8.2.2 函数的实际应用(练习)(解析版)(新教材苏教版必修第一册)

8.2.2 函数的实际应用
【基础练习】
1．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ①我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ①我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
其中y 表示离开家的距离，t 表示所用时间.
A ．①①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①① 【答案】A
2．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是（ ） A ．y ＝0.2x B ．y ＝2x 10 C ．y ＝1
10x 2＋2x D ．160.2log y x =+
【答案】B
3．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似满足关系()3log 2y a x =+，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤（ ） A ．4000只 B ．5000只 C ．6000只 D ．7000只 【答案】C
【解析】当1x =时，由()33000log 12a =+，得3000a =. 所以到2018年冬，即第7年，
()33000log 726000y =+=.
4．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ）
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60 【答案】C
【解析】该厂获得的利润f (x )＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，①当x ＝50时该厂获利润最大．
5．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为（ ）
A ．x ＝15，y ＝12
B ．x ＝12，y ＝15
C ．x ＝14，y ＝10
D ．x ＝10，y ＝14
【答案】A
【解析】由三角形相似得
24－y 24－8＝x 20
，得x ＝5
4(24－y )，
()()2
5121808244
S xy y y ∴==-
-+<≤． ①当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.
6．已知函数144lg 1100N t ⎛
⎫
=--
⎪⎝⎭
的图象可表示打字任务的“学习曲线”，
其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N (字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．
【答案】144
【解析】当N ＝90时，90144lg 1144100t ⎛⎫
=--
= ⎪⎝⎭
. 7．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 3≈0.477，lg 4≈0.602) 【答案】5
【解析】设至少经过x 小时才能开车，由题意得()0.3125%0.09x
-≤，0.750.3x ∴≤，
0.75lg31
log 0.3 4.184lg3lg4
x -=
≈-≥.
8．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 km(含3 km)，3 km 到10 km(含10 km)每走1 km 加价1.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 km ，他应交费________元． 【答案】26.5
【解析】设x 为行车路程，y 为收费钱数，则y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
8，0<x ≤3；8＋1.5(x －3)，3<x ≤10，
18.5＋0.8(x －10)，x >10.①当x ＝20时，y ＝18.5＋0.8×(20
－10)＝26.5.
9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按()5log 21A +进行奖励．记奖金y (单位：万元)，销售利润为x
(单位：万元)．
（1）写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；
（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】（1）奖金y 关于销售利润x 的关系式为()50.15,08,
1.2log 215,8.x x y x x ⎧=⎨
+->⎩
（2）由题意得，当0≤x ≤8时，0.15x ＝3.2，无解；
当8x >时，由()51.2log 215 3.2x +-=，即()5log 2152x -=，21525x ∴-=，20x =． 答：小江的销售利润是20万元．
10．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (μg)与时间t (h)之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间的函数关系式y ＝f (t )；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25μg 时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
【解析】（1）当0≤t ＜1时，y ＝kt ，由M (1,4)在直线上，得4＝k ，故y ＝4t ；
当t ≥1时，12t a
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，由M (1,4)在曲线上，得1142a
-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，解得a ＝3，即3
12t y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
.
故()34,01,1, 1.2t t t y f t t -<⎧⎪
==⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭
⎩≤≥
（2）由题意知f (t )≥0.25，则⎩⎪⎨⎪⎧
4t ≥0.25，0≤t ＜1或3
10.25,
21,
t t -⎧⎛⎫⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎩
≥≥ 解得116≤t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝415
16(h)．
答：服药一次治疗疾病的有效时间为415
16
(h)．
【能力提升】
11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出了下列说法：
①此指数函数的底数为2；
①在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2； ①野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；
①设野生水葫芦蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，则有123t t t +=. 其中正确的说法有________．(请把正确说法的序号都填在横线上) 【答案】①①①
【解析】该指数函数的解析式为f (x )＝2x ，所以①正确；当x ＝5时，f (5)＝32>30，所以①正确；由()1124x f x ==和()22212x f x ==，得12x =，222log 122log 3x ==+，所以212log 3 1.5x x -=>，所以①错误；设122t =，
223t =，326t =，则11t =，22log 3t =，32log 6t =，则12221log 3log 6t t +=+=，所以①正确．
12．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n ＋1)元时，比礼品价格为n (n ①N *)元时的销售量增加10%.
（1）写出礼品价格为n 元时，利润()f n 关于n 的函数关系式； （2）请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润． 【解析】（1）设未赠礼品时的销售量为m 件， 则当礼品价格为n 元时，销售量为m (1＋10%)n 件，
利润()()()()()
*10080110%20 1.1020,n
n f n n m n m n n =--+=-⨯<<∈N ．
（2）令()()10f n f n +-≥，即()()119 1.120 1.10n n n m n m +-⨯--⨯≥，解得n ≤9， 所以()()()()()123910f f f f f <<<
<=.
令()()120f n f n +-+≥，即()()1219 1.118 1.10n n n m n m ++-⨯--⨯≥，解得n ≥8， 所以()()()()()910111219f f f f f =>>>
>.
答：当礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．。