2020-2021宁波市高一数学下期末试卷(带答案)
y1 y2 ... y10 x1 a x2 a ... x10 a x1 x2 ... x10 a 1 a ；根据
10
10
10
yi xi a （ a 为非零常数， i 1, 2, ,10 ），以及数据 x1, x2 , , x10 的方差为 4 可知数
据 y1, y2 , , y10 的方差为12 4 4 ，综上故选 A.
考点：样本数据的方差和平均数．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出函数 y f (x) 的图像，设 f x t ，从而可化条件为方程 t2 at b 0 有两个根，
利用数形结合可得 t1
1 4
，
0
t2
1 4
，根据韦达定理即可求出实数
a
的取值范围.
【详解】
由题意，作出函数 y f (x) 的图像如下，
i 1, 2, ,10) ，则 y1, y2 , , y10 的均值和方差分别为（ ）
A．1 a, 4
B．1 a, 4 a
C．1, 4
D．1, 4 a
8．已知函数
y
f
(x)
为R
上的偶函数，当 x
0 时，函数
f
(x)
1 16
x2
0
1 2
x
x
x
2
2
，若
关于 x 的方程 f (x)2 af (x) b 0a,b R 有且仅有 6 个不同的实数根，则实数 a 的
【点睛】 本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.
若 ABC 中，已知 a,b, B 且 B 为锐角，若 0 b asin B ，则无解；若 b asin B 或 b a ，则有一解；若 asin B b a ，则有两解. 10．C
解析：C 【解析】
由题意可得： sin
设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2（如图）．
平移 AB1 至 A2B，连接 A2M，∠MBA2 即为 AB1 与 BM 所成的角，
一、选择题
1．A
解析：A 【解析】
a1
a3
a5
3a3
3, a3
1，
S5
5 2
(a1
a5 )
5 2
2a3
5a3
5
，选
A.
2．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条
件找出图中的直角三角形．
【详解】
① PA 平面 ABC ，PA AB, PA AD, PA AC,PAB , PAD, PAC 都是直
数字，把乙猜的数字记为 b，且 a,b {0,1, 2, ,9}.若| a b | 1，则称甲乙“心有灵犀”.现
任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.
17．若
cos
2 3
1 4
，则 sin
2
6
________．
18．已知抛物线 y2 2 px p 0 的准线与圆 x 32 y2 16 相切，则 p 的值为
最小值是（）
A． 6
B． 3
C． 4
D． 2
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图
如图所示，则它的表面积为（ ）
A． 2
B． 4 2 2
C． 4 4 2
D． 6 4 2
7．设样本数据 x1, x2 , , x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi xi a(a 为非零常数，
1 4
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思 想解决问题的能力，属于中档题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
已知 a,b, B ，若 ABC 有两组解，则 asin B b a ，可解得 x 的取值范围.
【详解】
由已知可得 asin B b a ，则 xsin 60 2 x ，解得 2 x 4 3 .故选 A. 3
（1）当 a 为何值时，直线与圆 C 相切.
（2）当直线与圆 C 相交于 A 、 B 两点，且 AB 2 2 时，求直线的方程.
24．已知数列
an
满足 a1
1，an1
2an ，n an 2
N*
，bn
1 an
．
1 证明数列bn为等差数列；
2 求数列an的通项公式．
25．在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， cos B 3 ， 5
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算， 求得最小值，即可求解. 【详解】
由题意，以 BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则 A(0, 2 3), B(2, 0), C(2, 0) ， 设 P(x, y) ，则 PA (x, 2 3 y), PB (2 x, y), PC (2 x, y) ， 所以 PA • (PB PC) x (2x) (2 3 y) (2 y) 2x2 4 3y 2 y2 2[x2 ( y 3)2 3] ， 所以当 x 0, y 3 时， PA • (PB PC) 取得最小值为 2 (3) 6 ，
3．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出 x2 x 2 0 的解集，从而求得集合 A，之
后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式 x2 x 2 0 得 x 1或x 2 ，
所以 A x | x 1或x 2 ，
所以可以求得 CR A x | 1 x 2，故选 B.
故选 A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的 关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面 积公式求出几何体的表面积． 【详解】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边
3 3
10．已知 sin
3
1 4
，则
cos
3
2
（
）
A． 5 8
B． 5 8
C． 7 8
D． 7 8
11．如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 的各条棱长都相等，且 CC1 底面 ABC ， M 是侧
棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( )
A．
B．
C．
14．已知函数 f x ln 1 x2 x 1， f a 4 ，则 f a ________．
15．已知 a 0 ， b 0 ，且 1 1 1，则 3a 2b b 的最小值等于______．
ab
a
16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才想的
D．
2
3
12．若函数
f
x
ax , x 1
2 3a x
1,
x
是
1
R
上的减函数，则实数 a
的取值范围是(
)
A．
2 3
,1
二、填空题
B．
3 4
,1
C．
2 3
,
3 4
D．
2 3
,
13．已知函数 f (x) x3 2x2 ax 1在区间
上恰有一个极值点，则实数 a 的取值
范围是____________
取值范围是（ ）
A．
5 2
,
1 4
B．
1 2
,
1 4
C．
1 2
,
1 4
1 4
,
1 8
D．
1 2
,
1 8
9．在 ABC 中，已知 a x,b 2, B 60 ，如果 ABC 有两组解，则 x 的取值范围是
()
A．
2，4
3 3
B．
2，4
3
3
C．
2，4
3
3
D．
2,
4
A． 5
B． 6
C． 8
3．已知集合 A x x2 x 2 0 ，则 R A
D．10
A．x 1 x 2
B．x 1 x 2
C．x | x 1 x x 2
D．x | x 1x | x 2
4．若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
5．已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA • (PB PC) 的
2020-2021 宁波市高一数学下期末试卷(带答案)
一、选择题
1．设 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和,若 a1 a3 a5 3 ,则 S5
A． 5
B． 7
C． 9
D．11
2．如图，在 ABC 中， BAC 90 ， AD 是边 BC 上的高， PA 平面 ABC ，则图中
直角三角形的个数是（ ）
AB BC 21 .
（1）求 ABC 的面积；
（2）若 a 7 ，求角 C .
26．某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人 本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a a
1.25a 1.5a
2020-2021宁波市高一数学下期末第一次模拟试题附答案
2020-2021宁波市高一数学下期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165 D ．158 3．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v，则AB BC ⋅=u u u v u u u vA ．-45B ．13C ．-13D ．-374．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．3B ．7C 15D 145．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．1166．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π7．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,2B ．3(0,]4C ．32D ．3[,1)49．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．910．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1111．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．412．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．14．设a ＞0，b ＞03a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__．15．()sin10170+=oo_____16．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______. 17．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.18．设向量(12)(23)a b ==r r ，，，，若向量a b λ+r r 与向量(47)c =--r ，共线，则λ=19．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的点共有________个．20．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．23．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，222433a cb S +-=，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC V 的周长． 24．已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 25．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构3．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB u u u v 和AC uuu v表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，，从而得出答案． 【详解】()2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∵12BD DC =u u u v u u u v ，∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v（），整理可得：12 AB 33AD AC +u u u v u u u v u u u v＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ， ∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．，故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．4．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V 中，sin B =，ABC S =△1sin 2ABC S ac B ==V联立52157sin 247sin 4a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B 为锐角，且7sin B =，所以23cos 1sin 4B B =-=所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故14b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．5．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以03c <≤302c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．9．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列， ()1111441445529a b a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，…， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．11．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．二、填空题13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中解析：*2()n n S n n N =∈g【解析】分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，11122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n na 是首项为1公差为12的等差数列，从而得到()112n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得11122a a =-，解得12a = ，当2n ≥ 时，由22n n n S a =-），得11122n n n S a ---=-，两式相减得()()1112222,nn n n n n n a S S a a---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且111,2a = ∴数列{}2n n a是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22n n a n ∴=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()12221222.nn n nn n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．15．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1【解析】 【分析】tan 60o，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70o oo o，利用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70⋅oo o，由sin 20cos70=o o 可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70sin101sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0=++⋅=o o o ooooo ooo o()cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60-=⋅==⋅==o oo o o oo o o o o o o本题正确结果：1 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.16．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦解析：()()0,2U【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】因为2cos cos a B C=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈U .故答案为：()()0,2U ． 【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.17．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2xt =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x xm m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->-⎪⎝⎭， 令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.18．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+rr，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值. 【详解】a bλ+r r =(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r ＝2∴圆心到直线x+y+1＝解析：3 【解析】 【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到距离． 【详解】圆方程变形得：（x +1）2+（y +2）2＝8，即圆心（﹣1，-2），半径r ＝， ∴圆心到直线x +y +1＝0的距离d ==，∴r ﹣d =则到圆上到直线x +y +1＝03个， 故答案为3. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用.20．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析：3 【解析】 【分析】 【详解】44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯v v v v v v v v Q ＝＝＝＝33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯v v Q v v ，），＝，＝＝故答案为3. 【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题21．（12）22x (y 1)5++=． 【解析】 【分析】()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程． 【详解】解：()121l //l Q ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-， 所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C e所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 22．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 23．（1）4；（2【解析】 【分析】（1）由正弦可得R 2sin aA=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解； （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得cos 2sin aa A A=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.由2221csin 32a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin 3ac B ac B =，tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，()sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭. （2）由正弦定理得sin sin a A b B ==，又a b -=a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩又sin C =422c ∴==22a b c ∴++=+. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 24．（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12π和7[,]12ππ;（3）173π. 【解析】【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得2243124TA πππω==-=，，进而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式222232k x k πππππ-≤+≤+求出单调增区间51212x k ππππ-≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）先求出函数()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭中的512x k ππ=+或34x k ππ=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533T ππ+=。
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
2020-2021宁波市高三数学下期末试卷(带答案)
B．162 D．324
8．在 ABC 中， A 为锐角， lg b lg(1) lg sin A lg 2 ，则 ABC 为（ ） c
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
9．已知 a, b 是非零向量且满足 (a 2b ) a ， (b 2a ) b ，则 a 与 b 的夹角是（ ）
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 f x 有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围.
22．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为
1 2
.已知
A 是抛
物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
.
【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体 积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有 二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
2
2
3
________．
19．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
20．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增 函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．已知 f x ln x a 1 x .
2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)
2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 4．已知131log 4a =，154b =，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0kt P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=）A ．8B ．9C ．10D ．147．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1x x x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．4 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥ B ．2a ≥- C ．52a ≥- D ．3a ≥-二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.17．函数20.5log y x =________18．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.19．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 20．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21x g x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值. 23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)
2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。
2020-2021学年浙江省宁波市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则1z =( ) A. 15+25i B. 15−25i C. 1−2i D. 1+2i2. 已知△ABC 中，AB =2，且sinA +sinB =√2sinC ，则△ABC 周长为( )A. 4+2√2B. 2+2√2C. 4√2D. 43. 如图，水平放置的矩形ABCD ，AB =3cm ，AD =1cm ，则其直观图的面积为( )A. 34B. 32C. 3√24D. 3√224. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，e ⃗ =(12,−√32)，则向量a ⃗ 在向量e ⃗ 上的投影向量为( ) A. −e ⃗ B. e ⃗ C. −a ⃗ D. −15. 给出下列4个命题，其中正确的命题是( )①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④6. 在三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =1，AC =5，PA =√10，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为( )A. 24πB. 36πC. 72πD. 144π 7. 已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，AD =13AB ，BE =12BC ，若DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值为( ) A. −13 B. −23 C. 13 D. 23 8. 某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为()A. 0.45B. 0.62C. 0.7D. 0.76二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是()A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为x1−，x2−，则x1−>x2−B. 若甲、乙两组数据的方差分别为s12，s22，则s12>s22C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差D. 甲成绩比乙成绩稳定10.对任意向量a⃗，b⃗ ，c⃗，下列关系式中恒成立的是()A. |a⃗⋅b⃗ |≤|a⃗||b⃗ |B. (a⃗⋅b⃗ )c⃗=a⃗(b⃗ ⋅c⃗ )C. (a⃗+b⃗ )2=|a⃗+b⃗ |2D. (a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=|a⃗|2−|b⃗ |211.已知复数z1=2−2i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2−i|=1，则下列结论正确的是()A. z1在复平面内所对的点在第四象限B. z2−z1在复平面内对应的点在第一象限C. |z1−z2|的最大值为√13+1D. |z1+z2|的最小值为√13−112.已知α，β，γ是三个不同平面，a，b，c为三条不同直线，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，则()A. α，β，γ可以把空间最多分成7部分B. 若a∩b=O，则a，b，c交于一点OC. 若a//b ，则a//c ，b//cD. 若α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(3,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______．14. 如图，三棱台ABC −A 1B 1C 1的上、下底边长之比为1：2，记三棱锥C 1−A 1B 1B 体积为V 1，三棱台ABC −A 1B 1C 1的体积为V 2，则V 1V 2=______．15. 已知△ABC ，A =π3，BC =2，则AB 的最大值为______．16. 已知P 为△ABC 内一点，2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△APC ，△BPC 的面积之比为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (Ⅰ)在复数范围内解方程：x 2+4x +5=0；(Ⅱ)如图，在矩形ABCD 中，AB =√2，BC =2，E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2，求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．18. 某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A 、B 、C 、D 四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD 中，AD =BC =CD =√2千米，AB=√3千米．(Ⅰ)求证：cosC=√62cosA−14；(Ⅱ)现要在A、C两处连接一根水下直管道，已知cosA=√64，问最少应准备多少千米管道．19.已知三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC为斜边的等腰直角三角形，¡÷ABC是以AC为斜边的直角三角形，F为PC上一点，E为PB上一点，且AE⊥PB．(Ⅰ)现给出两个条件：①EF⊥PC；②F为PC中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：PC⊥平面AEF；(Ⅱ)若PC⊥平面AEF，直线AC与平面AEF所成角和直线AC与平面PAB所成角相等，且PA=2，求三棱锥P−ABC的体积．20.首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；(Ⅱ)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；(Ⅲ)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a+b)cosC+c⋅cosB=0．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)若a+b=5，点D为线段AB的中点，∠ACD=30°，求a，b．22.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD．(Ⅰ)判断M点在PB的位置并说明理由；(Ⅱ)记直线DM与平面PAC的交点为K，求DK的值；KM(Ⅲ)若异面直线CM与AP所成角的余弦值为√7，求二面角M−CD−A的平面角的7正切值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为z =1−2i ，所以1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=15+25i ．故选：A ．利用复数的除法运算法则求解即可．本题考查了复数的除法运算法则的运用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：a ，b ，c 对应的边长为BC ，AC ，AB ，∵sinA +sinB =√2sinC ，∴由正弦定理，可得a +b =√2c ，∵AB =2，∴a +b =2√2，∴△ABC 周长为a +b +c =2√2+2．故选：B ．根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．本题主要考查了正弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可计算水平放置的矩形ABCD 的面积为：3×1=3cm 2． ∴其直观图面积2√2=3√24cm 2， 故选：C ． 由题意可计算水平放置的矩形ABCD 的面积，然后除以2√2可计算其直观图面积． 本题考查平面图形直观图面积求法，考查数学运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(1,√3)，e⃗=(12,−√32)，a⃗⋅e⃗=12−32=−1，∴向量a⃗在向量e⃗上的投影向量为：a⃗ ⋅e⃗|e⃗ |⋅e⃗=−e⃗．故选：A．根据条件可求出a⃗⋅e⃗，然后根据投影向量的求法即可得出向量a⃗在向量e⃗上的投影向量．本题考查了单位向量的定义，向量数量积的计算公式，投影向量的求法，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确；对于③，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误．故选：C．由线线的位置关系可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质和面面平行的判定可判断③；由面面的位置关系可判断④．本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，同理：PA⊥AC，又∵AB⊥AC，∴该三棱锥是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，∵长方体的体对角线就是该长方体外接球的直径，又∵长方体的体对角线为：√PA2+AB2+AC2=√(√10)2+12+52=√36=6，∴外接球的直径2R=6，∴R=3，∴球的体积V =43⋅π⋅33=36π，故选：B ．由题可知，在点A 处满足PA 、AB 、AC 两两垂直，该三棱锥是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，由长方体的体对角线就是该长方体外接球的直径，可求出球的半径R ，再由公式求球的体积．本题考查结构体外接球的体积求法，对于共顶点处两两垂直的锥体外接球问题，要扩展为长方体外接球的问题求解，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以λ1=16,λ2=12， 则λ1+λ2=16+12=23，故选：D ． 利用三角形法则结合已知条件化简即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 8.【答案】D【解析】解：由题意，总体的均值为4001000×7.5+6001000×7=7.2，根据分层抽样的性质，则总体的方差为：4001000×[1+(7.5−7.2)2]+6001000×[0.5+(7.2−7)2]=0.436+0.324=0.76． 故选：D ．利用均值的计算公式以及方差的计算公式求解即可．本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握均值的计算公式以及方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都高于乙同学，所以x1−>x2−，故选项A正确；由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，所以s12<s22，故选项B错误，选项D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差，所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项C错误．故选：AD．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，由平均数的计算公式以及方差的计算公式结合极差的定义对四个选项逐一判断即可．本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A，|a⃗⋅b⃗ |=||a⃗||b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >|≤|a⃗||b⃗ |，故A正确；对于B，(a⃗⋅b⃗ )c⃗表示与c⃗平行的向量，a⃗(b⃗ ⋅c⃗ )表示与a⃗平行的向量，而a⃗与c⃗的关系是不确定的，故B错误；对于C，向量的平方等于向量模的平方，故C正确；对于D，因为(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=|a⃗|²−|b⃗ |²，故D正确．故选：ACD．根据平面向量数量积的性质及运算法则逐一判断即可．本题考查平面向量的数量积运算，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：复数z1=2−2i在复平面内对应的点为P，则P(2,−2)，所以点P在第四象限，故选项A正确；复数z2满足|z2−i|=1，则z2在复平面内对应的点Q是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆，故z2−z1在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；|z1−z2|表示点P，Q之间的距离，所以|z1−z2|的最大值为PC+1=√13+1，故选项C正确；|z1+z2|表示点Q与点P′(−2,2)之间的距离，所以|z1+z2|的最小值为P′C−1=√5−1，故选项D错误．故选：AC．利用复数的几何意义得到复数对应的点，利用复数模的几何意义得到z2在复平面内对应的点Q是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆，|z1−z2|表示点P，Q之间的距离，|z1+z2|表示点Q与点P′(−2,2)之间的距离，由此进行求解判断即可．本题考查了复数的综合应用，主要考查了复数模的几何意义的运用，涉及了点与圆位置关系的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对于A，若α、β、γ两两相交，且共点，可得它们将空间分成8个部分，故A错误；对于B，因为a∩b=O，则O∈a，O∈b，又α∩β=a，α∩γ=b∴O∈β.O∈γ，∵α∩γ=c，∴O∈c，即a、b、c三线共点，则B正确；对于C，由a//b，b⊄β，a⊂β，可得b//β，b⊂γ，β∩γ=c，可得b//c，a//c，故C正确；对于D，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=b，由面面垂直的性质定理可得b⊥α，∵a⊂α，c⊂α，∴a⊥b，b⊥c，b⊥c，故D正确．故选：BCD．根据平行和垂直的公理及定理，对四个命题进行一一验证排查，得出正确结果．本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑推理能力，利用平面的性质和定理是解决本题的关键，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,1)，则a⃗⋅b⃗ =1×3−2×1=1．故答案为：1．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的运算法则的应用，是基础题．14.【答案】1：7【解析】解：由三角形的相似性可知上下底面的面积比值为1：4，设，设棱台的高为h，则点B到△A1B1C1的距离也是h，从而：V C1−A1B1BV ABC−A1B1C1=V B−A1B1C1V ABC−A1B1C1=13Sℎ13(S+4S+√S×4S)ℎ=17．故答案为：1：7．利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转化顶点，结合体积公式计算两个几何体的体积比即可．本题主要考查台体的体积公式，锥体的体积公式，转化顶点求体积的方法等知识，属于中等题．15.【答案】4√33【解析】解：根据正弦定理，BCsinA =ABsinC，∴AB=2sinCsinπ3=4√33sinC，∵当C=π2时，sinC=1，∴AB的最大值为4√33．故答案为：4√33．根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．本题主要考查正弦定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】32【解析】解：方法一：由P 为△ABC 内一点，2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 可得2(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 取AC 的中点为F ，BC 的中点为G ，如图所示， 则2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以S △APCS△BPC=12PC⋅ℎ112PC⋅ℎ2=PF PG =32，故答案为：32．方法二：因为P 为△ABC 内一点，2PA⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以由奔驰定理可得：S △PBC ：S △PAC ：S △PAB =2：3：5， 所以S △APCS△BPC=32，故答案为：32．方法一：取AC 的中点为F ，BC 的中点为G ，然后利用已知化简可得则2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用面积公式即可求解；方法二：结合已知条件以及奔驰定理即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到奔驰定理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)方程x 2+4x +5=0可化为(x +2)2=−1，所以x +2=±i ，解得原方程的根为−2+i 或−2−i ．(Ⅱ)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则B(√2,0)，D(0,2)，C(√2,2)，E(√2,1)．设F(x,2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0)⋅(x,2)=√2x =√2，解得x =1， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1)⋅(−1+√2,−2)=−√2．【解析】(Ⅰ)把方程化为(x +2)2=−1，开平方求出方程的解； (Ⅱ)建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：由余弦定理：BD 2=AD 2+AB 2−2AD ⋅AB ⋅cosA =CD 2+CB 2−2CD ⋅CB ⋅cosC ，∴2+3−2√6cosA =2+2−4cosC ， ∴cosC =√62cosA −14；(Ⅱ)∵cosA =√64，∴由(Ⅰ)得cosC =12，求得C =π3，∴△BCD 为正三角形，∠BDC =π3，BD =√2． ∴在△ABD 中，cos∠ADB =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =14，∴cos∠ADC =cos(∠ADB +π3)=1−3√58， ∴在△ACD 中，AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cosADC =7+3√52． ∴AC =3+√52.(说明：AC =√7+3√52不扣分)．【解析】(Ⅰ)根据AD =BC =CD =√2，AB =√3及余弦定理可得出2+3−2√6cosA =2+2−4cosC ，从而可得出cosC =√62cosA −14；(Ⅱ)根据条件可求出cosC =12，然后可得出C =π3，从而得出∠BDC =π3,BD =√2，从而可求出cos∠ADC =1−3√58，然后根据余弦定理即可求出AC 的长度．本题考查了余弦定理，两角和的余弦公式，已知三角函数值求角，考查了计算能力，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：若选①EF ⊥PC∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，AB ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAB ．又AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．又PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC．又EF⊥PC，EF∩AE=E，∴PC⊥平面AEF；若选②F为PC中点，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又BC⊥AB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．又AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．又PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC．又F为等腰直角三角形PAC斜边PC中点，则AF⊥PC，而AF∩AE=E，∴PC⊥平面AEF．(Ⅱ)解：由PC⊥平面AEF，BC⊥平面PAB可知，∠CAF与∠CAB分别为AC与平面AEF及BC与平面PAB所成线面角，∴∠CAF=∠CAB，又sin∠CAF=CFAC ，sin∠CAB=CBCA，又PA=AC=2，∴CF=CB=√2，求得AB=√2，∴V P−ABC=13S△ABC⋅PA=13×12×√2×√2×2=23．【解析】(Ⅰ)若选①EF⊥PC，由已知可得PA⊥BC，结合BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE，结合AE⊥PB，得AE⊥平面PBC，进一步得到AE⊥PC，再由直线与平面垂直的判定可得PC⊥平面AEF；若选②F为PC中点，证明AE⊥PC同①，再由F为等腰直角三角形PAC斜边PC中点，可得AF⊥PC，进一步得到PC⊥平面AEF．(Ⅱ)由PC⊥平面AEF，BC⊥平面PAB可知，可得∠CAF=∠CAB，再由两角的正弦值相等求得CF=CB=√2，得AB=√2，代入棱锥体积公式得答案．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1得a=0.003，则及格率为：(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%．(Ⅱ)得分在110以下的学生所在比例为(0.004+0.013+0.016)×20=0.66，得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014×20=0.94，所以第80百分位数位于[110,130)内，由110+20×0.8−0.660.94−0.66=120，估计第80百分位数为120．(Ⅲ)由图可得，众数估计值为100．平均数估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6．【解析】(Ⅰ)由频率公布直方图的面积为1得(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1，从而解得a，再求及格率即可，(Ⅱ)由频率公布直方图可知第80百分位数位于[110,130)内，从而求得，(Ⅲ)由图易得众数估计值为100，再用加权平均数公式求平均数估计值．本题考查了频率分布直方图的应用，同时考查了数据的数字特征，考查了数据分析的能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)解法一：由(2a+b)cosC+c⋅cosB=0得(2sinA+sinB)cosC+sinC⋅cosB=0，所以2sinAcosC+sinBcosC+sinC⋅cosB=0，所以2sinAcosC+sin(B+C)=0，即2sinAcosC+sinA=0消去sin A得cosC=−12，所以C=2π3．解法二：由余弦定理得(2a+b)a2+b2−c22ab +c⋅a2+c2−b22ac=0，整理得a2+b2−c2b+a=0，所以a2+b2−c2=−ab，即cosC=a2+b2−c22ab =−12，所以C=2π3．(Ⅱ)解法一：∵∠ACD=30°，∠BCA=2π3，∴∠BCD=90°，∴在Rt△BCD中，sin∠BDC=a c2=2ac，在△ACD 中，bsin∠ADC =c 2sin π6=c ，得sin∠ADC =bc ．又sin∠ADC =sin∠BDC ，所以2ac =bc ，即2a =b ． 又a +b =5，解得a =53，b =103．解法二：因为∠ACD =30°，所以∠BCD =90°，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2−ab4=0，所以b =2a ， 又a +b =5，所以a =53，b =103．【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得出2sinAcosC +sinBcosC +sinC ⋅cosB =0，进而得出2sinAcosC +sinA =0，从而得出cosC =−12，得出C =2π3；(Ⅱ)根据条件可得出∠BCD =90°，从而得出sin∠BDC =2a c，然后根据正弦定理可得出sin∠ADC =bc，从而可得出2a =b ，联立a +b =5即可求出a ，b 的值．本题考查了正余弦定理，两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)连结BD 交AC 于O ，连结OM ，∵PD//平面MAC ，OM ⊂平面PBD ，平面MAC ∩平面PBD =OM ， ∴PD//OM ，又∵O 为BD 中点，∴M 为PB 中点；(Ⅱ)如图，连结OP ，则K =OP ∩DM ，K 为△PBD 重心， ∴DKKM =2．(Ⅲ)取AD 中点H ，连结PH ，HB ，取HB 中点G ，连结MG ，GC ，可知MG//PH ． 取AB 中点N ，连结MN ，NC ，可知MN//PA ，∴∠CMN 或其补角就是异面直线CM 与AP 所成角，如图．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD =平面PAD ∩平面ABCD ，PH ⊥AD ． ∴PH ⊥平面ABCD ，因此MG ⊥上平面ABCD ．令PH =t(t >0)，AD =2，可计算得：MG =12t ，CG =√132，GN =12，CM =√13+t 24，MN =√t 2+14，∴cos∠CMN =CM 2+MN 2−CN 22CM⋅MN=±√77， 整理得3t 4−28t 2+25=0，解得t 2=1，253，即t =1，5√33． 过G 作GQ ⊥CD 交CD 于Q ，连结MQ ． 证得CD ⊥平面MGQ ，∴CD ⊥MQ ， 则∠MQG 就是所求二面角的平面角，如图． ∴tan∠MQG =MG GQ=t 3=13或5√39．【解析】(Ⅰ)连结BD 交AC 于O ，连结OM ，由直线与平面平行的性质可得PD//OM ，结合O 为BD 中点，可得M 为PB 中点；(Ⅱ)连结OP ，则K =OP ∩DM ，可得K 为△PBD 重心，从而求得DKKM 的值；(Ⅲ)作出异面直线CM 与AP 所成角，取AD 中点H ，连结PH ，HB ，令PH =t(t >0)，AD =2，由异面直线CM 与AP 所成角的余弦值为√77列式求得t ，过G 作GQ ⊥CD 交CD于Q ，连结MQ ，可得∠MQG 就是所求二面角的平面角，求解直角三角形得答案． 本题考查直线与平面平行的性质，考查三角形重心的应用，训练了空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．。
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试卷及答案
解： 为 中 的角平分线， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．
故选： ．
7．B
首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．
解：
解：因为四棱锥 为阳马， 平面 ， ， ，所以
设外接球的半径为 ，
所以 ，故 ，
时， ，
．
故答案为：0.3；0.65．
17．（1） ；（2） ．
（1）设事件 表示“甲组研发新产品 研发成功”，设事件 表示“乙组研发新产品 研发成功”，进而根据对立事件的概率求解即可；
（2）由题知 的可能取值为0，100，120，220，进而根据独立事件的概率公式求解即可.
解：
解：（1）设事件 表示“甲组研发新产品 研发成功”，
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元，该企业获得利润超过 万元的概率为多少．
18．某校对 名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成 ， ， ， ， 五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中 的值；
解：
解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A正确，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B错误，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C正确，
故选:B
2．C
由平面向量共线坐标运算公式计算可得．
解：
解： ， ， ，
，解得： ，
故选： ．
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
宁波市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣22．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝13．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣114．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为（体积单位：立方米）．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．参考答案一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣2解：对于A：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，对于B：令x＝0，解得：y＝4，不合题意，对于C：令x＝0，解得：y＝2，符合题意，对于D：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，故选：C．2．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1解：如图所示，由图形知，与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的圆心为（1，0）或（3，0），所以圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1．故选：D．3．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣11解：∵A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），∴＝（﹣2﹣m，m+6），＝（﹣5，m+2），∵AB⊥PQ，∴﹣5（﹣2﹣m）+（m+6）（m+2）＝0，∴m＝﹣2或m＝﹣11，∵{﹣2}⊆{﹣2，﹣11}，∴m＝﹣2符合题意．故选：C．4．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2解：∵＝（﹣2﹣m，﹣m，8﹣m），＝（4﹣m，﹣4﹣m，6﹣m），∴•＝（﹣2﹣m）（4﹣m）+（﹣m）（﹣4﹣m）+（8﹣m）（6﹣m）＝3m2﹣12m+40，||＝＝，||＝＝，由•＝||||cos60°得：3m2﹣12m+40＝（3m2﹣12m+68）×，整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2．故选：B．5．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π解：如图，由等腰直角△ABC的直角边为2，可得DA＝DC＝DB＝，把三棱锥A﹣BCD放置在正方体中，则三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，外接球的半径R＝，∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积为×＝．故选：A．6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．解：从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，基本事件总数n＝＝6，A，B种植在同一块地包含的基本事件个数m＝＝2，则A，B种植在同一块地的概率P＝＝＝．故选：B．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面解：对于A：在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有7个，故A错误；对于B：正方体12条棱中有48÷2＝24对异面直线，故B错误；对于C：平行同一个平面的两条直线平行或相交或异面，故C错误；对于D：如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面，故D 正确．故选：D．8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．解：连接BE，CF，交于点Q，作PM⊥BE，交BE于点M，由AC⊥平面DEB，得：PM⊥面ABC，则PE在底面ABC的射影为EM，∴cos＜＞＝cos∠PEM•cos∠EQC＝cos＝，当点P与D重合时，cos＝，则cos＜＞＝，当点P与点B重合时，cos∠PEM＝1，则cos＜＞＝．∴直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为[]．故选：A．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；设z1＝a+bi，z2＝x+yi，因为z12＝z22，即a2﹣b2+2abi＝x2﹣y2+2xyi，所以，故（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝（a2﹣b2）2+（2ab）2＝（x2﹣y2）2+（2xy）2＝x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2，因为a2+b2≥9，x2+y2≥0，所以a2+b2＝x2+y2，则|z1|＝|z2|，故选项C正确；若z1＝i，z2＝i，则z1z2＝1∈R，但是，故选项D错误．故选：ABC．10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值解：A中，当点M是直线与圆的切点时，|OM|最小，且为圆的半径1，所以A正确；B中，因为直线与圆相切，所以d＝＝1，因为a＞0，所以2a＝，所以直线l的方程为：2x+y﹣＝0，因为M在直线上，所以2s+t＝，当s＞0，t＞0，则直线l的方程为：2s+t＝，所以+＝（+）•（2s+t）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当＝时取等号，所以B正确；因为+s＝+s＝+s＝+s，因为s∈R，所以+s的最小值为+|s|，所以C正确，D不正确，故选：ABC．三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．解：因为z＝12﹣5i，则＝＝．故答案为：．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为x＝3或x＝﹣1 ．解：∵所求直线的倾斜角是90°，∴所求直线和直线x＝1平行，与直线x＝1距离为2的直线方程为：x＝3或x＝﹣1，故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为283 ．解：数据从小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，第8、9个数据为279，287，则其第50百分位数为＝283，故答案为：283．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．解：设M（x，y），由条件得，两边平方，化简整理得．故答案为：．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为6800 （体积单位：立方米）．解：大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，其中长方体的体积V1＝30×20×10＝6000，三棱柱的体积：，四棱锥的体积：，故大成殿的体积：V＝6000+600+2×100＝6800．故答案为：6800．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为（﹣，﹣1）∪（1，）．解：因为M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，即在圆x2+（y﹣t）2＝t2﹣1外，所以可得：t2﹣1＞0，且1+t2﹣2t2+1＞0，即1＜t2＜2，解得：（﹣，﹣1）∪（1，），故答案为：（﹣，﹣1）∪（1，）．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为2 ．解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，可得正方体的棱长为2，体对角线长为2，由题意，E，F是直径的两端点，可得+＝，•＝﹣1，则＝（+）•（+）＝+•（+）+•＝+0﹣1＝﹣1，当点G在正方体顶点时，最大，且最大值为2，则﹣1的最大值为2，故答案为：2．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．解：（1）设切线方程为y＝x+b，，∴．∴切线方程为或．（2）作CD⊥AB，，∴．∴．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，所以AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO＝O，即BC⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，所以PA⊥BC．（2）由（1）得：BC⊥平面PAO，又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAO且交线为AO．再作PM⊥AO，PM⊂平面PAO，所以：PM⊥平面ABC，即∠PAO即为直线PA与平面ABC所成角的平面角，易得：，所以∠PAO＝30°．另解：（1）以AC中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设P（a，b，c），因为，所以⇒，故点，，所以，即PA⊥BC．（2）由题易得平面ABC的法向量为：，设直线PA与平面ABC所成角的大小为α，所以．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．解：（1）根据相互独立事件的概率计算公式，计算所求的概率为：P＝1﹣0.2×0.3﹣0.5×0.4﹣0.3×0.3＝0.65；（2）全体实验班的平均分为，方差为．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．解：（1）证明：取BC′上一三等份点M使得C′M＝2MB，由∥且EF＝，C′H＝2 HA，即HM∥且HM＝，所以FF∥HM且FF∥HM，所以EFMH为平行四边形，所以EH∥FM，又EH⊄平面BC′F，FM⊂平面BC′F，所以EH∥平面BC′F．（2）设AC的中为点O，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，以过O点且垂直平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以⇒，故点．设面ABC′的法向量，面BC′E的法向量，由，则⇒，取，解得．⇒，取，解得．即可得，所以．故二面角A﹣BC'﹣E的余弦值为．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．解：（1）因为动点C在直线l：y＝x﹣4上，设点C（x，x﹣4），又A（1，1），B（3，3），则|AB|＝，点C到直线AB：y＝x的距离为d＝，则△ABC的面积为，所以，要求r的最大值，即求AC+BC的最小值，点A（1，1）关于直线y＝x﹣4对应的点A'（5，﹣3），所以AC+BC＝A'C+BC，当且仅当A'，B，C三点共线时，A'C+BC最小，所以AC+BC＝A'C+BC，则r的最大值为；（2）由题意可知，AB中垂线方程为y＝﹣x+4，AC中垂线方程为，则两条中垂线方程的交点即为圆心的坐标，所以圆心坐标为，设t＝（m2﹣8m+19）∈[3，+∞），所以，所以，此时m＝4，圆心坐标为，所以外接圆方程为．。