辽宁省大连渤海高级中学高三3月高考模拟数学(理)试题
辽宁省大连市高三3月双基测试数学(理科)试卷有答案
A． B． C． D．
4．已知函数 则 的值为（）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分别是 ， ， ， ，若正视图以 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的渐进线与圆 相切，则双曲线的离心率为（）
（ii）3人中女生人数 服从二项分布： ，
∴ （ ）
的分布列为：
0
1
2
3
的数学期望 ．
19．解：（Ⅰ）由于 ， ，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
（Ⅱ）以 为原点， 所在直线为 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ， ， ， ， ，
且 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
（Ⅱ）以样本中的频率作为概率，学校在全校成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中小学体育运动知识竞赛．
（i）在其中2人为男生的条件下，求另1人为女生的概率；
（ii）设3人中女生人数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
19．如图，已知长方形 中， ， 为 的中点，将 沿 折起，使得平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ；
A． B． C． D．
7．若实数 ， 满足约束条件 则目标函数 最大值为（）
A． B． C． D．
8． 的展开式中各项二项式系数之和为 ，则展开式中的常数项为（）
A． B． C． D．
9．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入 ， ， ，则输出的 （）
2020年辽宁大连高三三模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁大连高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第1题5分已知集合M={x|x>−1}，那么下列结论正确的是（）．A. 0⊆MB. {0}∈MC. ∅∈MD. {0}⊆M2、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第2题5分2005年高考真题湖北卷理科第3题5分(1−i)(1+2i)=（）1+iA. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第3题5分一个空间几何体的三视图如图，则这个空间几何体的体积是（）．A. 2+4π3B. 2+8π3C. 1+4π3D. 10+8π4、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第4题5分已知a→，b→是夹角为120°的单位向量，则向量λa→+b→与a→−2b→垂直的充要条件是实数λ的值为（）．A. 54B. 52C. 34D. 325、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第5题5分2018~2019学年广东深圳南山区深圳实验学校高二下学期期末理科第6题5分2018~2019学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期末理科第6题5分2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（）．A. A44A32种B. A42A66种C. A62A64种D. A22A44种6、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第6题5分2010年北京东城区高三一模理科2014~2015学年北京东城区北京市第五中学高三上学期期中理科第6题已知数列{a n}的通项公式a n=log3n n+1(n∈N∗)，设其前n项和为S n，则使S n<−4成立的最小自然数n等于（）．A. 83B. 82C. 81D. 807、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第7题5分直线m，n和平面α，β则下列命题中，正确的是（）．A. m//n，m⊂α，n⊂β⇒α//βB. m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂β⇒α//βC. m//n ，n ⊥β，m ⊂α⇒α⊥βD. m//n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β8、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第8题5分已知函数f (x )=sin(ωx +π4)（x ∈R ，ω>0）的最小正周期为π ，为了得到函数g (x )=cos(ωx +π4)的图象，只要将y =f (x )的图象（ ）．A. 向左平移π8个单位长度B. 向右平移π8个单位长度C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度9、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第9题5分函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d （b ，c ，d ∈R ）的部分图象如图所示，若方程f(x)−2=0恰有两个不等根，则有（ ）．A. d =4927或d =3 B. d <4927或d >3 C. 4927<d <3D. 以上都不对10、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第10题5分已知分段函数f (x )={−x +1,x <00,x =0x +1,x >0求函数的函数值的程序框图如下，则（1），（2）判断框内要填写的内容分别是（ ）．A. x >0，x <0B. x >0，x =0C. x <0，x =0D. x ⩾0，x <011、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第11题5分设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当x ⩾1时，f (x )=lnx −x ，则有（ ）．A. f (13)<f (32)<f (23)B. f (23)<f (32)<f (13)C. f (23)<f (13)<f (32)D. f(32)<f(23)<f(13)12、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第12题5分已知抛物线y=x2−1上三点A，B，C且A(−1,0)，AB⊥BC，当点B移动时，点C的横坐标取值范围是（）．A. (−∞,−3]∪[1,+∞)B. (−∞,−3]C. [1,+∞)D. [−3,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第13题5分函数y=−cos(π3−x2)的单调递增区间是．14、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第14题5分(√x+√x3)12的展开式中，含x的正整数次幂的项数共有项.15、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第15题5分等比数列{a n}中，S n是其前n项和，已知a5=3S4+1，a6=3S5+1，则此等比数列的公比是．16、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第16题5分用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第17题12分在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=3．4(1) 求AB的值．(2) 求sin(2B+C)的值．18、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第18题12分在实验某种牙膏新品种时，需要随机选用两种不同的添加剂进行搭配实验．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可以选用，用X表示所选用的两种不同添加剂的芳香度之和．(1) 写出X的概率分布（以列表形式写出结论即可）．(2) 求X的数学期望E(X)（写出计算过程）．19、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第19题12分正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，E为棱CC1上的动点．(1) 求异面直线DB与A1E所成角的大小．(2) 若二面角A1−DB−E为直二面角，求点E的位置．(3) 在满足条件（2）的情况下，求四面体B−A1DE的体积．20、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第20题12分已知函数f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R)的图象过点P(−1,2)，且在点P处的切线与直线x−3y=0垂直．(1) 若c=0，试求函数f(x)的单调区间．(2) 若a>0，b>0，且函数f(x)在(−∞,m)，(n,+∞)上单调递增，试求n−m的范围．21、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第21题12分设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)上的两点，已知向量m→=(x1b,y1a)，n→=(x2 b ,y2a)，若m→⋅n→=0且椭圆的离心率e=√32，短轴长为2，O为坐标原点．(1) 求椭圆的方程．(2) 试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．四、选做题（本大题共3小题，选做1题，共10分）22、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第22题10分如图，圆O的内接△ABC中，AB=AC，D是圆O上的一点，AD的延长线交BC的延长线于P．(1) 求证：AB2=AD⋅AP．(2) 若圆O的直径为25，AB=20，AD=10，求PC的长．23、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第23题10分2017年江西高三二模理科赣中南五校第22题10分2017年江西高三二模文科赣中南五校第22题10分2018~2019学年陕西西安新城区西安市第八十九中学高二下学期期末理科第18题10分2019~2020学年12月河北衡水武邑县河北武邑中学高三上学期月考文科第22题10分以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1,−5)，点M的极坐标为(4,π2)．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．(1) 求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．(2) 试判定直线l和圆C的位置关系．24、【来源】 2020年辽宁大连高三三模理科第24题10分2018年吉林长春朝阳区长春外国语学校高三二模理科第23题10分2020年辽宁大连高三三模文科第23题10分已知关于x的不等式|ax−1|+|ax−a|⩾1(a>0)．(1) 当a=1时，求此不等式的解集．(2) 若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 C;11 、【答案】 A;12 、【答案】 A;13 、【答案】[4kπ+2π3,4kπ+8π3]，k∈Z;14 、【答案】3;15 、【答案】4;16 、【答案】503;503603;17 、【答案】 (1) √2．;(2) −3√78．;18 、【答案】 (1);(2) 5．;19 、【答案】 (1) 90°．;(2) E是CC1的中点．;(3) 14．;20 、【答案】 (1) 函数f(x)的单调增区间是(−∞,−2)，(0,+∞)，函数f(x)的单调减区间是(−2,0)．;(2) n−m>1．;21 、【答案】 (1) y24+x2=1．;(2) 是；证明见解析．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) PC=−12+8√21．;23 、【答案】 (1) 直线l的参数方程为{x=1+12ty=−5+√32t，（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．;(2) 直线l与圆C相离．;24 、【答案】 (1) (−∞,12]∪[32,+∞)．;(2) [2,+∞)．;。
2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学(理)试题(解析版)
【解析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线 的方程，再根据点差法求出 的中点坐标，从而得出 的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．
【详解】
拋物线 的准线方程为 ，可知抛物线 的方程为： ．
设点 ， 的中点为 ，则
两式相减可得， ， ，所以 ，解得 ，可得 ，则 ，
可得 .
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知数列 满足 ，数列 的前 项的和为 .
（1）求出数列 ， 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】（1） . ， .（2）
【解析】（1）根据构造法即可求出数列 的通项公式，根据 与 的关系 即可求出 的通项公式；
4．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】假设 ，可将 变形为 ，即可知函数 在 上单调递减，然后利用导数和单调性的关系，可得 在 上恒成立，分参得， ，求出函数 在 上的最大值，即可求解出 的取值范围．
【详解】
不妨设 ，由 可得 ，
即 ．设函数 ，则函数 在 上单调递减，可知 ，即有 ，而函数 在 单调递增， ，可知实数 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数 的奇偶性和单调性，即可将 化为 ，再根据不等式恒成立问题的解法，分参，求出 的最小值，即可求解．
【数学】辽宁省大连渤海高级中学2018届高三3月高考模拟数学试题 含答案
高三数学模拟卷 2018.3（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分必考部分和选考部分两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答填空及解答题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
必 考 部 分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（1）设集合P ={3，log 2a }，Q ={a ，b }，若P ∩Q ={0}，则P ∪Q =（ ）A ．{3，0}B ．{3，0，1}C ．{3，0，2}D ．{3，0，1，2}（2）若定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪i z －1z ＝－2的复数z 是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋i D ．－1－i（3）函数4lg ||||x x y x =的图象大致是（ ）（4）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图所示，则截去部分体积与剩余部分体积之比为A. 12B. 13C. 14D. 15（5）设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2eB ．1eC ．e 1e -D ．e 2e-（6）已知ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=c =，则tan A 的值是( )A．3 B．3 CD．3（7）若(),z f x y =称为二元函数，已知(),f x y ax by =+，()()()1,2501,1403,1100f f f --≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则()1,1z f =-的最大值等于( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-（8）已知一个球的表面上有A 、B 、C 三点，且AB =AC =BC =32，若球心到平面ABC 的距离为1，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．15πC ．10πD ．2π（9）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，且焦点与椭圆221362x y +=的焦点相同，离心率为e =，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点2F 的距离为18，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，则NO 等于（ ）A ．23B ．1C ．2D ．4 （10）已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且n n a n S 32+=，则1-n n a a 的最大值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．3 D ．1（11）已知空间四面体ABCD 的体积是V ，点O 是该四面体内的一点，且满足：OA →＋(2－1)OB →＋sin αOC →＋cos αOD →＝0，其中变量α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则下列判断正确的是A ．V O -ACD 的最大值为2－24VB ．V O -ABD 和V O -ABC 的最大值均为V 4C ．V O -ABD ＋V O -ABC 的最大值为12V D ．V O -BCD 的最大值为24V （12）已知曲线21:Cy x =与曲线2:ln 2C y x x ⎛=> ⎝⎭，直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线，设直线l 与曲线1C 的切点为P ，则点P 的横坐标满足A. 102t e <<B. 1122t e <<C. 122t <<D. 2t <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）如图所示，该伪代码运行的结果为 .（14）已知点M (－3，－1)，若函数))2,2((4tan-∈=x x y π的图象与直线y =1交于点A ，则|MA |= ．（15）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足()111,3n n n a a a n N *+==∈，则2017S = .（16）已知a ，b ，c ，d ∈R 且满足123ln 3=-=+c d b a a ，则(a －c )2+(b －d )2的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH 是足球场地边线所在的直线，AB 是球门，且AB =8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P ）所对AB 的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（Ⅰ）若PH =20，求tan ∠APB 的值；（Ⅱ）如图，当某运动员P 沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？（18）（本小题满分12分） 在如图所示的五面体中，面ABCD 是直角梯形，2BAD ADC π∠=∠=,平面ADE ⊥平面ABCD ，ADE ∆是边长为2的正三角形. （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求二面角A BC F --的余弦值.（19）（本小题满分12分）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分HA B 第13题图E D CA F（Ⅰ）求出上表中的的值；（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．① 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；② 记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（20）（本小题满分12分）已知M （92，0），N （2，0），曲线C 上的任意一点P 满足:15||4MN MP PN ⋅= ． （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）设曲线C 与x 轴的交点分别为A 、B ，过N 的任意直线（直线与x 轴不重合）与曲线C 交于R 、Q 两点,直线AR 与BQ 交于点S .问:点S 是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程；若不是,请说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数221()x ax bx f x e++=（e 错误！未找到引用源。
辽宁省大连市2020届高三上学期第三次模拟考试数学(理)
高三检测卷一选择题（每题5分）1．若集合M=1xx ，则下列选项正确的是（） A. 0M B.M 0 C.M D.M 02.i i i 1)21(1(等于（）A ．-2-i B.-2+I C.2-i D.2+i3．一个空间几何体的三视图如下，则这个空间几何体的体积是（）A ．423B ．823 C ．413D ．1084．已知,a b 是夹角为120的单位向量，则向量a b 与2a b 垂直的充要条件是实数的值为( )（）A ．54B ．52 C ．34D ．325. 2个男生，4个女生站成一排，其中男生不相邻也不排在两端的不同站法有( ) A ．A 2344A 种 B 。
A 4424A 种 C 。
A 4626A 种 D。
A 4422A 种6. 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1nn a n n *N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S 成立的最小自然数n 等于（）A ．83 B．82 C ．81 D ．807．直线 m,n 和平面,则下列命题中，正确的是A ．m ∥n, m n ,∥B ．m n n m ,,∥C.m ∥n,n ,mD.m ∥n,m n,8．已知函数()sin()(,0)4f x x x R 的最小正周期为，为了得到函数()cos()4g x x 的图象，只要将()y f x 的图象（）A ．向左平移8个单位长度B ．向右平移8个单位长度C ．向左平移4个单位长度D ．向右平移4个单位长度9．函数),,()(23R d c b d cx bx x x f 的部分图像如图所示，若方程02)(x f 恰有两个不等根，则有( )A.2749d 或3d B.2749d 或3d C.32749d D. 以上都不对10.已知分段函数f(x)=010001x x x x x 求函数的函数值的程序框图如下，则（1），（2）判断框内要填写的内容分别是（）。
【附20套高考模拟试题】2020届]辽宁省大连渤海高级中学高考数学模拟试卷含答案
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17．（12 分）已知函数 f (x) a(x 1) x ln x 1.求函数 f (x) 的最小值；若 a 1，且当 x (2, ) 时，
恒有 k(x 2)
f
(x) 成立，求证： k
9 2
.（ e 2.71828
）
18．（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2， E ， F 分别为 AB ，AD 的中点， AC 与 EF 交于点 G ，将
(a, b N *, b a) ，则圆固率的近似值为 ( )
b
a
3a 3b
A． a B． b C． b D． a
3． (x2
2)(
1 x2
1)5 的展开式的常数项是（
）
A． 3 B． 2 C． 2 D． 3
4．已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且对任意的 x R 都有 f (x) f (x) 2cos x ， f (x) sin x 0 ，
x 1, 小值为 2，则 1 3 的最小值为
ab
A． 2+ 3 B．5+2 6 C． 8+ 15 D． 2 3
10．若 f (x) lg(x2 2ax 1 a) 在区间 (,1] 上单调递减，则 a 的取值范围为（ ）
A．[1,2) B．1，2 C．[1，+) D．[2，+)
x 1
11．已知实数 x ， y 满足线性约束条件 x y 0 ，则 y 1 的取值范围是（ ）
13．已知函数
f
cosωx
sin
ωx
π 6
(ω
0)
在 0,
π 上恰有一个最大值点和两个零点，则
ω
的取
值范围是______．
辽宁省大连渤海高级中学高三数学3月模拟试题文(2021年整理)
辽宁省大连渤海高级中学2018届高三数学3月模拟试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省大连渤海高级中学2018届高三数学3月模拟试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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辽宁省大连渤海高级中学2018届高三数学3月模拟试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设U=R，集合M=｛﹣1,1，2｝，N=｛x|﹣1＜x＜2}，则N∩M=（）A．{﹣1,2｝B．｛1} C．{2} D．｛﹣1,1，2｝2．复数z=（i为虚数单位)，则复数z的虚部为（)A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（，0) B．（0，）C．(0，）D．（，0）4．给出下列四个命题：①若命题“若￢p则q”为真命题，则命题“若￢q则p"也是真命题②直线a∥平面α的充要条件是：直线a⊄平面α③“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直"的充要条件；④若命题p：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0“，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”其中真命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．35．已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD（n,m)，其结果为n除以m的余数,例如MOD（8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．设S n为等差数列｛a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．87．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7。
辽宁省高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
辽宁省高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}()20,{ln 11}M xx x N x x =+>=->∣∣，则（ ） A ．M NB ．M N ⊆C ．()e 1,M N ∞⋂=++D ．()2,M N ∞⋃=+2．已知复数z 满足(2i)(2i)5z +-=，则||z =（ ） AB ．2CD3．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（ ） A ．86B ．87C ．88D ．894．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=和22a =，则3S =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．45．6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种B ．60种C ．90种D ．120种6．某工厂为了减少生产车间产生的噪音对工人身体健康的影响，专门成立研究团队研制“抗噪音帽”，大量数据表明，噪音的强度x 与分贝等级()f x 有如下关系：()010lgxf x A =（其中0A 为常数），对身体健康有影响的声音约480分贝，其对应的噪声强度称为临界值，车间作业时发出的声音约1000分贝，研制“抗噪音帽”需要用噪音强度与临界值的比值来确定所用材料，则噪音强度与临界值的比值是（ ） A ．2512B ．251210C ．5210D ．52e7．关于函数图象的有下列说法：①若函数()y f x =满足()()13f x f x +=+，则()f x 的一个周期为2T =； ②若函数()y f x =满足()()13f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线2x =对称； ③函数()1y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线2x =对称； ④若函数11y x =+与函数()f x 的图象关于原点对称，则()11f x x =- 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，点,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若AM ，则cos MFA ∠=（ ）A ．B ．C ．D ．12±二、多选题9．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A ．x ∃∈R ，则21x <B ．“22a b =”是“a b =”的必要而不充分条件C ．若x ，y 是无理数，则x y +是无理数D ．设全集为R ，若A B ⊆，则B A ⊆R R10．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为线段11D C 的中点，N 为1CC 上的点，且12CN NC =，过1A ，M ，N 的平面截该正方体的截面记为S ，则下列命题正确的有（ ）A ．S 为五边形B ．三棱锥1A BCD -外接球的体积为C ．三棱锥1A BNM -的体积为29D ．BM 与平面1A BC 11．已知函数()()π2cos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为π2，图象沿x 轴向左平移π12单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A ．函数图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭B ．当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦到时，则函数()f x 的最小值为C ．若444πsin cos 0,52ααα⎛⎫⎛⎫-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π4f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的减区间为π7ππ,π,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．下列说法正确的是（ ）A ．函数()cos f x x x =+在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1C ．若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，对任意R x ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是4D ．若函数()21coscos 2222xxx f x ωωω+-在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值可以是32三、填空题14．若(3nx 展开式二项式系数之和为32，则展开式中含3x 项的系数为_________.15．设1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆上一点，1290F PF ∠=︒则该椭圆离心率的最小值为__________16．在菱形ABCD 中=4AB ，120BAD ∠=︒且M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，如图所示，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，则三棱锥1B AMD -的外接球的体积是______.四、解答题17．已知1sin cos 2αα+=和0απ<<. (1)求sin cos αα的值. (2)求sin cos αα-的值.(3).18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，且CB DB ⊥．侧面PCD 是边长为2的等边三角形，且平面PCD ⊥平面ABCD ．点E 在线段PC 上，且直线//PA 平面BDE ．(1)求证：PE EC =(2)设二面角P BD C --的大小为θ，且tan θ=BE 与平面ABCD 所成的角的正切值．19．已知数列{}n a 中满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)若{}n a 是等差数列，求k 的值；(2)若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．20．某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d （单位：mm ）．该样本数据分组如下：得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d 大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.(1)求频率分布直方图中a ，b ，c 的值及该样本的平均长度x （结果精确到1mm ，同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在(59,61]的个数，求ξ的分布列和数学期望；21．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的焦距为C 右支上一动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l 的距离之积为245b ． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线l 是曲线C 在点()00,P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线1l ，2l 于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：MON △面积为定值，并求出该定值． 22．已知函数ln ()x af x x+=，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为=5y bx +. （1）求a ，b 的值；（2）证明：()1()2x e x xf x -≥-.参考答案与解析1．C【分析】根据一元二次不等式的解法、对数函数的单调性，结合集合相等定义、子集的定义、集合交集、集合并集的定义逐一判断即可. 【详解】由200x x x +>⇒>，或1x <-由()10ln 11e 11e x x x x ->⎧->⇒⇒>+⎨->⎩ 显然MN N M ⊆()e 1,M N ∞⋂=++ ()()0,,1MN ∞∞=+--故选：C 2．C【分析】利用复数的运算先求z ，再利用复数的模长公式即得. 【详解】因为(2i)(2i)5z +-= 所以()()()52i 52i=2i 2i 2i 2i 2i z +=--=--+-所以z 故选：C. 3．C【分析】根据百分位数的定义直接得出.【详解】因为150.710.5⨯=，所以这15人的70%分位数为第11位数：88. 故选：C. 4．A【解析】利用已知条件化简，转化求解即可．【详解】已知{}n a 为等比数列1322a a a ∴=，且22a =满足13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ．【点睛】思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=（2）通分化简312311124S a a a ++==. 5．B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有16C 种方法； 第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有25C 种方法； 第三部，将剩余的3名老师给丙校，有33C 种方法；总共有123653C C C 60= 种方法；故选：B. 6．C【分析】将()480f x =，()1000f x =分别代入()010lg xf x A =，求得x 值，再求比值即可. 【详解】因为()010lgx f x A = 所以当()480f x =时，则48010x A =⋅当()1000f x =时，则100010x A =⋅所以100520480101010A A ⋅=⋅. 故选：C. 7．C【分析】结合函数的周期性和对称性，对每个选项推理论证，即可得到本题答案. 【详解】在()()13f x f x +=+中以1x -代换x ，得()(2)f x f x =+，所以①正确； 设1122(,),(,)P x y Q x y 是()y f x =上的两点，且12+1,3x x x x ==-，有1222x x +=，由12()()f x f x =，得12y y =，即,P Q 关于直线2x =对称，所以②正确；函数()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移1个单位得到，而()3y f x =-的图象由()y f x =的图象关于y 轴对称得()y f x =-，再向右平移3个单位得到，即((3))(3)y f x f x =--=-，于是函数()1y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线1312x -+==对称，所以③错误； 设(,)P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，点P 关于原点对称点,()P x y '--必在11y x =+的图象上，有11y x -=-+，即11y x =-，于是1()1f x x =-，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查函数的周期性与对称性的应用，主要考查学生的抽象思维能力和推理论证能力.8．B【分析】由抛物线的定义可得MN FM =，求得cos AMN ∠，sin AMN ∠由MN AF ∥得∠MAF ＝∠AMN ，在△AMF 中由正弦定理求得sin MFA ∠，即可得到答案． 【详解】由题意知点A 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，如图过点M 作MN 垂直于准线于点N ，令2FM a =，则AM由抛物线的定义可得2MN FM a ==，所以cos MN AMN AM ∠==sin AMN ∠= 又MN AF ∥，所以∠MAF ＝∠AMN ，所以sin MAF ∠=在△AMF 中由正弦定理得sin sin AM MAF FM MFA ∠=∠ 所以sin 15sin 22AM MAF MFA FMa ∠∠=== 所以cos MFA ∠=．故选：B ． 9．ABD【分析】对A ，21x <有实数解，举例即可判断； 对B ，分别判断必要性和充分性；对C ，x ，y 的无理数部分互为相反数时，则x y +不是无理数； 对D ，由补集概念即可判断【详解】对A ，当0x =时，则21x <成立，故A 正确；对B ，当a b =时，则22a b =成立，但当22a b =时，则a b =±，所以“22a b =”是“a b =”的必要而不充分条件，故B 正确；对C，当x =y 0x y +=，不是无理数，故C 错误； 对D ，全集为R ，若A B ⊆，则B A ⊆RR，故D 正确.故选：ABD. 10．BC【分析】利用面面平行的性质判断A ；确定三棱锥外接球半径计算判断B ；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算距离及线面角判断CD 作答.【详解】对于A ，显然S 与正方形11CDD C 的交线为线段MN ，而S 与正方形11ABB A 有公共点1A 则S 与正方形11ABB A 有交线，又面11//ABB A 面11CDD C ，因此该交线与MN 平行，交1BB 于点O ，如图 即有S 与正方形11BCC B 交线为线段ON ，与正方形1111D C B A 交线为线段1A M 从而S 与正方体的四个面相交，即S 是四边形，A 不正确；对于B ，三棱锥1A BCD -与正方体1111ABCD A B C D -有相同的外接球而正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径为体对角线长1AC =R 此球的体积334433V R ππ===，B 正确； 对于C ，以点D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系 则14(2,0,2),(2,2,0),(0,1,2),(0,2,)3A B M N 与112(0,1,),(0,2,2),(2,1,0)3NM A B A M =-=-=-令平面1A MN 的法向量为(,,)n x y z =，则1122020n A B y z n A M x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,2,2)n =点N 到平面1A MN 的距离2||2339||n NM d n ⋅===，而113AM A B BM ==1A BM △中由余弦定理得22211111cos 2A B A M BM BA M A B A M +-∠==⋅和1sin BA M ∠=111111sin 322A BMSA B A M BA M =⋅∠=⨯= 因此三棱锥1A BNM -的体积111239A BNM A BMV Sd -=⋅=，C 正确； 对于D ，由选项C 知(0,2,0),(2,0,0),(2,1,2)C BC BM =-=--设平面1A BC 的法向量111(,,)m x y z =，则111122020n A B y z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，得(0,1,1)m =设BM 与平面1A BC 所成的角为θ，则||1sin |cos ,|||||3m BM m BM m BM θ⋅=〈〉==⨯cos θ=sin tan cos θθθ==D 不正确. 故选：BC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 11．BCD【分析】根据对称轴和平移可求出函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的图像和性质，即可求出对称中心，最值以及单调区间.【详解】根据相邻两条对称轴之间的最小距离为π2，可知周期=πT ，故2ω=；图象沿x 轴向左平移π12单位后，得到πππ2cos 2()1262f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，所以π6ϕ=- 故()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当5π12x =，π2cos 25π5π121206f ⎛⎫⎛⎫=⨯-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故A 错. ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()min 5π()6f x f ==B 对.4422443sin cos sin cos cos 2cos 2,sin 2555ααααααα-=-=-=-∴==，其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππππ2cos(2)2sin(2)4266f ααα⎛⎫+=+-=--= ⎪⎝⎭C 对.令ππ7π2π2π2πππ61212k x k k x k ≤-≤+⇒+≤≤+，故函数()f x 的减区间为π7ππ,π,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，D 对. 故选:BCD 12．BC【分析】对于A ，根据自变量的取值以及余弦函数的单调性，去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用整体思想，可得答案；对于B ，利用同角的三角函数，结合二次函数的性质，可得答案；对于C ，根据三角函数的性质，可得对称轴，整理函数参数的不等式，取值进行检验，可得答案； 对于D ，利用三角恒等变换，化简三角函数，代入参数，利用整体思想，可得答案.【详解】对于A ，由27,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得||,|cos |cos x x x x ==-，所以()cos 2sin()6f x x x x π=-=-又,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()|||cos |f x x x =+在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 错误；对于B ，则22233()sin 1cos (cos 144f x x x x x x =-=-+-=--+当cos x =时，则函数取得最大值，最大值为1，故B 正确； 对于C ，由()()3f x f π≤知，函数()f x 的对称轴为3x π=所以(33k k ππωπ-=∈Z )，解得31(k k ω=+∈Z )，由0ω>知函数的零点，故D 错误. 故选：BC.【点睛】在函数解析式中面对绝对值，由取值范围去绝对值；化简三角函数时，则三角恒等变化是常用方法，其中需要熟练掌握的是辅助角公式，二倍角公式，降幂公式等等；解决三角型函数时，则注意整体思想的使用.13．2-【分析】由图求解23A OA ∠，34A OA ∠的余弦与正弦值，再由两角和差的余弦公式得24cos A OA ∠，利用数量积的定义求解24OA OA ⋅即可.【详解】解：由题可知2342OA OA OA所以242334cos cos()A OA A OA A OA ∠=∠∠=+所以242424cos 2=2OA OA OA OA A OA ⋅=⋅∠⋅⨯⎝⎭.故答案为：214．15【解析】根据(3nx 展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.【详解】由(3nx 展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =所以(53x 展开式的通项公式为5552155(3)3r r rrr rr T C x C x---+=⋅=⋅⋅令532r-=，求得4r = 所以展开式中含3x 的项的系数是4545315C -=.故答案为：15【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及二项式系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15 【分析】利用勾股定理及椭圆的定义，得到221222PF PF a c =-，再利用基本不等式得到222c a ≥，即可求出离心率的取值范围，从而得解；【详解】解：因为1290F PF ∠=︒，所以2221212PF PF F F +=因为122PF PF a +=，且122F F c =，所以221222PF PF a c =-．因为122a PF PF =+≥=整理得222c a ≥，当且仅当12PF PF a ==时取等号；即22212c e a =≥，又01e <<1e <，即min e =；16【分析】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，利用长方体外接球，求出球的半径，即可求解【详解】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大 由题意知BM AM ⊥，故1B M AM ⊥当平面1AB M ⊥平面AMD 时，则1B M ⊥平面AMD 因为90DAM DAB BAM ∠=∠-∠=︒ 所以AM AD ⊥.如图所示，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积由已知得长方体的长、宽、高分别为4， 2则长方体外接球半径r ==则球的体积是34π3r =.317．(1)38-(3)43-【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=，从而可得出答案；（3）化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2αα+=所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=所以3sin cos 8αα=-；（2）解：因为0απ<< 3sin cos 8αα=-所以sin 0,cos 0αα>< 所以sin cos αα-； （3）解：由（2）得sin 0,cos 0αα><=1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=-- 43=-. 18．(1)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质可得线线平行，即可求证.（2）根据二面角的大小，可得BC . （1）连AC 交BD 于F ，连EF ．∵ABCD 是平行四边形，∴AF FC =∵直线//PA 平面BDE ，PA ⊂面PAC ，面PAC 面BDE EF = ∴//PA EF ∴PE EC =（2）方法一：取DC 中点O ，OC 中点G ，连PO ，OF ，GE ，BG ∵侧面PCD 是边长为2的等边三角形∴PO =PO CD ⊥∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD = ∴PO ⊥平面ABCD ∵,OD OC DF FB == ∴1,2FO BC FO BC =∥ ∵CB DB ⊥∴FO BD ⊥∴PF BD ⊥ ∴PFO ∠是二面角P BD C --的平面角 ∴PFO θ∠=∴tan PO FO θ=FO =BC =∴BD BC =∴,1BO CD BO ⊥=∴BG ==OG GC =∴,PO EG EG =∥，∴EG ⊥平面ABCD ∴EBG ∠为直线EB 与平面ABCD 所成的角tan EG EBG BG ∠==方法二：取中CD 点O ，连PO ，则PO CD ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，以B 为原点，以,,DB BC OP 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴方向建立空间直角坐标系令BC m =，则()()0,,0,,2m C m D P ⎛ ⎝()214,0,0,22m BD m BP ⎛=--=- ⎝设平面PBD 的法向量(),,m x y z =，则002m y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，得m ⎛ ⎝= 平面BCD 的法向量()0,0,1n = 由tan θ=cos θ=，即得m ∴(),,2244C P E ⎛⎛- ⎝⎝⎭设OE 与平面ABCD 所成的角为α则sin α==tan α=∴OE 即BE 与平面ABCD19．(1)12k =(2)12k =±；当12k =时，则n S n =；当12k =-时，则2,21,2n n n k S n n k-=-⎧=⎨=⎩ ()*k ∈N .【分析】（1）利用题干中的递推公式结合等差数列的性质即可求解;（2）根据已知条件结合等比中项的性质，即可求解k 的值，解得12k =±，分别求解12k =和12k =-时的前n 项和为n S .【详解】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n ∈N 121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，所以()1212n n n a a a ++=+，故12k =. （2）因为121a a ==且()12n n n a k a a ++=+得3421111,1a a k k k=-=-- 又{}1n n a a ++是等比数列，则()()()2231234a a a a a a +=++ 即221122k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得12k =±. 当12k =时，则121,1a a ==，1n a =故{}1n n a a ++是以2为首项，公比为1的等比数列 此时{}n a 的前n 项和n S n =；当12k =-时，则()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--所以()211n n n n a a a a ++++=-+，且1220a a +=≠所以{}1n n a a ++以122a a +=为首项，公比为-1的等比数列 又()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+ 所以，当n 是偶数时()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++++++()122na a n =+= 当n 是奇数时，则()23212a a a a +=-+=-()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++⋅⋅+⋯⋅()11222n n -=+⨯-=- 2,21,2n n n k S n n k -=-⎧=⎨=⎩ ()*k ∈N综上，当12k =时，则n S n = 当12k =-时2,21,2n n n k S n n k -=-⎧=⎨=⎩ ()*k ∈N . 20．(1)=0.03a ，0.1b =与0.35c = 60 (2)分布列见解析，2.1【分析】（1）利用频率分布直方图，求出a ，b ，c 的概率，然后求解平均值即可； （2）判断随机变量ξ服从二项分布30.7B ξ（，），求出概率得到分布列，然后求解期望；【详解】（1）由题意可得10(6162)0.1100P d <≤== 3(5758)(6263)0.03100P d P d ≤≤=<≤== 1(5960)(6061)(120.030.140.1)0.352P d P d <≤=<≤=-⨯--= 所以0.030.031a ==，0.10.11b ==与0.350.351c ==. (57.562.5)0.0358.50.14(59.560.5)0.3561.50.159.9460x =+⨯+⨯++⨯+⨯=≈.（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件 长度d 在(59,61]的概率20.350.7P =⨯= 且随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ξ所以033(0)C (10.7)0.027P ξ==⨯-=123(1)C 0.7(10.7)0.189P ξ==⨯⨯-=223(2)C 0.7(10.7)0.441P ξ==⨯⨯-=333(3)C 0.70.343P ξ==⨯=所以随机变量ξ分布列为()00.027*******.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.21．（1）2214x y -=；（2）证明见解析；定值2．【分析】（1）动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l 的距离之积表示出来得,a b 的关系式，结合焦距可求得,a b 得双曲线方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，由相切得2241k m =+，然后求得,M N 坐标，以及直线与x 轴交点D 坐标，利用D 点坐标求得MON △面积，代入关系式2241k m =+，可得定值．【详解】解：（1）双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为0bx ay +=和0bx ay -=由动点()00,P x y 到两条渐近线1l ，2l 222222002222b x a y a b a b a b -==++ 则2222245b a b a b =+又2c =2225c a b =+= 解得2a = 1b =则双曲线的方程为2214x y -=．（2）证明：设直线l 的方程为y kx m =+与双曲线的方程2244x y -=联立，可得()222418440k x kmx m -+++=直线与双曲线的右支相切，可得()()()2228441440km k m ∆=--+=，可得2241k m =+设直线l 与x 轴交于D ，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭122M N M N MON MOD NOD m S S S OD y y k x x k=+=-=-⋅-△△△ 又双曲线的渐近线方程为12y x =±联立12y xy kx m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,1212m m M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 同理可得2,1212m m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭则2222242221212214MONm m m m m m S k k k k k k k m--=⋅⋅+=⋅⋅==+--△． 即有MON △面积为定值2．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线位置关系，面积定值问题．解题关键是设出切线方程，由直线与双曲线相切得参数关系，然后求得三角形面积，利用此关系式可得定值． 22．（1）3a = 2b =- （2）证明见解析.【分析】（1）根据切线方程，可得(1)5f b =+，(1)f b '=对()f x 求导，根据导数的几何意义，可得(1)f '表达式，将x =1代入()f x ，可得(1)f ，即可求得a ，b 的值；（2）将题干条件()e 1()2x x xf x -≥-等价于e ln 10x x x x ---≥，设()e ln 1(0)x g x x x x x =--->，求导可得1()(1)e x g x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，设1()e (0)x h x x x =->，可得()h x 的零点11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得()g x 的单调区间和极值点，进而可得()g x 的最小值()1g x ，化简整理，即可得证. 【详解】（1）由切线方程可得(1)5f b =+ (1)f b '=.()f x 定义域为(0,)+∞ 21ln ()a xf x x '--=. 所以(1)5f a b ==+，(1)1f a b '=-=解得3a =，2b =-. （2）()e 1()2x x xf x -≥-等价于e ln 10x x x x ---≥.设()e ln 1(0)x g x x x x x =--->，则1()(1)e x g x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭.设1()e (0)xh x x x=->则函数1()e xh x x=-在(0,)+∞单调递增因为1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭(1)e 10h =->所以存在唯一11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()10h x =.因为()g x '符号与1e x x-符号相同 所以当()10,x x ∈时，则()0g x '< 当()1,x x ∈+∞时，则()0g x '>.第 21 页 共 21 页 故()g x 在()10,x 单调递减，在()1,x +∞单调递增.所以当1x x =时，则()g x 取得最小值()1g x由()10h x =得111e x x =，从而11ln x x =-故()11111()e ln 10x g x g x x x x ≥=---=. 所以()e 1()2x x xf x -≥-.【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求切线方程、单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于需找到1()e x h x x=-的零点，可得()g x 的极值点，进而求得()g x 的极小值，即为最小值，即可得证，考查计算化简，转化化归的思想，属中档题.。
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高三年级（理）数学模拟
（考试时间：2017年6月3日）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试用时120分钟。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，
()
2
1
1i =+（ ）
A ．
2
i
B ．2
i -
C ．
12
D ．2i
2．函数()f x 的定义域为实数集R ，“()f x 是奇函数”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．非充分非必要条件
D ．充要条件
3．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差d =（ ） A ．2
B ．
3
2
C ．1
D ．
12
4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如右图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A ．91，91.5
B ．91，92
C ．91.5，91.5
D ．91.5，92
5．已知ABC △
中，AB 1BC =
，sin C C ，则ABC △的面积为（ ） A
B
C
D
6．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，
，则该锥体的俯视图可以是（ ）
侧视图
正视图
D．
C．
B．
A．
7．若不等式2
1
2122
2
x x a a
-++++
≥对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围（）A．[]
2,1
-B．
1
,1
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
C．[]
1,2
-D．
1
1,
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
8．若函数()
f x满足()()
1
1
1
f x
f x
+=
+
，当[]
0,1
x∈时，()
f x x
=，若在区间(]
1,1
-上，()()
g x f x mx m
=--有两个零点，则实数m的取值范围是（）
A．
1
0,
2
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭B．
1
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭C．
1
0,
3
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭D．
1
0,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）
9．若变量x、y满足约束条件
221
x y
x
y
⎧+
⎪
⎨
⎪
⎩
≤
≥
≥
，则2
z x y
=+的最大值=__________．
10．运行如右图所示的程序框图，输出的结果S=__________．
11．在直角坐标系xOy中，曲线
1
C和
2
C的参数方程分别为
cos sin,
cos sin
x
y
θθ
θθ
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（θ为参数）
和2,x t y t =-⎧⎨=⎩
（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1
C 与2C 的交点的极坐标为__________．
12．如图，已知PC 是O ⊙的切线，C 是切点，直线PA 交O ⊙于A ，B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA ，CB 于点D ，E ，若3PC =，2PB =．则
PE
PD
的值为__________．
13．在ABC △中，D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于E ，F 两点，若AB AE λ=（0λ>），()0A
C A F μμ=>，则
1
4
λ
μ
+
的最小值为__________．
14．函数()()()1,111,12x a x f x x -=⎧⎪
=⎨⎛⎫+≠⎪ ⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程()()()222330f x a f x a -++=有五个
不同的实数解，则a 的取值范围是__________．
三、解答（本大题共6小题，总分80分）（请在规定区域内答题） 15．（本上题满分13分）
已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛
⎫=+>> ⎪⎝
⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最
低点的坐标分别为()0,2x 和0π,22x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求0πsin 4x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
16．（本小题满分13分）
某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
（1）求上表中a 、b 的值；
（2）估计该基地榕树树苗平均高度；
（3）基地从上述100株榕树苗中高度在[108112，）范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110112，）内的有X 株，求X 的分布列和期望． 17．（本小题满分13分）
如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E ， F 分别是边CD ，CB 的中点，
AC EF O =∩，沿EF 将CEF △翻折到PEF △，连接PA ，PB ，PD ，得到如图（2）的五棱锥P ABFED -，且PB = （1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求二面角B AP O --的正切值．
(1)
(2)
P
F
E D
O
A
B
F
E
D
O A
B
C
18．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，11n a +=，*N n ∈． （1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数k ，使k a ，21k S -，4k a 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2C ：2212x y -=的顶点，直线
0x +=与椭圆1C 于A ，B 两点，且点A 的坐标为()
1，点P 是椭圆1C 上异于点A ，
B 的任意一点，点Q 满足0AO AP ⋅=,0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线．
（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；
（3）求ABQ △面积的最大值及此时点Q 的坐标． 20．（本小题满分14分）
设函数()()ln x f x e x a =-，e 是自然对数的底数， 2.718e ≈，a R ∈为常数．
（1）若()y f x =在1x =处的切线l 的斜率为2e ，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，证明切线l 与曲线()y f x =在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭至少有1个公共点；
（3）若[]ln 2,ln3是()y f x =的一个单调区间，求a 的取值范围．。