高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练

第一部分：复运用的知识

一）椭圆几何性质

椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于

常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭

圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩

形里（封闭曲线）。该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标

轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴

的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半

轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小

确定，与焦点所在的坐标轴无关。当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式

在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：

1、两条直线.

2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个

不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的

中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.

2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线

y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。这是同点纵横坐标变换的一种形式，是两大坐标变换技巧之一。AB的弦长为AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)²]=√[(1+k²)(x1-x2)²]=√[(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]]或者AB=√[(x1-x2)²+(y1-

y2)²]=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(1+1/k²)(y1-

y2)²]=√[(1+1/k²)[(y1+y2)²-4y1y2]]。

3.转换方向：可以将椭圆问题转化为函数最值及最优解问题，或者转化为不等式问题。另一种转换方向是将椭圆问题转化为距离问题。

4.椭圆定义相关题目：对于方程x²/a²+y²/b²=1，a>b>0，求k的取值范围。如果方程为k-(5/3-k)²/16=1，则解得3

5.以椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所得椭圆的离心率为1/2，求点M的坐标。

作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。

分析：椭圆的焦点为F1(-3.0)和F2(3.0)，根据椭圆定义，要在已知直线上找到一点M，使该点到直线同侧的两个焦点的距离之和最小，只需用点直线对称即可解决。

解：如图所示，直线FF2的方程为x+2y-3=0.解方程组{x+2y-3=0.x-y+9=0}，得到交点M的坐标为(-5.4)。

所求椭圆的长轴为2a=MF1+MF2=FF2=√65，因此a=35.又因为c=3，所以b^2=a^2-c^2=36.所求椭圆的方程为

(x^2/35^2)+(y^2/6^2)=1.

二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目

例4、已知椭圆4x+y=1和直线22y=x+m。

1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？

2) 若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程。

解：(1) 把直线方程2y=x+m代入椭圆方程4x^2+y^2=1中，得到5x+2mx+m-1=0.判别式Δ=16m^2-20≥0，解得-2≤m≤5/2.

2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1、x2，由(1)得

到x1+x2=-m/5，x1x2=(2m-1)/10.根据弦长公式得到

AB=[1+(2m-1)/10]^0.5×12/2=6[1+(2m-1)/10]^0.5.

说明：与解决直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法相比，解决直线与椭圆的交点问题一般考虑判别式Δ；解决弦长问题一般应用弦长公式。

例5、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为直线交椭圆于A、B两点，求

弦AB的长。

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解，得到

AB=[1+k^2(x1-x2)^2]0.5×12/2=48/13.

法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解。设AF1=m，

BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n。根据余弦定理得到

AB=[m^2+n^2-2mn cos(π/3)]0.5×12/2=48/13.

Cosine Rule can be used to find the length of AB in triangle AFB1F2.Let m be the length of AF1.Then。we have:

cos222 XXX is equal to (12-m)^2/(π^23)。which can be simplified to m^2+36*3-2*m*6*3=1.Solving for m gives m=6/4-3.

By applying the same method in triangle BFB1F2.we can find that n=6/4+3.Therefore。the length of AB is m+n=48/13.

Another method to find AB is to use the focal radius。First。we can find the two roots x1 and x2 of the n

13x+723x+36*8=0.which are the x-coordinates of points A and B。Then。we can find the focal distances AF1 and BF1 using the formula AF1=a+ex1 and BF1=a+ex2.where a is the semi-major

axis and e is the XXX。AB XXX and BF1.

For the given ellipse with n 22x^2+167y^2=1.we need to find the locus of points P that satisfy the n of being equidistant from a fixed point A(-3,0) and a fixed circle with n x^2+y^2=64.

Let M be the point of tangency een the circle and the circle centered at P with radius PA=PB。Then。we have

PM+PB=8.Hence。the locus of P is an ellipse with foci at A and B(-5,0) and semi-major axis 4 and semi-minor axis 3.

For part (1)。we can find the n of the line passing through P and perpendicular to AP。which is y=(11/22)x-11/2.Since the line passes through the midpoint of chord PQ。we can find the coordinates of Q and then the n of line PQ。Similarly。we can find the n of line RS passing through the midpoint of chord RS with slope 2.

For part (3)。we can use the fact that the locus of midpoints of chords intersecting at a fixed angle is a circle。Let O be the origin and P and Q be two points on the ellipse such that the slopes of OP and OQ are k1 and k2.respectively。Then。the slope of PQ

is (k1+k2)/(1-k1k2)。Let M be the midpoint of PQ。Then。OM

is XXX。Hence。the locus of M is a XXX(1-k1k2)。where a is the semi-major axis of the ellipse.

得所求轨迹方程为：$x+2y-2x-2y=0$，即$x=0$。（椭圆

内部分）

设圆上任意一点为$P(x_1,y_1)$，垂足为$M(0,y_2)$，则

有$PM=\frac{1}{2}$。根据勾股定理可得$4x^2+y^2=1$。

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为$(x,y)$，设已知轨迹上的点的坐标为

$(x_1,y_1)$，然后根据题目要求，使$x,y$与$x_1,y_1$建立等

式关系，从而由这些等式关系求出$x$和$y$代入已知的轨迹方程，就可以求出关于$x,y$的方程，化简后即我们所求的方程。这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握。

设所求直线方程为$y-2=k(x-4)$。代入椭圆方程，整理可

得$(4k+1)x-8k(4k-2)x+4(4k-2)-36=0$。设直线与椭圆的交点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1,x_2$是上式的两根，因

此$x_1+x_2=\frac{8k(4k-2)}{4k^2+1}$。由于$P(4,2)$为

$AB$中点，因此$4=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$，解得$k=-

\frac{1}{2}$，即所求直线方程为$x+2y-8=0$。

设直线与椭圆交点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。由于$P(4,2)$为$AB$中点，因此$x_1+x_2=8$，$y_1+y_2=4$。又

因为$A$，$B$在椭圆上，因此$x_1^2+4y_1^2=36$，

$x_2^2+4y_2^2=36$。将两式相减得$(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0$，即$(x_1+x_2)(x_1-x_2)+4(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$。代入

$x_1+x_2=8$，$y_1+y_2=4$，化简可得$y_1-y_2-

\frac{1}{2}(x_1-x_2)=0$，即所求直线方程为$2x-y-8=0$。

则由对称性可得直线l过椭圆中心点O(0,0)的斜率为-1/4，即m=-1/4.此时直线l与椭圆C的交点为A(3,1)和B(1,3)。由

于直线AB垂直于l且中点M在l上，可以列出以下方程组：

1) AB的斜率为4，即(y2-y1)/(x2-x1)=4；

2) AB的中点坐标为((x1+x2)/2.(y1+y2)/2)，在直线l上，

即(3+1)/2=2和(1+3)/2=2.

解方程组可得x1+x2=8和y1+y2=4，代入椭圆的方程可得：

x1/x2)(y1/y2)=1

x1+x2)(y1+y2)=36

解得-2

在椭圆上，点A、B关于直线l对称，直线AB与l的交

点为M，坐标为(x,y)。

由于A、B在椭圆上，故有1/x1^2 + 1/y1^2 = 1，1/x2^2 + 1/y2^2 = 1.将两式相减可得：

3(x1 + x2)(x1 - x2) + 4(y1 + y2)(y1 - y2) = 0

化简得：3*2x(x1 - x2) + 4*2y(y1 - y2) = 0

即：3xy1 - y2 = -(x1 - x2)/(4y)

由于直线AB垂直于l，故有kAB * kl = -1，即-3x/4y = -1，即y = 3x/4.

又因为M点在直线l上，故有y = 4x + m，联立可得M

点坐标为(-m,-3m)。采用同样的方法可得解法2.

说明：对于涉及椭圆上两点A、B关于直线l对称的问题，可以通过列方程组或参数不等式的方式求解。利用直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式

Δ>0，可建立参数方程。利用弦AB的中点M(x,y)在椭圆内部，满足x^2/a^2 + y^2/b^2 < 1，将x、y利用参数表示，建立参数

不等式。

例11：在面积为1的三角形PMN中，tanM = 2，tanN = -2，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过P点的椭圆方程。

解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角

坐标系，设P(x,y)。

由tanM = 2可得M点坐标为(3/5,6/5)，由tanN = -2可得

N点坐标为(-3/5,-6/5)。设所求椭圆方程为(x-x0)^2/a^2 + (y-

y0)^2/b^2 = 1，代入M、N两点坐标得到两个方程，联立解得

椭圆方程为4x^2/25 + 9y^2/100 = 1.

例12：三角形ABC中，底边BC = 16，AC和AB两边上

中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹。

解：以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角

坐标系。设G点坐标为(x,y)，由GC + GB = 20可得G点的轨

迹是以B、C为焦点的椭圆，除去轴上两点。由于A点在中线上，设AB = 2m，AC = 2n，有m + n = 15，BC = 16，利用勾

股定理可得m^2 + n^2 = 64.设A点坐标为(a,b)，则重心G的

坐标为((a+16)/3,(b+m+n)/3)，代入椭圆方程得到G点的轨迹方程。由G、A坐标的关系，利用代入法求解A的轨迹方程。

2y2/9 + x2/4 = 1，y ≠ 0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）。设A(x,y)，G(x',y')，则由题意得x'^2/4 + y'^2/9 = 1，代入原式得x'^2/4 + y'^2/9 + x^2/4 + y^2/9 = 1，化简得4x'^2 +

3y'^2 + 4x^2 + 3y^2 = 36.即16(x'^2 + x^2) + 12(y'^2 + y^2) = 144，即(x'^2 + x^2)/9 + (y'^2 + y^2)/4 = 1.所以A的轨迹方程为(x^2 + x'^2)/9 + (y^2 + y'^2)/4 = 1，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）。

2、已知椭圆C：4x^2 + y^2/4 = 1（a。b。0）的离心率为e，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0)，A2(2,0)。

I）椭圆的方程为4x^2 + y^2/4 = a^2，代入已知条件可得a = 2，b = 1，所以椭圆C的方程为4x^2 + y^2/4 = 4.

II）直线l:x = t(t。2)与x轴交于点T(t,0)，点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1，PA2分别与椭圆C交于M、N点。设焦点为F，其坐标为（0.c）或（0.-c），则根据椭圆的性质，有PA1 + PA2 = 2a。又因为直线l与x轴交于点T，所以直线l的斜率为0，即PA1、PA2垂直于x轴。所以M、N在椭圆的上下两个焦点处。如果直线MN通过椭圆的焦点，

则MN垂直于x轴，即M、N在椭圆的左右两个顶点处。所

以只需证明当M、N在椭圆的左右两个顶点处时，直线MN

经过椭圆的焦点即可。

设M(x1.y1)，N(x2.y2)，则有

PA1^2 = (x1 + 2)^2 + y1^2/4，PA2^2 = (x2 - 2)^2 + y2^2/4

根据直线的斜率和椭圆的性质，可以列出以下方程组：

y1 = k(x1 - t)，y2 = k(x2 - t)

4x1^2 + y1^2 = 16 - 16e^2，4x2^2 + y2^2 = 16 - 16e^2

将y1、y2代入椭圆方程，消去k和t，得到：

4(x1 - t)^2 + (x1 + 2)^2 = 16e^2 - 16

4(x2 - t)^2 + (x2 - 2)^2 = 16e^2 - 16

解得x1、x2，代入MN的斜率方程，得到：

k = (y2 - y1)/(x2 - x1)

当M、N在椭圆的左右两个顶点处时，有x1 = -2，x2 = 2，y1 = y2 = 0.此时MN的斜率为0，经过椭圆的焦点。所以直线MN通过椭圆的焦点。

综上所述，直线MN通过椭圆的焦点。

如果M的斜率为k1，则直线A1M的方程为y=k1(x+2)。

将其代入222(1+4k1)x+16k1x+16k1-4=y整理得x+4y=4.由此可

得出方程的两个根为-2和x1，因此y=-2x1/(1+4k1)。因此点M的坐标为(x1.-2x1/(1+4k1))。

同理，如果直线A2N的斜率为k2，则点N的坐标为

(x2.2x2/(1+4k2))。

设y=p(t)，其中p(t)是椭圆的方程。由于点M在直线

A1M上，因此有y=p(t+2)，同理，由于点N在直线A2N上，因此有y=p(t-2)。联立两式可得k1-k2 = -2/(p(t+2)-p(t-2))。

因此，直线MN的方程为(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)，化简后得x=(y-y1)(x2-x1)/(y2-y1)+x1.将点M、N的坐标代入后化简可得x=4(y1-y2)/(x2-x1)+x1.

因此，椭圆的焦点为(3,0)，即当t=3时，XXX过椭圆的焦点。