高中数学 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》课件 新人教A版必修4
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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
(3)若不平行的两个非零向量 a,b 满足|a|=|b|,则( ab)(a+b)=0.( ) (4)若 a,b 平行,则 a· b=|a||b|.(
答案:(1)× (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一向量数量积的运算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求: (1)a· b; (2)(a+b)· (a-b); (3)(2a-b)· (a+3b)
a· b>0 符号 a· b=0 a· b<0 夹角公式 cos θ= |������ || ������ |
������ · ������
θ∈ 0, θ=
π 2 π 2
π 2
θ∈
,π
做一做2 (1)若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则a与b的夹角等于( A.150° B.120° C.60° D.30° (2)等腰直角三角形ABC中, |������������|=|������������ |=2,则������������ ·������������ =
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b) 等于( )
A.
1 2
B.
3 2
C.1+
3 2
D.2
解析:∵|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 1 ∴a· a=|a|2=1,a· b=|a||b|cos 60°= .
做一做 1 (1)已知|a|= 3,|b|=2 3,a 与 b 的夹角是 120°,则 a· b等 于( ) A.3 B.-3 C.-3 3 D.3 3 π (2)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,则 b 在 a 上的投影 为 1 2
数学必修Ⅳ人教新课标A版2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(30张)
[活学活用]
1．(大纲卷)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b
＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
(1) AB·CD；Leabharlann 2) AB·AD；(3)DA·AC .
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[导入新知] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为 0 .
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图． 问题 1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ.
问题 2：力 F 在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ. 问题 3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[提出问题]
(vip免费)【数学】2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》PPT课件(新人教A版必修4)
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？
问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生
位移S，
（１）力F所做的功W=
。
（２） 请同学们分析这个公式的特点：
理解和平面向量数量积的应用
说课提纲
一、 背景分析 二、教学目标设计 三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
一、背景分析
1、学习任务分析
(1)学习任务 通过“功”的事例抽象平面向量数量积的含义,
探究数量积的性质与运算律,体会类比的思想方法, 提高学生抽象概括、推理论证的能力。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教
A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9
数学人教A版必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上课课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 已 知 |a| ＝ 1 ， |b| ＝ 2 ， a 与 b 的 夹 角 θ ＝ 120° ， 则 a·b ＝ ________，a在b方向上的投影为________．
1 解析 a· b＝|a||b|cos θ＝1×2×(－2)＝－1， 1 1 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝1× (－2)＝－2．
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( 提示 但180°不是钝角． )
)
)
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(
(1)×，当a与b 的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0 ，
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°
或0°，则a∥b． (3)√，由a⊥b⇔a·b＝0知其正确性．
|a|2 或______________ |a|＝ a· a 3．a·a＝______ ． a· b 4．cos θ＝__________ ． |a||b| ≤ 5．|a·b|_______ |a||b|．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(
运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角， 条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向 量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方 向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】 在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，∠BAD → → ＝60° ，E 是 CD 的中点，求AE· BD．
最新人教A版必修四高中数学2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)公开课课件
→ → → → 3.在△ABC 中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB· BC的值是 ________.
→2 →2 →2 解析 易知|AB| ＝|BC| ＋|CA| ，
C＝90°.
探究点三 平面向量数量积的性质
1 25 解 a· b＝|a||b|cos θ＝5×5×2＝ 2 .
|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2
＝ 25 25＋2× 2 ＋25＝5 3.
2 2 2
|a－b|＝ a－b ＝ |a| －2a· b＋|b|
＝ 25 25－2× 2 ＋25＝5.
π 〈a，b〉＝2
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos θ 叫 做a与b的数量积(或内积)，记作a· b，即a· b＝ ， 其 |a||b|cos θ 中θ是a与b的夹角.
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(3)投影：设两个非零向量 a、b的夹角为θ，则向量a在b方向
思考3 答
对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a· b何时为正
数？何时为负数？何时为零？ 当0°≤θ<90°时，a· b>0；当90°<θ≤180°时，a· b<0；当θ＝90° 时，a· b＝0.
小结
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的
数量积(或内积)，记作a· b，即a· b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角， θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.
a· b －9 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝－2. |a||b| 6×3
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用. (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转
→2 →2 →2 解析 易知|AB| ＝|BC| ＋|CA| ，
C＝90°.
探究点三 平面向量数量积的性质
1 25 解 a· b＝|a||b|cos θ＝5×5×2＝ 2 .
|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2
＝ 25 25＋2× 2 ＋25＝5 3.
2 2 2
|a－b|＝ a－b ＝ |a| －2a· b＋|b|
＝ 25 25－2× 2 ＋25＝5.
π 〈a，b〉＝2
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos θ 叫 做a与b的数量积(或内积)，记作a· b，即a· b＝ ， 其 |a||b|cos θ 中θ是a与b的夹角.
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(3)投影：设两个非零向量 a、b的夹角为θ，则向量a在b方向
思考3 答
对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a· b何时为正
数？何时为负数？何时为零？ 当0°≤θ<90°时，a· b>0；当90°<θ≤180°时，a· b<0；当θ＝90° 时，a· b＝0.
小结
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的
数量积(或内积)，记作a· b，即a· b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角， θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.
a· b －9 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝－2. |a||b| 6×3
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用. (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转
人教版(A版)高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件 (共21张PPT)
为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人， 不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人 昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到 人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境， 人。性格决定命运，气度决定格局，细节决定成败，态度决定一切，思路决定出路，高度决定深度。未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。伟人 为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。只要有信心，人永远不会挫败 毅力以磨平高山。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。一个人最大的破 资产是希望。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为 再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！路再长也会有终点， 不管雨下得有多大，总会有停止的时候。乌云永远遮不住微笑的太阳！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总 人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边 到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西 样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战 是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选择决定命运，环境造就人生！懂得 胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！得之物而失之本，此乃大 要的，他和成功对我一样有价值。我的那些最重要的发现是受到失败的启发而获得的。不会从失败中找寻教训的人，他们的成功之路是遥远的。没有多次失败 5、这世界除了心理上的失败，实际上并不存在什么失败，只要不是一败涂地，你一定会取得胜利的。明智的人决不坐下来为失败而哀号，他们一定乐观地寻找 谬误有多种多样，而正确却只有一种，这就是为什么失败容易成功难脱靶容易中靶难缘故。什么叫做失败，失败是到达较佳境地的第一步。一个人失败的最大 己的能力永远不敢充分的信任；甚至自己认为必将失败无疑败莫败于不自知失败是成功之母，高不过脚底板。凡百事之成也在敬之，其败也必在慢之。成功者 口。因为害怕失败而不敢放手一搏，永远不会成功。为伟大的事业捐躯，从来就不能算做失败。错误经不起失败，但是真理却不怕失败。一个志在有大成就的 所说，知道限制自己。之，什么事都想做的人，其实什么事都不能做，而终归于失败。许多赛跑的人失败，都是失败在最后几步无数人的失败，都是失败于做 做到离成功只差一步就停下来。一经打击就灰心泄气的人，永远是个失败者。人的聪明和自己的明智及道路的选择，往往在失败以后一个人的希望越大，他的 许就越多，就跟一个人走的路越长，踢着的石子会越多一样。失败是坚忍的最后考验。十九次失败，到第二十次获得成功，这叫坚持。在意志力个和斗争性方 往是导致他们成功或失败的重要原因之一。不论成功或失败，都系于自己。
2019-2020学年人教A版必修4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件(20张)
数学 必修4 A
第二章 平面向量
2．(2019·湖北武汉期末)给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝
b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的
个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C ①②③显然正确；(a·b)·c 与 c 共线，而 a·(b·c)
量 e1 的夹角的余弦值是( )
3 A.4
B．357
25 C.37
D．5 3737
数学 必修4 A
第二章 平面向量
解析：选 D ∵|3e1＋4e2|2＝9e21＋24e1·e2＋16e22＝9＋24×12 ＋16＝37，
∴|3e1＋4e2|＝ 37. 又∵(3e1＋4e2)·e1＝3e21＋4e1·e2＝3＋4×12＝5， ∴cos θ＝ 537＝53737.故选 D.
数学 必修4 A
第二章 平面向量
5．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，|a|＝3，|a＋b|＝ 13，
则|b|等于( )
A．5
B．4
C．3
D．1
解析：选 B |a＋b|2＝13，即(a＋b)2＝13.
a2＋2a·b＋b2＝13，
9＋2|a|·|b|cos 120°＋|b|2＝13，
|b|2－3|b|－4＝0.
B．32
C．±32
D．1
数学 必修4 A
第二章 平面向量
解析：选 B ∵3a＋2b 与 ka－b 互相垂直， ∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0， ∵a⊥b，∴a·b＝0， ∴12k－18＝0，k＝32.故选 B.
数学 必修4 A
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可 以为正(当 a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0，90° ＜θ≤180°时)，还可以为 0(当 a＝0 或 b＝0 或 θ＝90°时)．
2．两非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公 式|a|＝ a2.
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程，推出|a|与|b|的关 系，再求 a 与 b 的夹角．
(1)(0，1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 当 k＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0°，不符合题意， 舍去． 综上，k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1.]
的区别．(易混点)
升了学生数学运算和数据分析的
核心素养.
自主预习 探新知
1．平面向量数量积的定义 非零向量 a，b 的夹角为 θ，数量 |a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos θ ．特别地， 零向量与任一向量的数量积等于 0 ．
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向 量．
求平面向量数量积的步骤 (1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量 积，即 a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也|cos θ(θ 为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向 上的投影为|a|cos θ. (2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
人教A版高中数学必修平面向量数量积物理背景及其含义PPT精品课件
呢？
思考2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F
┓
s
3
F θ
F
θ S
O
位移S
A
一个物体在力 F 的作用下产生位移 S , 那么力 F 所做
的功
W= F S F S cos
θ表示力 F 的方向与位移S 的方向的夹角。
我们将功的运算类比到两个向量的一种运
算，得到向量“数量积”的概念。
90
A
a 与 b 垂直，
记作 a b
向量的数量积是一个数量，那么它何时
为正，何时为负，何时为零？
a b | a || b | cos
当_0_______9_0__ 时a b 为正；
当_9_0______1_8_0_ 时 a b 为负;
当_____9_0_时 a b 为零;
当_____0_时a b =|a||b|;
B
b
O
a B1 A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
思考3：根据投影的概念，数量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2 ＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2 是否成立？为什么？
思考2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F
┓
s
3
F θ
F
θ S
O
位移S
A
一个物体在力 F 的作用下产生位移 S , 那么力 F 所做
的功
W= F S F S cos
θ表示力 F 的方向与位移S 的方向的夹角。
我们将功的运算类比到两个向量的一种运
算，得到向量“数量积”的概念。
90
A
a 与 b 垂直，
记作 a b
向量的数量积是一个数量，那么它何时
为正，何时为负，何时为零？
a b | a || b | cos
当_0_______9_0__ 时a b 为正；
当_9_0______1_8_0_ 时 a b 为负;
当_____9_0_时 a b 为零;
当_____0_时a b =|a||b|;
B
b
O
a B1 A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
思考3：根据投影的概念，数量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2 ＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2 是否成立？为什么？
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创设问题情景
三 、 课 抽象概念 堂 结 探究性质 构 设 探究运算律 计
数学背景 方法 物理背景 定义分析 几何意义 物理意义 性质 证明 运算律 证明 例题与练习 课堂小结
应用与提高
四、教学媒体设计
１、高效实用的电脑多媒体课件
２、科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念 １、概念： ２、概念强调：（1）记法 二、数量积的性质 四、应用与提高 例1： 例2：
师生共同证明运算律（3）
活动五:应用与提高
例1、已知a 6， 4，a与b 的夹角为 ，求 a 2b a 3b . b 60 并思考此运算过程类似 于哪种实数运算？
例2、对任意向量 ，b 是否有以下结论： a 2 2 2 (1) a b a 2a b b 2 2 (2) a b a b a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 说课提纲
一、 背景分析
二、教学目标设计
三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
一、背景分析
1、学习任务分析
(1)学习任务
通过“功”的事例抽象平面向量数量积的含义, 探究数量积的性质与运算律,体会类比的思想方法, 提高学生抽象概括、推理论证的能力。 (2)教学重点 数量积的概念
（2）比较 a b 与a b
的大小，你有什么
结论？
2、明晰数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，则 a ·b =0 （1） a⊥ b a （2）当 a 与 b 同向时， ·b=|a|| b| a 当 a 与 b 反向时， ·b =-| a||b | 2 a a 特别地， · =︱︱或︱︱= a a a a （3）︱a ·b︱≤ | a|| b |
3、性质的证明
活动四：探究数量积的运算律
1、运算律的发现
问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？
这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答:
① a·b= b·a ②（a·b）c= a (b·c) ③（a + b）·c=a·c +b ·c
2、明晰运算律
(1) a b b a (2)a b a b a b (3) a b c a c b c
b 已知向量 a, , c 和实数λ，则：
3、运算律的证明
学生独立证明运算律（2）
证明反思：当λ<0时，向量a 与 a 、 与b b 的方向的关系如何？此时，向量 a 与 b 、 a 与 b的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗？
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
2、明晰数量积的定义 （1）定义 ：a b a b cos
（2）定义的简单说明：
问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
夹角 的范围 0 90 90 a b 的正负
物理模型 概念 性质 运算律 应用
问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生 位移S， （１）力F所做的功W= 。
（２） 请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。
F
S
活动二:探究数量积的含义
１、概念的抽象
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结 果又该如何表述？
①、在水平面上位移为10米；
G
S
W 0
②、竖直下降10米；
S
G S
WGS
③、竖直向上提升10米；
G
W G S
④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；
S
G
W G S cos( 30) 180
1、性质的发现
问题８：
活动三：探究数量积的运算性 质
（1）将问题①②③的结论推广到一般向量， 你能得到哪些结论？
2、已知 ABC中， a , AC b ,当a b 0 AB 或a b 0时，试判断 ABC的形状。
活动六、课堂小结与布置作业
1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？ 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
例3、已知 a 3， 4，a与b 不共线，k为何值时， b 向量a kb 与a kb 互相垂直？
学生练习
1、判断下列各命题是否 正确，并说明理由 (1)若a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0 (2)若a 0，a b a c , 则b c
量数积的含义及其物理意义；
（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； （3） 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数 量积的含义及其物理意义； （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系， 理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运 算律进行相关的运算和判断； （3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学 生抽象概括、推理论证的能力。
2、学生情况分析及教学难点
（1）学生情况
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的 运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具 备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运 算的一般方法。
（2）教学难点
对数量积的概念的理解
二、教学目标设计
1、“数学课程标准（实验）”对本节内容的 要求 通过物理中“功”等事例，理解平面向 （1）
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4、研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？ （2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
（2）“规定” 三、数量积的运算律
3、几何意义： 4、物理意义：
例3：
五、教学过程设计
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣 活动二: 探究数量积的含义
活动三：探究数量积的运算性质 活动四：探究数量积的运算律 活动五: 应用与提高 活动六: 课堂小结与布置作业
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？ 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？
第二章 平面向量
第四节 平面向量的数量积
第一课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
教学目标
• 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； • 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； • 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问 题； • 4.掌握向量垂直的条件. • 教学重点：平面向量的数量积定义 • 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的 理解和平面向量数量积的应用
拓展与提高： 已知 a与 b都是非零向量，且 a 3b 与7a 5b 垂直，a 4b与7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。