高中数学 一元二次函数方程和不等式基本不等式课件 新人教A版必修一第一册
A.254
B.258
C．5
D．6
【错解】 由 x＋3y＝5xy⇒5xy≥2 3xy， 因为 x>0，y>0，所以 25x2y2≥12xy，即 xy≥1225.
所以 3x＋4y≥2 12xy≥2 12·1225＝254， 当且仅当 3x＝4y 时取等号， 故 3x＋4y 的最小值是254. 错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条 件必须一致．
(2)如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值14S2.
【证明】 因为 x，y 都是正数，所以x＋2 y≥ xy. (1)当积 xy 等于定值 P 时，x＋2 y≥ P，所以 x＋y≥2 P， 当且仅当 x＝y 时，上式等号成立．于是，当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P.
C 错误；对于 D，因为 ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2 即ba＋ab≥2 成立．
答案：D
ab·ab，
2．若 a>1，则 a＋a－1 1的最小值是(
)
A．2
B．a
2a C.a－1
D．3
解析：a>1，所以 a－1>0，
所以 a＋a－1 1＝a－1＋a－1 1＋1≥2 a－1·a－1 1＋1＝3.
状元随笔
基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b∈R＋)的应用：
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a>0，b>0，
且a
＋b＝M，M
为定值，则
ab≤M4
2
，当且仅当
a＝b
时等号成立．即：
a
＋b＝M，M
为定值时，(ab)max＝M4
2
.
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a>0，b>0，
状元随笔
1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将 x＋y＝8 代入⇒用基本不等式求最值． 2．利用基本不等式得 x＋2y＋x＋22y2－8≥0⇒设 x＋2y＝t>0， 解不等式求出 x＋2y 的最小值．
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( )
【正解】 由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1，所以 3x＋4y＝(3x＋
4y)51y＋53x＝95＋45＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝153＋152＝5， 当且仅当 x＝1，y＝12时取等号， 故 3x＋4y 的最小值是 5. 答案：C
(1)正数：指式子中的 a，b 均为正数，
(2)相等：即“＝”成立的条件．
【答案】(2)②
跟踪训练 1 设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
a＋b A.a<b< ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解 析 ： 0<a<b ⇒ a2<ab<b2 ⇒ a< ab <b,0<a<b ⇒ 2a<a ＋ b<2b ⇒
不等式可知 D 项正确．
答案：D
4．已知 x，y 都是正数． (1)如果 xy＝15，则 x＋y 的最小值是________． (2)如果 x＋y＝15，则 xy 的最大值是________．
解析：(1)x＋y≥2 xy＝2 15，即 x＋y 的最小值是 2 15；当且
仅当 x＝y＝ 15时取最小值．
当且仅当 a－1＝a－1 1即 a＝2 时取等号．
答案：D
3．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4 C. ab≥a＋2 b
B．a2＋b2≥4ab D．x2＋x32≥2 3
解析：a<0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，a2＋ b2<4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab<a＋2 b，故 C 错误；由基本
最新课程标准： 掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b≥0)．结合具体实例，能用基 本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
知识点 基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数 a、b，都有 a2＋b2__≥__2ab，当 且仅当a_＝__b_时，等号成立．
(2)基本不等式： ab__≤__a＋2 b(a>0，b>0)，当且仅当a_＝__b_时， 等号成立．其中a＋2 b和 ab分别叫做正数 a，b 的__算__术__平__均__数__和 __几__何__平__均__数__．
1．举反例、基本不等式⇒逐个判断． 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 【答案】(1)B
(2)给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a<0，b<0，则 ab＋a1b≥2； ③不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x>0 且 y>0.其中正确命题的序 号是________．
【 解 析 】 (2) 只 有 当
a<a＋2 b<b，又
ab<a＋2 b，所以 a<
a＋b ab< 2 <b.
答案：B
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处
理．
题型二 利用基本不等式求最值[教材 P45 例 2] 例 2 已知 x，y 都是正数，求证： (1)如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P；
跟踪训练 2 (1)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)
的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
(2)若正实数 x，y 满足 x＋2y＋2xy－8＝0，则 x＋2y 的最小值
()
A．3
B．4
9 C.2
11 D. 2
解析：(1)因为 x>0，y>0，且 x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x＋2 y2＝9＋42＝ 25，因此当且仅当 x＝y＝4 时，(1＋x)·(1＋y)取最大值 25. (2)因为正实数 x，y 满足 x＋2y＋2xy－8＝0， 所以 x＋2y＋x＋22y2－8≥0. 设 x＋2y＝t>0，所以 t＋14t2－8≥0， 所以 t2＋4t－32≥0，即(t＋8)(t－4)≥0，所以 t≥4， 故 x＋2y 的最小值为 4. 答案：(1)B (2)B
(2)xy≤x＋2 y2＝1252＝2425，即 xy 的最大值是2425.
当且仅当 x＝y＝125时 xy 取最大值．
答案：(1)2 15
225 (2) 4
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解[经典例题] 例 1 (1)下列不等式中，不正确的是( ) A.a2＋b2≥2|a||b| B.ab2≥2a－b(b≠0)
(2)当和 x＋y 等于定值 S 时， xy≤S2，所以 xy≤14S2， 当且仅当 x＝y 时，上式等号成立．于是，当 x＝y 时，积 xy 有
最大值14S2. 积是定值，和有最小值．
和是定值，积有最大值．
教材反思 1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代 数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是 消元后利用基本不等式求解． 特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成 立的条件．
且 ab ＝P，P 为定值，则 a ＋b≥2 P，当且仅当 a ＝b 时等号成
立．
[基础自测]
1．已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
解析：对于 A，当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，所以 A 错误；对于 B，C，虽然 ab>0，只能说明 a，b 同号，当 a，b 都小于 0 时，B，
C.ab2≥2ba－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
【解析】 (1)A 中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以 A 正确．由 a2＋b2≥2ab，得 a2≥2ab－b2.B 中，当 b<0 时，ab2≤2a－b，所以 B
不正确．C 中，b≠0，则ab2≥2ba－1，所以 C 正确．D 中，由 a2 ＋b2≥2ab，得 2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以 D 正确．
x>0
时，才能由基本不等式得到
x＋
1 x
≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a<0，b<0 时，ab>0，由基本不等式可
得 ab＋a1b≥2 ab·a1b＝2，故②正确；由基本不等式可知，当yx>0，
x y>0
时，有yx＋xy≥2
yx·xy＝2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故③
错误．
基本不等式的两个关注点
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人教A版必修第一册2.2基本不等式课件
【预习自测】
通过以上结论可以得出，利用基本不等式求最值要注意哪几个方面？ 【提示】利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等” 的原则，即： (1)一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
易错警示 忽视基本不等式成立的前提“正数”
求 y＝x＋1x的取值范围．
错解：因为 y＝x＋1x≥2 {y|y≥2}．
x·1x ＝2，所以 y＝x＋1x 的取值范围为
易错防范：没有考虑为负数的情形．防范措施是运用基本不等式解
题切记“一正二定三相等”．
正解：由题意，y＝x＋1x有意义时 x 的取值范围为{x|x≠0}． 当 x＞0 时，y＝x＋1x≥2 x·1x＝2，当 x＝1 时取等号； 当 x＜0 时，y＝x＋1x＝－－x＋－1x≤－2 －x·－1x＝－2，当 x＝－ 1 时取等号． 综上，y＝x＋1x的取值范围是{y|y≤－2 或 y≥2}．
2．(1)已知 x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值为________． (2)(2021 年唐山模拟)若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的 最大值是________．
【答案】(1)16 (2)2
【解析】(1)因为1x＋9y＝1，所以 x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝1＋9yx＋yx＋9＝
ab c.
上 述 三 个 不 等 式 两 边 均 为 正 ， 分 别 相 乘 ， 得 1a－1 1b－1 1c－1
≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8，当且仅当
a＝b＝c＝13时，等号成立．
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3.2一元二次不等式的应用课件新人教A版必修第一册
[解] 若 a＝0，则原不等式为－x－1<0，即 x>－1，不合题 意，故 a≠0.
令 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1， ∵原不等式对任意 x∈R 都成立， ∴二次函数 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1 的图象在 x 轴的下方， ∴a<0 且 Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，
即aa<－0，13a＋1>0 ∴a<－13.
[答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－ 1>0 的解集为 R，则a1>＋04，a<0， ，解得 a∈∅，所以不存在 a 使不 等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R
课堂互动探究
题型一 解简单的分式不等式 【典例 1】 解下列不等式： (1)x1＋－2x<0；(2)xx＋ －12≤2. [思路导引] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式 组求得．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再 通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述 方法求解．
[针对训练] 1．解下列不等式： (1)23xx－＋11≥0；
2－x (2)x＋3>1.
[解] (1)原不等式可化为32xx＋－11≠30x，＋1≥0，
解得xx≤≠－－1313或，x≥12，
[解] 由题意列出不等式 S 甲＝0.1x＋0.01x2>12， S 乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得 x<－40，或 x>30. x<－50，或 x>40. 由于 x>0，从而得 x 甲>30 km/h，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
课堂归纳小结 1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不 等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、 低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元 二次不等式上来. 2.当一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为 R 时，意味 着 ax2＋bx＋c>0 恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需 考虑开口方向与判别式 Δ 即可.
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时实数大小的比较与不等式课件新人教A版必修第一册
20 ≤ + ≤ 30,
则ቐ28 + 58 ≤ 1 800,
, ∈ ∗ .
探索点二 比较数(式)的大小
【例 2】 若 a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x-3,试比较 a,b,c 的
大小.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.变式练将本例中条件变为 a=(x+5)(x+7),b=(x+6)2,
(2)抓关键词,找到不等关系;
(3)用不等式(组)表示不等关系.
(4)利用不等式(组)表示不等关系时,思维要严密、规范,要
注意不等关系中的等号是否能够取到.
【跟踪训练】
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的
4.5 倍还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的不等
式是 4.5t<28 000 .
表示它们之间的 不等关系 .含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
【思考】
根据不等式中文字语言与数学符号之间的关系完成
下表中的内容.
文字语言 大于
数学符号
至多
≤
>
小于
至少
<
≥
文字语言 大于等于 不少于小于等于 不多于
216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不
等式(组)如何表示?
解:矩形菜园靠墙的一边长为 x
即(14- )m,根据已知,得
-
m,则另一边长为
< ≤ ,
(- ) ≥ .
则ቐ28 + 58 ≤ 1 800,
, ∈ ∗ .
探索点二 比较数(式)的大小
【例 2】 若 a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x-3,试比较 a,b,c 的
大小.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.变式练将本例中条件变为 a=(x+5)(x+7),b=(x+6)2,
(2)抓关键词,找到不等关系;
(3)用不等式(组)表示不等关系.
(4)利用不等式(组)表示不等关系时,思维要严密、规范,要
注意不等关系中的等号是否能够取到.
【跟踪训练】
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的
4.5 倍还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的不等
式是 4.5t<28 000 .
表示它们之间的 不等关系 .含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
【思考】
根据不等式中文字语言与数学符号之间的关系完成
下表中的内容.
文字语言 大于
数学符号
至多
≤
>
小于
至少
<
≥
文字语言 大于等于 不少于小于等于 不多于
216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不
等式(组)如何表示?
解:矩形菜园靠墙的一边长为 x
即(14- )m,根据已知,得
-
m,则另一边长为
< ≤ ,
(- ) ≥ .
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
高中数学新人教A版必修第一册 微专题1基本不等式的应用技巧 课件(16张)
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
微专题1 根本不等式的应用技巧
在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常 值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握 三个条件：
(1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．
类型 4 消元代换 【例 4】 (1)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab－1，求 a＋2b 的最小 值； (2)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，求3x＋y－1 3的最小值．
[解] (1)由 2a＋b＝ab－1 得 a＝1＋b－3 2>0，解得 b>2.所以 a＋2b ＝5＋b－3 2＋2b－2≥5＋2 b－3 2·2b－2＝5＋2 6，当且仅当b－3 2＝ 2b－2，即 b＝2＋ 26时等号成立．所以 a＋2b 的最小值是 5＋2 6.
2，当且仅
当 2a2＝b2＋1，即 a＝b＝1 时取“＝”，故 a b2＋1的最大值为 2.
类型 2 拆项
【例 2】 已知 x≥25，则x2－2x4－x＋4 5有(
)
A．最大值45
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
D [法一：∵x≥52，∴x－2>0，则x2－2x4－x＋4 5＝12x－2＋x－1 2≥21 ×2 x－2·x－1 2＝1，等号在 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时取得．
(2)∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<21，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6
≥2 y－3·y－1 3＋6＝8， 当且仅当 y＝4，x＝37时，等号成立． 所以3x＋y－1 3的最小值为 8.
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2课时基本不等式的实际应用
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
反思感悟
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条
件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备
这些条件,则应进行适当的变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见
形式有 y=ax+ 型和y=ax(b-ax)型.
【变式训练 1】 (1)已知 x>3,求 y=x+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)“x>0”是“x+ ≥2 成立”的充要条件.(
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,