运筹学课件 第四节 01型整数规划
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运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
在0-1规划问题中，遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因突变、交叉 和选择等过程来寻找最优解。算法从一个初始种群出发，通过不断迭代 进化，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
运筹学--整数规划 ppt课件
三、投资问题
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末
回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第 二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128％， 但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%， 但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，此项投资金额不限。
= 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D =
1.15x2A+ 1.06x3D； 第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D =
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以 保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 -
200y3
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
一、投资场所的选择
京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售
门市部，拟议中有10个位置 Aj ( j＝1，2，3，…，10)可供 选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
-
26
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29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
运筹学PPT 第四章 线性整数规划
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
bixi≤B ∑ i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
解：令 x i=
运筹学课件 第四节 0—1型整数规划
2
分析：
如果生产第j种产品，xj>0. 约束条件xj<=Mjyj,yj=1; 如果不生产第j种产品， xj=0.约束条件 xj<=Mjyj,yj=1或0。当 yj=1不利于目标函数的最大 化，因此在最优解必然是 yj=0。
件， M 1 100 ,
50 , M
3
34
运 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
产品3
a32
机床2
a33
机床3
运筹学教程
解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有
产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14
运筹学教程
4 求解： 7 C 6 6 6 0 0 0 0 0
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
1 2
运筹学教程
p 个约束条件
a
j 1
p
ij
x j b i ( i 1, 2 ,..., p ) p 个 0 1变量
选择 q 个约束条件，引入
0 , 选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p ) yi 1, 不选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p )
约束条件组
n a ij x j b i My i j 1 st . ( i 1, 2 ,..., p ) p yi p q i 1
分析：
如果生产第j种产品，xj>0. 约束条件xj<=Mjyj,yj=1; 如果不生产第j种产品， xj=0.约束条件 xj<=Mjyj,yj=1或0。当 yj=1不利于目标函数的最大 化，因此在最优解必然是 yj=0。
件， M 1 100 ,
50 , M
3
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运 设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
产品3
a32
机床2
a33
机床3
运筹学教程
解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有
产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14
运筹学教程
4 求解： 7 C 6 6 6 0 0 0 0 0
当y1=1,y2=0;采用 新工艺,(2)式成立;
1 2
运筹学教程
p 个约束条件
a
j 1
p
ij
x j b i ( i 1, 2 ,..., p ) p 个 0 1变量
选择 q 个约束条件，引入
0 , 选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p ) yi 1, 不选择第 i 个约束条件 ( i 1, 2 ,..., p )
约束条件组
n a ij x j b i My i j 1 st . ( i 1, 2 ,..., p ) p yi p q i 1
运筹学01整数规划
货物体积每箱m3重量每箱吨利润每箱百元托运限制20分别表示甲乙两种货物的托运箱数则其整数规划数学模型为当采用船运方式当采用车运方式其中一般情况下m个约束条件中选择q个约束条件则可变成为
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
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max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
运筹学课件第四节0-1型整数规划
运筹学课件第四节0-1型整数 规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
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6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
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化，因此在最优解必然是 yj=0 。
M j为xj的上界, 例如根据第三个约束条件，M1 ? 100,
M2 ? 50, M3 ? 34
运筹学教程
例 含有相互排斥的约束条件的问题
设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2 ≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为 0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
3.产品2的加工总时间约束
产品2的开始加工时间 x21, 结束家工时间为 x 24 +a24 ,所以
x 24 +a24 -x21≤d
4.目标函数的建立
由于三件产品的加工时间分别为 x14+a14,x24+a24,x33+a33,全部产品的实际 加工时间为:w=max(x 14+a14,x24+a24,x33+a33)
运筹学教程
p
? p个约束条件 aij xj ? bi (i ? 1,2,..., p) j?1
选择q个约束条件，引入,选择第i个约束条件(i ? 1,2,..., p) ??1,不选择第i个约束条件(i ? 1,2,..., p)
在约束条件中保证了在P个0-1
约束条件组
2.每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中,如果已经开始加工还没有结束,则不能开始加工另一件产 品.对于机床1,先加工1不能加工2. 为了容纳两种相互排斥的约束条件,对于每台机床,分别引入0-1变量:
运筹学教程
yj ? ???10，, 先先加加工工某另种外产产品品（j ? 1,2,3,4） 机床1:x 11+a11≤x21+My1 ; x 21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x 22+a22≤x32+My2 ; x 32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x 13+a13≤x33 +My3 ; x 33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x 14+a14≤x24 +My4 ; x 24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
??2x1 ? 3x2 ? 4x3 ? 300
如果不生产第 j 种产品，
? ? st.?? ?
x1
?
2x2 ? 3x3 ? x1 ? M1 y1 x2 ? M2 y2
100
? ? ?
x3 ? M3 y3 xj ? 0且为整数
??
yj ? 1或0
x j=0. 约束条件 x j<=M jyj,yj=1 或0 。当 yj=1 不利于目标函数的最大
xj
?
? 1, ??0,
E E
j j
选择Aj 选择 Aj
( x1,...xn )T
?
? ?
(1,1,...,1)T
,
选择（
A1,...
An）T
?
:
? ?
(1,1,...,
0)T
,
选择（
A1,...
An）T
运筹学教程
一、0—1规划数学模型
例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
产品1 a11
机床1 产品2 a21
机床1 产品3
a23
机床2 a32
机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14
机床4 a24
机床4
运筹学教程
解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有 产品1:x 11+a11≤x12 ; x 13+a13≤x14 产品2:x 21+a21≤x22 ; x 23+a23≤x24 产品3:x 32+a32≤x33 ;
变量中有p-q 个1,q个0;凡取值
=0的yi对应的约束条件为原约束
??
st.???
n j?1
aij x j ?
p
bi
?
Myi
(i
?
1,2,...,
条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
p)
? ?
??
yi ? p ? q
i?1
运筹学教程
例 工件排序问题
使用4台机床加工3件产品.各个产品的机床加工顺序以及产品 i在机床j 上的加工时间 aij见表.由于某种原因,产品2的加工总是件不得超过d.现 在要求各件产品在机床上的加工方案 ,使在最段时间内加工完全部产品 .
消耗 产品 产品1
资源
A
2
产品2 4
产品3 8
资源量 500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
100
单件费用 4
5
6
固定费用 100
150
200
单件售价 8
10
12
运筹学教程
解：xj是生产第j种产品的产量。
总收益等于销售减去所生产的产品的总费用。建立数学模型时，无法确
定某种产品是否生产，不能确定相应的固定费用是否发生，用0-1变量解
运筹学教程
第四节 0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为 0或1，
1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案
x
?
? 1,当决策选取方案 ??0,当决策不选取方案
问题含有较多的要素， 每项要素有 2种选择，用0 ? 1变量描述。
有限要素E1, E 2,...En , 每项E j有两种选择 Aj , Aj
决此问题。
yj
?
???0,1不,生生产产第第j种j种产产品品（（xjx?j
0） ? 0）
分析： 如果生产第j种产品，x j>0.
max Z ? 4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100 y1 ? 150 y2 ? 200 y3 ?2x1 ? 4x2 ? 8x3 ? 500
约束条件x j<=M
jy j,y j=1;
Minz=W st. W≥x 14+a14, W≥ x24+a24, W≥ x33+a33
运筹学教程
二、0-1型整数规划的解法
求解思路：
检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。
? 0 , B 采用原加工方式
y1
?
? ?1,
B
不采用原加工方式
多余的约束
? 0 , B 采用新加工方式
y2
?
? ?
1
,
B
不采用新加工方式
st
? .??
0.3 0.2
x1 x1
? ?
0.5 x2 0.4 x2
? ?
150 120
? ?
My 1 My 2
??
y1 ? y2 ? 1
当y 1=1,y2=0; 采用 新工艺,(2)式成立;
M j为xj的上界, 例如根据第三个约束条件，M1 ? 100,
M2 ? 50, M3 ? 34
运筹学教程
例 含有相互排斥的约束条件的问题
设工序B的每周工时约束条件为0.3x1+0.5x2 ≤150,式(1) 现有一新的加工方式,相应的每周工时约束条件为 0.2x1+0.4x2≤120 ,式(2) 如果工序B只能选择一种,那么(1)和(2)变成相互排斥的约束条件.
3.产品2的加工总时间约束
产品2的开始加工时间 x21, 结束家工时间为 x 24 +a24 ,所以
x 24 +a24 -x21≤d
4.目标函数的建立
由于三件产品的加工时间分别为 x14+a14,x24+a24,x33+a33,全部产品的实际 加工时间为:w=max(x 14+a14,x24+a24,x33+a33)
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p
? p个约束条件 aij xj ? bi (i ? 1,2,..., p) j?1
选择q个约束条件，引入,选择第i个约束条件(i ? 1,2,..., p) ??1,不选择第i个约束条件(i ? 1,2,..., p)
在约束条件中保证了在P个0-1
约束条件组
2.每一台机床对不同产品的加工顺序约束 一台机床在工作中,如果已经开始加工还没有结束,则不能开始加工另一件产 品.对于机床1,先加工1不能加工2. 为了容纳两种相互排斥的约束条件,对于每台机床,分别引入0-1变量:
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yj ? ???10，, 先先加加工工某另种外产产品品（j ? 1,2,3,4） 机床1:x 11+a11≤x21+My1 ; x 21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x 22+a22≤x32+My2 ; x 32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x 13+a13≤x33 +My3 ; x 33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x 14+a14≤x24 +My4 ; x 24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
??2x1 ? 3x2 ? 4x3 ? 300
如果不生产第 j 种产品，
? ? st.?? ?
x1
?
2x2 ? 3x3 ? x1 ? M1 y1 x2 ? M2 y2
100
? ? ?
x3 ? M3 y3 xj ? 0且为整数
??
yj ? 1或0
x j=0. 约束条件 x j<=M jyj,yj=1 或0 。当 yj=1 不利于目标函数的最大
xj
?
? 1, ??0,
E E
j j
选择Aj 选择 Aj
( x1,...xn )T
?
? ?
(1,1,...,1)T
,
选择（
A1,...
An）T
?
:
? ?
(1,1,...,
0)T
,
选择（
A1,...
An）T
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一、0—1规划数学模型
例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
产品1 a11
机床1 产品2 a21
机床1 产品3
a23
机床2 a32
机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14
机床4 a24
机床4
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解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有 产品1:x 11+a11≤x12 ; x 13+a13≤x14 产品2:x 21+a21≤x22 ; x 23+a23≤x24 产品3:x 32+a32≤x33 ;
变量中有p-q 个1,q个0;凡取值
=0的yi对应的约束条件为原约束
??
st.???
n j?1
aij x j ?
p
bi
?
Myi
(i
?
1,2,...,
条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
p)
? ?
??
yi ? p ? q
i?1
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例 工件排序问题
使用4台机床加工3件产品.各个产品的机床加工顺序以及产品 i在机床j 上的加工时间 aij见表.由于某种原因,产品2的加工总是件不得超过d.现 在要求各件产品在机床上的加工方案 ,使在最段时间内加工完全部产品 .
消耗 产品 产品1
资源
A
2
产品2 4
产品3 8
资源量 500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
100
单件费用 4
5
6
固定费用 100
150
200
单件售价 8
10
12
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解：xj是生产第j种产品的产量。
总收益等于销售减去所生产的产品的总费用。建立数学模型时，无法确
定某种产品是否生产，不能确定相应的固定费用是否发生，用0-1变量解
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第四节 0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为 0或1，
1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案
x
?
? 1,当决策选取方案 ??0,当决策不选取方案
问题含有较多的要素， 每项要素有 2种选择，用0 ? 1变量描述。
有限要素E1, E 2,...En , 每项E j有两种选择 Aj , Aj
决此问题。
yj
?
???0,1不,生生产产第第j种j种产产品品（（xjx?j
0） ? 0）
分析： 如果生产第j种产品，x j>0.
max Z ? 4x1 ? 5x2 ? 6x3 ? 100 y1 ? 150 y2 ? 200 y3 ?2x1 ? 4x2 ? 8x3 ? 500
约束条件x j<=M
jy j,y j=1;
Minz=W st. W≥x 14+a14, W≥ x24+a24, W≥ x33+a33
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二、0-1型整数规划的解法
求解思路：
检测可行解的目标函数值，根据其目标函数值可以产生一个 过滤条件，对于目标函数数值比它差的变量组合删除，这样 有效减少运算次数，使最优解快速找到。
? 0 , B 采用原加工方式
y1
?
? ?1,
B
不采用原加工方式
多余的约束
? 0 , B 采用新加工方式
y2
?
? ?
1
,
B
不采用新加工方式
st
? .??
0.3 0.2
x1 x1
? ?
0.5 x2 0.4 x2
? ?
150 120
? ?
My 1 My 2
??
y1 ? y2 ? 1
当y 1=1,y2=0; 采用 新工艺,(2)式成立;