江苏省宿迁市2020年(春秋版)高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
江苏省宿迁市 2020 年（春秋版）高一下学期数学期中考试试卷（I）卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)
1. （2 分） 若直线 L 的参数方程为 A.
(t 为参数），则直线 L 的倾斜角的余弦值为（ ）
B.
C.
D.
2. （2 分） (2020 高二下·驻马店期末) 设
，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2 分） (2016 高一下·东莞期中) 若 =（3，4）， =（1，3），则 =（ ）
A . （2，1）
B . （4，7）
C . （﹣2，﹣1）
D . （﹣4，﹣7）
4. （2 分） (2018·曲靖模拟) 在△ABC 中，
，且
，则
＝（ ）
A.
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B.
C.
D.
5. （2 分） (2019 高二上·桂林月考) 在 A. B. 或 C. D. 或
中，若
，
，
， 则 =（ ）
6. （2 分） 已知 sin（ ﹣x）= ， 则 cos（x+ ）=（ ）
A.
B.
C.-
D.7. （2 分） (2019 高一下·浙江期中) 已知向量 A. B.
，
，若
，则 的值为（ ）
C.
D.
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8. （2 分） (2016 高二上·济南期中) 在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 b2+c2﹣a2=bc， 则角 A 等于（ ）
A.
B.
C. D.
二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)
9. （3 分） (2020·山东模拟) 设
为双曲线
的左、右焦点，过左焦点
且斜率为
的直线 与 在第一象限相交于一点 ，则下列说法正确的是（ ）
A . 直线 倾斜角的余弦值为
B.若 C.若 D.
，则 的离心率 ，则 的离心率 不可能是等边三角形
10. （3 分） (2020 高一下·江阴期中) 在 值为（ ）
中，
，
，
，则角 A 的可能取
A. B. C. D.
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11. （3 分） (2020 高一下·海丰月考) 在 正确的有（ ）
中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则下列结论中
A.若
，则
B.若
，则
是锐角三角形
C.
D.若
，则
一定是等腰三角形
12. （3 分） (2020 高一下·句容期中) 已知复数 A . 复数 z 的虚部为 B . z 的共轭复数
，则以下说法正确的是（ ）
C. D . 在复平面内与 z 对应的点在第二象限
三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2019 高一下·辽源期末) 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 1，且垂直于直线 程是________.
，则 l 的方
14. （1 分） 在△ABC 中，若 A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是________．
15. （1 分） (2020·天津模拟) 如图，在
中，
，D,E 分别边 AB,AC
上的点,
且
________.
，则
________，若 P 是线段 DE 上的一个动点，则
的最小值为
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16. （1 分） (2019 高二下·南昌期中) 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于 为 ，两腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．
轴，底角
四、 解答题 (共 6 题；共 65 分)
17. （10 分） (2016 高二下·上海期中) 已知复数 z1= 数单位）．
+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i 是虚
（1） 若复数 z1﹣z2 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 a 的取值范围；
（2） 若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2﹣6x+m=0 的根，求实数 m 值．
18. （10 分） (2019 高三上·郴州月考) 在
中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
且向量
与向量
共线．
（1） 求角 的大小；
（2） 若
，且
，
，求三角形
的面积．
19. （10 分） (2016 高二上·会宁期中) 在△ABC 中，B=45°，AC=
，cosC=
，求 BC 的长．
20. （15 分） (2016 高一下·长春期中) 已知向量 =3 1﹣2 2 ， =4 1+ 2 ， 其中 1= （1，0）， 2=（0，1），求：
（1） • 和| + |的值；
（2） 与 夹角 θ 的余弦值．
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21. （10 分） (2016 高二下·曲靖期末) 若椭圆 C1： x2=2py（p＞0）的焦点在椭圆 C1 的顶点上．
的离心率等于 ，抛物线 C2：
（1） 求抛物线 C2 的方程；
（2） 求过点 M（﹣1，0）的直线 l 与抛物线 C2 交 E、F 两点，又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2 ， 当 l1⊥l2 时，求直线 l 的方程．
22. （10 分） (2013·新课标Ⅰ卷理) 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°， ∠BPC=90°
，BC=1，P 为△ABC 内一点，
（1） 若
，求 PA；
（2） 若∠APB=150°，求 tan∠PBA．
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一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、
二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)
9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
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15-1、 16-1、
四、 解答题 (共 6 题；共 65 分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
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19-1、
20-1
、
20-2、 21-1、
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21-2、 22-1、 22-2、
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。
宿迁中学2019-2020学年度第二学期高一数学(实验部)期中考试含答案
宿迁中学2019－2020学年度第二学期高一年级期中考试数学试题（实验部）试卷满分（150分） 考试时间（120分钟）一.选择题（每小题5分，共12题，计60分）1. 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心和半径分别是 （ ）A ．(2,3)-，1B ．(2,3)-，3C ．(2,3)-2D ．(2,3)-2 2. 已知一个三角形三边长之比为3:5:7，则其最大角等于 （ ） A. 90︒ B. 120︒ C. 135︒ D. 150︒ 3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9004. 直线x +ay -a =0与直线ax-(2a-3)y -1=0平行，则a 的值是（ ） A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．－35．已知一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数132x -、232x -、332x -、432x -、532x -的平均数，方差分别是（ ）A ．12, 3B ．2, 1C ．4, 3D ．24, 36. 已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P ，则点（5，0）到直线l 的距离最大值为（ ）A ．22B ．3C 10D ．237.若直线1=+by ax 与圆122=+y x 没有交点，则点),(b a P 与圆的位置关系是 （ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定8.若从集合{}2,1,2A =-中随机取一个数a ，从集合{}1,1,3B =-中随机取一个数b ，直线0ax y b -+=经过第四象限的概率为 ( ) A.29 B. 13C. 49D. 599 已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x 及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 等于（ ）A ．2 B.32- C.12-± D.±12+10.若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC ∆是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 11．（多选题）在一袋内分别装有红球3个，白球2个，黑球1个，这些小球除颜色之外完全相同，现在从中任取2个，则下列两个事件中互斥而不对立的有( )A ．至少有一个白球；两个红球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个红球一个黑球D ．至少有一个白球；没有白球 12．（多选题）在ABC ∆中，下列说法正确的有（ ）A ．::sin :sin :sin a b c ABC = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．sin sin A B > ⇔ A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C二.填空题（每小题5分，共4题，计20分）13.某公司生产A,B,C 三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则A 型号的轿车依次应抽取 辆.14.直线13=+y x 的倾斜角为 .15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin sin sin a A b B B -=，sin C B =，则A = .16.若直线y x b =+0y =恰有一个公共点，则b 的取值范围是 . 三.解答题（共6题，计70分） 17.（满分10分）在平面直角坐标系XOY 中,(1,4)A -，(4,1)B -,点C 在直线x =1上. (1)若A 、B 、C 三点共线，求点C 的坐标； (2)若090BAC ∠=，求点C 的坐标。
江苏省宿迁市泗洪县第一高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学模拟试题
江苏省宿迁市泗洪县第一高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题9．下列计算结果正确的是（）三、填空题．已知为第二象限角，若四、解答题（1）若114x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为积为2S ．若122S S =，求角α的值．19．在①cos cos 2B bC a c=-+，②sin sin B 一个补充在下面的横线上，并加以解答(1)设CB 在CA 上的投影向量为λ(2)若DE xCB yCA =+，求DE .22．已知31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，cos b ⎛= ⎝ (1)若函数()y f x =图象相邻的两对称轴之间的距离为(2)当函数()y f x =在定义域内存在为“互补函数”.若函数()y f x =在参考答案：由图可知函数32,y x y x ==+即函数()321f x x x =--的零点大于零，且只有一个零点，又()()010,110,f f =-<=-<所以函数()321f x x x =--的零点所在的区间可以是故选：C.3．C【分析】根据向量共线定理可构造方程组求满足题意的实数对于B ，因为AB 与AC 是非零向量，所以 因为()0AB AC BC AB AC +⋅=，所以(AB ACAB AC+确，对于C ，因为a 与b的夹角是钝角，所以a b ⋅ 得2λ<，当a 与b 共线时，112λ=-，得12λ=-所以C 错误，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，则由题意可得所以(4,3),(2,4)AE BF ==- ，所以AE BF ⋅故选：AB 12．ABD【分析】由向量数量积的几何意义有AB AC ⋅uu u r uuu r 根据已知有,,O P C 共线，即可判断B 、C ；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得()2||||PC PA PB PC PO ⋅+=-，结合基本不等式求范围判断【详解】由2AB AC AC ⋅=uu u r uuu r uuu r ，又斜边2AB =，则若O 为AB 中点，则12AO AB =u u u r u u u r ，故sin AP = 所以,,O P C 共线，故P 在线段OC 上，轨迹长为由上2PA PB PO +=，则()2PC PA PB PC ⋅+= 又||||||1PC PO OC +== ，则|||||||(2PC PC PO +≤ 所以1()2||||[,0]2PC PA PB PC PO ⋅+=-∈-，D 正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：若O 为AB 中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断P 轨迹，求AB uu【详解】如上图，设该小区的住宅楼楼间距为CF 45︒，∴tan tan(DCE DCF ∠=∠。
江苏省宿迁市高一(实验班)下学期数学期中考试试卷
江苏省宿迁市高一(实验班)下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若圆始终平分圆的周长, 则a、b应满足的关系式是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·湖北期中) 圆x2+y2﹣4x+6y=0与直线2mx+y+2﹣m=0（m∈R）的位置关系为（）A . 相离B . 相切C . 相交D . 以上都有可能3. （2分） (2019高二下·青浦期末) 直线的一个方向向量是（）．A .B .C .D .4. （2分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·诸暨期中) 已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）A . 若，则B . 若不平行，则为异面直线C . 若，则D . 若，则6. （2分）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°7. （2分）(2020高一下·诸暨期中) 已知，且满足，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·诸暨期中) 已知圆与直线相交于两点，则当的面积为时，实数的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高一下·诸暨期中) 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A . 2B .C . 3D .10. （2分） (2020高一下·诸暨期中) 在三棱锥A﹣BCD中，BCD是边长为的等边三角形，，二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，且，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)11. （1分）若直线ax+2y+2=0与直线x﹣y﹣2=0垂直，则a=________．12. （1分） (2016高二上·定州期中) 如图所示，在长方体OABC﹣O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=3，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．13. （1分）过点A（2，1）的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．三、双空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2019高二上·惠州期末) 已知点，圆C与直线MN切于点B，过M，N 与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．15. （1分） (2018高二上·慈溪期中) 已知直线与直线平行，则实数________，两条直线之间的距离是________．16. （1分）(2018·北京) 已知椭圆 ,双曲线 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________四、解答题 (共6题；共41分)17. （1分） (2019高二下·绍兴期中) 设的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则________，的取值范围是________.18. （10分） (2020高一下·诸暨期中) 如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：（1）该几何体的体积．（2）截面ABC的面积．19. （10分） (2020高一下·诸暨期中) 已知直线（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于点A ，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．20. （10分） (2020高一下·诸暨期中) 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF 为梯形，AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．（1）求证：CE∥面ABF；（2）求直线DE与平面BDF所成角的正弦值．21. （5分） (2020高一下·诸暨期中) 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线，设圆C 的半径为1，圆心在直线上．(Ⅰ)若圆C与直线相交于M，N两点，且，求圆心C的横坐标a的值；(Ⅱ)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．22. （5分） (2020高一下·诸暨期中) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点E，作交于点F，连接（Ⅰ）证明：PB⊥平面DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共3题；共3分)11-1、12-1、13-1、三、双空题 (共3题；共3分)14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共41分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
江苏省宿迁市高一下学期数学期中联考试卷
江苏省宿迁市高一下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A . 矩形B . 正方形C . 菱形D . 梯形2. （2分）在△ABC中，∠C=90°，=（k,1）, =(2,3),则k的值是（）A . 5B . -5C .D . -3. （2分） (2019高一下·三水月考) 在中，若，则是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形4. （2分）已知，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高一上·莆田期末) 设非零向量，，满足：| |=| |=| |， + = ，则＜，＞=（）A . 150°B . 120°C . 60°D . 30°7. （2分）函数的值域为（）A .B .C .D .8. （2分）sin77°cos47°﹣sin13°sin47°的值等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）(2020·陕西模拟) 已知，，若，则________.10. （1分） (2017高一上·廊坊期末) 已知角α满足，sin（α+ ）= ，sin（α﹣）= ，则tanα=________．11. （1分） (2019高一上·温州期末) 已知向量，，若，则实数x的值是________．12. （1分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=________．13. （1分） (2015高三上·巴彦期中) 一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为________14. （1分） (2017高一下·徐州期末) 在△ABC中，若sin2B+ C，则A的值为________．15. （1分）(2018·全国Ⅲ卷理) 已知，，，若，则________。
2020-2021学年江苏省宿迁市沐阳县高一下学期期中数学试卷 答案和解析
5．在 中， 则 =____________．
6．在等差数列 中， 则 ____________．
7．在△ABC中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC＝_____.
8．已知正数 满足 则 的最小值为．
9．若 则 _____．
10．已知集合 若 ,则实数 的取值范围为____________．
18．已知等比数列 的各项均为正数，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 项和．
19．如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据： DC=CE=2（百米）．
11．设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =____________．
12．设 , 分别是等差数列 , 的前 项和,已知 , ,则 ____________．
13．等差数列 的公差为 ，关于 的不等式 的解集为 ，则使数列 的前 项和 最小的正整数 的值为____________．
考点:不等式、集合的运算
11．
【解析】
试题分析：根据等差数列的通项公式，则 ， ，由等比中项公式，则有
，因此 ，则 ，因此由等差数列的前n项和公式则有 .
考点：等差数列的前 项和.
12．
【解析】
试题分析：根据等差数列的前 项和公式，则 ，设 ， ，则
.
考点：奇数项等差数列的前 项和及其中间项的问题.
试题解析：
（1） = =
（2）设等差数列 的公差为 由 =16， =32
2020-2021学年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设复数z=a−2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a=()A. −3B. −2C. 2D. 32.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2−b2+c2+ac=0，则B=()A. π6B. π4C. π3D. 2π33.cos512πcosπ6+cosπ12sinπ6的值是()A. 0B. 12C. √22D. √324.已知|a⃗|=3，|b⃗ |=4，向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则a⃗⋅b⃗ =()A. 6√3B. 6√2C. 6D. 12√35.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A=60°，a=√3，则a+b+csinA+sinB+sinC= ()A. 12B. 2 C. √3 D. √326.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗7.已知2sin(π−α)=3sin(π2+α)，则sin2α−12sin2α−cos2α=()A. 513B. −113C. −513D. 1138.现有如下信息：(1)黄金分割比(简称：黄金比)是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为√5−12．(2)黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形． 由上述信息可求得sin126°=( ) A. √5−12B. √5+12C. √5−14D. √5+14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段DC 上，且满足CE =2DE ，则下列结论中正确的有( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若A =45°，b =10，则结合a 的值解三角形有两解，则a 的值可以为( )A. a =7B. a =8C. a =9D. a =1011. 已知a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(1,−2)，则正确的有( )A. a ⃗ ⋅b⃗ =5 B. 与a⃗ 共线的单位向量是(3√1010,−√1010) C. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π4 D. a ⃗ 与b ⃗ 平行12. 已知函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则下列结论正确的有( )A. −2≤f(x)≤2B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x)的最小正周期为πD. 若g(x)=f(x)，x ∈(−π2,π2)，则g(x)单调递减区间为(−π2,−π6)和(π3,π2)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数z =(1−i)−m(1+i)是纯虚数，则实数m = ______ ． 14. tan10°+tan20°+tan10°⋅tan20°⋅tan30°的值是______ ．15. 如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =√3，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边△ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为______ ．16. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =√22，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______ ；|a ⃗ −x b ⃗ |(x ∈R)的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,−1)，c⃗ =(3,m)(m ∈R)． (1)若向量a ⃗ 与c ⃗ 共线，求m 的值； (2)若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥c ⃗ ，求m 的值．18. 在①(b +a)(b −a)=c(b −c)；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4；③sin(π2+2A)+2cos 2A2=1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC 的面积．问题：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinC =2sinB ，b =2，_____？19. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，∠BAD =3π4，2AB =BD =4．(1)求cos∠ADB；(2)若BC=√22，求CD．20.已知tan(π4−α)=13,α∈(0,π4)．(1)求f(α)=sin2α−2cos2α1+tanα的值；(2)若β∈(0,π2)，且sin(3π4+β)=√55，求α+β的值．21.如图，在扇形POQ中，半径OP=2，圆心角∠POQ=π3，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.其中CD在半径OQ上，记∠BOC=α．(1)当∠BOC=45°时，求矩形ABCD的面积；(2)求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．22. 如图，扇形AOB 所在圆的半径为2，它所对的圆心角为2π3，C 为弧AB⏜的中点，动点P ，Q 分别在线段OA ，OB 上运动，且总有OP =BQ ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ．(1)若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z=a−2+(2a+1)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等，∴a−2=2a+1⇒a=−3，故选：A．直接由实部等于虚部得答案．本题考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：因为a2−b2+c2+ac=0，所以cosB=a2+c2−b22ac =−ac2ac=−12，因为B∈(0,π)，所以B=2π3．故选：D．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】C【解析】解；∵cos512π=sinπ12，∴cos512πcosπ6+cosπ12sinπ6 =sinπ12cosπ6+cosπ12sinπ6 =sin(π12+π6)=sinπ4=√22．故选：C．利用互为余角的诱导公式可将cos512π转化为sinπ12，再逆用两角和的正弦公式即可．本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查公式的逆用及诱导公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos <a ⃗ ，b ⃗>=3×4×12=6． 故选：C ．利用数量积的定义即可求值．考查向量的数量积的运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为A =60°，a =√3， 由正弦定理可得 asinA=b sinB=c sinC=√3√32=2，所以a+b+csinA+sinB+sinC = asinA =2． 故选：B ．由已知结合正弦定理即可直接求解．本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：如图所示，∵在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，故EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：已知2sin(π−α)=3sin(π2+α)， 整理得2sinα=3cosα，所以tanα=32，故sin 2α−12sin2α−cos 2α=12sin2α−cos2α=12×2tanα1+tan 2α−1−tan 2α1+tan 2α=113；故选：D ．直接利用三角函数的关系式的变换和万能公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，万能公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意，设△ABC 为A =36°的黄金三角形， 则有b =c,ab =√5−12，所以cos36°=b 2+c 2−a 22bc=√5+14， 所以sin126°=cos36°=√5+14，故选：D ．由题意，设△ABC 为A =36°的黄金三角形，根据黄金三角形的性质结合余弦定理即可求出cos36°，从而得到sin126°的值．本题主要考查了归纳推理，考查了余弦定理的应用，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 正确，根据向量加法的平行四边形法则可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 正确， 根据向量的减法法则可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 错误， 由图知，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确， 故选：ABD ．根据向量加法的平行四边形法则以及减法法则，以及平行四边形的性质逐个判断各个选项即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量的加法与减法法则，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：由正弦定理得，a sinA =bsinB ， 即sinB =bsinA a =10×√22a =5√2a，因为三角形有两解，所以sinB <1且b >a ，所以5√2<a<10，由选项知，a=8或a=9符合条件．故选：BC．根据正弦定理求出sin B，根据三角形有两解时sinB<1且b>a，从而得到a的取值范围．本题考查了正弦定理与三角形中大边对大角等知识的应用问题，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：A：∵a⃗⋅b⃗ =3×1+(−1)×(−2)=5，∴A正确，B：∵|a⃗|=√32+(−1)2=√10，∴与a⃗共线的单位向量为(3√1010,−√1010)或(−3√1010,√1010)，∴B错误，C：∵|a⃗|=√32+(−1)2=√10，|b⃗ |=√12+(−2)2=√5，∴cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√10⋅√5=√22，∵<a⃗，b⃗ >∈[0,π]，∴<a⃗，b⃗ >=π4，∴C正确，D：∵3×(−2)≠(−1)×1，∴a⃗与b⃗ 不平行，∴D错误，故选：AC．利用向量数量积的坐标运算可判断A正确，求模公式以及单位向量的定义可判断B错误，利用夹角公式可判断C正确，利用向量共线的坐标表示可判断D错误．本题考查向量的坐标运算，利用向量的坐标运算考查向量的数量积，夹角，共线，模等，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x=2sin(2x−π6)，对于A：由于x∈R，故−2≤f(x)≤2，故A正确；对于B：令2x−π6=kπ，解得x=kπ2+π12(k∈Z)，所以函数在(0,π)上有两个零点，故B错误；对于C：函数的最小正周期为2π2=π，故C正确；对于D：由于x∈(−π2,π2 )，令：2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)，当k=0和−1时，g(x)单调递减区间为(−π2,−π6)和(π3,π2)，故D正确；故选：ACD．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】1【解析】解：由z=(1−i)−m(1+i)=(1−m)−(1+m)i是纯虚数，则1−m=0且1+m≠0，解得m=1，故答案为：1．先化简复数z，然后根据纯虚数的定义即可求解．本题考查了复数的运算性质以及纯虚数的概念，属于基础题．14.【答案】√33【解析】解：tan(10°+20°)=tan10°+tan20°1−tan10∘tan20∘，所以tan10°+tan20°=tan30°−tan10°⋅tan20°⋅tan30°，所以tan10°+tan20°+tan10°⋅tan20°⋅tan30°=tan30°=√33．故答案为：√33．利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，以及两角和三角公式化简要求的式子，运算可得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，以及两角和三角公式的应用，属于基础题．15.【答案】2√3【解析】【分析】本题主要考查三角函数模型和余弦定理的应用，属于中档题．设∠AOB =θ，并根据余弦定理，表示出△ABC 的面积及△OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解． 【解答】解：四边形OACB 的面积=△OAB 的面积+△ABC 的面积，设∠AOB =θ， ∴AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅sinθ=3+1−2×1×√3sinθ=4−2√3sinθ， 则△ABC 的面积=12⋅AB ⋅AC ⋅sin60°=√34⋅AB 2=√3−32cosθ，△OAB 的面积=12⋅OA ⋅OB ⋅sinθ=12×1×√3=√32sinθ，四边形OACB 的面积=√3−32cosθ+√32sinθ=√3+√3(12sinθ−√32cosθ)=√3+√3sin(θ−60°)，故当θ−60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB 的面积最大值为√3+√3=2√3， 故答案为：2√3．16.【答案】4 √2【解析】解：∵cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22，且<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为π4；∵|a ⃗ −x b ⃗ |=√(a ⃗ −x b ⃗ )2=√x 2−√2x +1=√22)12，∴x =√22时，|a ⃗ −x b ⃗ |取最小值√22．故答案为：π4,√22．根据条件可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >的值，进而可得出a ⃗ ,b ⃗ 夹角的大小；可求出|a ⃗ −x b ⃗ |=√x 2−√2x +1，然后配方即可求出|a ⃗ −x b ⃗ |的最小值．本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵a⃗ =(2,1)，c ⃗ =(3,m)，向量a ⃗ 与c ⃗ 共线， ∴.2m =3………………………………..(2分) ∴m =32…………………………………..(4分) (2)∵a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(3,−1)，∴a ⃗ −2b ⃗ =(−4,3)………………………..(6分)∵(a ⃗ −2b ⃗ )⊥c ⃗ ，∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅c ⃗ =0……………………………..(8分) ∵c ⃗ =(3,m)，∴(−4)×3+3m =0解得m =4…………………………………………….(10分)【解析】(1)由向量a⃗ 与c ⃗ 共线，能求出m ． (2)先求出a ⃗ −2b ⃗ =(−4,3)，再由(a ⃗ −2b ⃗ )⊥c ⃗ ，能求出m ．本题考查实数值的求法，考查向量共线、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.【答案】解：因为sinC =2sinB ，b =2，所以c =2b =4，选①：因为(b +a)(b −a)=c(b −c)，所以b 2+c 2−a 2=bc ， 所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又因为A ∈(0,π)，所以A =π3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×4×√32=2√3．选②：若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosA =4， 则cosA =12，∵A ∈(0,π)，故A =π3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×4×√32=2√3．选③：若sin(π2+2A)+2cos 2A2=1，则cos2A +cosA =0， 故2cos 2A +cosA −1=0，解得cosA =12(cosA =−1舍去)， ∵A ∈(0,π)，故A =π3．所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×4×√32=2√3．【解析】若选①，利用余弦定理可求A 的值；若选②，利用数量积的定义可求A 的值，若选③，利用二倍角公式可求A ，进而利用三角形的面积公式即可求解，本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，数量积的定义，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)△ABD 中，由余弦定理得，cos∠DAB =AD 2+AB 2−BD22AD⋅AB，cos∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD，因为∠BAD=3π4，AB=2，BD=4，故AD=√14−√2，cos∠ADB=√144，(2)由(1)得sin∠ADB=√1−1416=√24，因为AD⊥CD，即∠ADC=90°，所以cos∠ADC=cos(∠ADB+∠BDC)=0，解得，cos∠BDC=√24，根据余弦定理得，cos∠BDC=BD 2+CD2−BC22BD⋅CD，所以√24=16+CD2−222×4×CD，故CD=3√2或CD=−√2(舍)，故CD=3√2．【解析】(1)由已知结合余弦定理可先求AD，进而可求cos∠ADB；(2)由已知结合同角平方关系可先求sin∠ADB，然后结合诱导公式可求cos∠BDC，再由余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角平方关系的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵tan(π4−α)=13,α∈(0,π4)，∴tanα=12．∴f(α)=sin2α−2cos2α1+tanα=2sinα⋅cosα−2cos2α(1+tanα)(cos2α+sin2α)=2tanα−2(1+tanα)(1+tan2α) =−815 (7)(2)∵β∈(0,π2)，且sin(3π4+β)=√55∴3π4<3π4+β<5π4∴cos(3π4+β)=√5，∴sinβ=sin[(β+3π4)−3π4]=sin(β+3π4)cos3π4−cos(β+3π4)sin3π4=√10，∴cosβ=√10∴tanβ=13．∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=1，又∵α+β∈(0,3π4)，∴α+β=π4. (14)【解析】(1)根据所给的角的正切值和角的范围，写出角α的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式和同角的三角函数关系，整理出只含有角的正切值的形式，得到结果．(2)本题需要进行角的变换，把要求的角写成β=(β+3π4)−3π4，根据所给的角的范围和同角的三角函数的关系，得到结果．本题考查三角函数的化简求值，本题解题的关键是对于条件中所给的角的范围进行分析，这样才可以根据同角的三角函数的关系求出要用的结果．21.【答案】解：(1)在Rt △OBC 中，BC =2sin45°=√2，OC =2cos45°=√2．在Rt △ADO 中，ADOD =tan π3=√3， 所以OD =√3=√3=√2√3=√63， 所以CD =OC −OD =√2−√63………………………….(2分)设矩形ABCD 的面积为S ，则S =CD ⋅BC =(√2−√63)⋅√2=2−2√33……………….(4分)(2)在Rt △OBC 中，BC =2sinα，OC =2cosα． 在Rt △ADO 中，ADOD =tan π3=√3， 所以OD =3=3=3，所以CD =OC −OD =2cosα√3…………………………….(6分) 设矩形ABCD 的面积为S ，则S =CD ⋅BC =(2cosα√3⋅2sinα=4sinαcosα√32α =2sin2α+√3−√3=√3+π6)√3……………………….(8分)由0<α<π3，得π6<2α+π6<5π6，所以当2α+π6=π2，即α=π6时………………………………………………….(10分) S max =√3√3=2√33． 因此，当α=π6时，矩形ABCD 的面积，最大面积为2√33…………………..(12分)【解析】(1)通过在Rt △OBC 中求出OC ，在Rt △ADO 中，求解OD ，然后求出CD ，设矩形ABCD 的面积为S ，求解即可．(2)设矩形ABCD 的面积为S ，求出面积S 的表达式，利用三角函数的最值求解即可． 本题考查实际问题的解决方法，三角形的解法，正弦函数的最值的求法，是中档题．22.【答案】解：(1)由题知△BOC ，△AOC 均为等边三角形，所以四边形OACB 为菱形．所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b⃗ ， 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =−13a ⃗ −b ⃗ ，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =−a ⃗ −23b ⃗ ，(2)设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ ，则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)b ⃗ ，x ∈[0,1]，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =(x −1)a ⃗ −b ⃗ ，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x)b ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =−a ⃗ −x b ⃗ ，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(x −1)a ⃗ −b ⃗ ]⋅(−a ⃗ −x b ⃗ )=2(x −12)2+32，∵x ∈[0,1]，∴当x =12，上式最小值为x =32；当x =0或1时，上式最大值为2， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围[32,2]．【解析】(1)由题意可得△BOC ，△AOC 均为等边三角形，四边形OACB 为菱形，从而用a ，b 可表示CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(2)利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，化简CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的解析式，再利用二次函数的性质，求得它的范围．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，二次函数的性质，属于中档题．。
宿迁市2020学年度第二学期期末调研测试高一数学试题及答案 苏教版
宿迁市2020～2020学年度第二学期期末调研测试高一年级数学参考答案及评分标准说明：1、本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制定相应的评分细则。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4、给分或扣分以1分为单位，填空题不给中间分。
一、填空题：每小题5分，满分70分。
1．3；2．40；3．12；4．甲；5．sin2y x=；6．2.6；7；8．0.59；910．16；11．-2，7；12．113；13．8π；14．②③④；二、解答题：共90分15．本小题满分14分16．解：本题的基本事件共有27个（如图）．----------------------------------------------------3分（Ⅰ）记“３个矩形都涂同一颜色”为事件Ａ，由图可知，事件Ａ的基本事件有１×３＝３个，故31()279P A==．----------------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)记“相邻2个矩形颜色不同”为事件Ｂ，由图可知，事件B的基本事件有3×2×2＝12个，故124()279P B==．---------------------------------------------------------------------12分答：3个矩形颜色都相同的概率为19，相邻2个矩形颜色不同的概率为49．------------14分17．解：（Ⅰ）0.3100m =Q30m ∴= ----------------------------------------------------2分 10010203030100.1100100a ----∴===----------------------------------------------------5分 (Ⅱ)如图----------------------------------------------------10分（Ⅲ）法一：总分数约为54.5⨯10+64.5⨯20+74.5⨯30+84.5⨯30+94.5⨯10=7750∴平均分数约为775077.5100= ----------------------------------------------------15分 法二：54.5⨯0.1+64.5⨯0.2+74.5⨯0.3+84.5⨯0.3+94.5⨯0.1=77.5 18．解：22523cos 12sin 12()155ββ=-=-=-= ---------------------------------4分 4(0,)sin 5βπβ∈∴=Q ----------------------------------------------------6分 3(0,),(0,)(0,)225cos()(0,)132ππαβπαβπαβαβ∈∈∴+∈+=∴+∈Q Q 又 12sin()13αβ∴+= ----------------------------------------------------10分 []sin sin ()sin()cos cos()sin 1235416..13513565ααββαββαββ∴=+-=+-+=-= ----------------------------------------------------14分 ----------------------------------------------------15分19．解:(Ⅰ)由题意知：(4,3)kOA OB k +=u u u r u u u r ，3(4,9)OA OB -=-u u u r u u u r ----------------------2分()//(3)kOA OB OA OB +-u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，4(9)430k ∴⨯--⨯=， 59.5 69.5 79.5 89.5 99.50.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 频率 组距 ——13k ∴-＝ ----------------------------------------------------6分 (Ⅱ)点P 为线段AB 的中点，∴点P 为3(2,)2，由点M 为OP 所在直线上的一个动点，可设点M 为3(,)4x x ， ∴3(4,)4AM x x =-u u u u r ，3(,3)4BM x x =-u u u u r --------------------------------------------------8分 ∴AM BM u u u u r u u u u r g 33(4)(3)44x x x x =-+-=22525()164x x x R =-∈------------------------------12分 ∴当2x =时，AM BM u u u u r u u u u r g 取得最小值，此时3(2,)2AM =-u u u u r ，3(2,)2BM =-u u u u r ,.AM BM AMB π=-∴∠=u u u u r u u u u r Q ----------------------------------------------------16分20．解：(Ⅰ)由已知，()(1)sin cos f x a x b x =-+()14f b a π==-由，可化简得： ----------------------------------------------------4分()1)sin()4f x a x π=-+于是0,,sin()242x x ππ⎤⎡⎤∈∴+∈⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q1()1)a f x a >∴≤-+=由条件 ----------------------------------------------8分()0,()42f x x f x π⎡⎤∈≤⎢⎥⎣⎦Q 函数对任意都有恒成立,4a ≤≤即,,a N ∈且2a ∴=())4f x x π∴=+ ----------------------------------------------------10分 (Ⅱ)()()1p f x q f x θ⋅+⋅-=由化简得，(cos )sin()sin cos()0442p q x q x p q ππθθ+⋅+-⋅+++-= x Q 上式对一切实数恒成立，cos 0(1)sin 0(2)(3)2p q q p q θθ⎧⎪+=⎪⎪∴=⎨⎪⎪+=⎪⎩ ----------------------------------------------------13分 (2),0,sin 0q θ≠∴=由式cos 1,(1)(3),cos 1θθ=∴=-若则式子矛盾2,()p q k k Z θππ===+∈解得，------------------------------------------------16分。
【20套试卷合集】江苏省宿迁中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合M ＝{1,2}，N ＝{b|b ＝2a －1，a ∈M}，则M ∪N ＝( )．A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．φ 2．若全集U ＝{1,2,3,4}且A C U ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )．A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )．A ．y ＝2xB ．y ＝12x C ．y ＝2log 0.3x D ．y ＝－x 24．某研究小组在一项实验中获得一组关于y ，t 之间的数据，将其整理得到如右图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是( )．A ．y ＝2tB ．y ＝2t 2C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t5．函数的()3log 82f x x x =-+零点一定位于区间（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)6．设21()3a =，123b =，13log 2c = 则（ ）．A ．a b c >>B ． b c a >>C ． b a c >>D ． c b a >>7．函数212log (6)=+-y x x 的单调增．区间是（ ）． A ．1(,]2-∞ B ．1(2,]2- C ．1[,)2+∞ D ．1[,3)28．()log a f x x = (01)a <<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）．A ．42 B ． 22 C ． 41 D ． 21 9．函数||xx e y x-=的图像的大致形状是( )10．已知集合12{|4210},{|1}1x x xA x aB x x +=⋅--==≤+，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A 、5(,8]4B 、5[,8)4C 、 5[,8]4D 、5(,8)411．()f x 是定义在(2,2)-上递减的奇函数，当(2)(23)0f a f a -+-<时，a 的取值范围是（ ）．A ．(0,4)B ．5(0,)2C ．15(,)22D ．5(1,)212． 若函数()21()log 3xf x x =-，实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（ ）．A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2020年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.计算sin13°cos17°+cos13°sin17°的值为（ ）A. B. C. - D. -2.在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=120°，则其面积等于（ ）A. B. C. D.3.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=（ ）A. 1：1：B. 2：2：C. 1：1：2D. 1：1：44.下列命题正确的是（ ）A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 经过一条直线和一个点确定一个平面D. 经过三点确定一个平面5.函数y=2cos2（x+）-1是（ ）A. 最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为的偶函数6.在△ABC中，a2=b2+c2-bc，则角A为（ ）A. 30°B. 150°C. 120°D. 60°7.如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（）A.B.C.D.8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（ ）A. B. C. D.59.记△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若．则cos B=（ ）A. B. C. D.10.已知△ABC内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定11.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M-HBC的体积为（ ）A.B. 2C. 1D.12.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c的取值范围是（ ）A. B. [，2] C. D. （3，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα-2cosα=0，则tan2α=______．14.△ABC中，，则BC边上中线AD的长为______．15.已知关于x的方程cos2x-2cos x=m-1有实数解，则实数m的取值范围是______．16.已知OA，OB，OC三条线段两两垂直，长分别是2，x，5，且O，A，B，C4个点都在同一个球面上，这个球的表面积为38π，则x的值______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，AB⊥AP．若平面α分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H，且PC∥平面α，求证：（1）AB⊥EH；（2）FG∥面PAC．18.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，BC=．（1）求角A的大小；（2）求cos（B-C）的值．19.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面ABC．（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；（2）设PA=3，，求点A到平面PBC的距离．20.已知，若，，求sin（α-β）的值．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A=，tan（B-A）=．（1）求tan B的值；（2）若c=13，求△ABC的面积．域．广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP=AB=BQ，∠PAB=∠QBA=120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设．（1）求AB的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？答案和解析1.【答案】B【解析】解：sin17°cos13°+cos17°sin13°=sin（17°+13°）=sin30°=．故选：B．通过两角和的正弦函数公式化简，即可求出结果．本题考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=120°，则S△ABC=ab×sin120°=×2×3×=，故选：C．直接利用三角形的面积的公式求出结果．本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：△ABC中，A：B：C=1：1：4，所以三个内角分别为30°，30°，120°；则a：b：c=sin A：sin B：sin C=：：=1：1：．故选：A．根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求得a：b：c的值．本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：对于A，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，如三角形所在的三边确定一个平面，∴A正确；对于B，经过一条直线和一个点不一定能确定一个平面，如点在直线上时，∴B错误；对于C，经过不在同一条直线上的三点确定一个平面，∴C错误；对于D，空间四边形不能确定一个平面，∴D错误．故选：A．根据空间中的平面公理与推理，对选项中的命题进行判断即可．本题考查了平面的基本定理与推论的应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意得，y=2cos2（x+）-1=cos2（x+）=cos（2x+）=-sin2x，∴函数的最小正周期是π，且是奇函数，故选：C．根据倍角的余弦公式和诱导公式化简解析式，再求出函数的周期和奇偶性．本题考查了倍角的余弦公式和诱导公式的应用，以及正弦函数的性质，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cos A==，则A=60°，故选：D．利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入计算求出cos A的值，即可确定出A 的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角，属基础题．通过作平行线将异面直线所成角转化为相交直线所成角或其补角．【解答】解：取CC1的中点G，连EG，FG，BC1，易得EG∥BC1∥AD1，所以异面直线AD1与EF所成角是∠FEG或其补角，在三角形EFG中，EF=EG=FG，∴∠FEG=60°．故选：C．8.【答案】A【解析】解：扇形的弧长等于6×=2π，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，∴圆锥的高为=．故选：A．先根据弧长公式求得扇形的弧长，也就是圆锥的底面周长，从而可得圆锥底面半径，再根据勾股定理得圆锥的高．本题考查了扇形弧长公式以及圆锥的性质，属中档题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．通过正弦定理得出sin B=2sin B cosB，结合sin B＞0，求出cos B的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得：sin A=sin B=sin2B=2sin B cosB，∵△ABC中，sin B＞0，sin A＞0,∴cos B＞0，∴cos B=．故选：D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与诱导公式的应用，考查转化思想．依题意，利用正弦定理可知sin（B+C）=sin A=sin2A，易求sin A=1，从而可得答案．【解答】解：△ABC中，∵b cos C+c cos B=a sin A，∴由正弦定理得：sin B cos C+sin C cos B=sin2A，即sin（B+C）=sin（π-A）=sin A=sin2A，又sin A＞0，∴sin A=1，A∈（0，π），∴A=．∴△ABC的形状是直角三角形，故选：C．11.【答案】B【解析】解：∵，D1C⊥平面BCC1B1，∴H到平面BCC1B1的距离h=D1C=2，又S△BCM==3，∴V M-BCH=V H-BCM==2．故选：B．先计算H到平面BCM的距离，代入体积公式计算即可．本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．12.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得：==2，于是b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin（-B）=2sin（B+），根据已知可求B∈（，），再利用三角函数的值域即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：∵由正弦定理可得：==2，∴b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin（-B）=2sin B+2（cos B+sin B）=3sin B+cos B=2sin（B+），∵B，C为锐角，B+C=，∴B∈（，），可得：B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c=2sin（B+）∈（3，2]，故选D．13.【答案】【解析】解：∵sinα-2cosα=0，可得：sin a=2cos a，即tanα=2，∴tan2α===-．故答案为：-．将已知等式左右两边同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用余弦定理可得BC的值，可求BD，在△ABC中，由余弦定理可得cos B，在△ABD中，由余弦定理即可解得AD的值．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos A=16+4-2×=16，解得：BC=4，∴BD=2，∴在△ABC中，可得：cos B===，∴在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cos B=16+4-2×4×2×=6，∴解得：AD=．故答案为：．15.【答案】【解析】解：设f（x）=cos2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2（cos x-）2-，又cos x∈[-1，1]，所以-≤f（x）≤3，又关于x的方程cos2x-2cos x=m-1有实数解，所以-≤m-1≤3，即≤m≤4，故答案为：[-]．由二倍角公式及二次函数的值域的求法得：设f（x）=cos2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2（cos x-）2-，又cos x∈[-1，1]，所以-≤f（x）≤3，由方程有解问题得：关于x的方程cos2x-2cos x=m-1有实数解，所以-≤m-1≤3，即≤m≤4，得解．本题考查了二倍角公式及二次函数的值域的求法，属中档题．16.【答案】3【解析】解：把三棱锥O-ABC补形为长方体，则长方体的对角线长为．∴三棱锥O-ABC的外接球的半径为R=．由题意，，即x=3．故答案为：3．把三棱锥O-ABC补形为长方体，可得长方体的对角线长，得到三棱锥O-ABC的外接球的半径为R=．代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球体积与表面积的求法，训练了“分割补形法”，是基础题．17.【答案】证明：（1）∵AB⊥AC，AB⊥AP．又AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，AC∩AP=A，∴AB⊥平面PAC，…3分又EH⊂面PAC，∴AB⊥EH．…4分（2）∵PC∥平面α，平面PAC∩平面α=FG，PC⊂平面PAC，∴PC∥FG，…7分又PC⊂面PAC，FG⊄面PAC∴FG∥面PAC．…10分【解析】（1）由AB⊥AC，AB⊥AP，得AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥EH．（2）由PC∥平面α，得PC∥FG，由此能证明FG∥面PAC．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查用空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：（1）∵AB=2，AC=3，BC=．∴由余弦定理可得：cos A===，…2分∵A∈（0，π），∴A=…5分（2）由正弦定理：，可得sin C===．∵AB＜BC，∴C＜A，即0，可得：cos C===，…8分∴sin2C=2sin C cosC=2×=，cos2C=2cos2C-1=2×-1=，…11分∵A+B+C=π，A=，可得：B=-C，∴cos（B-C）=cos（-2C）=cos cos2C+sin sin2C=（-）×+×=…14分【解析】（1）由余弦定理可求cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由正弦定理可得sin C的值，利用大边对大角可求范围0，可得cos C的值，利用倍角公式可求sin2C，cos2C的值，利用三角形内角和定理和两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，倍角公式，三角形内角和定理和两角差的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．………………………2分又∵PA垂直于⊙O所在的平面ABC，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC………………………………………………4分又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．………………………6分（2）解：由（1）知平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，过A点作PC的垂线，垂足为D，显然AD⊥平面PBC，即AD为三棱锥A-PBC的高…10分在Rt△PAC中，，所以，由AD×PC=PA×AC，得即点A到平面PCB的距离为，三棱锥点A到平面PBC的距离：…12分【解析】（1）证明BC⊥AC，PA⊥BC，得到BC⊥平面PAC．然后证明平面PAC⊥平面PBC ．（2）过A点作PC的垂线，垂足为D，显然AD⊥平面PBC，即AD为三棱锥A-PBC的高，在Rt△PAC中，转化求解点A到平面PCB的距离即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：由，得，…2分由，得；…4分，得…6分所以…9分==…12分【解析】利用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数的关系式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的正弦公式以及同角三角函数关系进行转化是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）在△ABC中，由cos A=，得A为锐角，所以sin A=，所以tan A==，所以tan B=tan[（B-A）+A]===3；（2）在三角形ABC中，由tan B=3，所以sin B=，cos B=，由sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=，由正弦定理=，得b===15，所以△ABC的面积S=bc sin A=×15×13×=78．【解析】（1）根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出，（2）根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出．本题考查了两角和的正弦正切公式，以及同角的三角函数的关系和正弦定理和三角形的面积公式，属于基础题22.【答案】解：（1）过点O作OH垂直于AB，垂足为H．在直角三角形OHA中，OA=20，∠OAH=α，所以AH=20cosα，因此AB=2AH=40cosα…3分（2）由图可知，点P处的观众离点O最远…5分在三角形OAP中，由余弦定理可知===…9分因为，所以当，即时，（OP2）max=800+1600，又（OP2）max=800+1600＜3600所以（OP）max＜60…11分所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．故对于任意α，上述设计方案均能符合要求…12分【解析】（1）过点O作OH垂直于AB，垂足为H．通过求解三角形即可得到AB．（2）点P处的观众离点O最远，在三角形OAP中，由余弦定理求出OP的表达式，利用三角函数的最值求解即可．本题考查实际问题的应用，余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．。