四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试卷带解析
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学文科试题
成都市第七中学高2023届第三次质量检测数学 (文科)时间120分钟 满分: 150分一 选择题（共计10道小题，每题6分，共计60分）1. 已知集合 A ={x ∣3 x −2>1},B ={x ∣ x 2−x −6<0} , 则A ∪B = （ ） A.{x ∣1<x <3} B.{x ∣1<x <2} C.{x ∣−2<x <1} D.{x ∣x >−2}2. 已知复数 z = 3 i2+ i 3, 则|z|=( ) A.1B.35C.3 √55D.33.在区间 (−2,2) 内任取一实数x , 则 log 12x >3 成立的概率为（ ） A.132B.116C.18D.144.设数列 { a n } 满足 a n+1= 1+a n1−a n , 且 a 1=12, 则 a 2022=( ) A.−2B.−13C.12D.35. 下列四个叙述中, 错误的是 ( )A.“ p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件B.命题 p : “∀x ∈R 且x ≠0,x +1x 的值域是(−∞,−2] ∪[2,+∞) ” ,则 ¬p: :∃ x 0 ∈R 且 x 0 ≠0 , 使得 x 0+1x 0∈(−2,2) ”C.已知 a,b ∈R 且a b >0 , 原命题“若a >b , 则1a <1b”的逆命题是“若 1a <1b , 则a >b ”D.已知函数 f(x) =x2, 函数g(x)= (12)x−m , 若对任意 x 1 ∈[−1,3] , 存在 x 2 ∈[0,1] , 使得 f ( x 1) ≥g ( x 2) 成立, 则m 的范围是[1,+∞)6.根据一组样本数据 ( x 1, y 1),( x 2, y 2),⋯,( x n , y n ) , 求得经验回归方程为y ̂=1.5 x +0.5 , 且x̅=3 . 现发现 这组样本数据中有两个样本点(1.2,2.2) 和(4.8,7.8) 误差较大, 去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.2 , 则 ( ) A.变量 x 与y 具有正相关关系B.去除两个误差较大的样本点后, 重新求得的经验回归方程为 y ̂=1.2 x +0.5C.去除两个误差较大的样本点后, y 的估计值增加速度变快D.去除两个误差较大的样本点后, 相应于样本点 (2,3.75) 的残差为0.05 7.已知函数 f(x)=2 sinx +3 cosx 在x =φ 处取得最大值, 则cosφ=( ) A.3 √1313B.2 √1313C.−2 √1313D.−3 √13138. 如图, 已知圆锥的底面半径为 2 , 母线长为 4,A B 为圆锥底面圆的直径,C 是A B 的中点,D 是母线S A 的中点, 则异面直线S C 与B D 所成角的余弦值为( )A.√34B.√1020C.√33D.√329. 已知定义在 R 上的奇函数f(x) 满足f(x +2)+f(2−x)=0 , 且当x ∈(0,1] 时,f(x)=log(x +1) , 则下列结论正确个数为 ( ） ①f(x) 的一个周期为 2 ①f(5)=1① f(−5)>f ( π−132)>f ( log πe ) ①f(x) 图象关于直线x =2 对称A.1B.2C.3D.410.已知 a =ln 12,b =ln(lg2),c =lg(ln2) , 则( )A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b二填空题（共计4道小题，每题6分，共计24分）11. 若 e ⃗1, e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 是夹角为 60∘ 的两个单位向量, 则a ⃗=2 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+ e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 与b ⃗⃗=−3 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+2 e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角大小为______. 12写出一个同时具有下列三条性质的函数: f(x)= ____________.①f ( x 1 x 2)=f ( x 1)+f ( x 2) ;①当 x ∈(0,+∞) 时,f(x) 单调递减; ① f(x) 为偶函数.13如图, E 为边长为 2 的正△A B C 的重心,A D / / B C,A D =12 B C ,F 为△A C D 的外心, 则D E = _________ ;△D E F 的面积为_____.14过点 M(−1,m) 作抛物线 C: y 2=2 p x 的两条切线, 切点分别为A ( x 1, y 1) 和B ( x 2, y 2) , 又直线A B经过抛物线C 的焦点F , 那么y 1 y 2k M A k M B=______. 三 解答题（共计5道小题，共66分，写出必要的文字说明和演算步骤）15 (满分12分） 已知公差大于 0 的等差数列 { a n } 满足 a 1=1 , 且 a 1, a 2, a 4 成等比数列.(1) 求数列 { a n } 的通项公式;(2) 令 b n = 2 a 2−1 , 求数列{ b n } 的前n 项和.16. (满分12分）现有 A 、 B 两所学校的高三学年分别采用甲，乙两种方案进行线上教学, 为观测其教学效果, 分别在两所学校的高三学年各随机抽取 60 名学生, 对每名学生进行综合测试评分, 记综合评分为80 及以上的学生为优秀学生, 经统计得到两所学校抽取的学生中共有72 名优秀学生.（1）用样本估计总体, 以频率作为概率, 若在A 、 B两个学校的高三学年随机抽取2 名学生, 求所抽取的学生中的都为优秀学生的概率;（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23, 填写下面的列联表, 并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.K2=n( a d−b c)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中n=a+b+c+d.17 (满分12分）如图, 已知直三棱柱 A B C−A1 B1 C1的底面△A B C是正三角形, B C=C C1=2,D 为A B的中点, 点P,N分别为 A1 C,A1 D的中点, 过点P,N的平面交 A A1于点E, 交 C C1于点M.(1)证明: 平面E M N ⊥平面 A1 A B B1;(2)若A E=14 A A1, 求△E M N的面积.18. (满分15分）已知椭圆C的离心率为√32, 长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,0)的直线与椭圆C交于M 、 N(不与A 、 B重合)两点, 直线A M与直线x=4交于点Q,求证:B 、 N 、 Q三点共线.19 (满分15分）已知函数f(x)=x e x− m x2−x−1.(1)当m=12时, 讨论f(x)的单调性;(2) 若m ≤1, 证明: 当x ∈(−π2,0)时,f(x)>x−x cosx−1.成都市第七中学高2023届第三次质量检测数学 (文科)时间120分钟 满分: 150分参考答案及解析一 选择题（共计10道小题，每题6分，共计60分） 1. 【答案】D2. 【答案】C 【解析】∵ 复数z =3 i2+i 3=3 i 2−i =3 i ·(2+i)5=−35 +65 i ∴|z|=√925+3625=3 √553. 【答案】A【解析】由 log 12 x >3 得,0<x <18 ,∴ 所有概率P =18−02−(−2)=1324. 【答案】D【解析】数列 { a n } 满足 a n+1= 1+a n 1−a n , 且 a 1=12 , a 2= 3,a 3= −2,a 4=−13 ,a 5=12 ,⋯ ,所以数列的周期为 4 , a 2022= a 4 ×505+2= a 2=3 .故选: D .5. 【答案】D【解析】对于 A ：当 “p ∧q 为真” 时, 则 “p ∨q 为真”, 但 是当 “p ∨q 为真” 时 “p ∧q 不一定为真”, 故“ p ∨q 为真” 是 “p ∧q 为真” 的必要不充分条件, 故A 正确;对于 B : 命题p: “∀x ∈R ∈ 且x ≠0,x +1x 的值域是(−∞,−2] ∪[2,+∞) , 则¬p: “ ∃ x 0 ∈R 且 x 0 ≠0 ,使得 x 0+1x 0∈(−2,2) , 故B 正确;对于 C : 已知a,b ∈R 且a b >0 , 原命题 “若a >b , 则1a<1b” 的逆命题是 “若1a<1b, 则a >b ”故C 正确;对于D: 已知函数 f(x) =x 2 , 函数g(x)=(12) x − m , 若对任意 x 1 ∈[−1,3] , 存在 x 2 ∈[0,1] , 使得f ( x 1) ⩾g ( x 2) 成立, 即f( x)min =0 ≥g( x)min =12−m , 则m 的范围是[12,+∞) ，故 D 错误.6. 【答案】A【解析】对于 A,∵ 经验回归方程为y ̂=1.5 x +0.5 ,1.5>0 ∴ 变量x 与y 具有正相关关系, 故A 正确, 对于 B , 当x̅=3 时,y̅=3 ×1.5+0.5=5故样本点的中心为(3,5),∵去掉两个样本点为(1.2,2.2)和(4.8,7.8),1.2+4.82=3,2.2+7.82=5,∴样本的中心点不变,∵去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,∴5=3 ×1.2+â, 解得â=1.4,故去除两个误差较大的样本点后, 重新求得的回归方程仍为ŷ=1.2 x+1.4, 故B错误,对于C,∵1.5>1.2,∴去除两个误差较大的样本点后,y的估计值增加速度变慢, 故C错误,对于D,∵ŷ=1.2 ×2+1.4=3.8,∴y−ŷ=3.75−3.8=−0.05, 故D错误.7. 【答案】A【解析】f(x)=2 sinx+3 cosx=√13(cosx√13+sinx√13)=√13 cos(x−φ)(sinφ=2 √1313,cosφ=3 √1313)在x=φ处取得最大值√138. 【答案】A【解析】延长A B至点E, 使B E=A B, 连接S E,C E, OC,∵D是母线S A的中点,∴S E / / B D,∴∠C S E或其补角是异面直线S C与B D的角,∵圆锥的底面半径为2,∴O C=2,O E=3 O B=6∵C是A B̂的中点,∴O C ⊥O B,在Rt △C O E中,C E=√ O C2+ O E2=2 √10∵S A=S B=A B=4∴B D=√32 S B=2 √3 S E=2 B D=4 √3在△S C E中, 由余弦定理知,cos∠C S E= S C 2+ S E2− C E22 S C ·S E=2 ×4 ×4 √3=√34∴异面直线S C与B D所成角的余弦值为√34.9. 【答案】A10. 【答案】D二填空题（共计4道小题，每题6分，共计24分）11 120∘ ; 12 log 12|x| (答案不唯一) 13 √213,√31214 4【解析】11 e 1⃗⃗⃗⃗⃗, e 2⃗⃗⃗⃗⃗ 是夹角为 60∘ 的两个单位向量, 可得 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗=| e 1⃗⃗⃗⃗⃗| ∙| e 2⃗⃗⃗⃗⃗| cos6 0∘=12,|a⃗|=√4 e 1⃗⃗⃗⃗⃗2+ e 2⃗⃗⃗⃗⃗2+4 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7 |b ⃗⃗|=√9 e 1⃗⃗⃗⃗⃗2+4 e 2⃗⃗⃗⃗⃗2−12 e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗=√9+4−6=√7 a ⃗ ∙b ⃗⃗=(2 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+ e 2⃗⃗⃗⃗⃗)(−3 e 1⃗⃗⃗⃗⃗+2 e 2⃗⃗⃗⃗⃗)= −6 e 1⃗⃗⃗⃗⃗2+2 e 2⃗⃗⃗⃗⃗2+ e 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ e 2⃗⃗⃗⃗⃗=−6+2+12= −72 则a ⃗ 与b ⃗⃗ 的夹角余弦为:cosθ=a ⃗⃗⃗ ∙b ⃗⃗⃗|a⃗⃗⃗| ∙|b ⃗⃗⃗|=−72√7 ∙√7=−12 . 由 0∘ ⩽θ⩽18 0∘ , 可得θ=1 20∘.三 解答题（共计5道小题，共66分，写出必要的文字说明和演算步骤）15. 【答案】（1） a n = a 1+(n −1) d =1+n −1=n ;（2） S n = 22 n+1−23.【解析】解:（1）设公差为 d , 因为 a 1, a 2, a 4 成等比数列, 则 a 22= a 1 a 4 , 即( 1+d)2=1 ×(1+3 d), d 2−d =0 , 解得d =1,d =0 (舍), 所以 a n = a 1+(n −1) d =1+n −1=n ;(2) b n = 2 a 2−1= 22 n−1, b 1=2 , 所以{ b n } 是以 2 为首项, 4 为公比的等比数列, 所以 S n = b 1+ b 2+⋯+ b n =2 ×( 1−4n)1−4=22 n+1−23.16. 【答案】（1）0.36（2）不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关. 【解析】解: (1) 由已知, 学生为优秀的概率为 72120=0.6 , 那么设两名同学都是优秀学生为事件A ,则 P(A)=0.6 ×0.6=0.36 ; (2)填写列联表如下计算 k 2=120( 40 ×28−20 ×32)260 ×60 ×72 ×48=209≈2.222<2.706 , 所以不能在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.17. 【答案】（1）见解析（2）√64. 【解析】(1)因为 A A 1 ⊥ 平面A B C,C D ⊂ 平面A B C , 所以C D ⊥A A 1 . 又因为 △A B C 是正三角形,D 是A B 的中点, 所以C D ⊥A B . 又 A A 1 ∩A B =A , 所以C D ⊥ 平面 A A 1 B 1 B .因为点 P,N 分别为 A 1 C,A 1 D 的中点, 所以P N / / C D , 所以P N ⊥ 平面 A 1 A B B 1 . 又 P N ⊂ 平面E M N , 故平面E M N ⊥ 平面 A 1 A B B 1 . (2) 在 Rt △ A 1 A D 中, 由 A A 1=2,A D =1 , 可知 A 1 D =√5 . 所以 A 1 N =√52,cos∠N A 1 E =2√5. 由 A E =14 A A 1 可知 A 1 E =34 A A 1=32,在 △E A 1 N 中, 由余弦定理可得 E N 2= A 1 E 2+ A 1 N 2− 2 A 1 E ∙ A 1 N cos∠N A 1 E =12,则 E N =√22.又因为 P N ⊥ 平面 A A 1 B 1 B , 又E N ⊂ 平面 A A 1 B 1 B , 所以P N ⊥E N . 在 △E P A 1 和△M P C 中,因为 {∠P A 1 E =∠P C MP A 1=P C ∠ A 1 P E =∠C P M , 所以△E P A 1 ≅△M P C , 则 P E =P M , 即P 是E M 的中点.所以在 △E M N 中,E N 边上的高为2 P N =C D =√3 , 故 △E M N 的面积为12 ×√22×√3=√64.18. 【答案】（1） x 24+y 2=1 ；（2）见解析 【解析】解: (1) 由长轴的两个端点分别为 A(−2,0),B(2,0) , 可得a =2 , 由离心率为√32, 可得c a =√32,∴c =√3 , 又 a 2= b 2+ c 2, 解得b =1 , ∴ 椭圆C 的标准方程为 x 24+y 2=1 ； (2) 由题可知若 l 斜率存在, 且斜率不为零, 故设l 的方程为x =m y +1 , 设M ( x 1, y 1),N ( x 2, y 2) , 由{x =m y +1x 24+y 2=1 得,( m 2+4) y 2+2 m y −3=0 , 则 y 1+ y 2=−2 m m 2+4 ,y 1 y 2=−3m 2+4, 所以 2 m y 1 y 2=3( y 1+ y 2) ∴ k A M = y 1 x 1+2 , 直线A M 的方程为y = y 1 x 1+2(x +2),∴Q (4, 6 y 1x 1+2) , ∴ k N B = y 2−0 x 2−2= y 2 x 2−2, k B Q =6 y 1x 1+2−04−2=6 y 1x 1+22= 3 y 1 x 1+2,∴ k Ng− k BQ=y2x2−2−3 y1x1+2=y2( x1+2) −3 y1( x2−2)( x2−2)( x1+2)=y2( m y1+3) −3 y1( m y2−1)( x2−2)( x1+2)=−2 m y1 y2+3( y1+ y2)( x2−2)( x1+2)=0,即 k N B= k B Q,∴N 、 B 、 Q三点共线.19. 【答案】（1）f(x)在(−∞,−1)和(0,+∞)上单调递增, 在(−1,0)上单调递淢.（2）见解析【解析】解: (1)当m=12时,f(x)=x e x−12 x2−x−1,则 f′(x)=(x+1) e x−x−1=(x+1)( e x−1),令 f′(x)>0, 得x<−1或x>0, 令 f′(x)<0, 得−1<x<0,∴f(x)在(−∞,−1)和(0,+∞)上单调递增, 在(−1,0)上单调递淢.(2) 当x ∈(−π2,0)时, 要证明f(x)>x−x cosx−1, 即证明 ex−m x+cosx−2<0. 令g(x)= e x−m x+cosx−2,则 g′(x)= e x−sinx−m ≥ e x−sinx−1= e x(1−1+sinxe x),令ℎ(x)=1+sinxe x, 则 ℎ′(x)=cosx−sinx−1e x=√2 cos(x+π4)−1e x,当−π2<x<0时,−π4<x+π4<π4,∴cos(x+π4)>√22，故 ℎ′(x)>0, 即ℎ(x)在(−π2,0)上单调递增, 故x ∈(−π2,0)时,ℎ(x)<ℎ(0)=1,∴1−1+sinxe x>0,∴ g′(x)>0, 即g(x)在(−π2,0)上单调递增,∴g(x)<g(0)=0, 即原命题得证.。
2022-2023学年四川省成都七中高三(上)月考数学试卷(理科)(1月份)+答案解析(附后)
2022-2023学年四川省成都七中高三（上）月考数学试卷（理科）（1月份）1.已知集合，集合，则( )A.B. C.D.2.关于命题p ：“，”，下列判断正确的是( )A. 该命题是全称量词命题，且为假命题B. 该命题是存在量词命题，且为真命题C.：，D.：，3.复数z 满足：，则( )A. B.C.D.4.已知，，且，则与的夹角为( )A. B. C.D.5.抛物线的焦点坐标为( )A. B.C.D. 6.为了得到的图象，只需要将的图象( )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位7.有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到由此可知，如果不采取有效措施，则从年填年份开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨参考数据：，( )A. 2019B. 2020C. 2021D. 20228.如图，在平面四边形ABCD 中，，，，现将沿AC折起，并连接BD ，使得平面平面ABC ，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为( )A. B. C. D.9.化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化的热力学公式方程和方程，可以得到温度与可逆反应的平衡常数的关系式：式中为焓变在一定温度变化范围内视为定值，为熵变，R 为气体常数.利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已知当温度为时，可逆反应的平衡常数为；当温度为时，可逆反应的平衡常数为则( )A.B.C.D.10.中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序．在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为( )A.B.C.D. 11.已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是，，离心率为2，点P 在C 上，若直线，的斜率之和为，的面积为，则( )A. 1B.C.D. 212.已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，，其中若在区间中存在唯一整数，则a 的取值范围是( )A. B. C.D.13.展开式中项的系数为________.14.若关于x 的不等式在上有解，则实数a 的取值范围是______.15.函数的对称中心为，且时，函数的最小值为m ，则直线与曲线的交点的个数为______ 个.16.已知曲线：，：，其中①当时，曲线与有4个公共点；②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；④，曲线围成的区域内整点即横、纵坐标均为整数的点个数不少于曲线围成的区域内整点个数.其中，所有正确结论的序号是______ .17.中，D，E是边BC上的点，，且若，求面积的取值范围；若，，平面内是否存在点P，使得？若存在，求；若不存在，说明理由.18.如图，在四棱锥中，，，，，，，平面PAD，点M满足若，求证：平面平面PCM；设平面MPC与平面PCD的夹角为，若，求的值.19.二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且最高位数字必须为若在二进制中，是所有n位二进制数构成的集合，对于，，表示和对应位置上数字不同的位置个数.例如当，时，，当，时，若，求所有满足，且的的个数；若，对于集合中所有，求的和；当时，对于集合中所有和，求的和.20.已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点P在直线l：上且不在x轴上，直线与双曲线的交点分别为A，B，直线与双曲线的交点分别为C，设直线和的斜率分别为，，求的值；问直线l上是否存在点P，使得直线OA，OB，OC，OD的斜率，，，满足若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数，其中求的最大值；若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围.22.在极坐标系中，过点的直线l与极轴的夹角将l的极坐标方程写成的形式；在极坐标系中，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．若曲线：为参数，与直线l有一个公共点在y轴上，求a的值．23.已知函数当时，求不等式的解集；若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，又，所以故选：先利用分式不等式的解法求出集合A，然后再由集合并集的定义求解即可．本题考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p为存在量词命题，由，得，所以p为假命题．命题p的否定：，故选：解不等式判断命题的真假，结合存在量词命题的概念及存在量词命题的否定为全称量词命题得出答案．本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，则，，设，，，，解得，，，故选：根据复数的定义和复数的运算法则即可求出．本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：；；；又；与的夹角为故选：根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的范围．5.【答案】C【解析】解：抛物线的标准方程，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且，所以，所以抛物线的焦点坐标为，故选：根据抛物线的标准方程，即可判断焦点的位置和焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．6.【答案】B 【解析】解：将的图象向左平移个单位，可得的图象，故选：由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意得2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨，且年平均增长率为，则我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列，且公比为，2016年我国快递行业产生的包装垃圾约为万吨，则第年我国快递行业产生的包装垃圾约为万吨，则，即，，，则，故，，，故从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．故选：由题意得我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列，公比为，写出年份及包装垃圾之间的通项公式，使其大于4000，求解即可得出答案．本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：平面平面ABC，平面平面，，平面ABC，平面ACD，又平面ACD，，又，，BC、平面BCD，平面BCD，又平面BCD，，为直角，又为直角，取AB的中点O，连接OC，OD，则，为三棱锥外接球的球心，设为，则，，，平面ACD，为直角，，解得，所以外接球的半径，三棱锥外接球的体积为故选：利用面面垂直的性质，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB的中点，然后根据棱锥的体积求出球的半径，进而计算球的体积．本题主要考查球的体积的求法，三棱锥体积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了实际应用问题，解题的关键是正确理解题意，得出方程组，考查了化简运算能力，属于中档题．利用题中给出的关系式，得到方程组，利用对数的运算结合方程组求解即可．【解答】解：温度与可逆反应的平衡常数的关系式：，由题意可得，则有，则有故选：10.【答案】C【解析】解：中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽，设为A，B，C，D，如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序．则可能的音序情况为：若A在首位，则后面4位顺序可以为：BCDE，BCED，BDCE，BDEC，BECD，BEDC，CBDE，CBED，CDBE，CDEB，CEBD，CEDB，DBCE，DBEC，DCBE，DCEB，DEBC，DECB，EBCD，EBDC，ECBD，ECDB，EDBC，EDCB，一共有24种可能；同理，若B，C，D，E分别在首位的位置，每种情况都有24种可能；则把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序一共有种可能；音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧，即A，E在C的同侧，假如C在第三位，AE在C的左侧，则有AECBD，AECDB，EACBD，EACDB，4种情况，假如C在第四位，则有AEBCD，AEDCB，EABCD，EADCB，ABECD，ADECB，EBACD，EDACB，BAECD，DAECB，BEACD，DEACB，共12种情况，假如C在第五位，则有前面4个元素要排序，由前面的算法可以知道此时有24种情况，假如C在第一位，由对称性可知，此种情况与C排在第五位的可能数相同，有24种情况，假如C在第二位，由对称性可知，此种情况与C排在第四位的可能数相同，有12种情况，假如C在第三位，AE在C的右侧，此种情况与C在第三位，AE在C的左侧的可能数相同，有4种情况，综合可得音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的可能数为种，则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为故选：利用列举法，列举出所有的音序一共有120种情况，宫、羽两音阶在角音阶的同侧的音序一共有80种可能，由此能求出这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率．本题考查古典概型，是中档题．11.【答案】B【解析】解：因为双曲线的离心率为2，所以，不妨设，，，所以，所以双曲线的方程为，设，则则，①由，，即，，所以，所以，②又的面积为，所以，即，即，即③，由②③得，将，代入①，解得，所以，故选：由双曲线的离心率为2，得，不妨设，，，则，进而可得双曲线的方程为，设，则，①进而可得，即，②由的面积为，得③，进而可得答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由，得，切点为的切线的斜率为，切点为的切线方程为：，同理可求得切点为的切线方程为：，两条切线过点，把代入两条切线方程得：①，②，可以把，看成的两个根，，③，即，，，，在区间中存在唯一整数必须满足：，得，结合③，可得a的取值范围是故选：对函数求导，然后求出过点作曲线的两条切线，把代入两条切线方程，得到，，可以把，看成的两个根，由，得，解出a的取值范围，可以证明出，在区间中存在唯一整数，必须要满足，解出a的取值范围．本题考查了导数的几何意义、求曲线方程的切线．本题重点考查了在区间上方程有唯一整数解问题，考查了转化思想、方程思想，是中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于3，求得r、m的值，即可求得项的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为对于，通项公式为，令，根据，r、m为自然数，求得，或展开式中项的系数为故答案为14.【答案】【解析】解：由题意知，不等式在上有解，可化为至少有一个负数解，设，，画出图形，如图所示：当时，与相交于点，要使与相交于y轴左侧，只需满足；在函数不断左移的过程中，若与左侧曲线相切，则有，即，对应的判别式，解得，所以；综上知，a的取值范围是故答案为：问题可化为不等式至少有一个负数解，构造，，画出图形，利用数形结合方法求出a的取值范围．本题考查了函数的图象与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．15.【答案】2【解析】解：因为函数的对称中心为，所以函数的对称中心为所以，，所以曲线方程为因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以函数的最小值为9，即，所以直线方程为①当，时，曲线，即为，与直线联立，可得，解得或故交点为和；②当，时，曲线，即为，与直线联立，可得，解得舍；③当，时，曲线，即为，不存在；④当，时，曲线，即为，与直线联立，可得，解得，舍综上，与曲线的交点的个数为故答案为：由函数的对称性与最值求，，，分为当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况考虑曲线与直线是否有交点即可求解．本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】①③④【解析】解：首先需要知道，都关于x轴，y轴对称，关于原点对称，对于①，曲线：，：，过轴上4个点，，，当相同，的更大，相对于圆凸出，①正确，对于②，当时，纵坐标相同，当时，的更大，当时，的越大，曲线围城的区域面积小于曲线围城的区域面积，②错误，对于③，当时，曲线围城的区域面积小于围城的区域面积，当m很大时，图像完全在的圆里，曲线围城的面积大于围城的区域面积，即随着m的增加，一定有一个时刻使两曲线围城的面积相等，故③正确，对于④，若对于的一个整点为，则对应的点为，即b是整数时，不一定是整数，④正确，故答案为：①③④．由题意可得，都关于x轴，y轴对称，关于原点对称，对于①，当相同，的更大，相对于圆凸出，即可判断①是否正确，对于②，曲线围城的区域面积小于曲线围城的区域面积，即可判断②是否错误，对于③，随着m的增加，一定有一个时刻使两曲线围城的面积相等，即可判断③是否正确，对于④，若对于的一个整点为，则对应的点为，b是整数时，不一定是整数，即可判断④是否正确，本题考查曲线与方程，面积，解题中注意特殊值的应用，属于中档题．17.【答案】解：由面积公式可得：，，因为，故，由可得即，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，则，则，整理得到：，故的BC边上的高的范围为故其面积的取值范围为：因为，故，故，故为直角三角形且，，如图，设，则，故，同理，，，故，而，故，在中，由余弦定理可得：，整理得到：所以，整理得到：，解得或，但为锐角，故，故故P存在且【解析】根据条件可得，建立平面直角坐标系，从而可得A在一个定圆上运动变化，从而可求的BC边上的高的范围，故可得面积的取值范围．根据题设条件可判断该三角形为直角三角形，利用正弦定理和余弦定理可求的值．本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用．方程思想，化归转化思想，属中档题．18.【答案】证明：因为，，，所以，且，若，则，所以，所以，所以，即，因为平面PAD，PM、平面PAD，所以，，又，AD、平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，在直角梯形ABCD中，，，，所以，即，因为，PM、平面PCM，所以平面PCM，又平面PBM，所以平面平面解：以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y轴，作平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面MPC的法向量为，则，即，令，则，，所以，同理可得，平面PCD的法向量为，由，知，所以，，化简整理得，，即，解得或2，因为，所以【解析】结合余弦定理与勾股定理，可证，由平面PAD，知，进而得平面ABCD，有，再利用勾股定理证明，然后由面面垂直的判定定理，得证；以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面MPC和平面PCD的法向量与，再由，，解之即可．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，利用空间向量求平面与平面所成角的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于难题．19.【答案】解：因为，所以为5位数且与有2项不同，又因为首项为1，故与在后四项中有两项不同，得个数为因为，当时，的个数为；当时，的个数为；……当时，的个数为；设的和为S，则，倒序相加得，即，所以的和为先固定，下面对的情况分类讨论得：当时，的个数为；当时，的个数为，当时，的个数为，……当时，的个数为，设的和为T，则，倒序相加得，倒序相加得，即，所以当固定时，对所有，的和为又因为所有的共有个，所以对集合中所有和，的和为【解析】结合“二进制”以及的定义，利用组合数求得正确答案；由列出对应的的个数，利用倒序相加及组合数性质求解；先求得的和S的表达式，然后利用倒序相加法求得的和．本题主要考查数列的应用，数列的求和，考查运算求解能力，属于难题．20.【答案】解：设，，则，所以；假设直线l上存在点P，使得设，，，，设直线：，直线：，由，得，，，所以，同理，由，得，得或，当时，由得，，l：，，得，当时，由得，或，，l：，，得，所以或【解析】设，结合两点求直线斜率公式即可求解；假设存在满足题意的点P，设点A、B、C、D的坐标和直线、方程，联立方程组利用韦达定理和两点求斜率公式表示出和，根据求得或，结合分类讨论求出对应的P点坐标即可．本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，，令，解得：或，令，解得：，故在，上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，，令，即当时，恒成立，故在处取得最大值，；设，其中，①当时，，符合题意，②当时，，且，由知：在单调递增，故，若，，则单调递减，有，符合题意，若，，符合题意，若，即时，，则在上单调递减，有，符合题意，若，即时，存在使得，当时，，故，则单调递增，可得，不合题意，因此当时，满足题意得③当时，，且，由②可知：只需考虑，若，即时，由知在上单调递减，故，存在，使得，当时，，得，则单调递减，可得：，不合题意，若，即时，由可知：当时，，，故，则在上单调递增，有，符合题意，若，，符合题意，若，下面证明符合题意，当时，，故，当时，设，则，可得在上单调递增，在上单调递减，故，从而，符合题意，综上：【解析】求导，得到函数单调性，极值最值情况，求出最大值；先考虑时满足题意，再分与两种情况，求导后变形，与题干中的建立联系，分类讨论求出实数a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，同时考查了学生的运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：直线l的直角坐标方程为：，化为极坐标方程：，可得：直线l的直角坐标方程为：，令，可得曲线：为参数，，时化为：，把代入上述方程可得：时，不满足条件，舍去．综上可得：【解析】先得出直线l的直角坐标方程，利用即可得出极坐标方程．直线l的直角坐标方程为：，令，可得曲线：为参数，，时化为：，把代入上述方程解出即可得出．时，不满足条件，舍去．本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程、直线与曲线的交点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，由，则或或，解得或或，故原不等式的解集为对任意的，恒成立，，当且仅当时，等号成立，由此可得，，即，当时，取得最大值1，即，解得或，故实数a的取值范围为【解析】当时，，再分类讨论，即可求解．根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(文)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知(3,0),(3,0),(0,3)A B C -，则外接圆的方程为（）．22(1)2x y -+=B ．2(1)x y -+22(1)2x y +-=D ．2(x y +．已知一个半径为4的扇形圆心角为)π，面积为2π，若()tan θϕ+（）．0B ．12D ．1-A ．4B ．57．设一组样本数据122022,,,x x x 的平均数为1220220.11,0.11,,0.11x x x +++ 的平均数和方差分别为（A ．10,1B ．10,0.18．设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使A ．αβ⊥，//l βC ．//l n ，n α⊥9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若A ．1或9B ．110．设函数()f x 定义域为R ，(f x -()21f x x =-+，则下列结论错误的是（二、填空题15．已知抛物线于,A B两点，且中，16．在ABC的面积，则若S为ABC三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．随着飞盘运动在网络上火爆起来后，一些年轻人的热情被点燃盘运动迎来了众多的青少年从某中学随机抽取男生和女生各34，女生中有5(1)完成下面22⨯关？有兴趣(1)证明：平面11A B F ⊥平面(2)若160,ABC AA ∠==20．已知椭圆E ：22x a +(1)求椭圆E 的方程.(2)设椭圆E 的下顶点为点两点，直线AP ，AQ 分别与直线l 过定点.。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试语文试题试卷
2022～2023学年度上期高2023届期中考试语文试卷（满分150分，时间150分钟）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3小题。
进入新世纪以来，中西方美学界出现了一种“回归生活世界”以重构美学的趋向。
这种美学在当代西方被称为“日常生活美学”，在中国则被称为“生活美学”。
在当代中西方不同历史语境下，研究中国的“生活美学”，还须从本土传统入手。
应该说，生活美学的根就在中国。
从孔子和老子分别建树起中国儒家生活美学与道家生活美学传统开始，中国人的生活美学传统已经存续了几千年，一直是中国审美文化的主流。
这是由于，在中国人的生活当中，审美与生活始终处于一种不即不离的微妙关联当中，这种传统始终没有断裂过，一直延续至今。
所以，在一定意义上说，中国美学就是生活美学，因为中国人的生活被古人赋予了审美化的追求，中国人的审美也在古代被奠定了生活化的根基。
西方美学曾经更关注艺术，中国美学却早已聚焦生活。
生活美学对于西方而言是一个新思潮——西方没有将生活审美化的悠久传统，尽管他们的艺术传统非常久远。
生活美学乃是根源于中国本土既植根于生活又超逾于审美的悠久传统。
生活美学在中国，具有世界其他文明难以企及的广度与深度。
这种本土美学关涉很广，主要包括三个层面。
第一是“生理的”生活美学，这关乎广义之“性”，如饮食、饮茶等。
第二是“情感的”生活美学，这关乎广义之“情”，如闲居、交游、雅集、人物品藻等。
第三是“文化的”生活美学，这关乎广义之“文”，诗、书、画、印、琴、曲、园林、博弈、游艺乃至于游山玩水皆属此类。
美学在中国与民众生活联系得最为紧密，审美已深入生活。
“生活美学”乃是一种“体用不二”的美学。
这个“体”，就是生活之体，就是中国民众的衣、食、住、行、用、娱的生活本体；这个“用”，就是将生活美学应用在生活本体上。
中国的书法就是最显明例证。
从王羲之、颜真卿到怀素，他们的作品不是正襟危坐着创作出来的，而是包孕在实用化的信札、便条、序跋、祭文等等之中。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学(文)试题(含答案解析)
B．平面 PAB 和平面 PCM 的交线不与平面 ABCD 平行
C．平面 PBC 内存在无数条直线与平面 PAM 平行
D．平面 PAM 和平面 PBC 的交线不与平面 ABCD 平行
12．已知 a b ，且 ea a eb b 1.01 ，则下列说法正确的有（ ）
① b 1； ② 0 a 1 ；③ b a 0 ； ④ a b 1. 2
62
cos
2
2 3
cos
2
3
π cos2
6
1
2sin
2
6
1
1 2
1 2
.
答案第 2页，共 14页
故选：C 8．A 【分析】先函数的奇偶性排除两个选项，在根据函数的零点位置及范围内的函数值正反，得
最符合的函数图象即可.
【详解】解：函数 f (x) x cos x ，定义域为 R ，所以 f x x cos x x cos x f x
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
2．若复数 z 满足 (z 1) i 1 i ，则 z 的虚部是（ ）
A．1
B． 1
C． i
3．“ 1 m 7 ”是“方程 x2 y2 1表示椭圆”的（ ） m1 7m
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
D． i
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为 8 和 6，该花盆的侧面展开图的扇环
所以函数 y f (x) 为奇函数，故排除 B，D 选项；
当 x 0 时，令 f (x) x cos x 0 得 x π 2kπ,k N ，所以函数 y f (x) 最小正零点为 x π ，
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学(文)试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知A （0，0），B （5，0），C （1，3），连接ABC 的各边中点得到A 1B 1C 1，连接A 1B 1C 1的各边中点得到A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数（ ）A．B ．5C ．10D ．152.若不等式．对x ∈恒成立，则sin (a +b )和sin (a -b )分别等于（ ）A．B．C．D．3.已知集合，则A．B．C．D．4.若，则（ ）A．B．C．D．5. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6. 若是函数的极值点，则的值为A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或27. 在菱形中，，，将△沿折起到△的位置，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．8.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9.已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．若，则10. 已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．11. 已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）A ．该椭圆的焦距为6B ．的最小值为2C ．的值可以为D ．的值可以为12.已知函数，将函数的图象向左平移（）个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学（文）试题 (2)四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学（文）试题 (2)三、填空题四、解答题单调递减，下列说法正确的是（ ）A ．当取最小值时，在区间上的值域为B．当取最小值时，的图象的一个对称中心的坐标为C ．当取最大值时，在区间上的值域为D ．当取最大值时，图象的一条对称轴方程为13.已知数列满足，，，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为_______.14. 已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15. 某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为______．附：，，16. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.17. 某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类(不参加体育锻炼)，乙类(参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时)，丙类(参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时)，调查结果如下表：甲类乙类丙类男性居民3123女性居民633(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?男性居民女性居民总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计(2)从抽出的女性居民中再随机抽取2人进一步了解情况，求所抽取的2人中乙类，丙类各有1人的概率．附：18. 设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列.已知，，，.(1)求和的通项公式；(2)设，求的前项和.19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，且．(1)证明：平面平面；(2)若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．20. 中国探月工程自年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了名学生进行调查，调查结果如下面列联表.关注没关注合计男女合计（1）完成上面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）现在从这名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取名学生，如果再从中随机选取人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的名学生中恰有名女生的概率.若将频率视为概率.附：，其中21. 某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.。
2022-2023学年四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(文)试卷含逐题详解
成都七中高2023届高三下期入学考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项填涂在答题卡上）1.集合{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则S T 等于（）．A.{}4B.{}1,5C.{}1,4,5.6 D.{}1,2,3,4,52.已知i 52i z ⋅=-，则z 的虚部是（）．A.5B.5i- C.5- D.1-3.在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）．A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件4.函数4x xxy e e -=+的图象大致是（）A.B.C.D.5.若实数x ，y 满足约束条件2303204120x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（）．A.6B.5C.3D.26.函数()sin 2f x x =在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是（）．A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增7.我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的体积为（）．A.12B.1C.23D.668.某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）．A.57周岁以上参保人数最少B.18～30周岁人群参保总费用最少C.C 险种更受参保人青睐D.31周岁以上的人群约占参保人群80％9.已知数列{}n a 中，()25e n a n n =-，当其前n S 项和最小时，n 是（）．A .4B.5C.5或6D.4或510.已知函数()[]()4ln 3303f x x x x =-+<<，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（）．A.1B.2C.3D.411.过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为A.23B.43C.83D.不能确定12.关于x 方程lg x k =的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（）．（1）1ab =；（2）212a <<；（3）22a b <+<；（4）()11b a b a +>+．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡指定横线上）13.已知向量()1,3a = ，()3,4b = ，若()()ma b a b -+∥，则实数m =__________．14.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.15.已知二次函数()f x 满足条件：（1）()f x 的图象关于y 轴对称；（2）曲线()y f x =在1x =处的导数为4，则()f x 的解析式可以是__________．16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.三、解答题（本题共7小题，17～21题各12分，22或23题10分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请作答在答题卡上）17.已知等差数列{n a }的前三项和为15，等比数列{n b }的前三项积为64，且112a b ==.（1）求{n a }和{n b }的通项公式;（2）设,n n a n c n ⎧⎪=为奇数为偶数，求数列{n c }的前20项和.18.随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别分组频数频率第1组[)50,60140.14第2组[)60,70m 第3组[)70,80360.36第4组[)80,900.16第5组[)90,1004n合计（1）求m ，n ，x ，y 的值；（2）满意度在90分以上的4位居民为2男2女，现邀请2人参加抽奖活动，求2人中有男性的概率．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．（1）若2DM MP =，求证：直线//MN 平面PAB ；（2）已知点M 满足13PM PD =，求异面直线MN 与AD 所成角．20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OAB（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:6l x =交x 轴于点P ，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，求PM PN 的值．21.已知函数()e xxf x x =-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若实数a b ¹满足()()ee1e e 1baa b a b -=-，证明：0a b +>．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．请考生用2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值．23.已知函数()2123f x x x =+-+.（1）求()f x 的最大值m ;（2）若正数,,a b c 满足abc m =，证明:111a b c++≥+成都七中高2023届高三下期入学考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项填涂在答题卡上）1.集合{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则S T 等于（）．A.{}4B.{}1,5C.{}1,4,5.6 D.{}1,2,3,4,5【答案】A【分析】根据交集运算法则直接计算即可.【详解】{}1,4,5S =，{}2,3,4T =，则{}4S T = .故选：A2.已知i 52i z ⋅=-，则z 的虚部是（）．A.5B.5i- C.5- D.1-【答案】C【分析】由复数除法求得z 后可得.【详解】52i i(52i)25i i i (i)z ---===--⋅-,虚部是5-.故选：C.3.在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）．A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，所以这两件事不是必然事件.故选：C 4.函数4x xxy e e -=+的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D ，再根据f(1)排除C 得解.【详解】由题得4()()x xxf x f x e e---==-+，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得14(1)0f e e -=>+，所以排除选项C.故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.若实数x ，y 满足约束条件2303204120x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（）．A.6B.5C.3D.2【答案】D【分析】根据题意作出可行域，进而根据z 的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC ，当且仅当动直线y x z =-+经过点A 时，z 取得最小值，联立32012301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，此时min 112z =+=．故选：D .6.函数()sin 2f x x =在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是（）．A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【答案】A【分析】直接利用三角函数的图像与性质判断即可.【详解】因为66x ππ-≤≤，所以233x ππ-≤≤，根据正弦函数的性质知，此时()f x 单调递增;故选：A7.我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则它的体积为（）．A.12B.1C.23D.66【答案】C【分析】首先还原几何体，由棱锥的体积公式求解即可.【详解】如下图，还原几何体，其中SA ⊥平面ABCD ，底面为矩形，1AB =，2BC =，侧棱1SA =，所以四棱锥的体积为112121333ABCD V S SA =⋅=⨯⨯⨯=.故选：C8.某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）．A.57周岁以上参保人数最少B.18～30周岁人群参保总费用最少C.C 险种更受参保人青睐D.31周岁以上的人群约占参保人群80％【答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A 选项正确.B 选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B 选项错误.C 选项，C 险种参保比例0.358，是最多的，所以C 选项正确.D 选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D 选项正确.故选：B9.已知数列{}n a 中，()25e n a n n =-，当其前n S 项和最小时，n 是（）．A.4B.5C.5或6D.4或5【答案】D【分析】令()25e 0n a n n =-≤，求出n 的范围，即可得出答案.【详解】令()25e 0n a n n =-≤，可得05n <≤，令()25e 0n a n n =->，可得5n >，又50a =，所以当其前n S 项和最小时，n =4或5.故选：D .10.已知函数()[]()4ln 3303f x x x x =-+<<，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（）．A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】函数()f x 零点的个数，即为函数[]()3ln ,14y x y x ==-两个图象交点的个数，作出函数[]()3ln ,14y x y x ==-的图象，结合函数图象即可得出答案.【详解】令()[]4ln 330f x x x =-+=，则[]()3ln 14x x =-，则函数()f x 零点的个数，即为函数[]()3,0143ln ,10,1243,234x y x y x x x ⎧-<<⎪⎪==-=≤<⎨⎪⎪≤<⎩两个图象交点的个数，作出函数[]()3ln ,14y x y x ==-的图象，如图所示，因为334e 2.719.6832>=>，所以34e 2>，所以3ln 24>，由图可知[]()3ln ,14y x y x ==-的图象有三个交点，所以函数()f x 有3个零点.故选：C.11.过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为A.23B.43C.83D.不能确定【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.关于x 方程lg x k =的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（）．（1）1ab =；（2）212a<<；（3）22a b <+<；（4）()11b a b a +>+．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【分析】根据对数函数的图象与性质判断（1），再由不等式的性质判断（2）（3），构造函数，利用导数的单调性判断（4）.【详解】方程lg x k =的两个根为a ，b ，所以|lg ||lg |a b =，如图，a b < ，lg lg a b ∴-=，即lg lg lg 0b a ab +==，1ab ∴=，故（1）正确；1b a ∴=，102a a a ∴<<<，解得212a <<，故（2）正确；由1b a =，1a b a a +=+，因为1y x x =+在,1)2上单调递减，故122x x <+<，所以22a b <+<，故（3）正确；由1,11b a >+>知，()1ln ln(1)1(1)ln ln(1)1b a b a ba ab b a b a ++>+⇔+>+⇔>+，设ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=，令21ln ()0x f x x -'==解得e x =，故当()0,e x ∈时，()0f x '>，故()f x 在()0,e 上递增，因为12a <<，所以1122a +<+<，11b a <=<，故(),10,e b a +∈，又22215[()]1124(1)0a a a a a b a a a a a-+-+--+-+=-==<由()f x 在()0,e 上递增知，则ln ln(1)1b a b a +<+，故（4）错误.故选：C 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡指定横线上）13.已知向量()1,3a = ，()3,4b = ，若()()ma b a b -+∥ ，则实数m =__________．【答案】1-【分析】首先求出ma b a b -+ ,的坐标，然后根据向量平行的坐标表示建立方程求解.【详解】由题意得()()4,7,3,34a b ma b m m +=-=-- ，因为()()ma b a b -+∥ ，所以()()43473m m -=-，解得1m =-.故答案为：1-.14.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.【答案】72##3.5【分析】由题意列出方程，求出072y =.【详解】由题知：14p =，故由焦半径公式得：0007322p y y y +=⇒=.故答案为：72.15.已知二次函数()f x 满足条件：（1）()f x 的图象关于y 轴对称；（2）曲线()y f x =在1x =处的导数为4，则()f x 的解析式可以是__________．【答案】()221f x x =+（答案不唯一）【分析】取()221f x x =+，确定函数为偶函数，()4f x x '=，()14f '=，满足条件，得到答案.【详解】取()221f x x =+，则()()221f x x f x -=+=，函数为偶函数，关于y 轴对称；()4f x x '=，()14f '=，满足条件.故答案为：()221f x x =+（答案不唯一）16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题（本题共7小题，17～21题各12分，22或23题10分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请作答在答题卡上）17.已知等差数列{n a }的前三项和为15，等比数列{n b }的前三项积为64，且112a b ==.（1）求{n a }和{n b }的通项公式;（2）设,n n a n c n ⎧⎪=为奇数为偶数，求数列{n c }的前20项和.【答案】（1）31n a n =-，2n n b =（2）2336【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；（2）根据（1）的结果求数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法，求数列{}n c 的前20项和.【小问1详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由条件可知，1232315a a a a ++==，得25a =，213d a a =-=，所以()21331n a n n =+-⨯=-，等比数列中，2123364b b b b ==，则24b =，212b q b ==，所以1222n n n b -=⋅=；【小问2详解】231,2,n n n n c n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,对数列{}31,n n -为奇数时，()()321316n n +---=，所以数列{}n c 的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列22,n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶数，222222n n +=，所以数列{}n c 的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{}n c 的前20项和为：()()1232013192420.........c c c c c c c c c c ++++=+++++++()()101111212102562902222882336212-+=+=+-=+=-.18.随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别分组频数频率第1组[)50,60140.14第2组[)60,70m 第3组[)70,80360.36第4组[)80,900.16第5组[)90,1004n 合计（1）求m ，n ，x ，y 的值；（2）满意度在90分以上的4位居民为2男2女，现邀请2人参加抽奖活动，求2人中有男性的概率．【答案】（1）30m =，0.04n =，0.03x =，0.004y =（2）56【分析】（1）直接根据频率分布表和频率分布直方图计算即可；（2）利用列举法结合古典概型求解即可.【小问1详解】由题意可得第四组的人数为1000.1616⨯=，所以100143616430m =----=，40.04100n ==，又[)60,70内的频率为300.3100=，所以0.30.0310x ==，[)90,100内的频率为0.04，所以0.040.00410y ==；【小问2详解】设四个人为男1、男2、女1、女2，抽两人有男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2，共6种情况，有男性的情况是男1男2、男1女1、男1女2、男2女1、男2女2，总共5种，所以2人中有男性的概率为56．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．（1）若2DM MP = ，求证：直线//MN 平面PAB ；（2）已知点M 满足13PM PD =，求异面直线MN 与AD 所成角．【答案】（1）证明见解析（2）90°．【分析】（1）取PA 的一个靠近点P 的三等分点Q ，连接MQ ，QB ，由题意可证得//MN BQ ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）过点M 作//MK PA ，交AD 于K ，连接KN ，由线面垂直的判定定理证明AD ⊥面MNK ，即可得出MN AD ⊥，即可得出答案.【小问1详解】取PA 的一个靠近点P 的三等分点Q ，连接MQ ，QB ，因为2DM MP = ，所以//MQ AD 且113QM AD ==，又因为//AD BC ，且2BC =，点N 为BC 中点，所以//BN MQ 且BN MQ =，则四边形MQBN 为平行四边形，所以//MN BQ ，MN ⊄平面PAB ，QB ⊂平面PAB ，所以直线//MN 平面PAB ．【小问2详解】过点M 作//MK PA ，交AD 于K ，连接KN ，可知MK ⊥面ABCD ，因为AD ⊂面ABCD ，所以MK AD ⊥，又因为13PM PD =，所以23MK DK PA DA==．∵3PA AD ==∴1AK =，∴//AK BN ，AK BN =，所以四边形AKNB 为平行四边形，//KN AB ，又因为AB AD ⊥，所以KN AD ⊥，又MK NK K ⋂=，∴AD ⊥面MNK ，因为MN ⊂面MNK ，∴MN AD ⊥，所以异面直线MN 与AD 成角为90°．20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OAB 3（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:6l x =交x 轴于点P ，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，求PM PN 的值．【答案】（1）22143x y +=（2）24PM PN ⋅=【分析】（1）由离心率得32b a =，代入OAB 3,b a 得椭圆方程；（2）设直线BC 方程为6x my =+，()11,B x y ，()22,C x y ，直线方程代入椭圆方程后由韦达定理得1212,y y y y +，由直线方程求得,M N 的纵坐标，从而计算PM PN 并代入1212,y y y y +可得结论．【小问1详解】由题意，设椭圆半焦距为c ，则12c a =，即2222114c b a a =-=，得32b a =．设()11,B x y ，112OAB S a y =△，由1y b ≤，所以OAB S 的最大值为12ab ，将32b a =代入12ab =，有234a =2a =，b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=．【小问2详解】(6,0)P ，设()22,C x y ，因为点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，则直线BC 不与x 轴重合，设直线BC 方程为6x my =+，与椭圆方程联立得()223436960m y my +++=，()221296384340m m ∆=-+>，可得2332m >，由韦达定理可得1223634m y y m +=-+，1229634y y m =+，直线BA 的方程为()1122y y x x =--，令6x =得点M 纵坐标1142M y y x =-，同理可得点N 纵坐标2242N y y x =-．则M N PM PN y y ⋅=，()()()()()1212122121212121616162244416M N y y y y y y y y x x my my m y y m y y ===--+++++()222169616962464961441634m m m ⨯⨯===-++，所以24PM PN ⋅=．【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设出直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），再利用交点1122(,),(,)x y x y 坐标表示出题中要求的量，代入韦达定理的结果化简即可得结论．21.已知函数()e xx f x x =-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若实数a b ¹满足()()e e 1e e 1b a a b a b -=-，证明：0a b +>．【答案】（1）在()0,∞+上单调递减（2）证明见解析【分析】（1）对()f x 求导可得()1e ex x x f x '--=，令()1e x m x x =--，再对()m x 求导，求出()m x 的单调性以及()m x 正负，即可求出()f x 的单调递减区间；（2）将题目转化为()()e e 1e 1e a b a b a b =--，令()()e 1e x xx g x -=，有()()g a g b =，要证0a b +>，即证a b >-，即()()g b g b <-，设()()()()2e ex x h x g x g x x -=--=--，对()h x 求导，研究()h x 的单调性和最值，即可证明.【小问1详解】因为()11e 1e exx x x x f x '---=-=，令()1e x m x x =--，故()1e 0xm x =--<'恒成立，故函数()m x 在R 上单调递减，而()00m =，所以当(),0x ∈-∞时，()0m x >，()0f x ¢>；当()0,x ∈+∞时，()0m x <，()0f x '<．故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减．【小问2详解】由()()e e 1e e 1b a a b a b -=-得()()e e 1e 1e a b a b a b =--，令()()e 1e x x x g x -=，有()()g a g b =，由（1）可得()()1e e ex x x x x f x x -=-+=在在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以函数()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故a ，b 一正一负．不妨设0a b <<，要证0a b +>，即证a b >-，即证()()g a g b <-，即()()g b g b <-，设()()()()2e e x x h x g x g x x -=--=--，注意到()00h =，则()()()1e 11e e x x xx x h x ⎡⎤++--⎣⎦='，令()()1e 1x x x x ϕ=++-，则()()2e 1x x x ϕ'=++，当0x >时，显然()0x ϕ'>恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，则()()00ϕϕ>=x ，又1e 0x -<在()0,x ∈+∞上恒成立，所以当()0,x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，()()00h x h <=，因为0b >，所以()0h b <，即()()g b g b <-得证．【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．请考生用2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值．【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=；即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=（2）2【分析】（1）通过消参求得曲线1C 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)利用极径的几何意义求解.【小问1详解】∵122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则1x y +=，∵cos sin x y ρθρθ==，，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=；由2(cos sin )ρθθ=-，得2222x y x y +=-，即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=.【小问2详解】由2(cos sin )ρθθ=-得cos sin 2ρθθ-=，①由()cos sin 1ρθθ+=得1cos sin θθρ+=，②22+①②可得22124p ρ+=，即42840p ρ-+=设P ，Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ，则()2124ρρ⋅=，∴12||||2OP OQ ρρ⋅=⋅=.23.已知函数()2123f x x x =+-+.（1）求()f x 的最大值m ;（2）若正数,,a b c 满足abc m =，证明:111a b c++≥+【答案】（1）1（2）证明见解析.【分析】（1）由题知()31,2345,121,1x f x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.【小问1详解】解：当32x <-时，()322223112f x x x x x =+-+=++--=；当312x -≤≤-时，()2223452123f x x x x x x =----+=-=--+；当1x >-时，()322223112f x x x x x =+-=+--=-+，所以()31,23212345,121,1x f x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=+-+=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩因为当312x -≤≤-时，函数()f x 单调递减，32x <-或1x >-时，函数为常函数，所以，函数()f x 的最大值为1，即1m =【小问2详解】解：因为11a b +≥11b c +≥，11a c +≥，所以111a b c ++≥+因为，由（1）知1m =，即1abc =，===，所以，111a b c ++≥+a b c ==时等号成立，所以111a b c ++≥+。
四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试卷及答案
四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题一、单选题1．设集合U =R ，集合{}210A x x =->，{}02B x x =<≤，则集合()U A B =A ．()11-，B ．[]11-，C ．(]01，D ．[]12-， 2．已知i 是虚数单位，设2332iz i-=+，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量1(2BA = ,31(),22BC = 则∠ABC =A ．30B ．45C ．60D ．1204．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18C ．115D ．1305．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2120n n n a a a n *+++-=∈N ．若16182024a a a ++=，则35S =（ ）．A ．140B ．280C ．70D ．4206．已知命题:p 存在 a R ∈，曲线221-=x ay 为椭圆；命题1:02x q x -≤-的解集是{}12x x <<．给出下列结论中正确的有（ ）①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且（q ⌝）”是真命题；③命题“（p ⌝）或q ”为真命题；④命题“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S 的值为（参考数据：sin150.2588sin7.50.1305︒︒=＝，）A ．2.598B ．3.106C ．3.132D ．3.1428．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，则()2f x +是偶函数.B ．若函数()32120163f x alog x blog x f =++=，（），则132016f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；C ．对于函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠都满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；D ．函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，且()f x 为增函数.9．设函数11()cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =（ ）A ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线6x π=对称B ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线6x π=对称D ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线3x π=对称10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；1311．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．函数2()sin f x x =的最小正周期为_______.14．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.15．若x ，y 满足约束条件50210,210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为________．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．三、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2sin (2)sin (2)sin a A b B c C =+. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（1）建立y 关于x 的线性回归方程；（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnxπ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，ACBD O =.（1）证明:1B C 平面1A BD ；（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积.20．设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过F 且x 轴垂直的直线与椭圆的一个交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 且与l 垂直的直线与x 轴和y 轴分别交于N 、P 两点，记FMN ∆和OPN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1210S S =，求直线l 的方程.21．已知函数()12,x xf x te t R e =--∈. （1）当4t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0t >时，若函数()()1x xg x e f x te x =+-+在R 上有唯一零点，求t 的值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:x tl y at=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，点B 为线段OA 的中点.（1）求动点B 的运动轨迹2C 的参数方程； （2）若直线l 与2C 的公共点分别为,M N ，当3OMON=时，求a 的值.参考答案：1．C解不等式得A,求得UA ，进而可求().U AB ⋂解：因为集合{}{}21011A x x x x x =->=-或，所以{}11UA x x =-≤≤，所以(){}01U A B x x ⋂=<≤. 故选C.【点睛】本小题考查集合的基本运算，全集、补集、交集等基础知识：考查运算求解能力. 2．A由复数除法法则计算出z ，再计算出2z +，可得其对应点的坐标，得所在象限．解：由已知223(23)(32)649632(32)(32)13i i i i i i z i i i i -----+====-++-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，掌握除法运算法则和共轭复数的概念是解题基础． 3．A解：试题分析：由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知||=?a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4．C解：试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=（其中n 是基本事件的总数，m 是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 5．B由()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，可得数列{}n a 为等差数列，再根据16182024a a a ++=，可得188a =，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.解：解：∵()2120n n n a a a n *+++-=∈N ，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 为等差数列，由等差数列的性质得1620135182a a a a a +=+=， ∵16182024a a a ++=，∴188a =， ∴135351835353582802a a S a +=⨯==⨯=． 故选：B ． 6．B由已知命题描述，判断p 、q 的真假，再判断由或且非组合p 、q 构成的复合命题真假即可.解：当12a =-时曲线221-=x ay 为椭圆，故p 是真命题；102x x -≤-的解集是{}12x x ≤<，故q 是假命题； ∴p ⌝是假命题，q ⌝是真命题.“p 且q ”是假命题，①错误；“p 且（q ⌝）”是真命题，②正确；“（p ⌝）或q ”为假命题，③错误；“（p ⌝）或（q ⌝）”是真命题，④正确． 故选：B 7．C解：阅读流程图可得，输出值为：136048sin 240.1305 3.132248S =⨯⨯≈⨯= .本题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8．A根据函数奇偶性、对数函数、指数函数的性质，计算可得.解：解：对于A ，因为函数()f x 对于任意x ∈R 都有()()4f x f x =-成立，故()f x 关于2x =对称，则()2f x +关于0x =对称，即函数()2f x +是偶函数，故A 正确；对于B ，因为()()32120163f x alog x blog x f =++=，， 即()3220162016201613f alog blog =++=，32201620162alog blog ∴+=()323211112016201611201620162016f alog blog alog blog ⎛⎫∴=++=-++=- ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，函数()f x lnx =，其定义域内任意12x x ≠，1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()12111222l ln ln 22n f x f x x x x x +==+因为()2112212x x x x +>，ln y x =在定义域上单调递增，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭ 故C 错误；对于D ，函数()(01)x f x a a a =>≠，满足对定义域内任意实数a b ，都有()()()f a b f a f b +=⋅，但当1a >时，()f x 为增函数；当01a <<时，()f x 为减函数，故D 错误； 故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数、对数函数的应用，属于中档题. 9．B利用辅助角公式可得1()2sin()23f x x π=+，再由正弦函数的性质判断各选项的正误.解：由题设，1111()cos ]2sin()2622623f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1(,)2332x πππ+∈，可知：()y f x =在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；6x π=时，152312x ππ+=，显然不是()y f x =对称轴，3x π=时，1232x ππ+=，此时1sin(231)x π=+，3x π=是()y f x =对称轴.故选：B 10．D解：分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数， 所以中间一个矩形最该，故数据的众数为101512.52+=， 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 第一个矩形的面积为0.2，第二个矩形的面积为0.3，故将第二个矩形分成3:2即可， 所以中位数是13，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 11．C解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积． 12．A解：试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)bA a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a-⇒22221)33b b b a c e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 13．π 解：试题分析：，所以函数的周期等于考点：1.二倍角降幂公式；2.三角函数的周期.14．2214x y -=解：依题意，设所求的双曲线的方程为224x y λ-=.点M 为该双曲线上的点，16124λ∴=-=.∴该双曲线的方程为：2244x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=.15．8解：画出可行域(如图所示)，通过平移直线y ＝－2x 分析最优解．∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由50,210x y x y +-=⎧⎪⎨⎪-+=⎩ 解得x=3,y=2 ∴z max ＝2×3＋2＝8. 16．8解：试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．17．（1）6π；（2（1）ABC 中，由正弦定理得222b c a +-=，再由余弦定理求得cos A =，6A π=；（2）ABC 中，由正弦定理得到sin B =，进而得到角B ，再由内角和为π得到角C ，由三角形面积公式即得结论．解：（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b b c c =+，整理得222b c a +-=，所以cos A =又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又2a =，b =6A π=，所以sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是12ABCSab == 若23B π=，则6C π=，于是1sin 2ABCS ab C ==． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题 18．（1）222955y x =+；（2）7． （1）根据公式求线性回归方程即可；（2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 解：（1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==， 则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．19．（1）证明见解析（2【解析】（1）由已知可得11B C A D ∥，即可证明结论；（2）由（1）1B C 平面1A BD ，有111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=，根据已知条件，即可求解.解：（1）依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ∴四边形11A B CD 是平行四边形，∴11B C A D ∥， ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C平面1A BD .（2）依题意，12,AA AO ==1Rt AAO △中，11AO ， 所以三棱锥1A BCD -的体积1A BCDV 113BCD S AO =⋅△21213⎫=⨯⨯⎪⎪⎝⎭=由（1）知1B C平面1A BD ，∴111B A BDC A BD V V --=1A BCD V -=. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于基础题,20．（1）22143x y +=；（2）3(1)y x =±+. （1）由椭圆得性质得出1c =，将点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程结合,,a b c 的关系，列出方程组求解即可得出椭圆方程；（2）设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理得出点M 的坐标，再由直线MP 方程得出点P ，N 的坐标，由三角形面积公式以及1210S S =，得出m 的值，即可得出直线l 的方程.解：（1）222219141ab a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩22143x y ⇒+=. （2）由题意知，斜率不为0，故设直线AB 方程为1x my =-. 设1122(,),(,)A x y B x y联立椭圆方程可得()2234690m y my +--=221634y y m m ∴++=，()122221268234324m x x m y m m y -+=+--+==+ 2243,3434m M m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭21:34MP y m x m ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭234P m y m -⇒=+ 同理2134N x m -=+，12||||||M FN y S S NO OP ⋅=⋅10N F M N P x x y x y -=⋅=21193m m ⇒=⇒=± 所以直线方程为：3(1)y x =±+【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点求椭圆方程以及椭圆中和三角形相关的问题，属于中档题.21．（1）单调递增区间(),ln 2-∞-，单调递减区间()ln 2,-+∞；极大值6-，无极小值；（2）1 (1)依题意4t =-可知()142xx f x e e =---,则()()12121()4x x x x xe ef x e e e +-'=-+=,利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果.(2)当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--,利用导数的方法可得()g x 的单调区间,()g x 的极小值是()ln g t -，只要()ln 0g t -=，即1ln 10t t-+=时,能满足题意;构造函数()1ln 1t F t t=-+在0,上单调递增,从而确定=1t 时有唯一的零点.解：（1）当4t =-时，()142xxf x e e =---. 则()()12121()4x xx x xe ef x e e e +-'=-+=， 令0f x，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(),ln 2-∞-，单调递减区间是()ln 2,-+∞， ∴()f x 的极大值是1(ln 2)42262f -=-⨯--=-，无极小值（2）当0t >时，()2()1(2)x x x xg x e f x te x te t e x =+-+=+--，则()()2g ()2(2)1121x xx x x te t e te e '=--=-++，令0g x，得ln x t =-，∴()g x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，∴()g x 的极小值是()ln g t -，∴只要()ln 0g t -=，即可满足函数在R 上有唯一零点 ∴()n 0ln 1l 1t g t t=-+=-，令()1ln 1t F t t =-+，则211()0F t t t'=+>.∴()F t 在0,上单调递增，∵()01F =，∴t 的值是1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,综合考查导数在函数中的运用,难度困难.22．（1）2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）0a =（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，将点A 代入曲线1C ，即可得动点B 的运动轨迹2C 的极坐标方程，利用公式222,cos x y x ρρθ=+=转化为普通方程，再写出参数方程即可；（2）设点()()12,,,M N ρθρθ，则123ρρ=，代入2C 的极坐标方程解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，再通过22222cos 1cos cos sin 1tan θθθθθ==++求出tan θ，即a 可得. 解：解：（1）设(),B ρθ，则()2,A ρθ，又点A 在曲线21:8cos 120C ρρθ-+=上运动，则()2282cos 120ρρθ-⨯+=，即24cos 30ρρθ-+=， 由222,cos x y x ρρθ=+=得动点B 的运动轨迹2C 的普通方程为：22430x y x +-+=，即()2221x y -+=化为参数方程为2cos 2:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩，α为参数；（2）直线:x tl y at =⎧⎨=⎩（t 为参数）普通方程为：y ax =，则极坐标方程为tan a θ=，设点()()12,,,M N ρθρθ，因为3OMON=，则123ρρ=， 将点()()12,,,M N ρθρθ代入22:4cos 30C ρρθ-+=，得2112224cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩，即222222912cos 304cos 30ρρθρρθ⎧-+=⎨-+=⎩， 解得221cos 1ρθ=⎧⎨=⎩，22222cos 1cos 1cos sin 1tan θθθθθ∴===++，解得tan 0θ=，即0a =.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查极坐标的应用，是中档题.。
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一等品
二等品
总计
甲生产线
乙生产线
总计
（1）请将 列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？
参考公式：
（2）从样本的所有二等品中随机抽取 件，求至少有 件为甲生产线产品的概率．
【答案】（1）列联表见解析，有 的把握认为产品的等级差异与生产线有关；
（2）
18.如图，在正三棱柱 中， 是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）已知 ，求异面直线 与 所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）证得 平面 ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.
【小问1详解】
因为正三棱柱 ，所以 ，又因为 是 的中点，所以 ，又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
13.命题“ ， ”的否定是_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【详解】特称命题的否定是全称命题．
命题“ ， ”的否定是： ．故答案为： ．
14.函数 在 处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）
【答案】
【解析】
【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.
【详解】 的导函数是 ，所以 .
又 ，所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
15.已知双曲线 的两个焦点分别为 、 ，且两条渐近线互相垂直，若 上一点 满足 ，则 的余弦值为_______________________．
【答案】
（1）求 的通项公式；
（2）若 的前 项和 ，求正整数 的最小值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）若选①，则可得 ，从而可得数列 是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出 ，进而可求出 ，若选②，则 ，从而可得数列 是以 为公比，1为首项的等比数列，则可求出 ，进而可求出 ，
（2）利用错位相减法求出 ，从而可求出正整数 的最小值
45
5
所以 ，因为 ，所以有 的把握认为产品的等级差异与生产线有关；
【小问2详解】
解：依题意，记甲生产线的2个二等品为 ， ，乙生产线的3个二等品为 ， ， ；则从中随机抽取 件，所有可能结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10个，至少有 件为甲生产线产品的有 ， ， ， ， ， ， 共7个，所以至少有 件为甲生产线产品的概率 ；
（2）因为存在正数 ，使得 ，
所以 ， 有解，
即 ， 有解，
所以 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：-2，
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为 ．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．
【答案】B
【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．
【详解】对于A：众数可能不变，如 ，故A错误；
对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；
对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；
【解析】
【分析】由题意可得 ，进而得到 ，再结合双曲线的定义可得 ，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】因为双曲线 ，所以渐近线方程为 ，又因为两条渐近线互相垂直，所以 ，所以 ，即 ，因此 ，
因此 ，又由双曲线的定义可知 ，则 ，
所以在 中由余弦定理可得
，
故答案为： .
16.已知向量 ， ．（1）若当 时， ，则实数 的值为_______________________；
（2）若存在正数 ，使得 ，则实数 取值范围是__________________．
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】（1）由 时，得到 ， ，然后根据 求解；
（2）根据存在正数 ，使得 ，则 ， 有解，利用二次函数的根的分布求解.
【详解】（1）当 时， ， ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以实数 的值为-2；
【小问1详解】
若选①，则由 可得 ，所以数列 是以2为公差， 为首项的等差数列，
所以 ，所以 ，
若选②，则由 ，得 ，所以数列 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，所以
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，所以正整数 的最小值为4，20.已知椭圆 的短轴长为 ，左顶点A到右焦点 的距离为 ．
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试
数学试卷（文科）
（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集 ，集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义，即得解
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．
【详解】如图底面正八边形 的外接圆圆心是 （正八边形对角线交点），设外接圆半径为 ，
在 中， ， ，
由余弦定理得 ， ，
正八边形的面积为 ，
所以攒尖体积 ．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】C
【解析】
【分析】由点的坐标求得参数 ，再由焦半径公式得结论．
【详解】由题意 ，解得 ，
所以 ，
故选：C．
5.奥运会跳水比赛中共有 名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到 个有效评分，则与 个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（）
A.众数B.方差C.中位数D.平均数
【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径 ，圆锥的母线长
记该几何体的表面积为
故
故选：B
7.设平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解
当 时，直线 ： ，恒过定点 ；
当直线斜率不存在时，设直线 ， ， ，
则 ，且 ，
解得 或 （舍去）；
综上可得直线 恒过定点 .
21.已知函数 ，其中 为常数．
（1）当 时，判断 在区间 内的单调性；
（2）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）判断见解析
（2）
【解析】
【分析】小问1：当 时，求出导数，判断导数在 上的正负，即可确定 在 上的单调性；
【详解】由题意，全集 ，集合 ， ，
故
则
故选：C
2.复数 （其中 为虚数单位）的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数 ，然后由虚部的定义即可求解.
【详解】解：因为复数 ，
所以复数 的虚部为 ，
故选：A.
3.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角 名青少年的视力测量值 （五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）
【详解】 ，
∴最小正周期 ，①错误；
令 ，则 在 上递增，显然当 时 ，②正确；
，易知 为偶函数，③正确；
令 ，则 ， ，易知 的图象关于 对称，④错误；
故选：C
12.攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于 年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为 ，宝顶到上檐平面的距离为 ，则攒尖的体积为（）
对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；
故选：B
6.已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解
小问2：由 得 ，令 ，将参数 区分为 ， ， 三种情况，分别讨论 的单调性，求出最值，即可得到 的取值范围.
【小问1详解】
当 时，得 ，故 ，当 时， 恒成立，故 在区间 为单调递增函数.
【小问2详解】
要使得 取得最大值，即直线 与阴影部分相交且截距最大
由图像可知，当经过图中 点时，直线的截距最大
，解得
故
故 的最大值是2
故选：D
9.“ 为第二象限角”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件 求出 的范围，从而可判断出选项.
【小问1详解】
解：依题意 、 ，又 ，解得 ， ，