AEM＝S△AME×BC＝＝．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A 到F的距离为2，且A的横坐标为1．（1）求抛物线C的方程；（2）若点M（a，0），P是抛物线C上一动点，求|MP|的最小值．【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2＝2px（p＞0），由其定义知，又|AF|＝2，所以p＝2，y2＝4x（2）设P（x，y），则，因为x≥0，所以（ⅰ）当a﹣2≤0即a≤2时，|MP|的值最小为|a|；（ⅱ）当a﹣2＞0，即a＞2时，x＝a﹣2时，|MP|的值最小为．21．（12分）函数f（x）＝﹣x3+ax2（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数y＝f（x）的极值；（2）若x∈[0，1]时，函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时a的取值范围．【解答】解：（1）由f′（x）＝﹣3x2+2ax，令f′（x）＝0，得x＝0，或x＝a．a＞0．∴当x 变化时，f ′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：（∴y 极小值＝f （0）＝0．y 极大值＝＝﹣a 3+a 3＝．（2）当x ∈[0，1]时，tan θ＝f ′（x ）＝﹣3x 2+2ax ，由θ∈[0，]，得0≤f ′（x ）≤1，即x ∈[0，1]时，0≤﹣3x 2+2ax ≤1恒成立． 当x ＝0时，a ∈R．当x ∈（0，1]时，由﹣3x 2+2ax ≥0恒成立，可知a ．由﹣3x 2+2ax ≤1恒成立，得a ≤（3x +），∴a ≤（等号在x ＝时取得）．综上：≤a ≤．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠P AB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线 PQ 相交于点Q ． （Ⅰ）求证：QC •BC ＝QC 2﹣QA 2； （Ⅱ）若 AQ ＝6，AC ＝5．求弦AB 的长．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲 1 证明：（1）∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴∠P AC ＝∠CBA ， ∵∠P AC ＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠CBA ，∴AC＝BC＝5，由切割线定理得：QA2＝QB•QC＝（QC﹣BC）•QC，∴QC•BC＝QC2﹣QA2．（5分）（2）由AC＝BC＝5，AQ＝6 及（1），知QC＝9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB＝∠ACQ，又∠Q＝∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴＝，∴AB＝．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2＝5，即t2﹣3t+4＝0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2＝3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）＝|x+l|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|＝|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．第21页（共21页）。
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年陕西高考数学(理科)试题与答案
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1. 1.设集合M { x | x2x} ，N{ x | lg x0}，则 M N（）A ．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]【答案】 A试题分析：x x 2x0,1，x lg x 0x 0x 1 ，所以0,1，故选．A考点： 1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】 B考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3. 如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ，据此函数6可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B．6C．8D．10【答案】 C试题分析：由图象知：y min 2 ，因为y min3k ，所以3 k2 ，解得：k5 ，所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A ．4B ．5C．6 D ．7【答案】 C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．4C．24D．34【答案】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34，故选 D．2考点： 1、三视图；2、空间几何体的表面积．【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
18．（本小题满分 12 分）如图1 ，在直角梯形 CD 中， D// C， D ， 2
C 1， D 2 ， 是 D 的中点， 是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) ， CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ，平面 A1BC 与
又 sin 0 ，从而 tan A = 3 ， 由于 0 A ，所以 A
3 (II)解法一：由余弦定理，得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ，所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的 首项为 5 ，所以答案应填： 5 ．
考点：等差中项．
陕西省咸阳市中考数学一模试题(含解析)
陕西省咸阳市2015年中考数学一模试题一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣C．﹣2 D．2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a﹣c＞﹣b﹣c D．﹣a＜﹣b＜c4．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．5．把正比例函数y=2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为（）A．y=2（x﹣3）B．y=2x﹣3 C．y=2x+3 D．y=2x6．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A．16B．16 C．8 D．87．一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m≤1 C．m＜1 D．m≤1且m≠08．不等式组的整数解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°10．在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+bx﹣c关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y=x2+bx﹣c B．y=x2﹣bx+c C．y=﹣x2+bx+c D．y=﹣x2+bx﹣c二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）11．因式分解：ab2﹣9a3= ．12．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为．13．请从以下两小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分A．边长2cm的正六边形的边心距是cmB．小明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°，（不考虑身高因素），则此塔高约为米（用科学计算器计算，结果保留整数）14．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．三、解答题（共9小题，满分58分）15．计算：﹣（﹣）﹣2﹣（﹣π）0﹣4cos45°﹣|3﹣|16．解方程： =1．17．求作Rt△ABC，使∠C=90°，边AB=3cm，BC=2cm（保留作图痕迹，不写作法）18．咸阳市体育中考共有抛实心球，立定跳远，折返跑三个项目，要求每位学生必须且只需选考其中一项，我市某中学初三（1）班学生选考三个项目的人数分布的条形统计图和扇形统计图如图所示（1）这次体育中考除三（1）班三个项目的众数为；（2）求该班的学生人数；（3）若该校初三年级有1000人，估计该年级选考立定跳远的人数．19．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由．20．“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．21．已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图所示．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．22．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．23．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．2015年陕西省咸阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣C．﹣2 D．【考点】倒数．【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．故选D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a﹣c＞﹣b﹣c D．﹣a＜﹣b＜c【考点】实数与数轴．【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．【解答】解：由图可知，a＜b＜0＜c，A、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故A选项错误；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故C选项正确；D、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，不等式的性质，绝对值的定义，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．4．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．5．把正比例函数y=2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为（）A．y=2（x﹣3）B．y=2x﹣3 C．y=2x+3 D．y=2x【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：把正比例函数y=2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为y=2x﹣3．故选B．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A．16B．16 C．8 D．8【考点】菱形的性质．【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA=AC，∠BAC=∠BAD，然后在直角三角形AOB 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×4=2，∠BAC=∠BAD=×120°=60°，∴AC=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，OB=2，∴BD=2OB=4，∴该菱形的面积是：AC•BD=×4×4=8．故选C．【点评】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．7．一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m≤1 C．m＜1 D．m≤1且m≠0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m≥0，然后求出m的取值范围即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+1=0总有实数根，∴△≥0，m≠0，∴（﹣2）2﹣4m≥0，∴m≤1，∴m≤1且m≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．8．不等式组的整数解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．【解答】解：，解①得：x≤0，解②得：x＞﹣．则不等式组的解集是：﹣＜x≤0．则整数解是：﹣3，﹣2，﹣1，0共4个．故选D．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．10．在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+bx﹣c关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．y=x2+bx﹣c B．y=x2﹣bx+c C．y=﹣x2+bx+c D．y=﹣x2+bx﹣c【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．【解答】解：先将抛物线y=x2+bx﹣c关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣x2﹣bx+c；再将所得的抛物线y=﹣x2﹣bx+c关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣x2+bx+c．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）11．因式分解：ab2﹣9a3= a（b+3a）（b﹣3a）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣9a2）=a（b+3a）（b﹣3a）．故答案为：a（b+3a）（b﹣3a）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为y=﹣．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．【分析】设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性质得出△OBD的面积，进而根据三角形面积公式可得出结论．【解答】解：设点B坐标为（x，y），分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，∵∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴=（）2=（）2=，∵点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，∴S△AOC=，∴S△BOD=1，而点B坐标为（x，y），∴x•（﹣y）=1，∴y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．请从以下两小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分A．边长2cm的正六边形的边心距是cmB．小明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°，（不考虑身高因素），则此塔高约为182 米（用科学计算器计算，结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；正多边形和圆．【分析】A．过点O作OM⊥AB与M，连接OB，先求出BM，再根据tan∠BOM=，得出OM=，最后代入计算即可；B．根据tan∠CAB=，BC=tan∠CAB×AB，再代入计算即可．【解答】解：A．如图：过点O作OM⊥AB与M，连接OB，∵AB=2cm，∴BM=AB=1cm，∵tan∠BOM=，∠BOM=30°，∴OM===（cm），故答案为：；B．∵tan∠CAB=，AB=500，∠CAB=20°，∴BC=tan20°×500≈0.3640×500=182；故答案为；182．【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点是仰角的定义、正六边形的性质、特殊角的三角函数值等，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．14．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．【考点】平面展开-最短路径问题；截一个几何体．【专题】压轴题；数形结合．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．故答案为：（3+3）．【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．三、解答题（共9小题，满分58分）15．计算：﹣（﹣）﹣2﹣（﹣π）0﹣4cos45°﹣|3﹣|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣9﹣1﹣4×﹣3+2=﹣13．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．解方程： =1．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．17．求作Rt△ABC，使∠C=90°，边AB=3cm，BC=2cm（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—复杂作图．【分析】过点C作CE⊥DC，以点C为圆心，2cm为半径画圆，交直线CD于点B，再以点B为圆心，3cm为半径画圆，角CE于点A，连接AB即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知直角三角形的作法是解答此题的关键．18．咸阳市体育中考共有抛实心球，立定跳远，折返跑三个项目，要求每位学生必须且只需选考其中一项，我市某中学初三（1）班学生选考三个项目的人数分布的条形统计图和扇形统计图如图所示（1）这次体育中考除三（1）班三个项目的众数为跳绳；（2）求该班的学生人数；（3）若该校初三年级有1000人，估计该年级选考立定跳远的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据条形统计图所给出的数据和众数的定义即可得出答案；（2）根据跳绳的人数除以占的百分比，得出学生总数即可；（3）求出立定跳远的人数占总人数的百分比，乘以1000即可得到结果．【解答】解：（1）根据条形统计图和众数的定义可得出：这次体育中考除三（1）班三个项目的众数为跳绳；故答案为：跳绳；（2）根据题意得：30÷60%=50（人），则该校学生人数为50人；（3）根据题意得：1000×=100（人），答：该年级选考立定跳远的人数为100人．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．19．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】通过全等三角形的判定定理AAS证得△DBH≌△DCA，所以BH=AC，即线段BH与AC相等；【解答】解：线段BH与AC相等．理由如下：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，∴∠BCD=∠ABC=45°，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．∵在△DBH与△DCA中，，∴△DBH≌△DCA（AAS），∴BH=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．关键是推出△DBH≌△DCA．20．“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．【考点】解直角三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．【解答】解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5（x+82）=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的长约为546.7米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．21．已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图所示．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】应用题．【分析】（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析式即可；（2）把y=620代入（1）求得答案即可；（3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题．【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴解得∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；（2）由图可知，当y=620时，x＞50，∴6x﹣100=620，解得x=120．答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，化简得x2+40x﹣14000=0解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．【点评】此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．22．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）由（1）得：两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．【考点】切线的判定；圆周角定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线；（2）根据锐角三角函数的定义得到ta n∠AEC=，tan∠ABC=，推出AC=EC，BC=AC，代入BC﹣EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．【解答】（1）证明：∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴=，EC=AC，在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴=，BC=AC，∵BC﹣EC=BE，BE=6，∴，解得：AC=，∴BC=×=10，答：圆的直径是10．【点评】本题主要考查对锐角三角函数的定义，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能证明是圆的切线是解此题的关键．。
2015年高考理科数学陕西卷有答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共60分）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求（本大题共12小题,每小题5分,共60分）. 1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137D .1673.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++,据此函数可知,这段时间水深（单位:m ）的最大值为 ( )A .5B .6C .8D .104.二项式*(1)()nx n +∈Ν的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .7B .6C .5D .45.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4D .3π+46.“sin cos αα=”是“cos20α=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A .|a b |≤|a ||b |B .|a -b |≤||a |-|b ||C .(a +b )2=|a +b |2D .(a +b )(a -b )=a 2-b 28.根据如图所示的程序框图,当输入x 为2 006时,输出的y =( )A .2B .4C .10D .289.设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .p r q =<C .q r p =>D .p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12 万元B .16 万元C .17 万元D .18 万元 11.设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )A .3142π+ B .112π+ 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .112π- D .1142π- 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .1-是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上第二部分（共90分）二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .14.若抛物线22(0)y p xp =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p = . 15.设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共70分）. 17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ()a =与n (cos ,sin )A B =平行. （Ⅰ）求A ;（Ⅱ）若a =2b =,求ABC △的面积.18.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,π2BAD ∠=,1AB BC ==,2AD =,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1A BE △的位置,如图2.（Ⅰ）证明:CD ⊥平面1A OC ;（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ,求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值.19.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100（Ⅰ）求T （Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,原点O 到经过两点(,0)c ,(0,)b 的直线的距离为12c .（Ⅰ）求椭圆E 的离心率;（Ⅱ）如图,AB 是圆M :225(2)(1)2x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.21.（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列,x ,2,,n 的各项和,其中0x >,n ∈Ν,2n ≥.（Ⅰ）证明:内有且仅有一个零点（记为n x ）,且,其各项和为()n g x ,比较()n f x 与()n g x 的大小,并加以证明.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线AO 交O 于D , E 两点,BC DE ⊥,垂足为C . （Ⅰ）证明:CBD DBA ∠=∠;（Ⅱ）若3AD DC =,BC =求O 的直径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为ρθ=.（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程;（Ⅱ）P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知关于x 的不等式||b x a +<的解集为{|24}xx <<. .2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析第一部分一、选择题 1.【答案】A【解析】由2{|}{0,1},M x x x M ==⇒=N {|lg 0}N {|01}x x x x =≤⇒=<≤所以[0,1]MN =．【提示】求解一元二次方程化简M ，求解对数不等式化简N ，然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】初中部女教师的人数为11070%77⨯=；高中部女教师的人数为40150%60⨯=，∴该校女教师的人数为7760137+=，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数． 【考点】收集数据的方法． 3.【答案】C4.【答案】B【解析】二项式(1)n x +的展开式的通项是1r rr n T C x +=， 令2r =得2x 的系数是2n C ， 因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =【提示】由题意可得215n C =，解关于n 的方程可得．【考点】二项式定理的应用． 5.【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为2π1π1222V =+⨯⨯+⨯g 几何体3π4=+【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】A【解析】22cos20cos sin 0ααα=⇒-=(cos sin )(cos sin )0αααα⇒-+=所以sin cos sin =cos αααα=-或【提示】由22cos2cos sin ααα=-，即可判断出．数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 7.【答案】B【解析】因为||||cos ,||||a b a b a b a b =<>≤r r r r r r r rg ，所以选项A 正确； 当a r 与b r 方向相反时，||||||a b a b -≤-r r r r不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-r r r r rr 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得20062004x x ==，满足条件02002x x ≥=， 满足条件02000x x≥=， ……满足条件00x x ≥=， 满足条件0x ≥， 不满足条件010x y ≥=， 输出y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当2x =-时不满足条件0x ≥，计算并输出y 的值为10.【考点】程序框图 9.【答案】B【解析】p f ==，ln22a b a b q f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()11()()ln 22r f a f b ab =+==函数()lnf x x =在(0,)+∞上单调递增， 因为2a b+>2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以q p r >=即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）4242π12.【答案】A【解析】假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠， 所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A【提示】可采取排除法．分别考虑A ，B ，C ，D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断是否为非零整数，即可得到结论． 【考点】二次函数的性质．第二部分二、填空题 13.【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为a ，由题意和等差数列的性质可得201510102a +=⨯ 解得5a =【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【考点】等差数列 14.【答案】【解析】抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2p x =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(F ， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点，所以p-=p =16.【答案】1.2数学试卷 第11页（共18页）317.【答案】（Ⅰ）3A = （Ⅱ）sin 3又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+πsin 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33B B =+= 所以ABC ∆的面积为1sin bc A =18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ），取1)1(0n =，，，m n >==g u r r数学试卷 第14页（共18页）332ET =（分钟）（Ⅱ）0.91（Ⅱ）221x y +=数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得23b =，即可得到椭圆方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程22.【答案】（Ⅰ）见解析数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）【提示】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：CBD DBA ∠=∠； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求O 的直径．【考点】直线与圆的位置关系 23.【答案】（Ⅰ）22(3x y += （Ⅱ）()3,0P24.【答案】（Ⅰ）31a b =-⎧⎨=⎩。
2015年陕西省咸阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|（）x≤1}，B＝{x|x≥2}，A∩（∁R B）＝（）A．[0，2）B．[0，2]C．（1，2）D．（1，2] 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2﹣i，则|z+i|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．4．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）5．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2：经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．2D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．14B．30C．20D．558．（5分）在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22＝2，则所有数的和为（）A．18B．17C．19D．219．（5分）如图所示为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）＝0，则f（﹣1）＝（）A．B．2C．D．10．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣）的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．B．4πC．D．12．（5分）弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）颗．A．11B．4C．5D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为．14．（5分）若x、y满足条件，则z＝x+3y的最大值为．15．（5分）＝．16．（5分）设f（x）＝，x＝f（x）有唯一解，f（x0）＝，f（x n﹣1）＝x n，n＝1，2，3，…，则x2015＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC 的面积为S＝ac cos B．（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；（2）若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．18．（12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．20．（12分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．21．（12分）已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m＝1，且1≥a＞b≥0时，证明：．选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）＝|x+l|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．2015年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|（）x≤1}，B＝{x|x≥2}，A∩（∁R B）＝（）A．[0，2）B．[0，2]C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：由集合A中（）x≤1，得到x≥0，即A＝[0，+∞），∵B＝{x|x≥2}，∴（∁R B）＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2），则A∩（∁R B）＝[0，2），故选：A．2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2﹣i，则|z+i|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（2﹣i），化为2z＝1﹣3i，∴z＝，∴z+i＝．∴|z+i|＝＝．故选：B．3．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A．4．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，即p：x＞1或x＜﹣3，￢p：﹣3≤x≤1，∵q：x＞a，∴￢q：x≤a，若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则￢p⇒￢q成立，但￢q⇒￢p不成立，∴a≥1，故选：D．5．（5分）一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p＝．故选：C．6．（5分）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2：经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意得，椭圆的右焦点F为（c，0）、上顶点B为（0，b），因为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以，解得b＝c＝2，则a2＝b2+c2＝8，解得a＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝，故选：D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．14B．30C．20D．55【解答】解：由程序框图知：第一次运行S＝1，i＝1+1＝2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S＝1+4＝5，i＝2+1＝3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S＝5+9＝14，i＝3+1＝4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S＝14+16＝30，i＝4+1＝5，满足条件i＞4，终止程序，输出S＝30，故选：B．8．（5分）在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22＝2，则所有数的和为（）A．18B．17C．19D．21【解答】解：∵数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中a22＝2，∴a12+a22+a32＝3a22＝6，又每行的3个数依次成等差数列，∴a11+a12+a13＝3a12，a21+a22+a23＝3a22，a31+a32+a33＝3a32，∴a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33＝3a12+3a22+3a32＝3×3a22＝18，故选：A．9．（5分）如图所示为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，A，B两点之间的距离为5，且f（1）＝0，则f（﹣1）＝（）A．B．2C．D．【解答】解：∵A，B两点之间的距离为5，则有：＝5，求得T＝6，∴ω＝＝，∴f（x）＝2sin（x+φ），∵f（1）＝2sin（+φ）＝0，∴+φ＝kπ，k∈Z，∴可解得：φ＝kπ﹣，k∈Z，∵，∴φ＝，∴f（﹣1）＝2sin（﹣+）＝2×＝，故选：A．10．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣＞0 得，﹣1＜x＜0或x＞1，即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故A，D错误．当x＞1时，y＝x﹣为增函数，∴f（x）＝ln（x﹣）也为增函数，∴排除C，故选：B．11．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）A．B．4πC．D．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB＝1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d＝R时，r＝1，故由R2＝r2+d2得R2＝12+（R）2，∴R2＝∴球的表面积S＝4πR2＝．故选：C．12．（5分）弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）颗．A．11B．4C．5D．0【解答】解：依题设第k层正四面体为1+2+…+k＝，则前k层共有（12+22+…+k2）+（1+2+…+k）＝≤60∴k最大为6，剩4，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，，则在方向上的投影为．【解答】解：∵向量，，∴在方向上的投影为||cos＜，＞＝||×＝＝＝．故答案为：．14．（5分）若x、y满足条件，则z＝x+3y的最大值为11．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+3y，得平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即A（2，3），此时z＝x+3y＝2+3×3＝11，故答案为：11．15．（5分）＝+．【解答】解：＝＝+++﹣+＝+．故答案为：+．16．（5分）设f（x）＝，x＝f（x）有唯一解，f（x0）＝，f（x n﹣1）＝x n，n＝1，2，3，…，则x2015＝．【解答】解：∵f（x）＝，f（x）＝x有唯一解，∴x＝，解得x＝0或x＝﹣2，由题意知﹣2＝0，∴a＝，f（x）＝，）＝，∴x n＝f（x n﹣1∴﹣＝，又∵x1＝f（x0）＝，∴＝1008，∴数列{}是首项为1008，公差等于的等差数列．∴＝1008+（2015﹣1）•＝2015，∴x2015＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC 的面积为S＝ac cos B．（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；（2）若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S＝ac sin B＝ac cos B，化简得sin B＝cos B，即tan B＝，又0＜B＜π，∴B＝．（1）解法1：由c＝2a，及正弦定理得，sin C＝2sin A，又∵A+B＝，∴sin（﹣A）＝2sin A，化简可得tan A＝，而0＜A＜，∴A＝，C＝．解法2：由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，∴b＝，∴a：b：c＝1：，知A＝，C＝．（2）由正弦定理得，即c＝，由C＝﹣A，得＝＝＝+1又由≤A≤，知1≤tan A≤，故c∈[2，]．18．（12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）＝P（A）•P（B）＝．（II）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）＝P（C）+P（D）＝．（III）ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝．ξ的分布列为ξ的数学期望．19．（12分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC．（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．【解答】（本小题满分12分）几何法：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面EAC，…（3分）∵BC⊄平面EAC，∴BC⊥AM，又∵EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）（Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM，∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，…（8分）∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB＝EB•AH，设EA＝AC＝BC＝2a，得，AB＝2a，EB＝2a，∴＝，∴sin＝，∴∠AHM＝60°．∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…（12分）向量法：（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，…（2分）∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设EA＝AC＝BC＝2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），…（4分）＝（0，1，1），＝（0，2，﹣2），，∴，∴AM⊥EC，AM⊥BC，又EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）（2）设平面EAB的法向量为，则，∴，取y＝﹣1，则x＝1，则＝（1，﹣1，0），…（10分）又∵为平面EBC的一个法向量，∴cos＜＞＝＝﹣，设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝，∴θ＝60°，∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．…（12分）20．（12分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k AD•k AE＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2＝2px（p＞0），由其定义知，又|AF|＝2，所以p＝2，y2＝4x；（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），DE方程为x＝my+n（m≠0），把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16（m2+n）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，由及，得y1y2+2（y1+y2）＝4，即﹣4n+2×4m＝4，所以n＝2m﹣1，代入DE方程得：x＝my+2m﹣1，即（y+2）m＝x+1，故直线DE过定点（﹣1，﹣2）．21．（12分）已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II）当m＝1，且1≥a＞b≥0时，证明：．【解答】解：（I），∴．对，，故不存在实数m，使对恒成立，由对恒成立得，m≥对恒成立而＜0，故m≥0经检验，当m≥0时，对恒成立∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．（II）证明：当m＝1时，令，在[0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0，1]上递增∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b），即．令，由（2）知它在[0，1]上递减，∴h（a）＜h（b）即综上所述，当m＝1，且1≥a＞b≥0时，＜．选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠P AC＝∠CBA，∵∠P AC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CBA，∴AC＝BC＝5，由切割线定理得：QA2＝QB•QC＝（QC﹣BC）•QC，∴QC•BC＝QC2﹣QA2．（5分）（2）由AC＝BC＝5，AQ＝6 及（1），知QC＝9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB＝∠ACQ，又∠Q＝∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴＝，∴AB＝．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2＝5，即t2﹣3t+4＝0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2＝3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）＝|x+l|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|＝|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．。
2015年陕西省高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg（3﹣2x）}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．B．（﹣∞，1]C．D．2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，若，则＝（）A．B．C．i D．﹣i3．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）A．[0，4]B．[0，3]C．[0，2]D．[0，1] 5．（5分）周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）A．0.80B．0.75C．0.60D．0.486．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．3B．2C．D．7．（5分）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021B．i≤2019C．i≤2017D．i≤2015 8．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3] 10．（5分）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l 与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（）A．B．C．1D．211．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则A′C 与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝πx和函数g（x）＝sin4x，若f（x）的反函数为h （x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）A．1B．2C．3D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）的展开式中的常数项等于．14．（5分）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ＝．15．（5分）双曲线＝1的两条渐近线与右准线围成的三角形的面积为．16．（5分），f2（x）＝sin x sin（π+x），若设f（x）＝f1（x）﹣f2（x），则f（x）的单调递增区间是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知，正项数列{a n}是首项为2的等比数列，且a2+a3＝24．（1）求{a n}的通项公式．（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为AFP，则与他对应的五个数字（密码）就为11223．）（Ⅰ）假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；（Ⅱ）设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，①求P（ξ＝2）；②求ξ的概率分布列和它的数学期望．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|＝3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x•lnx，g（x）＝ax3﹣x﹣．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l 的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l的参数方程是（t是参数），⊙C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2015年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg（3﹣2x）}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．B．（﹣∞，1]C．D．【解答】解：由A中y＝lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，解得：x＜，即A＝（﹣∞，），由B中y＝，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B＝（﹣∞，1]，则A∩B＝（﹣∞，1]．故选：B．2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，若，则＝（）A．B．C．i D．﹣i【解答】解：∵复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，∴＝＝＝＝i，则＝﹣i．故选：D．3．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）＝0，则f（﹣x）＝f（x）不一定成立，所以y＝f（x）不一定是奇函数．比如f（x）＝|x|，若y＝f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称，∵f（x）是定义在R上的函数．∴f（0）＝0，即“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件，故选：A．4．（5分）若过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心的距离记为d，则d的取值范围为（）A．[0，4]B．[0，3]C．[0，2]D．[0，1]【解答】解：圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心（0，3），半径为2，过点A（0，﹣1）的直线l与圆x2+（y﹣3）2＝4的圆心的距离记为d，最小值就是直线经过圆的圆心，最大值就是点与圆心的连线垂直时的距离．d的最小值为0，最大值为：＝4．d∈[0，4]．故选：A．5．（5分）周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）A．0.80B．0.75C．0.60D．0.48【解答】解：设事件A i（i＝1，2）表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得P（A1）＝0.8，P（A1A2）＝0.6，∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝0.8P（A2）＝0.6，解得P（A2）＝＝0.75．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．3B．2C．D．【解答】解：三视图复原的几何体的三棱锥，是长方体的一个角出发的三条棱的顶点的连线组成的三棱锥，三度分别为：2，1，2，三棱锥的体积为：．故选：D．7．（5分）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021B．i≤2019C．i≤2017D．i≤2015【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：S＝，i＝4；第2次循环：S＝，i＝6；第3次循环：S＝……第1008次循环：S＝，i＝2016；此时，i＝2018，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．对比选项，故选：C．8．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．3【解答】解：曲线y＝x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′＝2x﹣，由题意直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣＝﹣1，所以x＝1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m＝1+1＝2．故选：B．9．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围为（）A．[﹣3，3]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，2]D．[2，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，由，解得，即A（﹣1，2），则DA的斜率k DA＝，由，解得，即B（﹣1，﹣2），则DB的斜率k DB＝，则﹣2≤z≤2，故的取值范围是[﹣2，2]，故选：C．10．（5分）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l 与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（）A．B．C．1D．2【解答】解：由得：x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2m+2p；又直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（，0），∴﹣0﹣m＝0，解得：m＝．又|AB|＝（x1+）+（x2+）＝x1+x2+p＝2m+3p＝4p＝6，∴p＝．故选：B．11．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则A′C 与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】：如图：正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，连结A′B，则A′C与BC所成角就是直角三角形A′BC中的∠A′CB，A′C与BC所成角的余弦值为：＝＝．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝πx和函数g（x）＝sin4x，若f（x）的反函数为h （x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）A．1B．2C．3D．0【解答】解：由y＝f（x）＝πx，得x＝logπy，x，y互换得：y＝logπx，即h（x）＝logπx．又g（x）＝sin4x，如图，由图可知，h（x）与g（x）两图象交点的个数为3．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）的展开式中的常数项等于﹣160．【解答】解：的展开式中的通项公式为T r+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x3﹣r，令3﹣r＝0，求得r＝3，故展开式中的常数项等于﹣23•＝﹣160，故答案为：﹣160．14．（5分）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ＝﹣．【解答】解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则＝（2，﹣1），＝（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1＝0；解得λ＝﹣．故答案为：．15．（5分）双曲线＝1的两条渐近线与右准线围成的三角形的面积为．【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝x，右准线方程为x＝即为x＝1，解得渐近线与右准线的交点为（1，），（1，﹣），则围成的三角形的面积为×═．故答案为：．16．（5分），f2（x）＝sin x sin（π+x），若设f（x）＝f1（x）﹣f2（x），则f（x）的单调递增区间是[kπ，kπ+]．【解答】解：f（x）＝f1（x）﹣f2（x）＝sin（+x）cos x﹣sin x sin（π+x）＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，故本题即求函数y＝cos2x的减区间．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+，可得函数y＝cos2x的减区间为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知，正项数列{a n}是首项为2的等比数列，且a2+a3＝24．（1）求{a n}的通项公式．（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a1＝2，a2+a3＝24，得2（q+q2）＝24，解得：q＝﹣4（舍）或q＝3．则；（2）b n＝＝．则．则．两式作差得：＝．故．18．（12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°．又∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴，AM＝3，CM＝1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA＝∠FMC＝45°．∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC ⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH＝C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC 为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴，由，得GC＝2．∵，又∵△GCH∽△GBM，∴，则．∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC＝45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．19．（12分）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为AFP，则与他对应的五个数字（密码）就为11223．）（Ⅰ）假设明文是BGN，求这个明文对应的密码；（Ⅱ）设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，①求P（ξ＝2）；②求ξ的概率分布列和它的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵明文是BGN，且B对应的数字是12，G对应的数字是23，N对应的数字是2，∴明文BGN对应的密码是12232．（Ⅱ）①∵ξ＝2，∴密码中只有两个不同的数字，注意到密码的第一、二列只有数字1，2，故只能取表格的第一、二列中的数字作密码，∴P（ξ＝2）＝＝．②由已知得ξ的可能取值为2，3，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝1﹣＝，∴ξ的分布列为：Eξ＝＝．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|＝3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，e＝，则a＝c，b＝c，∴AB+CD＝2a+2，所以c＝1．所以椭圆的方程为＝1．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，＝＝2；由题意知S四边形②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），则直线CD的方程为y＝﹣（x﹣1）．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，所以AB＝．同理，CD＝．＝所以S四边形＝＝＝＝，∵+1＝9当且仅当k＝±1时取等号∴综合①与②可知21．（12分）已知函数f（x）＝x•lnx，g（x）＝ax3﹣x﹣．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值．【解答】解：（1）f′（x）＝1+lnx，令f′（x）＝1+lnx＞0解得，x＞；故f（x）的单调增区间为（，+∞）；f（x）的单调减区间为（0，）；故f（x）的最小值为f（）＝﹣；（2）f′（x）＝1+lnx，g′（x）＝3ax2﹣，∵函数y＝f（x）与函数y＝g（x）在交点处存在公共切线，∴1+lnx＝3ax2﹣①，x•lnx＝ax3﹣x﹣②；由①得，ax2＝+；代入②得，x•lnx＝x（+）﹣x﹣；化简可得，xlnx＝﹣；故x＝；故3a﹣＝0；解得a＝．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l 的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD．（Ⅰ）求证：l是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．（Ⅱ）解：由上知OP＝（AC+BD），所以BD＝2OP﹣AC＝6，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE＝BD﹣AC＝6﹣4＝2，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∴CD＝4．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l的参数方程是（t是参数），⊙C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为，展开化为，即x2+y2＝，化为．∴圆心C．（II）由直线l的参数方程（t是参数），消去参数t可得x﹣y+4＝0，∴圆心C到直线的距离d＝＝5＞1＝R，因此直线l与圆相离．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）＝|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|＝4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。
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2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）理科数学参考答案一、选择题（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.952π. 16. 12015.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）解:由三角形面积公式及已知得S=B ac B ac cos 23sin 21= 化简得B B cos 3sin =即3tan =B 又0<B<π故3π=B . ………………………3分（1）由余弦定理得,2222222324cos 2a a a a B ac c a b =-+=-+=∴b=3a.∴a:b:c=1:3:2,知2,6ππ==C A . ………………………………………6分（2）由正弦定理得ACA C a C c A a sin sin 2sin sin c sin sin ===得. 由 C=A -32π,c=AA A A A sin )sin 32cos cos 32(sin 2sin )32sin(2πππ-=-=1tan 3+A 又由34ππ≤≤A 知13tan ≤≤A ，故c []13,2+∈……………………………………12分18.（本小题共12分） 解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，23241()2C P A C ==, 24262()5C P B C ==. ………………………………… 3分 ∴取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=. ……………………………… 4分（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==, 123422461()5C C PD C C ==.………………… 7分 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. ……………………………… 8分（Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.由（Ⅰ）、（Ⅱ）得1(0)5P ξ==, 7(1)15P ξ==,13224611(3)30C P C C ξ==⋅=.所以3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为-----------11分∴ ξ的数学期望 17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………… 12分19（本小题满分12分） 解法一:∵四边形ACDE 是正方形， EC AM ⊥； 又∵平面⊥ACDE 平面ABC ，BC AC ⊥，⊥BC 平面EAC ； ………………3分⊂BC 平面EAC ，AM BC ⊥∴；又C BC EC = ，⊥AM 平面EBC ； ………………6分 (2) 过A 作AH ⊥EB 于H ，连结HM ；⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴；⊥∴EB 平面AHM ；AHM ∠∴是二面角A-EB-C 的平面角； ………………8分∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ；AB EA ⊥∴； 在EAB R t ∆中，AH ⊥EB ，有AH EB AB AE ⋅=⋅； 设EA=AC=BC=2a 可得，a EB a AB 32,22==，322aEB AB AE AH =⋅=∴； 23sin ==∠∴AH AM AHM ,60=∠∴AHM . ∴二面角A_EB_C 等于60. …………12分 解法二： ∵四边形ACDE 是正方形 ，AC EA ⊥∴，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥EA 平面ABC ； ………2分所以，可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为X 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ； 设EA=AC=BC=2，则A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2)， M 是正方形ACDE 的对角线的交点，M(0,1,1)； ……………4分DCAEM HB（1）)1,1,0(=→AM ，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=→EC ，)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=→CB ，0,0=⋅=⋅→→→→CB AM EC AM ，CB AM EC AM ⊥⊥∴,；又C BC EC = ，⊥∴AM 平面EBC ； ………………6分 （2） 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =→，则→→⊥AE n 且→→⊥AB n ，0=⋅∴→→AE n 且0=⋅→→AB n ；(0,0,2)(,,)0(2,2,0)(,,)0x y z x y z ⋅=⎧∴⎨⋅=⎩, 即0z x y =⎧⎨+=⎩ 取y=-1，则x=1， 则)0,1,1(-=→n ； ………………10分 又∵→AM 为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=→AM ，1cos ,2n AMn AM n AM⋅∴<>==-⋅，设二面角A-EB-C 的平面角为θ，则1cos cos ,2n AM θ=<>=，60=∴θ； ∴ 二面角A-EB-C 等于60. ………………12分20.解：(1)设抛物线方程为C ：22(0)y px p =>， 由其定义知12p AF =+，又2AF =，所以2p =，24y x =. ---------------5分 (2)解法一：易知(1,2)A ，当x DE ⊥轴时，设DE 方程为m x =（0≥m ），由⎩⎨⎧==xy mx 42得)2,(),2,(m m E m m D - 由2=⋅AE AD k k 得1-=m 不符题意。
当DE 的斜率存在时，设DE 方程为b kx y +=，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42得0442=+-b y ky ，设),(),,(2211y x E y x D ，则kby y k y y 4,42121==+，① ------------8分由2=⋅AE AD k k ,得212122211=--⋅--x y x y ⇒2142142222211=--⋅--y y y y ⇒ 2(21y y +)+21y y -4=0 ② 把②代入①得 2-=k b∴ 直线DE 方程为2)1(-+=x k y ，显然过定点)2,1(--.-------------12分解法二：易知(1,2)A ，设1122(,),(,)D x y E x y ，DE 方程为x my n =+(0)m ≠ 把DE 方程代入C ，并整理得2440y my n --=，2121216()0,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==- ---------------8分由121222211AD AE y y k k x x --⋅=⋅=--及2211224,4y x y x ==得 12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+故直线DE 过定点(1,2).-- -------------------12分21. （本小题满分12分）解：（I ）)21()21ln(2121ln )(->++=++=x mx x mx x x f ， ∴m x x f ++=211)(' ……2分对21->x ，0211>+x，故不存在实数m ，使0211)('<++=m x x f 对21->x 恒成立， ---------------------------4分由0211)('≥++=m x x f 对21->x 恒成立得，m ≥x 211+-对21->x 恒成立 而x211+-＜0，故m ≥0经检验，当m ≥0时，0211)('>++=m x x f 对21->x 恒成立∴当m ≥0时，f （x ）为定义域上的单调递增函数． ---------- 6分 （II ）当m = 1时，令x x x x f x g 31)21ln(2134)()(-+=-= )21(3)1(231211)('x x x x g +-=-+=，在[0，1]上总有)('x g ≥0，即)(x g 在[0，1]上递增∴当10≤<≤a b 时，)()(b g a g >，即34)()(34)(34)(>--⇒->-b a b f a f b b f a a f ① ------------------9分 令x x x x f x h -+=-=)21ln(212)()(，02121211)('<+-=-+=xx x x h ,知h(x)在[0，1]上递减，∴)()(b h a h < 即2)()(2)(2)(<--⇒-<-ba b f a f b b f a a f ②-----------------------------11分由①②知,当10≤<≤a b 时，2)()(34<--<ba b f a f .---------------12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 1证明：（1）∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴CBA PAC ∠=∠ ∵BAC PAC ∠=∠ ∴CBA BAC ∠=∠ ∴AC=BC=5由切割线定理得：()QC BC QC QC QB QA -=⋅=2∴ 22QA QC BC QC -=⋅ ---------------------------5分 （2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9 由ACQ QAB ∠=∠ 知QAB ∆∽QCA ∆ ∴QC QA AC AB = ∴ 310=AB . -----------------------10分23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程解：(1)由3x y =⎧⎪⎨⎪⎩得直线l的普通方程为30x y +-=--------2分又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=即(225x y +=. ---------5分(2) 把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得223522t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=由于(24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩l 过点P (，A 、B 两点对应的参数分别为12,t t所以1212PA PB t t t t +=+=+=分24.(本小题满分10分)选修4—5：解：(Ⅰ)不等式()5f x ≤的解集为[-2，3]． …………5分 （Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，即|2|||x x a a -+-≥恒成立． 而|2|||x x a -+-的最小值为|2||2|a a -=-，∴|2|a a -≥，解得1a ≤，故a 的范围（-∞，1]． ………………10分。