初中几何导角问题
2024年中考数学几何模型(全国通用)：三角形中的导角模型-高分线模型、双(三)垂直模型(原卷版)
专题04三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型A．5 B．8例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在交AC于点E，F为AB上的一点，CF与例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ，50C ．(1)求DAE 的度数．(2)试写出DAE 与C B 关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC 于D ，这时AFD 与C B 的关系式是否变化，说明理由．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC 。
A．130 B．例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）16BE ，则ACAB的值为（A．35B．34例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）于点D，AD与CF交于点E，模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)（三垂直模型）结论：①∠B =∠CAD ；②∠C =∠BAD ；③AB AC AD BC 。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在ACB △中，90ACB ，CD AB 于D ，求证：B ACD ．例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD ，BF 分别是△ABC 的高线与角平分线，BF ，AD 交于点E ，∠1＝∠2．求证：△ABC 是直角三角形．例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90ABC ，BD AC ，垂足为D ．如果6AC ，3BC ，则BD 的长为（）A ．2B ．32C ．33D ．332例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在ABC 中， 0180ACB CDB m m ，AE 是角平分线，D 是AB 上的点，AE 、CD 相交于点F ．(1)若90m 时，如图所示，求证：CFE CEF ；(2)若90m 时，试问CFE CEF 还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较CFE 和CEF 的大小，并说明理由．课后专项训练1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90C ，30A ，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，6AC ，则CD 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，ABC 中，BD AC ，BE 平分ABC ，若2A C Ð=Ð，20DBE ，则ABC （）A ．50B ．60C ．70D ．803．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在ABC 中，AF 平分BAC 交BC 于点F 、BE 平分ABC 交AC 于点E ，AF 与BE 相交于点O ，AD 是BC 边上的高，若50C ，BE AC ，则DAF 的度数为（）A ．10B ．12C ．15D ．204．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ，AD ，BE ，CF 分别是ABC 的中线、角平分线和高线，BE 交CF 于点G ，交AD 于点H ，下面说法中一定正确的是（）ACD 的面积等于ABD △的面积；②CEG CGE ；③2ACF ABE ；④AH BH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③A．①②B．①②④6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，，垂足为E，另一腰一点D，DE BC7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）的高和角平分线，点E8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）上，AE、CD相交于点F．(1)给出下列信息：事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：______，结论：______．（填序号）证明：(2)在（1）的条件下，若B ，求DFE 的度数．（用含 的代数式表示）9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，CD AB 于D ，AF 平分CAB 交CD 于E ，交BC 于F ．(1)如果70CFE ，求B 的度数；(2)试说明：CEF CFE ．10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，35BCD ．(1)求EBC 的度数；(2)求A 的度数．解：（1）CD AB ∵（已知），CDB ______°，EBC CDB BCD ∵（______），EBC ______°35 ______°（等量代换），（2）EBC A ACB （______），A EBC _____（等式的性质），90ACB ∵（已知），A ______90 ______°（等量代换）．11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，90ACB ，CD AB 于点D ，E 为AB 上一点，AC AE (1)求证：CE 平分DCB ；(2)若CE EB ，求证：3BD AD ．12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CE 平分∠DCB 交AB 于点E ，(1)求证：∠AEC ＝∠ACE ；(2)若∠AEC ＝2∠B ，AD ＝1，求AB 的长．13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在ABC 中，AD AE 、分别是ABC 的角平分线和高线，ABC ，()ACB ．(1)若35,55 ，则DAE _______；(2)小明说：“无需给出 、的具体数值，只需确定 与 的差值，即可确定DAE 的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在ABC 中，63B ，51C ，AD 是BC 边上的高，AE是BAC 的平分线．(1)求DAE 的度数；(2)若B C ，试探求DAE 、B 、C 之间的数量关系．BAC 和ABC 的平分线相交于点O ，过点O 3）若OD a ，2CE CF b ，请用含a ，b 17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在ABC 中，8040B C ，，AE 平分BAC ．(1)如图①，若AD BC 于D ，求EAD 的度数．(2)如图②若点P 为AE 上一点，PH BC ，求EPH 的度数．18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，90BAC ，AD BC 于点D ，BF 平分ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F ，求证：AE AF ．19．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在ABC 中，AD BC ，AE 平分,70,30BAC B C ．(1)求BAE 的度数；(2)求DAE 的度数；(3)直接写出DAE ，B ，C 三个角之间的数量关系．20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在ABC 中，CD 为ABC 的高，AE 为ABC 的角平分线，CD 交AE 于点G ，BCD 比B 大10 ，110BEA ，求ACD 的大小．。
初中几何导角问题
几何导角基础技巧一．常见几何导角模型1.外角性质（小旗模型）如图（a ）：B A BCD ∠+∠=∠由 180=∠+∠+∠ACB B A 和180=∠+∠ACB BCD 得： B A BCD ∠+∠=∠2.“飞镖”模型如图（b ）：ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠证明思路：延长BD 交AC 于点E ，在CDE ∆和ABE ∆中，由BEC A ABD ∠=∠+∠和BDC ACD BEC ∠=∠+∠得： ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠3.“8”字模型如图（c ）：D C B A ∠+∠=∠+∠证明思路：由180=∠+∠+∠AOB B A ， 180=∠+∠+∠COD D C ，COD AOB ∠=∠可得，D C B A ∠+∠=∠+∠。
4.“内角平分线”模型点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点。
如图（d ）：A P ∠+=∠2190 证明思路：由“飞镖”模型可得：ACP ABP A P ∠+∠+∠=∠再利用角平分线的性质可得：）（A ACP ABP ∠-=∠+∠ 18021，进而可得：A P ∠+=∠2190 5.“内外平分线”模型点P 是ABC ∠和外角ACD ∠的角平分线的交点如图（e ）：A P ∠=∠21 证明思路：由“小旗”模型可得：P PBC PCD ∠+∠=∠，A PBC A ABC PCD ∠+∠=∠+∠=∠22即可得出：A P ∠=∠216.“外角平分线”模型点P 是外角CBF ∠和外角BCE ∠的角平分线的交点如图（f ）：A P ∠-=∠2190证明：)(180PCB PBC P ∠+∠-=∠)E F (21180CB BC ∠+∠-=)2(21180ACB ABC A ∠+∠+∠-=)180(21180+∠-=AA ∠-=2190技巧与方法三角形中倒角技巧及角分线重要结论几何倒角技巧：1.三角形内角和：三角形的内角和为180°2.三角形外角定理：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和3.角平分线：角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角4.直角三角形：直角三角形两锐角互余5.平行线：平行线的性质6等腰三角形：三角形等边对等角，底角相等7.四边形内角和：四边形内角和为360°8.三角形两大基本模型：“8字”模型和“飞镖”模型的角度关系9.方程思想：设角度为未知数，利用上述倒角技巧找出等量关系。
初中几何大m型导角
初中几何大m型导角初中几何中的大M型导角是一个重要的概念，它在解决几何问题中起到了重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍大M型导角的定义、性质和应用。
一、大M型导角的定义大M型导角是指一个几何形状，它由三条线段组成，其中两条线段是平行的，另一条线段与这两条平行线段相交且垂直于它们。
这样的形状看起来像一个字母"M"，因此称之为大M型导角。
二、大M型导角的性质1. 大M型导角的两条平行线段之间的距离是固定的，与它们的长度无关。
这个距离可以通过垂直线段的长度来确定。
2. 大M型导角的两条平行线段之间的夹角是固定的，与它们的长度无关。
这个夹角可以通过垂直线段的长度来确定。
3. 大M型导角的垂直线段的长度可以通过两条平行线段之间的距离和夹角来确定。
三、大M型导角的应用1. 在解决平行线问题时，大M型导角可以帮助我们确定两条平行线段之间的距离和夹角。
2. 在解决三角形问题时，大M型导角可以帮助我们确定三角形的形状和大小。
3. 在解决平面图形问题时，大M型导角可以帮助我们确定图形的对称性和相似性。
四、大M型导角的解题技巧1. 在解题过程中，先确定大M型导角的两条平行线段，然后通过垂直线段的长度来确定距离和夹角。
2. 注意在解题过程中要准确使用几何术语，并且要画出清晰的几何图形。
3. 在解题过程中要灵活运用数学知识和解题技巧，避免死记硬背，要注重理解和推理能力的培养。
五、总结大M型导角是初中几何中的一个重要概念，它在解决几何问题时起到了重要的作用。
通过对大M型导角的定义、性质和应用的介绍，我们可以更好地理解和运用它。
在解题过程中，我们要灵活运用数学知识和解题技巧，注重理解和推理能力的培养，才能更好地解决几何问题。
希望本文对你理解和掌握大M型导角有所帮助。
数学初中教材几何题解析
数学初中教材几何题解析几何题在初中数学教材中占有重要位置，不仅需要掌握几何图形的性质和基本概念，还需要解答各种几何问题。
本文将对几何题的解析方法和技巧进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握几何知识。
一、线段和角的相关问题1. 设AB为一线段，P为AB的中点，若AP=4cm，BP=6cm，求线段AB的长度。
解析：由题意可知，AP=BP，所以AB是AP的两倍，即AB=2*AP=2*4cm=8cm。
2. 已知△ABC中，∠B=90度，AC=6cm，BC=8cm，求∠A和∠C 的度数。
解析：由三角形的性质知，∠A+∠C+∠B=180度，又已知∠B=90度，所以∠A+∠C+90度=180度，化简得∠A+∠C=90度。
又由正弦定理知，sin∠A/AC=sin∠C/BC，代入已知数据可得sin∠A/6cm=sin∠C/8cm，解得∠A=30度，∠C=60度。
二、平行四边形和三角形的相关问题1. 设ABCD是一个平行四边形，E为BC的中点，若AD=8cm，BE=5cm，求AC的长度。
解析：由平行四边形的性质知，BE=AD，所以AC是BE的两倍，即AC=2*BE=2*5cm=10cm。
2. 在△ABC中，AB=AC，BD为角A的平分线，AC=6cm，BD=4cm，求△ABC的周长。
解析：由题意可知，△ABC是一个等边三角形，即AB=AC=BC=6cm，所以△ABC的周长为6+6+6=18cm。
三、相似三角形和比例的运用1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=2/3，BC/EF=5/6，求AC/DF的值。
解析：根据相似三角形的定义，对应角相等，且对应边的比例相等，所以AB/DE=BC/EF=AC/DF，代入已知数据可得AC/DF=(AB/DE)*(EF/BC)=(2/3)*(6/5)=4/5。
2. 已知△ABC和△ADE相似，且AB=4cm，AC=6cm，AD=9cm，求AE的长度。
解析：根据相似三角形的定义，对应角相等，且对应边的比例相等，所以AB/AD=AC/AE，代入已知数据可得4/9=6/AE，解得AE=6*9/4=13.5cm。
推导初中三角函数的推导方法
推导初中三角函数的推导方法三角函数是数学中非常重要的概念，它在物理、几何和工程等各个领域中都有广泛的应用。
在初中阶段，学生首次接触到三角函数，并学习如何推导它们的数学形式。
本文将介绍初中阶段推导三角函数的方法。
一、正弦函数的推导1. 假设在直角三角形中，∠A 是锐角，边长为 a 的边是斜边，边长为 x 的边是对边，边长为 h 的边是邻边。
2. 根据勾股定理：h² = a² - x²。
3. 将方程两边同时除以 a²：(h²/a²) = 1 - (x²/a²)。
4. 将方程两边开方，得到：(h/a) = √(1 - (x²/a²))。
5. 由三角函数定义可知，sinA = h/a，因此可得到正弦函数的推导公式：sinA = √(1 - (x²/a²))。
二、余弦函数的推导1. 假设在直角三角形中，∠A 是锐角，边长为 a 的边是斜边，边长为 x 的边是对边，边长为 h 的边是邻边。
2. 根据勾股定理：h² = a² - x²。
3. 将方程两边同时除以 a²：(h²/a²) = 1 - (x²/a²)。
4. 由三角函数定义可知，cosA = x/a，因此可得到余弦函数的推导公式：cosA = √(1 - (h²/a²))。
三、正切函数的推导1. 假设在直角三角形中，∠A 是锐角，边长为 a 的边是斜边，边长为 x 的边是对边，边长为 h 的边是邻边。
2. 根据正切函数定义，tanA = x/h。
3. 将正弦函数和余弦函数的推导公式代入，得到正切函数的推导公式：tanA = x/√(a² - x²)。
四、割函数、余割函数和正割函数的推导1. 根据三角函数定理可知，割函数 secA = 1/cosA，余割函数 cscA = 1/sinA，正割函数 cotA = 1/tanA。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：三角形中的导角模型-双角平分线(三角形)模型(学生版)
专题05三角形中的导角模型-双角平分线（三角形）模型模型1、双角平分线模型图1图2图31）两内角平分线的夹角模型ABC 和∠ACB 的平分线，CO 是△ABC 的外角平分线；）一个内角一个外角平分线的夹角模型图4图5图64）凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2P A D 5）两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2180P A B E 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6，A ，,ABC ACD 的平分线相交于点1P ，11,PBC PCD 的平分线相交于点2P ，2P BC ，2P CD 的平分线相交于点3P ……以此类推；结论：n P 的度数是．7）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点EDC B A 条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，点P 是ABC 内一点，且点P 到ABC 三边的距离相等，若124BPC ，则A ．例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE 中，A B E a ，DP ，CP 分别平分EDC ，BCD ，则P 的度数是．例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．(1)求证：∠AOC ＝90°＋12∠ABC ；(2)当∠ABC ＝90°时，且AO ＝3OD （如图2），判断线段AE ，CD ，AC 之间的数量关系，并加以证明．例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝（）A ．35°B ．25°C ．70°D ．60°例7．（2022秋·八年级课时练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD 的平分线，2CA 是1ACD 的平分线，3BA 是2A BD 的平分线，3CA 是2A CD 的平分线，……以此类推，若例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）点O，则有1902BOC A，请说明理由．（2）如图2所示，在ABC中，内角的平分线与BAC之间的关系，不必说明理由．课后专项训练1．（2023·成都·八年级月考）如图，ABC 的外角ACD 的平分线CP 与内角ABC 的平分线BP 交于点P ，若40BPC ，则(CAP )A ．40B ．45C ．50D ．60 2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，50ABC ，60ACB ，点E 在BC 的延长线上，ABC 的平分线BD 与ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（）A ．70BACB ．90DOC C ．35BDCD ．55DAC3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴在正半轴、x 轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°A ．30 5．（2022秋·四川绵阳与∠ACE 的平分线相交于点③45G ；④2A ACB EBD ．其中结论正确的个数是（A ．1B ．27．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，分线与外角ABD 的平分线交于点E ，连接8．（2023春·江苏南通是1A BD 的平分线，CA 则999A 9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线①MCD MAB ；②BM CM ；③所有正确结论的序号是．．（春河南七年级专题练习）如图，点（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求20．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在ABC A 与B 互为“和谐角”，ABC 为“和谐三角形”．。
初中角的判定定理与性质知识点
初中角的判定定理与性质知识点角是几何学中常见的概念，它是由两条射线共同确定的一个平面上的图形部分。
在初中数学中，我们学习了许多关于角的知识，其中包括角的判定定理与性质。
本文将系统地介绍这些知识点，帮助读者更好地理解和应用角的相关概念。
一、角的判定定理1. 同位角定理：如果两条直线被一条或多条平行线所截，那么所截直线上的对应角或同位角相等。
具体而言，当两条直线被一条直线截断时，同位角相等。
2. 内错角定理：如果两条直线被一条直线所截，那么所截直线的内错角互补。
即它们的和等于补角（180度）。
3. 同旁内角定理：如果两条直线被一条直线所截，那么切线、同旁内角、外错角相等。
4. 外错角定理：如果两条直线被一条直线所截，那么所截直线的外错角也是互补角。
以上四个角的判定定理是初中数学中较为基础和重要的定理，可以应用于各种角的问题。
二、角的性质1. 顶角和对顶角：两条相交直线所夹的角叫做顶角，而对顶角是指两组相对的顶角，它们的度数相等。
2. 互补角和补角：如果两个角的和为90度，则它们互为补角；如果两个角的和为180度，则它们互为补角。
3. 平分线：平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
平分线将角分成的两个小角称为相对角，它们互为补角。
4. 垂直角：两条直线相交时，两组相对的角称为垂直角，它们的度数相等。
5. 邻补角：邻补角是指互补角中与某个角相邻的角。
以上角的性质是初中数学中常见的一些定理，应用广泛，并且在解题过程中经常需要用到。
三、角的应用1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度，即三个内角的度数之和为180度。
2. 平行线与角：当两条直线被一条平行线截断时，所对应的内错角、同位角、外错角等有一些特定的关系，根据这些关系可以推导出许多角的性质。
3. 角的合与差：角的合与差是指两个角的度数相加或相减得到的新角。
在解决一些角度关系的问题时，我们常需要根据已知角的度数求解其他角度。
以上是一些角的应用知识，在初中数学中常常会遇到这些问题，因此掌握这些知识点对于解题非常重要。
专题 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(学生版)
专题03三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①A B C D+<+。
∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D∠例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角∠模型2、“A”字模型例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，DAE ∠的两边上各有一点,B C ，连接BC ，求证180DBC ECB A +∠=︒∠+∠．例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在ABC 中，40A ∠=︒，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经过点,B C ，直角顶点D 落在ABC 的内部，则ABD ACD +=∠∠（）．A ．90︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，若沿图中虚线剪去A ∠，则12∠+∠=__________；（2）如图2，在ABC 中，40A ∠=︒，剪去A ∠后成为四边形，则12∠+∠=__________；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳12∠+∠与A ∠的关系是______________；（4）若没有剪去A ∠，而是将A ∠折成如图3的形状，试探究12∠+∠与A ∠的关系，并说明理由．解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．∠模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
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几何导角基础技巧
一．常见几何导角模型
1.外角性质（小旗模型）
如图（a ）：B
A BCD ∠+∠=∠由和得： 180=∠+∠+∠AC
B B A 180=∠+∠ACB BCD B
A BCD ∠+∠=∠2.“飞镖”模型
如图（b ）：ACD
A ABD BDC ∠+∠+∠=∠证明思路：
延长BD 交AC 于点E ，在和中，
CDE ∆ABE ∆由和得：BEC A ABD ∠=∠+∠BDC ACD BEC ∠=∠+∠ACD
A ABD BDC ∠+∠+∠=∠
3.“8”字模型
如图（c ）：D
C B A ∠+∠=∠+∠证明思路：由，
180=∠+∠+∠AOB B A ， 180=∠+∠+∠COD D C COD
AOB ∠=∠可得，。
D C B A ∠+∠=∠+∠4.“内角平分线”模型
点P 是和的角平分线的交点。
ABC ∠ACB ∠如图（d ）：A
P ∠+=∠21
90
证明思路：由“飞镖”模型可得：
ACP
ABP A P ∠+∠+∠=∠再利用角平分线的性质可得：，进而可得：）（A ACP ABP ∠-=∠+∠ 18021A P ∠+=∠2
190 5.“内外平分线”模型
点P 是和外角的角平分线的交点
ABC ∠ACD ∠
如图（e ）：A
P ∠=∠21
证明思路：由“小旗”模型可得：
，
P PBC PCD ∠+∠=∠A
PBC A ABC PCD ∠+∠=∠+∠=∠22即可得出：
A
P ∠=∠21
6.“外角平分线”模型
点P 是外角和外角的角平分线的交点
CBF ∠BCE ∠
如图（f ）：A
P ∠-=∠21
90 证明：)
(180PCB PBC P ∠+∠-=∠ )
E F (21
180CB BC ∠+∠-= )
2(21
180ACB ABC A ∠+∠+∠-= )
180(21180
+∠-=A
A ∠-=2
190 技巧与方法
三角形中倒角技巧及角分线重要结论
几何倒角技巧：
1.三角形内角和：三角形的内角和为180°
2.三角形外角定理：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和
3.角平分线：角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角
4.直角三角形：直角三角形两锐角互余
5.平行线：平行线的性质
6等腰三角形：三角形等边对等角，底角相等
7.四边形内角和：四边形内角和为360°
8.三角形两大基本模型：“8字”模型和“飞镖”模型的角度关系
9.方程思想：设角度为未知数，利用上述倒角技巧找出等量关系。