初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案.doc

初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案一、相似1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I．（1）求证： AF⊥ BE；（2）求证： AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点，∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，°∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC，∴A E=CE，∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF，∴△ CDE≌ △CDF，∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，°∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°在△ ABE 与△ ACF中，，∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），∴∠ ABE=∠ FAC，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE（2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90°∴四边形 DECF是正方形，∴EC∥ DF， EC=DF，∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF，在△ AEH 与△FDH 中，∴△ AEH≌ △FDH（ AAS），∴EH=DH，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE，∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM ，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC 的中点M ，结合正方形的性质，可证得∠ EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△ FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

2．如图，抛物线 y=﹣ +bx+c 过点 A（ 3，0）， B（ 0， 2）． M（ m， 0）为线段 OA 上一个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点P、 N．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P 是 MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；（3）如果以 B， P，N 为顶点的三角形与△ APM 相似，求点 M 的坐标．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=px+q，把 A（ 3， 0）， B（ 0，2）代入得，解得，∴直线 AB 的解析式为y=﹣x+2；把A（ 3 ， 0 ）， B（ 0 ， 2 ）代入y=﹣+bx+c 得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2（2）解：∵ M （ m， 0）， MN ⊥ x 轴，∴N（m，﹣m2+m+2）， P（ m，﹣m+2 ），∴N P=﹣ m2+4m， PM=﹣ m+2，而NP=PM，∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得 m1=3（舍去）， m2=，∴N 点坐标为（，）（3）解：∵ A（ 3， 0）， B（ 0， 2）， P（ m，﹣m+2），∴AB==，BP==m，而NP=﹣ m2+4m，∵MN ∥ OB，∴∠ BPN=∠ ABO，当=时，△BPN∽ △OBA，则△BPN∽ △MPA，即m ： 2= （﹣m 2+4m ）：，整理得 8m 2﹣11m=0 ，解得 m1=0（舍去）， m2= ，此时 M 点的坐标为（， 0）；当= 时，△ BPN∽△ ABO，则△ BPN∽ △ APM，即m：=（﹣m2+4m）：2，整理得 2m 2﹣5m=0 ，解得 m1=0（舍去）， m2=，此时 M 点的坐标为（， 0）；综上所述，点M 的坐标为（，0）或（，0）【解析】【分析】（ 1）因为抛物线和直线AB 都过点A（ 3,0）、 B（ 0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；（2）由题意知点P 是 MN 的中点，所以PM=PN；而 MN OA 交抛物线与点N，交直线AB 于点 P，所以 M、 P、 N 的横坐标相同且都是m, 纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表示，即P（ m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN 即可的关于m 的方程，解方程即可求解；（3）因为以B， P， N 为顶点的三角形与△ APM相似，而△ APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠ PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m 的值；当∠ PNB= 时，则可得△ PNB∽ △ PMA，即得相应的比例式，可求得m 的值。

3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形 A BCD的边 BC 在 x 轴上， D 点在 y 轴上， C 点坐标为（2， 0）， BC=6，∠BCD=60°，点 E 是 AB 上一点， AE=3EB，⊙ P 过 D，O ， C 三点，抛物线y=ax2+bx+c 过点 D ， B ， C 三点．（1）请直接写出点 B、 D 的坐标： B（ ________）， D（ ________）；（2）求抛物线的解析式；（3）求证： ED 是⊙P 的切线；（4）若点 M 为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N 的坐标，使得以点 B， D， M， N 为顶点的四边形为平行四边形．【答案】（1） -4， 0； 0， 2（ 2 ）解：将（ 2 ， 0 ）， B （ -4,0 ）， D(0, ); 三点分别代入 y=ax2 +bx+c 得，解得∴所求抛物线的解析式y=-x2-x+（3）证明：在 Rt△ OCD 中， CD=2OC=4，∵四边形 ABCD为平行四边形，∴A B=CD=4， AB∥ CD，∠ A=∠BCD=60 ，°AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴，∵∴∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ DAE=∠ DCB=60 ，°∴△ AED∽△ COD，∴∠ ADE=∠ CDO，而∠ ADE+∠ ODE=90°∴∠ CDO+∠ODE=90 ，°∴CD⊥DE，∵∠ DOC=90 ，°∴CD 为⊙ P 的直径，∴ED 是⊙P 的切线（4）解：点N 的坐标为（ -5，）、（3，）、（-3，-）【解析】【解析】解：（1）∵C点坐标为（2，0），∴OC=2 ,∵BC=6 ,∴OB=BC-OC=4 ,∴B（ -4,0），∵∠ BCD=60 ，°tan∠BCD=,∴,∴OD=,∴D(0,);（4 存在 ,∵ y=-x2-x+=-(x+1)2+∴M(-1,)，∵B(-4,0),D(0,)，如图，当BM 为平行四边形BDMN 的对角线时，点 D 向左平移 4 个单位 ,再向下平移个单位得到B，则点 M(-1, )向左平移 4 个单位 ,再向下平移个单位得到 N1(-5, )；当 DM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 B 向右平移 3 个单位 ,再向上平移个单位得到D，则点 M(-1, )向右平移 4 个单位 ,再向上平移个单位得到 N2(3, )；当 BD 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 M 向右平移 1 个单位 ,再向下平移个单位得到D，则点 B(-4,0) 向右平移 1 个单位 ,再向下平移个单位得到N3(-3,-)；综上所述 ,以点 B,D,M,N 为顶点的四边形为平行四边形时,点 N 的坐标为 (-5 ，,)或 (3,)或(-3,-）【分析】（ 1）根据点 C 的坐标，求出OC 的长度，进而求出OB 的长度，得出 B 点的坐标。

根据正切函数的定义得出OD 的长度，从而得出 D 点的坐标；（2）用待定系数法，分别将：将（2， 0）， B（-4,0）， D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c得得出关于a,b,c 的三元一次方程组，求解得出a,b,c 的值，从而得出解析式；（3）根据平行四边形的性质得出AB=CD=4， AB∥ CD，∠ A=∠ BCD=60°，AD=BC=6，又根据AE=3BE，，从而得出AE=3，根据锐角三角函数的定义得出AE∶ AD＝OC∶ CD,然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出△ AED∽△ COD，根据相似三角形对应角相等得出∠ ADE=∠ CDO，根据等量代换得出∠CDO+∠ ODE=90°，即CD⊥ DE，根据90°的圆周角所对的弦是直径得出CD 为⊙ P 的直径，从而得出结论；（4）首先求出抛物线的顶点M 的坐标，然后按当BM 为平行四边形BDMN 的对角线时；当 DM 为平行四边形BDMN 的对角线时；当BD 为平行四边形BDMN 的对角线时；三种情况，找到其他点的平移规律即可得出N 点的坐标。

4．如图 1，经过原点O 的抛物线y=ax2+bx（ a≠0）与x 轴交于另一点A（， 0），在第一象限内与直线y=x 交于点 B（ 2， t ）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B， O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标；（3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且∠ MBO=∠ ABO，在（ 2）的条件下，是否存在点P，使得△ POC∽ △ MOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 （1）解： ∵B （ 2，t ）在直线 y=x 上，∴ t =2 ， ∴ B （2， 2），把 A 、 B 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得 ，∴抛物线解析式为y=2x 2﹣3x（2）解：如图 1，过 C 作 CD ∥y 轴，交 x 轴于点 E ，交 OB 于点 D ，过 B 作 BF ⊥ CD 于点F ，∵点 C 是抛物线上第四象限的点，∴可设 C （ t ， 2t 2 ﹣3t ），则 E （t ， 0）， D （ t ，t ）， ∴ O E=t ，BF=2﹣ t ， CD=t ﹣（ 2t 2﹣ 3t ） =﹣ 2t 2+4t ，△OBC =S △ CDO +S △CDB =CD?OE+ CD?BF= （﹣ 2t2）（ t+2 ﹣t ）=﹣ 2t 2+4t ， ∴S +4t∵△ OBC 的面积为 2，2∴﹣ 2t +4t=2 ，解得 t 1=t 2=1，（3）解：存在．设 MB 交 y 轴于点 N ，如图 2，∵B（ 2，2），∴ ∠AOB=∠ NOB=45 ，°在△ AOB 和△ NOB 中∴△ AOB≌ △ NOB（ ASA），∴ON=OA=，∴N（0，），∴可设直线BN 解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，∴直线 BN 的解析式为y= x+，联立直线BN 和抛物线解析式可得，解得或，∴M （﹣，），∵C（1 ，﹣ 1），∴∠ COA=∠ AOB=45 ，°且 B（ 2， 2），∴O B=2 ， OC= ，∵△POC∽ △MOB，∴= =2，∠ POC=∠ BOM，当点 P 在第一象限时，如图3，过 M 作 MG⊥ y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥ x 轴于点 H，∵∠ COA=∠BOG=45 ，°∴∠ MOG=∠POH，且∠ PHO=∠ MGO，∴△ MOG∽ △POH，∴===2，∵M （﹣，），∴MG=，OG=，∴PH= MG=，OH=OG=，∴P（，）；当点 P 在第三象限时，如图4，过 M 作 MG⊥ y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥y 轴于点 H，同理可求得PH= MG=，OH=OG=，∴P（﹣，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）【解析】【分析】（ 1）根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x 交于点 B（ 2， t），可求出点 B 的坐标，再将点A、 B 的坐标分别代入y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出a、 b的值，即可求得答案。