高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

这是同点纵横坐标变换的一种形式，是两大坐标变换技巧之一。

AB的弦长为AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)²]=√[(1+k²)(x1-x2)²]=√[(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]]或者AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(1+1/k²)(y1-y2)²]=√[(1+1/k²)[(y1+y2)²-4y1y2]]。

3.转换方向：可以将椭圆问题转化为函数最值及最优解问题，或者转化为不等式问题。

另一种转换方向是将椭圆问题转化为距离问题。

4.椭圆定义相关题目：对于方程x²/a²+y²/b²=1，a>b>0，求k的取值范围。

如果方程为k-(5/3-k)²/16=1，则解得3<k<5且k≠4.需要注意的是，当a=b时，并不表示椭圆。

5.以椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所得椭圆的离心率为1/2，求点M的坐标。

作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程。

分析：椭圆的焦点为F1(-3.0)和F2(3.0)，根据椭圆定义，要在已知直线上找到一点M，使该点到直线同侧的两个焦点的距离之和最小，只需用点直线对称即可解决。

解：如图所示，直线FF2的方程为x+2y-3=0.解方程组{x+2y-3=0.x-y+9=0}，得到交点M的坐标为(-5.4)。

所求椭圆的长轴为2a=MF1+MF2=FF2=√65，因此a=35.又因为c=3，所以b^2=a^2-c^2=36.所求椭圆的方程为(x^2/35^2)+(y^2/6^2)=1.二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目例4、已知椭圆4x+y=1和直线22y=x+m。

1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？2) 若直线被椭圆截得的弦长为210，求直线的方程。

解：(1) 把直线方程2y=x+m代入椭圆方程4x^2+y^2=1中，得到5x+2mx+m-1=0.判别式Δ=16m^2-20≥0，解得-2≤m≤5/2.2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1、x2，由(1)得到x1+x2=-m/5，x1x2=(2m-1)/10.根据弦长公式得到AB=[1+(2m-1)/10]^0.5×12/2=6[1+(2m-1)/10]^0.5.说明：与解决直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法相比，解决直线与椭圆的交点问题一般考虑判别式Δ；解决弦长问题一般应用弦长公式。

例5、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解，得到AB=[1+k^2(x1-x2)^2]0.5×12/2=48/13.法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解。

设AF1=m，BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n。

根据余弦定理得到AB=[m^2+n^2-2mn cos(π/3)]0.5×12/2=48/13.Cosine Rule can be used to find the length of AB in triangle AFB1F2.Let m be the length of AF1.Then。

we have:cos222 XXX is equal to (12-m)^2/(π^23)。

which can be simplified to m^2+36*3-2*m*6*3=1.Solving for m gives m=6/4-3.By applying the same method in triangle BFB1F2.we can find that n=6/4+3.Therefore。

the length of AB is m+n=48/13.Another method to find AB is to use the focal radius。

First。

we can find the two roots x1 and x2 of the n13x+723x+36*8=0.which are the x-coordinates of points A and B。

Then。

we can find the focal distances AF1 and BF1 using the formula AF1=a+ex1 and BF1=a+ex2.where a is the semi-majoraxis and e is the XXX。

AB XXX and BF1.For the given ellipse with n 22x^2+167y^2=1.we need to find the locus of points P that satisfy the n of being equidistant from a fixed point A(-3,0) and a fixed circle with n x^2+y^2=64.Let M be the point of tangency een the circle and the circle centered at P with radius PA=PB。

Then。

we havePM+PB=8.Hence。

the locus of P is an ellipse with foci at A and B(-5,0) and semi-major axis 4 and semi-minor axis 3.For part (1)。

we can find the n of the line passing through P and perpendicular to AP。

which is y=(11/22)x-11/2.Since the line passes through the midpoint of chord PQ。

we can find the coordinates of Q and then the n of line PQ。

Similarly。

we can find the n of line RS passing through the midpoint of chord RS with slope 2.For part (3)。

we can use the fact that the locus of midpoints of chords intersecting at a fixed angle is a circle。

Let O be the origin and P and Q be two points on the ellipse such that the slopes of OP and OQ are k1 and k2.respectively。

Then。

the slope of PQis (k1+k2)/(1-k1k2)。

Let M be the midpoint of PQ。

Then。

OMis XXX。

Hence。

the locus of M is a XXX(1-k1k2)。

where a is the semi-major axis of the ellipse.得所求轨迹方程为：$x+2y-2x-2y=0$，即$x=0$。

（椭圆内部分）设圆上任意一点为$P(x_1,y_1)$，垂足为$M(0,y_2)$，则有$PM=\frac{1}{2}$。

根据勾股定理可得$4x^2+y^2=1$。

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为$(x,y)$，设已知轨迹上的点的坐标为$(x_1,y_1)$，然后根据题目要求，使$x,y$与$x_1,y_1$建立等式关系，从而由这些等式关系求出$x$和$y$代入已知的轨迹方程，就可以求出关于$x,y$的方程，化简后即我们所求的方程。

这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握。

设所求直线方程为$y-2=k(x-4)$。

代入椭圆方程，整理可得$(4k+1)x-8k(4k-2)x+4(4k-2)-36=0$。

设直线与椭圆的交点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1,x_2$是上式的两根，因此$x_1+x_2=\frac{8k(4k-2)}{4k^2+1}$。