平行截割定理-高中数学知识点讲解
高考数学一轮复习 第一节 平行线截割定理与直角三角形
考 体
落
验
实
·
·
明
固 基 础
【提示】
相等．可通过S△＝
1 2
(a＋b＋c)r内来证
考 情
明．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
图1
1．(人教A版教材习题改编)如图1所示，F为▱ABCD的边AD
典 延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC、AC于点G、
AB AD
＝
AE AC
，所以AE＝
验 · 明
固
基 础
ABA·DAC＝2.
考 情
【答案】 2
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自
考
主
体
落
验
实 ·
如图5，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，
· 明
固
考
基 础
DE交AC于G，交BC于F.若DE＝5，DF＝3.则
DG EG
＝
情
________．
高
自
考
主
体
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验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
图4
4．如图4，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝ 6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________．
立体几何基础定理 → 立体几何高级定理
立体几何基础定理→ 立体几何高级定理
一、简介
立体几何是几何学中研究空间中的图形和形体的分支。
立体几何基础定理是理解和应用立体几何的基础，而立体几何高级定理是在基础定理的基础上进一步深入研究和探索立体几何中更复杂的问题。
本文将介绍一些立体几何基础定理，并简要描述一些立体几何高级定理。
二、立体几何基础定理
1. 平行面截立体图形切割平行截线的比例定理
当一对平行面截取一个立体图形时，截线与截面上的相似图形的边的比例相等。
2. 对割立体图形的剖面截线定理
对一个立体图形进行平行或垂直于某个固定平面的切割，剖面上的截线与截面上的边对应的边成比例。
3. 双平面截取切割立体图形的定理
当两个平面同时截取一个立体图形时，这两个平面上的截线与
截面上的相似图形的边的比例相等。
三、立体几何高级定理
1. 欧拉定理
对于任意一个立体图形，它的顶点数V、边数E和面数F之间
存在着关系：V-E+F=2。
2. 圆柱内切立方体体积比定理
一个半径为r的正圆柱体内切一个立方体，其体积比为2:1。
3. 四边形界整体间体积所构成条件的定理
当一个正四边形的对角线所围成的四个空间面积分别是A、B、C和D时，当且仅当A + B = C + D时，存在唯一一个立体使得四
个面积为该立体的面积。
四、结论
立体几何基础定理是理解立体几何的基础，而立体几何高级定
理进一步探索了立体几何中更复杂的问题。
通过学习和应用这些定
理，可以更好地理解立体图形的性质和关系，并在实际问题中应用立体几何的知识。
切割线定理和割线定理
切割线定理和割线定理
切割线定理和割线定理是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明几何定理中起着至关重要的作用。
让我们来谈谈切割线定理。
切割线定理是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线被称为切割线，它将平行线分割成相似三角形。
这个定理在解决三角形相似性问题时非常有用，通过切割线定理，我们可以证明两个三角形的某些角度相等，从而推导出它们是相似的。
接下来，让我们来看看割线定理。
割线定理是指，如果一条直线与一个圆相交，那么这条直线被称为割线，它将圆分割成两个不相交的部分。
割线定理在解决圆的性质和相关定理时非常重要，通过割线定理，我们可以推导出圆内角和弧的关系，以及切线与半径的垂直关系等。
总的来说，切割线定理和割线定理都是几何学中基础而重要的概念，它们为我们理解几何形状和解决几何问题提供了重要的线索。
通过运用切割线定理和割线定理，我们可以更好地理解几何学知识，推导几何定理，解决几何难题。
在实际应用中，切割线定理和割线定理也有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，我们需要根据建筑物的不同形状和结构来设计合适的切割线和割线，以确保建筑物的稳固和美观。
在工程测量中，切割
线和割线也经常被用来确定地表的坡度和地势的高低，为工程施工提供重要的参考依据。
总的来说，切割线定理和割线定理是几何学中重要的概念，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
通过深入理解和应用切割线定理和割线定理，我们可以更好地掌握几何学知识，解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望通过本文的介绍，读者能对切割线定理和割线定理有更深入的了解，进一步探索几何学的奥秘。
平行截割(平行线分线段成比例定理运用)
平行截割一、知识纵横：平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形：二、典型例题：例1.如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别 交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ．思路点拨 图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示．例2.如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ， 则FDAF FC EF +的值为( ) A ．21 B ．1 C ．23 D ．2 思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FCEF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．例3.如图，BD 、BE ，分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．(1)求证：四边形AEBD 为矩形；(2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AGAF ，求证：△AHG是等腰三角形．例4.如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．(1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；(2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PE+PF ，即需证明1=+ABPF AB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明． 注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．例5.如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS思路点拨 由于PM 、PN 、PR 、PS 在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系三、巩固提高：1．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果21=MB AM ，则=BCBP ． 2．如图，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若31=FD AF ，则=BE AE ；若nFD AF 1=，则=BE AE ． 3．如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若3=GABG ， BC=8，则AE 的长为 ．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，BC=lcm ，E 是CD 边上一动点，AE 、BC 的延长线交于点F ，设DE=x (㎝)，BF=y(cm)，用x 的代数式表示y 得 ．5．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：①FC BF EC AE =；②BC AB BF AD =；③BC DE AB EF =；④BFEA CF CE = ． 其中正确比例式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 是BD 、CE 的中点，则BCPQ 等于( ) A ．31 B ．41 C ．51 D ．617．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 1、O 2，O 3为对角线BD 上三点，且BO 1=O l Q 2=O 2O 3=O 3D ，连结AO l 并延长交BC 于点C ，连结EO 3延长交AD 于点F ，则AD ：FD 等于( )A ．19：2B ．9：1C ．8：1D ．7：18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，则DF ：FE等于( )A ．5：2B ．2：lC ．3：1D ．4：19．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=31CD ，E 是AB 上一点，AE=2BE ，M 是腰BC 的中点，连结EM 并延长交DC 的延长线于点F ，连结BD 交EF 于点N 求证：BN ：ND=l ：10．10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．(1)求证：OE=OF ，(2)求BCOE AD OE +的值； （3）求证：EFBC AD 211=+．11．已知如图1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD 于F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则： (1) EFCD AB 111=+还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由； (2)请找出S △ABD ，S △BED ，S △BDC 间的关系式，并给出证明．12．如图，在梯形ABCD 中．AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，BE 延长后交AD 于F ，那么FDAF = ． 13．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD 、BC 的延长线分别交于F 、E 点，设BC=a ，CD=b ，CE=c ，则CF= ．14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD= a ，BC= b ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为 ．15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15m ，分别自两杆上高出地面4m 、6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D 、B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为 m ．16．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E ，F 是BC 的三等分点．AE 、AF 分别交BD 于M 、N 两点，则BM ：MN ：ND=( )A ．3：2；1B ．4：2：lC ．5：2：1D ．5：3：217．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( )A ．745B ．533C ．539 D ．21518．如图，平行四边形ABCD 中，F 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，试判断下列结论：①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG=21BG ； ④S △ABE =3S △AGE ，其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．如图，已知△ABC ，32=DC BD ，43=EC AE ，AD 、BE 交于F ，则FE BF FD AF ⋅的值( ) A ．37 B ．914 C ．1235 D ．1356 20．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．21．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF=21FD ，FE 与AC 相交于G ，求证：AG=51AC ．22．如图，已知M 、N 为△ABC 的边BC 上的两点，且满足BM=MN=NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ，求证：EF=3DE ．23．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO (如图甲)； （2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO (如图乙)； (3)当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO (如图丙)； 在图丁中，当nAC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)24．如图，在平行四边形ABCD 中，P 1，P 2，…，P n 是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ．(1)求证：EF ∥BD ；(2)设平行四边形ABCD 的面积是S ，若S △AEF =83S ，求n 的值．。
《1.1.3平行截割定理》课件2-优质公开课-人教B版选修4-1精品
如图 1－2－8，M 是▱ABCD 的边 AB 的中点，直线 l 过 M 分别交 AD，AC 于 E，F，交 CB 延长线于 N，若 AE＝2， AD＝6.求 AF∶AC 的值．
【答案】 7∶5
1．如图 1－2－11，已知 DE∥BC，则下列比例式成立 的是( )
A.DABA＝AACE B.DBCE＝DABA C.EAAB＝DACA D.DABA＝AACE
【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论知，DACA＝ EA AB.
【答案】 C
2．如图 1－2－12，已知ADDB＝45，DE∥BC，则EACC等于
图 1－2－8
【解】 ∵AD∥BC， ∴FACF＝NAEC，∴AFA＋FFC＝AEA＋ENC. ∵BANE＝AMMB＝1，∴AE＝BN. ∴AACF＝AE＋BANE＋BC＝2AEA＋E BC. ∵AE＝2，BC＝AD＝6， ∴AACF＝2×22＋6＝15， 即 AF∶AC＝1∶5.
(2011·广东高考)如图 1－2－10 所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F 分别为 AD，BC 上点，且 EF＝3，EF∥AB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面 积比为__________．
如图 1－2－7 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD.
(1)求OADE＋OBCE的值； (2)求证：A1D＋B1C＝E2F.
【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出 EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．
【自主解答】 (1)∵OE∥AD，∴AODE＝BAEB. ∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC， ∴OBCE＝AAEB， ∴OADE＋OBCE＝BAEB＋AAEB＝BEA＋BAE＝1.
人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第一讲一平行线等分线段定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2 图1-1-32.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-44.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置.图1-1-5误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.2.两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1–6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′，图1-1-7求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.问题·探究问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形，或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形. 探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图1-1-8:图1-1-8问题2 三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.图1-1-9探究:证明:如图1-1-9，DE 是中位线，E 是AC 的中点，过点D 作DE′∥BC ，则E′也是AC 的中点，所以E 与E′重合，DE′与DE 重合.所以DE ∥BC.同理，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F ，则BF=FC.因为DE ∥FC ，DF ∥EC ，所以四边形DFCE 是平行四边形.所以DE=FC.又因为FC=21BC ，所以DE=21BC. 上述过程中，DE′与DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1-1-10所示的几种辅助线代表几种不同的证法.（1）(1)延长中位线DE 到F,使EF=DE.（2）(2)延长中位线DE 到F,使EF=DE 得ADCF.(3)作CF ∥AB 与DE 的延长线交于点F.图1-1-10三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，其特点是:同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.问题3 梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？思路:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.探究:设法把梯形中位线转化为三角形中位线.图1-1-11如图1-1-11，欲使MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上，若连结AN 并延长交BC 的延长线于E(梯形的这种辅助线也经常用到)，就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN ，AD=EC ，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性:由梯形中位线公式MN=21(BC ＋AD)，可知当AD 退缩为一点时,其长度为零,则公式变为MN=21BC.这就是三角形的中位线公式,这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了它们之间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论2“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰的中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.典题·热题例1如图11-1-2，已知在△ABC 中，D 是AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F.求证:BF=CF.图1-1-12思路分析：根据D 是AC 的中点，利用平行，得到E 是AB 的中点，再利用平行即可得到F 是BC 的中点.证明：在△ABC 中，∵D 是AC 的中点，DE ∥BC ，∴E 是AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF ∥AC 交BC 于F ，∴F 是BC 的中点，即BF=FC.深化升华 在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.例2求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图11-1-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC.求证:ED=EC.图1-1-13思路分析：在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又F是DC中点，∴EF是DC的垂直平分线.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).方法归纳证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或者根据全等三角形对应边相等来证明.例3在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点，求证:AP=PQ=QC.图1-1-14思路分析：在△ADQ中，F是AD的中点，只要证明FP∥DQ，即可由推论1得AP=PQ；同理在△CPB中，根据E是BC的中点，EQ∥BP，由推论1得CQ=PQ，由此得到结论.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形).∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点.∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.深化升华本题两次利用了E、F是中点的条件，在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.例4已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证:AF=BF.图1-1-15思路分析：一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉到图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用,所以延长AE使它与BC相交就势在必行了.证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E,∴在△AEC与△MEC中,EC=CE,∠AEC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCD.∴△AEC ≌△MEC.∴AE=ME.∴E 是AM 的中点.又在△ABM 中FE ∥BC,∴点F 是AB 边的中点.∴AF=BF.方法归纳 作辅助线的常用方法有延长某线段与另外的线段相交，连结两点，过一点作另外一条线段的平行线，过一点作另外一条线段的垂线等.例5如图11-1-6,以梯形ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作ACED ，DC 的延长线交BE 于F,求证:EF=BF.图1-1-16思路分析：在△EAB 中，OF ∥AB.要说明EF=BF ，只要说明O 是AE 的中点，而O 是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分性质，可以知道O 是AE 的中点，于是问题得证.证明：连结AE 交DC 于O,∵四边形ACED 是平行四边形,∴O 是AE 的中点(平行四边形对角线互相平分).∵四边形ABCD 是梯形,∴DC ∥AB. 在△EAB 中，OF ∥AB,又O 是AE 的中点，∴F 是EB 的中点.∴EF=BF.深化升华 证题时，当一个条件有几个结论时,要选择与其有关联的结论.本题可延长EC ，在梯形ABCD 内构造平行四边形，或以AB 、BE 、AD 的延长线为边构造梯形也可以得证. 例6如图1-1-17，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，AD ＝12，求BE 的长.图1-1-17思路分析：首先由平行四边形的性质得到O 是AC 的中点，利用平行得E 是BC 的中点，于是BE 应等于BC 的一半，BC 的长度可以由AD 获得.解：∵ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，BC ＝AD.∵AB ∥DC ，OE ∥AB ，∴DC ∥OE ∥AB.又∵AD ＝12，∴BE ＝EC ＝21BC ＝21AD ＝6.。
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
平行截割定理的逆定理
平行截割定理的逆定理平行截割定理的逆定理，听起来有点高大上对吧？别担心，今天咱们就来聊聊这个神秘的定理，用轻松愉快的方式，保证你听完后不想打瞌睡。
想象一下，数学就像一场盛大的派对，大家都是主角，各种图形、线条齐聚一堂，热闹非凡。
咱们得说说平行截割定理。
简单来说，它告诉我们，如果一条线把两条平行线截断，那么这条线和这两条平行线之间的比例关系是一定的。
就像切蛋糕，切得均匀，大家都能分到一块美味的蛋糕，谁也不会心里不平衡。
但是，逆定理是什么呢？逆定理就是说，如果你发现有一种比例关系，那就意味着这些线条可能是平行的。
是不是听起来像是逆向思维？就是那种从结果推回去的方法，让人觉得恍若穿越时空。
再说这个逆定理的日常应用，咱们可以想象一下，站在校园的操场上，两个平行的篮球场，球场上小朋友们打得热火朝天。
这时，如果你看到一条线在两条篮球场之间穿过，哎呀，这条线把篮球场分得特别均匀，嘿，这时候你就可以运用逆定理，推测这两条篮球场的边界其实是平行的。
这一发现，真是太酷了，简直像发现了宝藏一样，让人忍不住想要分享。
咱们可以想象一个场景，假设你和小伙伴在公园里放风筝。
你放的风筝和小伙伴的风筝高高飞起，仿佛在天空中跳舞。
你注意到，两根线之间的夹角总是保持不变，这可不是巧合。
用平行截割定理的逆定理，你可以判断，这两根线的角度关系其实是恒定的，像是那些朋友间的默契，一眼就能看出。
哎，真是太有意思了，数学的魅力真是让人拍案叫绝！然后，我们得谈谈这个逆定理在工程上的应用。
想象一下，一个建筑师在设计一栋高楼大厦。
他需要确保大楼的结构是稳固的，线条也是优雅的。
通过逆定理，他可以快速判断设计的某些部分是否平行，这样就能避免将来出问题，真是事半功倍。
就像你在煮饭的时候，提前知道盐加多了会咸得吃不下，那可真是太重要了。
除了这些实际应用，逆定理的思维方式也对我们生活中很多问题的解决大有裨益。
比如，你在做选择题时，看到某个选项的结果和你想的结果有某种关系，那就可以推测出它可能是正确的。
2020年全国高考数学·第58讲 几何证明选讲
2020年全国高考数学第58讲几何证明选讲考纲解读1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理.2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义、通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.命题趋势探究主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理以及圆内接四边形的性质.知识点精讲一、平行截割定理1.平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组平行线相交的）直线上截得的相等也相等.(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰.2. 平行截割定理及其推论（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线段成比例．二、相似三角形1.相似三角形的判定（1）判定定理：①两角对应相等的两个三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例，两三角形相似.（2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3)直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3.直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.三、圆的切线1.切线的性质及判定（1）切线的性质定理：原的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等.四、相交弦定理圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.五、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．六、圆内接四边形1. 圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补.2. 圆内接四边形的判定定理:(1) 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆.(2)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆.题型归纳及思路提示 题型192 相似三角形 思路提示运用相似三角形的判定定理与性质，注意表示线段字母的对应，常考题型是“A”型或“8”型相似. 例16.1如图16-1所示，已知,,DE AB EF BC ∥∥求证：DEF ABC ∆∆∽.图16-1OF EDCBA变式1如图16-2所示，在ABC ∆中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若BE 和CD 相交于O ，AO 和DE 相交于F ，AO 的延长线交BC 与G.证明：（1）BG DFGC FE=；（2）BG GC = 图16-2OFEDGCBA变式2如图16-3所示，已知AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.若,22A C PD DA ∠=∠==，则PE=__________________P图16-3EDCBA变式3 如图16-4所示，已知PA ，PB 是O e 的两条切线，PCD 是O e 的一条割线， E 是AB 与PD 的交点. 证明：（1）AC PA AD PD=；（2）AC AD CB DB =；（3）AC ADCB DB =. P例16.2如图16-5所示,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和CD 交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BCAD 的值为__________________.变式1.如图16-6所示，O e 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若,4,BD AE AB ⊥= 2,3BC AD ==，则DE =____________ CE =____________.图16-6EDCB AO变式2 如图16-7所示，过O e 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且7,PB C =是圆上一点使得5,,BC BAC APB =∠=∠则AB =________________。
高中数学 3.2 平行与圆柱线的截线课件 新人教版选修4
规律技巧 解答本题应熟悉截线椭圆的重要公式：设斜截
面与圆柱面的母线夹角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的
长轴长2a＝
2r sinφ
，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ
，焦距2c＝
2acosφ.
变式2 已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦 点球的球心距为12，求截面截圆柱所得的椭圆的长轴长、短轴 长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．
a2＝b2＋c2，离心率e＝
c a
，准线方程为x＝±ac2
，椭圆的标准方
程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(2)椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称
图形，又是以原点为对称中心的对称图形．因此，画椭圆的图
形时，只要画出第一象限部分，利用对称性可画出其余部分．
2．平面与圆柱面的截线 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆． 圆柱面的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱面 的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的圆心， 若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的切点恰好是 截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹迪林(Dandelin)双 球．
1.AD AD cosφ sinθ 答
2.椭圆 案
3.长轴 短轴 焦距 2 a2－b2
思考探究1 用一个平行于圆柱的轴的平面截圆柱，截口 是什么？
提示 是矩形．如图，截口显然是矩形． 思考探究2 在一个圆柱体中你能用一个平面截出一个三 角形吗？能截出一个半圆吗？在什么条件下，你能截出一个正 方形？
解析 由2a＝6，知a＝3.
又e＝cos45°＝
22，∴ac＝
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平行截割定理
1．平行截割定理
【知识点的知识】
1、平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2、平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
3、相似三角形的判定
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
4、两个直角三角形相似的判定
定理：
①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．
②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．
③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
5、相似三角形的性质
性质定理：
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方；
④相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方．
6、直角三角形的射影定理
直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．。