河北省冀州中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题B 理

河北冀州中学2015—2016学年度下学期期中考试高二年级数学试题（理）考试时间120分钟 试题分数150分一、选择题：（本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则A B =I （A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤（D ）{}01x x ≤≤ 2.设复数2()1a i z i+=+ 其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A. -12 B. -12i C. -32 D. -32i 3. 如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）（A ） ()y x f x =+ （B ）()y xf x = （C ）2()y x f x =+ （D ）2()y x f x =4. 在平面直角坐标系xOy 中，向量OA uu r ＝(-1, 2)，OB uu u r ＝(2, m ) ， 若O , A , B 三点能构成三角形，则（ ）（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ （D ）m ∈R5.已知函数图象过点，则f （x ）图象的一个对称中心是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）127.已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC ，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．B ．C ．3D ．28.已知满足的实数x 、y 所表示的平面区域为M 、若函数y=k （x+1）+1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3，5]B ．[﹣1，1]C ．[﹣1，3]D ．9.已知p ：“直线l 的倾斜角4πα>”；q ：“直线l 的斜率k ＞1”，则p 是q 的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10.已知双曲线与椭圆221259x y +=的焦点重合，它们的离心率之和为145，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A 、y =B 、y x =C 、35y x =±D 、53y x =± 11.()f x 是定义在（0，＋∞）上单调函数，且对(0,)x ∀∈+∞，都有(()ln )1f f x x e -=+，则方程()'()f x f x e -=的实数解所在的区间是（ ）A 、（0，1e ）B 、（1e ，1）C 、（1，e ）D 、（e ，3） 12.设平面向量、满足|OA |=2、|OB |=1，0=⋅OB OA ，点P 满足0,0,2222222≥≥+++=n m OB n m n OA n m mOP 其中，则点P 所表示的轨迹长度为 A ．21 B ．22 C ．2πD ．22π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若4cos()55πα+=，则9sin(2)10πα+=____________. 14.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）15.已知点及抛物线x 2=﹣4y 上一动点P （x ，y ），则|y|+|PQ|的最小值是 .16.已知数列{}n a 满足()212n n a n =-，其前n 项和n S = . 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()()3a b c a b c ab +++-=.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）()222sin 212C f x x x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. （本小题满分12分）连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使621=+⋅⋅⋅++k a a a ，则称k 为你的幸福数字.（1）求你的幸运数字为3的概率；（2）若1=k ，则你的得分为5分；若2=k ，则你的得分为3分；若3=k ，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸福数字则记0分，求得分X 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M 在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP ；（2）若侧棱PC 与底面ABCD 所成角的正切值为，点M 为侧棱PC 的中点，求异面直线BM 与PA 所成角的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆M ：： +=1（a ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数2()xe f x e=，()ln (1)g x x x a x =--． （Ⅰ）求函数()f x 在点(4,(4))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值的集合M ；（Ⅲ）当a M ∈时，讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ADC 的外接圆交BC 于点E ，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD ；（Ⅱ）当A C=3，EC=6时，求AD 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=，曲线C 的参数方程为．（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 平行于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA|•|MB|=，求点M 轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2．（1）解不等式|g （x ）|＜5；（2）若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．高二理数参考答案(A) CABBB CDDBD CD (B) DCBBC CADBA CD 13. 72514. 125 15. 2 16. ()16232n n n S +=+- 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由()()3a b c a b c ab +++-=，得222a b c ab +-= …2分 ∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴在ABC ∆中，3C π= …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3C π=，∴()222sin 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 2166x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ………8分∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴12sin 2133x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭ ………………11分∴函数()f x 的值域为1⎡⎤⎣⎦………………12分 18. （本小题满分12分）解：（1）设连续抛掷3次骰子，和为6为事件A,则它包含事件A 1,A 2,A 3，其中A 1:三次恰好均为2,1种情况；A 2:一次为1，一次为2，一次为3，有10种情况；,A 3两次为1，一次为4，有3种情况。

共有10种情况。

概率为()105216108P A ==…………..4分 （2）由已知X 的可能取值为5，3，1，0()156P X == ()5336P X == ()51108P X == ()155350163610854P X ==---=19.（1）证明：由已知可算得，∴BD 2+BC 2=16=DC 2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP ； …6分（2）解：如图，取PD 中点为N ，并连结AN ，MN ，BM∥AN，则∠PAN 即异面直线BM 与PA 所成角；又PA⊥底面ABCD ，∴∠PCD即为PC 与底面ABCD 所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．…12分．20.解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；.........2分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；.........6分（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k| 212123344kk kk==≤==++k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为． ................12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2'()xef xe=，∴2'(4)f e=，又∵2(4)f e=，∴函数()f x在点(4,(4))f的切线方程为22(4)y e e x-=-，即223y e x e=-；……3分（Ⅱ）由(1)0g=及题设可知，对任意(0,)x∈+∞，不等式()()1g x g≥恒成立，∴函数()ln(1)g x x x a x=--必在1x=处取得极小值，即(1)0g'=，…4分∵()ln1g x x a'=+-，∴(1)10g a'=-=，即1a=，……………5分当1a=时，()lng x x'=，∴(0,1)x∈，()0g x'<；(1,)x∈+∞，()0g x'>，∴()g x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，则()()10ming x g==……………………6分∴对任意(0,)x∈+∞,不等式()(1)0g x g≥=恒成立，符合题意，即1a=，∴{1}M=；……………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）1a=，∴函数2()()()ln1xeh x f x g x x x xe=-=-+-，其定义域为(0,)+∞，求得22()(ln 1)ln xxe e h x x x x x e e ''=-+-=-， …………………8分 令()()m x h x '=，21()x e m x e x '=-为区间()0,+∞上的增函数，………9分设0x 为函数()m x '的零点，即0201x e e x =，则020x e x e =，∵当00x x <<时，()0m x '<；当0x x >时，()0m x '>，∴函数()()m x h x '=在区间0(0,)x 上为减函数，在区间0(,)x +∞上为增函数， ∴00200020011()()ln ln 20x x e e h x h x x x e x e x ''≥=-=-=+-≥，所以函数()h x 在区间(0,)+∞上为增函数． ……………………12分22.（Ⅰ）证明：连接DE ，∵ACED 是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…5分（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t ，则BE=2t ，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t ）×6=2t•（2t+6），即2t 2+9t ﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则． …10分23. 解：（1）直线l 的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l ：y=x ； 曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线 …4分（2）设点M （x 0，y 0）及过点M的直线为由直线l 1与曲线C相交可得：，即：，x 2+2y 2=6表示一椭圆…8分取y=x+m代入得：3x 2+4mx+2m 2﹣2=0 由△≥0得 故点M 的轨迹是椭圆x 2+2y 2=6夹在平行直线之间的两段弧 …10分24.解：（1）由||x ﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x ﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x ﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x ＜4 …4分（2）因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，所以{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}， ............6分 又f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|≥|（2x ﹣a ）﹣（2x+3）|=|a+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a 的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5． …10分。