高二数学上 第七章 直线和圆的方程 ： 7.3两直线的位置关系(一)
高中数学第七章 直线与圆的方程课件
解：设所求圆的方程为：
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切 所以圆心C到这条直线的距离等于半径r 根据点到直线的距离公式，得
r= | 3×1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 因此，所求圆的方程是 = 16 O
C M
x
5
256 = 25
(x-1)2+(y-3)2
y
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
x02 + y02
=
r2
x0x +y0 y = r2
O
x
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知识点拨：
已知圆的方程是
的切线的方程：
x 2 y 2 r 2， 经过圆上一点 M ( x0 , y0 )
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0) 的切线方程为：
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
x
x0x +y0 y = r2
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圆的标准方程
2 x 2 y 2 r，求经过圆上一点 例2 已知圆的方程是
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 y1 y2
解法三（利用平面向量知识）： OM MP OM MP= 0
所以切线方程为：y = x± 2
（2）在y轴上截距是 2 的切线方程。 y = ± x+ 2
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圆的标准方程
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
高二数学圆与圆的位置关系
题目 第七章直线和圆的方程高考要求1．掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2．会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量知识点归纳1研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA C Bb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d2两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d ③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。
直线与圆的位置关系 课件
则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得 8k2＋6k＝0，即 k＝0 或 k＝－34， 因此，所求直线 l 的方程为 y＝4 或 3x＋4y－13＝0.
类型 3 弦长问题 [典例 3] 设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2 ＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为 ________．
解析：由圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 可得 x2＋(y－a)2＝ |－a＋2a|
a2＋2，所以圆心 C(0，a)，由题意可知 2 ＝ a2＋2－3， 解得 a2＝2，所以圆 C 的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案：4π
归纳升华 1．求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之 间的关系 r2＝d2＋2l 2求弦长．
0)为圆心，以 3为半径长的圆．
设xy＝k，即 y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值．
|2k－0|
此时
＝ 3，
k2＋1
解得 k＝± 3. 故xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相 切时，纵截距 b 取得最大值和最小值．
法二 (几何法)圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0，0)，半径
r＝10， 则圆心到直线的距离 d＝ 3|2a＋| 42＝|a5|， ①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a
＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r, 即|a5|>10，a<－50 或 a>50.
2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系(思维导图+3知识点+8考点+过关检测)(原卷版)
2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系（原卷版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征；2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断；3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等.知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有共同点．2、判断直线与圆位置关系的方法（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=．>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点．（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．知识点2直线与圆相交弦长1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：=l 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长12=-=l x 知识点3直线与圆相切1、圆的切线的条数（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；（3）过圆内一点，不能作圆的切线．2、过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程．法二：若k 不存在，验证是否成立；若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．3、过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可求出．4、与圆的切线相关的结论（1）过圆222+=x y r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为200+=xx yy r ．（2）过()()222-+-=x a y b r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为()()()()200--+--=x a x a y b y b r（3）过()()222-+-=x a y b r 外一点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：()()()()200--+--=x a x a y b y b r ．（4）过圆外一点()00,P x y 引圆()()222-+-=x a y b r 的两条切线，则过圆外一点()00,P x y 的切线长为=d考点一：直线与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线240x y ++=与圆22240x y y +--=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相切D ．相离【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线l ：20ax y +-=与圆C ：()()22121x y -+-=的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设R m ∈，则直线l ：210mx y m +--=与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点()00,x y 在圆C ：224x y ＋＝外，则直线004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定考点二：根据直线与圆的位置关系求参数例2.（23-24高二下·河南·月考）若直线20x y ++=与圆()()()222:80M x a y a a a -+-=>相切，则圆M 的半径为（）A ．2B ．4C ．D ．8【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．5,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．12m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（）A ．B ．±C ．2±D ．考点三：求圆的切线方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A ．2x =B ．12590x y -+=C ．2x =或3y =D ．3x =或2y =【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆22:42110C x y x y +++-=，过点()2,1作圆C 的切线m ，则m 的方程为（）A ．2x =B ．34100x y +-=C ．34100x y +-=或2x =D ．34100x y +-=或3420x y --=【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点()40，的直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为（）A ．34120x y +-=或0y =B ．34120x y +-=或4x =C ．43120x y +-=或0y =D ．43120x y +-=或4x =【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则=a （）A ．2B ．3-C ．12-D ．12考点四：与切线长有关的问题例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A ．3B C D ．5【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．14B ．4C ．4-D ．14-【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，M 、N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为（）A ．4B ．C ．2D ．1【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A ．16-+B ．12-+C ．12-+D ．16-+考点五：切点弦及其方程应用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=的两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（）AB ．2C ．4D ．7【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点)M作圆C ：()2211x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为．【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）P 是直线4x y +=上的一个动点，,A B 是圆224x y +=上的两点，若,PA PB 均与圆O 相切，则弦长AB 的最小值为．考点六：直线与圆相交弦问题例6.（23-24高二上·江西上饶·期末）直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（）A ．2B C ．D ．10【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线10x y --=将圆()()22238x y -+-=分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：5D ．3：5【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆()()22:124C x y -+-=截得的弦长为l 的一个方程．【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =，则l 直线方程为．考点七：过定点直线的最短弦长例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直线()():211850l m x m y m +++--=，被圆22:(2)(1)25C x y -+-=截得最短弦的长为（）A ．B ．C ．D 【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆22:450C x x y -+-=截直线:30l x my m -+-=所得的弦长最短时，实数m =（）A ．2B ．1-C ．2-D ．1【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．23B ．3C ．2D ．22【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点(3,1)的直线与圆22:410C x y x +--=交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC 的面积为（）A ．6B ．22C ．23D ．26考点八：直线与半圆的相交问题例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直线y x m =+和曲线211y x =--只有一个公共点，则实数m的取值范围.【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线:130l x my m ---=与曲线2:21C x y =+-有两个交点，则m 的取值范围是（）A ．3,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线y x b =+与曲线21y x =-有两个交点，则实数b 取值范围为（）A ．()2,2-B ．()1,2C ．)1,2⎡⎣D ．()2,2-【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线:(1)4l y k x =+-与曲线214x y =--有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,1]4C ．[3,)+∞D ．(0,3]一、单选题1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线l ：2y x =+与圆C ：()2215x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线10x ky -+=与圆222x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线:2l x y +=，圆22:2220C x y x y +---=．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A ．2B ．4C ．D4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=，直线()():320l m x m y m +-++=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A B ．C D ．5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点()2,3A 作圆22:1M x y +=的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．3B ．C D6．（23-24高二上·广东株洲·期末）曲线y =与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线20kx y k -+=与圆()()22124x y -+-=有公共点，则实数k 的取值可能是（）A ．0B ．2C ．3D ．48．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点(32),的直线l 和圆C ：2242110x y x y +---=，则（）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 被圆C 截得最短弦长为C ．直线l 与被圆C 截得的弦长为l 的方程为2y =D ．不存在这样的直线l C 上有3个点到直线l 的距离为2三、填空题9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆2225x y +=在点()3,4M -处的切线方程为．10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线10x my -+=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 的m 的一个值.四、解答题12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A 3,5且与圆22:2410O x y x y +--+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为.13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆22:270C x y y +--=及内部一点0(1,3)P -，过点0P 作倾斜角为α的直线，与圆C 交于A B ，两点.(1)当135α= 时，求弦AB 长；(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.。
高中数学人教版必修2直线、圆的位置关系 课件PPT
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
练习
4:已知圆x2+y2=8，定点P(4,0)，问过P点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
4.2.1
直线与圆的位置关系
1.圆的标准方程
题型二 切线问题 例3:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切
线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过 切点的半径,于是 k 1 .
k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
2.求圆的切线方程的常用方法
判断直线与圆位置关系的方法
几何方法
计算圆心到直线的距离d
代数方法
比较d与半径r的大小
消去y（或x）
px2 qx r 0
应用举例
例1. 如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如 果相交，求它们的交点坐标.
y l B
参考答案
C. A
O
x
练习
1. 求以C(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0 相切的圆的方程.
2. 判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的 位置关系.
3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离, 则圆C的半径r的取值范围是____________. 解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的
直线与圆、圆与圆的位置关系
<<直线与圆、圆与圆的位置关系>>高二数学：赵志雨知 识 梳 理1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：考点二 【例2】 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解 (1)圆心C (1,2)，半径r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴圆的切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意得|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 规律方法 (1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．【训练2】 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 长为________． 解析 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径长为 5. 由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ |＝4. 答案 (1)22 (2)4考点三 圆与圆的位置关系【例3】 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0交点的圆中面积最小的圆的方程为________． 解析 (1)两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小． ∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45规律方法 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【训练3】 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.(2)两圆x 2＋y 2－6x ＋6y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0公切线的条数是________．解析 (1)圆C 1和圆C 2的标准方程为(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3,2.当两圆外切时，(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝5，解得m ＝2或m ＝－5.(2)两圆圆心距66－64＜d ＝74<66＋64， ∴两圆相交，故有2条公切线．答案 (1)2或－5 (2)2 [思想方法]1．解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. (2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．[易错防范]1．过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏．特别当算出的k值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况．2．讨论两个圆的位置关系时，特别是在讨论两个圆相交的公共弦问题时，要注意必须是在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程．。
【完整】高中数学必修二直线和圆的位置关系资料PPT
说明:求直线方程时如果用到直线斜率，必须考虑直 线斜率是否存在，否则容易丢解。
例3：直线x-2y+5=0与圆x2 + y2 =25相交截得的 弦 长。 法一：求出交点利用两点间距离公式；
法二：垂径定理
例4：已知圆C： (x-1)2 + (y-2)2 = 25及直线L （2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m 为实数)
(2) 直线L和 O相切
❖解法一:求解方程组，判定Δ (几圆点(圆归21))何心在心纳直直法 (圆 (：aa线线,,:外bb点))LL到 到和和在判PPd圆((>断xxr00OO内直，，相相线yy切离00d与))<的的r圆距距位离离置为为关dd系的实际操作 ❖❖解相法离二：：K＜利-用2√直5 线或与k＞圆2的√位5; 置关系判定d与r大小 d几点 点几解消圆解归 圆一提归方点判法相判=何在在何：去心法纳心元问纳法在断一离断法 圆圆 法 设 y到 二 ：到 二 ： ： 一 圆 直 ： ： 直(或:上 上:所直：直次上：上线求K线点点＜x求线利线方述直和出和在在)判 判-dd直的用的程解线d圆交圆2圆圆===断 断√线距直距题：的点的rrr5内内直 直或为离线离过位利位A线 线xkｙ与程置用置dd+dd＞与 与<<B＋圆是关两关rry圆圆2+２的否系点系√C位 位5＝位存间::=;置 置0ｋ置在距;圆关 关（关问离：系 系ｘ系题公x的 的＋判？式2实 实+３定；际 际y）d2与操 操+代Dr作 作大入x+小圆Ey方+F=0 程使Δ＝０解得 Ｋ＝３／４
点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
❖相交：-2√5＜K＜2√5 ； ❖相切：k=± 2√5
高二数学(上)两直线的位置关系.ppt
例2：求过点A（2，1），且与直线 2 x y 10 0 垂直 的直线 l 的方程。 解：直线 2 x y 10 0 的斜率是-2。因为直线 l 分析：解此题的关键在于抓住垂直这 个概念，两直线垂直，说明这 与已知直线垂直，所以这的斜率为： 1 1 两条直线的斜率互为负倒数。 k 2 2 其中一条直线方程知道，从而 l 的方程是： 根据点斜式，得到直线 就可轻易的得出这条已知直线 1 的斜率，那么，所求直线的斜 y 1 ( x 2) 2 率也就可以得出来了。 化为一般式，得： 其中一条直线的 x 2 y 斜率互为负倒数 0 两直线垂直 斜率知道
求出
另一条直线的斜率
由点斜式求出
所求直线的方程
课堂练习
1、判断下列各对直线是否平行或垂直： (1) y 3x 4与2 y 6 x 1 0 (2) y x与3x 3 y 10 0 (3)3x 4 y 5与6 x 8 y 7 2、求过A（2，3）且分别适合下列条件的直线的方程： (1)平行于直线2 x y 5 0 (2)垂直于直线x y 2 0 3、已知两条直线 l1和l2，其中一条没有斜率，求这两条直线 在以下位置关系的充要条件： （1）平行 （2）垂直
没有交点
复习
x1 x2 y1 y2 0
y
l
p2 ( x2 , y2 )
p1 ( x1, y1 )
1 1 p1 p2 ( x2 x1 , y2 y1 ) (1, k ) 当x1 x2时： x2 x1 x2 x1
0
x
3、两向量垂直的充要条件：
a ( x1 , y1 ) b ( x2 , y2 )
l 2 的方向向量为： b (1, k2 ) l1 l2 a b
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• (θ1>0, θ2>0, θ1 +θ2=π)
l2
θ2 θ1
l1
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
求斜率为k1、k2的两条直线l1到l2的角 .
设己知直线的方程分别是
l1:yk1xb1
时,直线 l1 // l2 的充要条件是:
k k b b . 1
且 高2二数学上 第1七章 直线2和圆的方
程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
例一 已知直线方程
l1:2x4y70, l2:x2y50
求证 : l1 // l2
证明:把l 1,
l
的方程写成斜截式
2
l1:y1 2x7 4,l2:y1 2x5 2
tan1tan2.
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
那么由 0 01 1 8 0 0 ,0 02 1 8 0 0 .
并利用正切函数的图象,可知
1 2, l1 / / l 2 .
结论: 当直线l1 和 l 2 有斜截式方程
l1 :y k 1 x b 1 ,l2 :y k 2 x b 2 .
即
l1l2 k1k21
结论 : 如果两条直线的斜率为 k 1和
k
,那么,这
2
两条直线垂直的充要条件是 k1k2 1.
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
7.3 两条直线的位置关系 两条直线垂直(p.46)
设直线 l1 和 l 2 斜率分别是 k 1 和 k 2 ,则直线 l1 有方向向量 a(1,k1) ,直线 l 2 有方向向量
tank2k1 1(2) 3,
1k2k1 11(2)
7134.
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
例6:己知直线 和 l1:A 1 xB 1yC 10 l2:A 2 x B 2y C 2 0
( B 1 0 ,B 2 0 ,A 1 A 2 B 1 B 2 0 ) ,直线l1到直线l2的角
l2:yk2xb2
如果1+ k1k2=0 , 即 k1k2= -1 ,那么
,
2
所以,当直线l1⊥ l2时,直线l1和l2的夹角是 . 2
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
下面研究1+ k1k2≠0 的情形.
设l1 、l2的倾斜角分别是 1和 2,则
tan1 k1
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
设直线 l1 和 l 2 斜率分别是 k 1 和 k 2 ,则直线 l1 有方向向量 a(1,k1) ,直线 l 2 有方向向量
b(1,k2),根据平面向量的有关知识
l 1 l 2 a b a b 0 1 1 k 1 k 2 0
例3 已知两条直线
l1:2x4y70, l2:2xy50.
求证: l1 l 2 .
证明:
l1 的斜率 k 1
1, 2
l
的斜率
2
k2 2,
k1k2
1(2)1, 2
l1 l2 .
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
例 4 求过点A(2,1),且与直线 2xy100
这就是直线 l3 的方程.
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
是 .
求证:
tan A1B2 A2B1 .
A1A2 B1B2
证明: 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则
tank2k1
A2 B2
B A11
A1B2A2B1.
1k1k2 1B A22B A11 A1A2B1B2
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
例7: 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x–2y–2=0, 底边所在直线 l2的方 程是 x+y–1=0, 点(-2,0) 在另一腰上(如图), 求这条腰所在直线l3的方程.
7.3两条直线的位置关系(一)
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
1.平行和垂直 2.两条直线的夹角
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
设直线 l1 和 l
分别有如下的斜截式的方程:
2
l1 : y k1xb1, l2 : y k2xb2.
k3 k2 3. 1 k3k2
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
将k2=-1代入,得
k3 1 3, 1 k3 k3 2.
因为 l3 经过点 (-2,0), 斜率为2, 写出其点斜 式方程为
y = 2 [ x - ( - 2 ) ],
得
2 x – y + 4 = 0,
tan2 k2
y
l2
y
l2
l1
l1
1 2
2
x
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
1
x
21
或
(1 2)
(2 1)
ta ntan 2 (1)或 t a n t a n [ ( 2 1 ) ]
tan tan ( 2 1) 1 tan tan ( 2 1)
如果 l1 // l2,
那么直线 l
上角的相截 等距,即不相1等,即 2b. 1 b2
1
和 l 2 在y轴
,但它们的倾斜
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
也就是
tan1 tan2.
k1 k2.
反过来,如果 b1 b2 ,则l1 和 l 2 不 重合.又如果 k1 k2 ,也就是
0 tan ( 2 1 ) 1 0
( 2 1 ).
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
tan1t an ta n2 2ttaan n 111 k 2 k2k k1 1.
当 tan0时,直线l1到直线l2的角 是锐角; 当 tan0时,直线l1到直线l2的角 是钝角;
b(1,k2),根据平面向量的有关知识
l 1 l 2 a b a b 0 1 1 k 1 k 2 0
即
l1l2 k1k21.
结论 :
如果两条直线的斜率为
k1和
k
,那么,这
2
两条直线垂直的充要条件是 k1k2 1.
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
解: 设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3, l1到l2的角是 1, l2到l3的角是 2,
则
1 k1 2 , k2 1.
y
tan1
k2 k1 1k2k1
(1)1 1(1)213
2
l2
2
0
l1
x
因为l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形,所以
1
l3
1 2, tan 2 tan 1 3,
把其中的锐 角叫做两条
直线的夹角
tan k2 k1
1 k2k1
当直线l1⊥l2时,直线l1和l2的夹角是
2
.
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
例:求直线l1:
y=-2x+3
,
l2:
y=x-
3 2
的夾角
(用角度制表示).
解: 由两条直线的斜率k1=-2 , k2=1 ,得
垂直的直线 l 的方程.
解:直线 2xy100的斜率是-2,因为直
l 线 与已知直线垂直,所以它的斜率,
k
1 2
1 2
l 根据点斜式,得到 直线的方程是:
y 1 1 (x 2),
2
即 x 2 y 0. 高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
• 两条直线l1和l2相交构 成四个角.
k1 k2, b1 b2 ,
l1 // l2 .
高二数学上 第七章 直线和圆的方 程 ： 7.3两直线的位置关系（一）
• 例2 求过点 A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线 的方程
解知:直已线知平直行线,的因斜此率它是的斜率32 也,是因为 所32 求.直根线据与点已斜
式,得到所求直线的方程是2x+3y+10=0 .