图论论文4
图论论文
课程名称图论入门论文题目图论在物流物配送上的应用指导教师刘颖学院管理学院姓名郭凤午学号2011030284图论在物流货物配送中的应用摘要：最短路径问题对于节约人们的时间成本具有重要意义。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
它可被用来解决厂区布局、管路铺设、线路安装等实际问题。
本文介绍了图论的起源和发展、最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法解决物流货物配送中问题。
1 引言数学是一门古老的学科，它已经有了几千年的历史。
然而，图论作为数学的一个分支，却只有200多年的历史，但是其发展十分迅速。
图论是以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点，在图中点的位置和线的长短曲直无关紧要[1]。
图论的发展大力地推进了科学文明的进步，解决了很多实际应用问题。
图论是数学领域中发展最快的分支之一，它以图为研究对象。
图论中的图是有若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用来代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图论本身是应用数学的一部分，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立的建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论文中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的!这是拓扑学研究的先声。
图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。
数学家赫伍德成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。
美国伊利诺斯大学的黑肯和阿佩尔，经过四年的艰苦工作．终于完成了四色猜想的证明。
图论毕业论文
图论毕业论文图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和结构。
它对于解决各种实际问题具有重要的意义，如交通网络优化、电子芯片设计等。
本文将就图论的概念、基本性质以及其在实际问题中的应用等方面进行论述。
首先，图论是研究图的性质和结构的数学学科。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来描述各种实际问题，如交通网络、社交关系等。
图由节点和边构成，节点表示图中的元素或对象，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中的边有方向性，无向图中的边没有方向性。
图的回路是指从一个节点出发，沿着边走过一系列节点之后再回到起始节点的路径。
图的连通性是指图中的任意两个节点之间存在一条路径。
其次，图论具有一些基本性质。
首先是图的度数。
图的度数是指图中一个节点与其相邻节点的边的个数。
度数为奇数的节点称为奇节点，度数为偶数的节点称为偶节点。
其次是图的邻接矩阵和关联矩阵。
邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的节点数，矩阵元素a_ij表示节点i与节点j之间是否存在边。
关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的节点数，m是图的边数，矩阵元素b_ij表示节点i是否与边j相关联。
最后是图的连通性。
图的连通性决定了图中是否存在从一个节点到达另一个节点的路径。
如果图中的任意两个节点之间都存在路径，则图是连通的；否则，图是非连通的。
最后，图论在实际问题中有广泛的应用。
首先是交通网络优化。
图论可以用来优化交通网络中的路径规划和交通流量分析等问题，从而提高交通的效率和安全性。
其次是电子芯片设计。
图论可以用来分析电子芯片中各个元件之间的连接关系，从而提高芯片的性能和可靠性。
此外，图论还可以用来解决诸如社交网络分析、物流规划等实际问题。
综上所述，图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和结构。
它对于解决各种实际问题具有重要的意义。
未来，随着科学技术的不断发展，图论在实际问题中的应用将会越来越广泛。
因此，对图论的进一步研究和应用具有重要的意义。
图论论文
课程名称图论入门论文题目图论在物流物配送上的应用指导教师刘颖学院管理学院姓名郭凤午学号2011030284图论在物流货物配送中的应用摘要：最短路径问题对于节约人们的时间成本具有重要意义。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
它可被用来解决厂区布局、管路铺设、线路安装等实际问题。
本文介绍了图论的起源和发展、最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法解决物流货物配送中问题。
1 引言数学是一门古老的学科，它已经有了几千年的历史。
然而，图论作为数学的一个分支，却只有200多年的历史，但是其发展十分迅速。
图论是以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点，在图中点的位置和线的长短曲直无关紧要[1]。
图论的发展大力地推进了科学文明的进步，解决了很多实际应用问题。
图论是数学领域中发展最快的分支之一，它以图为研究对象。
图论中的图是有若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用来代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图论本身是应用数学的一部分，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立的建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论文中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的!这是拓扑学研究的先声。
图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。
数学家赫伍德成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。
美国伊利诺斯大学的黑肯和阿佩尔，经过四年的艰苦工作．终于完成了四色猜想的证明。
图论小论文
Dijkstra 算法在移动通信中的应用李鹏翔 信息与通信工程学院1、问题的提出在移动通信中，尤其是端到端的通信中，常常会涉及到求最短路问题。
但是，这里的最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短。
由于基站与基站之间、基站与终端之间的距离、阴影等因素的相同，不同设备之间构建的通信模型也各不相同，为了便于量化，我们将这些因素归一化，赋予它们以不同的权值，权值越小说明信道状况越好，信号传输需要的资源越少。
端到端之间最短路问题实际上是寻找所有可能路径之中权值最小的路径。
一个实际问题如下：上图中，我们假设1v 与6v 为两个移动用户，2345,,,v v v v 为四个基站，用户只能与和它相邻的基站进行通信，基站除了与用户外还能与和它相邻的基站进行通信。
基站与基站间、基站与终端间的权值不同，代表不同设备之间的环境状况不同，求从1v 到6v 应选择哪一路径使权值最小。
2、算法简介Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法，也是其它算法的基础。
Dijkstra 算法基本步骤： 令：{}{}_23,1,,,,i n s v i s v v v === 并令：{()()10,j j W v T v v s-==∞∈（1）、对j v s -∈，求()(){}()min ,j i ij j T v W v w T v +=。
（2）、求(){}min j j v sT v ∈得()k T v ，使()k T v =(){}min j j v sT v ∈令()()k k W v T v =（3）、若k n v v =则已找到1v 到n v 的最短路距离()k W v ，否则令i k =从s -中删去i v 转（1）。
这样经过有限次迭代则可以求出1v 到n v 的最短路线，可以用一个流程图来表示：第一步：先取()10W v =意即1v 到1v 的距离为0，而()j T v 是对()j T v 所赋的初值。
第二步：利用()1W v 已知，根据()(){}min ,j i ij T v W v w +对()j T v 进行修正。
图论期末论文
1.引言图论是数学的一个分支，并且是组合数学和应用数学的一部分。
它以图做为研究对象，而图是由若干节点和节点之间的边所构成的图型。
在图论中，图往往是某个具体现实生活中问题的数学抽象，可以说，图中的节点代表着生活中的某些特定事物，而节点之间的边则代表着节点之间的特定联系。
图论这门学科需要解决的就是如何利用数学知识去解决它们之间的关系。
图论最早起源于1736年著名的柯尼斯堡七桥问题[1]。
这个问题的内容是：在柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥将河中的岛屿与河岸连接起来。
问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，最后再回到起始点。
然而人们无数次的尝试解决却都没有成功。
直到1736年，欧拉解决了这个问题。
他用抽像分析法将这个问题化为世界上第一个图论问题：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接相应的两个点的一条边来代替，从而得到了一个“图”。
最终，欧拉成功证明了这个问题是无解的，并且推广了这个问题的意义，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。
这就是后来的欧拉通路、欧拉回路以及欧拉图问题。
于是，欧拉成为了图论学的创始人。
从那以后开始的几百年间，图论开始了飞速的发展。
虽然图论研究的是点和边之间所构成图的问题，但其应用领域还是十分广阔的。
图论的应用不仅仅局限于数学问题和计算机领域，它同时还涵盖了交通管理、通信领域、社会学等诸多其他研究领域。
而最短路径问题是图论应用中的基本问题。
最短路径顾名思义就是在所有的路径中找出一条距离最短的有效路径。
实际上，这里所指的“距离”不仅仅是指地理意义上的距离，还可以引申到时间、费用、等其他度量单位上面。
本文中，以重庆地铁为研究对象，利用图论知识解决在搭乘重庆地铁时的最短路径问题。
可以说，最短路径问题再交通网络结构的分析以及交通路线的选择中都有重要的应用价值。
此外，最短路径问题一直是计算机科学、地理信息学、交通管理学等学科中一个研究的热点问题。
图的着色是指对图的每个节点指定一种颜色，使得相邻的节点的颜色不相同。
图论论文
最小生成树——Prim算法1、算法问题的提出首先介绍生成树的概念连通图G=(V,E)是无向带权图，若一个子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图G’称为G的生成树。
生成树是连通图的极小连通子图。
所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。
生成树各边的权值总和称为生成树的权。
本次设计是求在图G中所有生成树中权值总和（费用/代价）最小的生成树，即最小生成树。
用两个例子进行实例演示。
2、Prim算法思想用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。
按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有n 个顶点、n-1 条边。
（1）从树中某一个顶点V0开始，将V0到其他顶点的所有边当作候选边。
（2）重复以下步骤n-1次，使得其他n-1个顶点被并入到生成树中。
○1从候选边挑出权值最小的边输出，并将与该边另一端的相接的顶点V并入生成树中。
○2考察所有剩余顶点V i，如果(V,V i)的权值比lowcost[V i]小，则用（V,V i）的权值更新lowcost[V i]。
其中的vset[i]的值记录顶点V[i]顶点是否被选入最小生成树中，V[i]=0,表示为被选入，V[i]=1，表示已被选入。
用到辅助数组pre[]，记录当前所选入顶点的前驱结点，当并入前一个顶点时，剩下顶点到生成树的权值发生了改变时，就需要及时修改剩下顶点V[i]的前驱结点。
3、程序设计（1）所用数据结构，图的存储结构模块（nodetype.h）#define MAXSIZE 7#define INF 100typedef struct{int no;}VertexType; //顶点类型定义typedef struct{int edges[MAXSIZE][MAXSIZE]; //存入边的权值int n; //顶点数int e; //总的边数VertexType vex[MAXSIZE];}MGraph; //图的存储结构MGraph g;（2）主模块（main.cpp）#include#include"nodetype.h"#include"initiate.h"#include"prim.h"void prim(MGraph g,int v0,int &sum);int main(){int sum=0;int v0;initiate(g); //图的初始化printf("请输入起点编号：\n");scanf("%d",&v0);//输入起始节点prim(g,v0,sum); //调用prim算法，构成最小生成树printf("最小生成树的总代价为%d\n",sum);return 0;}（3）读取数据模块,图的初始化（initiate.h）void initiate(MGraph &g){int i,j,v0=0;printf("Please input the Sumnum of MGraph:\n");scanf("%d",&g.n);printf("依次输入各边权值（不相临接的边权值为100）!\n\n"); for(i=1;i<=g.n;i++){g.vex[i].no=i; //节点编号for(j=1;j<=g.n;j++){printf("边[%d][%d]的权值为：",i,j);//各边的权值scanf("%d",&g.edges[i][j]);printf("\n");}}}(4）运用贪心策略——Prim算法构造最小生成树（prim.h）void prim(MGraph g,int v0,int &sum){int lowcost[MAXSIZE],vset[MAXSIZE];int v,pre[MAXSIZE]; //pre[]存入前驱结点数组int i,j,k,min;v=v0; //初始起点for(i=1;i<=g.n;i++){lowcost[i]=g.edges[v0][i]; //lowcost[]的数组pre[i]=v0;vset[i]=0;}vset[v0]=1;sum=0;for(i=1;imin=INF;for(j=1;j<=g.n;j++){if(vset[j]==0&&lowcost[j]min=lowcost[j];k=j;}}vset[k]=1; //将此结点并入到所够造的生成树中v=k;if(min!=INF){printf("边的起点为：%d 终点为：%d 权值为%d\n",pre[v],v,min);sum+=min;}else{break;}for(j=1;j<=g.n;j++){//并入新结点后修改剩下的结点到生成树的权值if(vset[j]==0&&g.edges[v][j]lowcost[j]=g.edges[v][j];pre[j]=v; //并记其下全趋结点}}}}4、算法分析Prim算法的时间复杂度主要是在双重循环构造最小生成树的过程中，设图的顶点数为n，则双重循环的时间复杂度为O(n2)，在生成最小生成树的过程中，增加了两个数组，vset[]和lowcost[]数组，同时增加了一个前驱数组prey[]，用来记录所选顶点的全趋结点，故空间复杂度为O(3n)。
图论
硕士生毕业论文摘要（25篇）00级（5篇）：00-1 邵永强：《网络分析在车辆导航系统中的应用-----及最佳路径搜索软件的开发》Shao Yongqiang: <Application of Network Analysis in Vehicles Navigation>[摘要] 智能交通系统（ITS）是一种自动适应、自动监控的、实时、准确、高效地面交通系统。
智能车辆导航系统是智能交通系统的子系统之一，其重要功能之一是为行驶在道路网中的车辆提供从当前所处位置到目的地的有效、高性能价格比的行车路线，即对交通网络进行路径规划，为行驶车辆提供最佳路径搜索服务。
论文首先系统的介绍了网络分析、图论、地理网络的建模问题等相关理论以及导航电子地图的数据结构、数据模型等理论，接着论述了交通道路网络在电子地图中的表示和网络边的定权问题。
在此基础上论文以图论作为网络分析的主要方法，对导航电子地图的道路网进行网络分析，将最佳路径搜索问题转化为图论中的最短路径搜索问题。
最短路径搜索是图论的经典问题，论文对最短路径搜索问题作了简单的分类，重点介绍了Dijkstra、Moore 等几种经典的最短路径搜索算法，对它们之间时间复杂度进行了简单的比较，并针对传统算法的表达方式、存储结构等方面的缺点讨论了最短路径搜索算法的优化方法，以此为基础论文提出了改进的Moore算法，着重讨论了基于改进Moore算法的次最短路径的搜索、实时动态最短路径搜索以及复杂条件下最短路径搜索等问题。
并运用改进的Moore算法编制了一套最佳路径搜索的软件。
[关键词]智能车辆导航系统GPS导航电子地图网络分析图论最短路径算法优化实时动态最短路径搜索[Abstract] Intelligent Transport System (ITS) is a land traffic system of auto-adapt，auto-watch，real-time, accuracy and high-level efficiency. Intelligent Vehicles Navigation System is a subsystem of ITS. The most important task of Intelligent Vehicles Navigation System is offering effective and highperformance/price drive route from current location to destination for those vehicles which driving in theroad network. That is path planning to traffic network and provide the serving of searching the best path for the driving vehicles.The paper first introduce some theories about network analysis, graph theory and geographic network modeling by the numbers, at the same time the data structure and data model of digital map forcar-navigation is also mentioned. Next this paper discussed the problem that how to express the road network in digital map and how to decide the weight of road network side. Base on those theory, this paper take graph theory as the principal way to analyze the rode network in digital map, and transform the problem of searching the best path in road network to searching the shortest path in graph.Searching shortest path is a classical problem in graph theory. This paper classified the arithmetic of searching shortest path simply, and introduced some classified arithmeticians for example Dijkstra arithmetic and Moore arithmetic emphasisly. Some compare were showed among these arithmeticians with the time complexity in the paper, and some optimize ways were discussed aim at the defect of expression mode and memory structure of traditional arithmeticians. Then a reformed Moore arithmetic was advanced in view of the above discussion. Subsequently, this paper presented the searching way of second shortest path, real-time &dynamic shortest path and the shortest path under complex condition which base on the reformed Moore arithmetic. At last a sort of software about searching best path was programmed with reformed Moore arithmetic.[Key words] Intelligent Vehicles Navigation System, GPS Navigation, Network Analysis, Graph Theory, the Shortest Path, Digital Map, Arithmetic Optimize, the Searching of real-time &dynamic shortest path00-2 祁芳：《卡尔曼滤波算法在GPS非差相位精密单点定位中的应用研究》Qi Fang: <Research on Kalman Filter Algorithm in GPS Precise Point Positioning Usingun-difference Phase[摘要] GPS非差相位精密单点定位是利用GPS精密卫星星历及由一定算法确定的精密卫星钟差，以单台双频GPS接收机采集的非差相位数据作为主要观测值来进行单点定位计算的方法，其精度可达分米级甚至厘米级。
图论 本科毕业论文
图论本科毕业论文近年来，随着社会的发展和科技的进步，图论在各个领域中得到了广泛应用，尤其是网络科学、计算机科学和数学领域。
图论的基础理论和应用研究，也受到越来越多的关注。
本文主要介绍了图论的基础理论和应用研究，以及本人在此领域中的研究工作。
一、图论的基础理论图论是一门基础数学学科，它主要研究图的结构、性质和算法等方面的问题。
在图论中，图是由节点和边组成的集合，它可以用来描述各种实际问题，例如社交网络、电子电路、物流运输等。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图是由有向边连接节点而成的图，可以描述各种节点之间的方向关系。
而无向图则是由无向边连接节点而成的图，不考虑节点之间的方向关系，可以表示各种关系网络。
图论中的一些基本概念包括节点、边、路径、回路和连通性等。
节点是图中的基本元素，边是节点之间的连接线，路径指的是由一系列连续的边连接的节点序列，回路是一个首尾相接的路径。
而连通性则是描述图中各个节点之间的相互可达性的层次结构。
图论的另外一个重要的概念是图的度数。
节点的度数指与此节点相邻的边的数目，而图的度数则是所有节点度数之和。
在研究图的性质和结构时，度数是一个非常重要的指标，它可以用来刻画图的稠密或稀疏程度。
二、图论的应用研究图论在实际中的应用非常广泛。
例如，图论可以用于描述社交网络中各个节点之间的关系网络。
在这个网络中，节点代表人或组织，边则代表人和组织之间的关系。
通过研究这个网络的结构和性质，可以分析社交网络中的信息传播和节点的影响力等问题。
图论也广泛应用于计算机科学领域中。
例如，在计算机网络中，图论可以用来描述网络拓扑结构，并通过研究图的各种性质和算法，来优化网络的性能和安全性。
图论还可以用于描述物流和运输网络中的各种问题。
例如，在交通运输中，可以通过赋予各个节点和边合适的权重来刻画交通拥堵程度，从而优化交通运输的效率。
三、本人在图论领域的研究工作在本人的毕业论文中，我主要研究了图论中的连通性问题。
图论论文
最短路算法的比较与应用[摘要]本文较详尽地介绍了最短路算法相关的基本概念，给出了Dijkstra 算法、Floyd 算法、SPFA 算法等常用算法及其核心思想，并对各种最短算法做了多角度的比较，阐述了各种算法的应用范围，并对其在运输网络、舰船通道路线设计、工业生产中的应用做出了举例说明，侧重于模型的建立、思考和证明的过程，最后作出总结。
关键词：最短路算法 Dijkstra 算法 Floyd 算法 SPFA 算法1 引言最短路算法是图论中的核心问题之一，他是许多更深层次算法的基础，同时，该问题有着大量的生产实际的背景.很多问题从表面上看与最短问题没有什么关系，却也可以归结为最短路问题，本文通过收集整理关于最短路径的普遍算法，为研究最短路径问题在一些出行问题，工程问题，及实际生活问题中的应用，为企业和个人提供方便的选择方法。
2 最短路2.1 最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权)0(≥ij w 的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法.但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题.因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题.但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在)0(≥ij w 的情况下选择Dijkstra 算法。
定义1 若图),(E V G G =中各边e 都赋有一个实数)(e W ,称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为),,(W E V G G =。
定义2 若图),(E V G G =是赋权图且)(,0)(G E e e W ∈≥,若u 是i v 到jv 的路)(u W 的权,则称)(u W 为u 的长,长最小的i V 到j V 的路)(u W 称为最短路.若要找出从i v 到n v 的通路u ,使全长最短,即()()min ij e uW u W e ∈=∑。
图论的历史发展研究
ａｒｅ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｓｎｌｄｉｅｄ．ＡＲｅｒ ｍｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｇ］隐ｐｈ也ｅｏＤ，ｗａＳ ｆｏｍｅｄ，ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ
ｍａｔｌｌｅｍａｔｉｃｉａＩｌｓ ｗｈｏ ｓｈｏ、Ⅳｅｄ ｉＩｌｔｅｎｓｅ ｃｕｒｉｏｓ时ｏｆ Ｇｒａｐｈ廿ｌｅｏ巧ｅｍｅ唱ｅｄ ｕＩｌｄｅｒ也ｅ
山东大学硕士学位论文
摘要
图论既是一个历史悠久又是一个近些年飞速发展的数学分支，图的理论及其 在各个领域的广泛应用越来越受到数学界和其他科学界的重视。本文就是在对图 论发展史籍资料收集和整理的基础上，以时间顺序为主线，以图论思想的发展进 程为经，以数学家的工作贡献为纬，对图论思想的历史发展进行了全面的分析与 研究。主要成果如下：
五、介绍了图论的飞速发展和广泛应用。概括性的介绍了由图论繁衍出的众 多数学分支，并从自然科学、社会科学、运输交通等方面详细论述了图论在２０
山东大学硕士学位论文 世纪以来的发展状况，多角度的呈现了图论在近代飞速发展的良好态势。
本文通过研究图论的历史起源和发展进程，理清了图论的发展历程中各个阶 段的成长脉络和突出成就，可以为图论的学习者和爱好者提供有益的参考资料， 对高等院校数学教育工作者进行图论的教学和研究也有一定的借鉴意义。
１．２ Ｌｅｉｂｎｊｚ ｐ吣ｆ．０删莉”ｐｏｓｉｔｉｏｎ ａＩｌａｌｙｓｉＳ．ｔ ｍｅｔｈｏｄ…………………………．．６ １．３ 瞄ｒｃｌｌｈｏｎ’ｐｕｔ ｆ０刑矾恤”仃ｅｅ”ｉｎ ｎｌｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆｐｈｙｓｉｃｓ ｃｏｎｃ印ｔ…………７
１．４ Ｋａｉｌａｉ ｉｎ ｔｌｌｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｃｈｅｍｉｃａｌ ｉｎｄｕｓ缸ｙ ｐｕｔ ｆｏｒｖｖａｒｄ ｍｅ”仃ｅｅ”ｃｏｎｃｅｐｔ……．８
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课程论文课程名称图论及其应用题目最短路径在最优截断切割问题中的应用姓名学号学院专业摘要本文是把长方体切割的最小代价问题，转化成一个我们所熟悉的图论问题，把其抽象成为一个图论之中求路径的最短路的问题，并采用了图论中的Dijkstra算法，以求其的最短路，最终得到了对长方体切割问题的求解，最后我们通过了一个长方体切割实例，说明了我们的算法是可靠，有效的。
关键字：最短路径 Dijkstra算法最优截断切割1. 预备知识1.1图的基本概念有序三元组G =(V,E,)称为一个图，其中:(1)V 是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点；(2)E 称为边集,其元素叫做图的边；(3)是从边集E 到顶点集 的有序或者无序对集合的映射，称为关联函数。
1.2 权如果图G 中任意一条边上都附有一个数，则称这样的图G 为加权图。
若边e 标记数为k ，称边e 的权为k 。
定义１ 在无向图G=(V,E,ψ)中：（1）顶点与边相互交错且i i i v v e 1)(-=ψ (i=1,2,…k)的有限非空序列)(12110k k k v e v e v e v w -= 称为一条从0v 到k v 的通路，记为k v v W 0（2）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为kv v T 0（3）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为kv vP 0右图中，我们可以根据定义得到： 通路44112544141v e v e v e v e v W v v =道路4332264521141v e v e v e v e v e v T v v =路径4521141v e v e v P v v =定义２ （1）任意两点均有路径的图称为连通图． （2）起点与终点重合的路径称为圈． （3）连通而无圈的图称为树．定义３ （1）设P(u,v)是赋权图G 中从u 到v 的路径， 则称∑∈=)()()(P E e e w P w 为路径P 的权．（2）在赋权图G 中，从顶点u 到顶点v 的具有最小权的路 ),(*v u P ，称为u 到v 的最短路．1.3 固定起点的最短路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路．假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路．Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路，如图1所示: 设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负．对每个顶点，定义两个标记（l v()，z v()），其中:l v()：表从顶点u0到v的一条路的权．z v()：v的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l v()为从顶点u到v的最短路的权。
．S：具有永久标号的顶点集输入: G的带权邻接矩阵),(vuw图1算法步骤：(1)赋初值：令 S＝{u0}, l u()=0,∀∈=v S V S\,令l v()=W u v(,)0,z v()=u,u←u(2)更新l v()、z v()：∀∈=v S V S\,若l v()>l u W u v()(,)+则令l v()=l u W u v()(,)+,z v()= u(3)设v*是使l v()取最小值的S中的顶点，则令S=S∪{v*}，u←v*(4)若S≠φ，转2，否则，停止.用上述算法求出的l v()就是u0到v的最短路的权，从v的父亲标记)(vz追溯到u0, 就得到u到v的最短路的路线.4．最短路径在最优截断切割问题中的应用从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用。
为了使加工费用最少，下面我们利用最短路径法设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法。
设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5 在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图1的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x ，y ，z.图1 G(V,E)图1的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表： u1 u2 u3 u4 u5 u66 17 55 6 9r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、 e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图1的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在图z=0,1,2我们希望通过在图1的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图1的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图2和3.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图2中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图2和3，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图1和2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图2图35.结论图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
本文讨论了最优切割问题中使用最短路径分析及Dijkstra算法设计。
另外，最短路径问题在城市道路建设、物资供应站选址等问题上也有相当重要的作用。
图论题目的求解多以证明题为主，我们在求解过程中往往是应用已知的定理，分析题目的真正内涵加以解决。
但是我们在做题过程中，往往会碰到这样那样的阻力和障碍，这时，我们可以利用已知的定理，事先做好判断。
参考文献：[1] 任善强,雷鸣.数学模型[M].重庆:重庆大学出版社,2006．[2] 夏春林.道路网络中最短路径的算法与实现[J].辽宁工程技术大学学报,2003.[3] 兰家隆,刘军.应用图论及算示[M].北京:电子科技大学出版社,1995.。