重庆市2018-2019年高一下学期期末考试数学试题
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若a r ，b r 共线，则实数m =（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6【答案】C【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【详解】Q 向量(2,3)a =r ，(,4)b m =r ，,a b rr 共线，∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B【解析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解． 【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为$3y bx=-$，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（ ） A ．63 B ．74C ．85D ．96【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb ，取8x =求得y 值即可． 【详解】 由题得1234535x ++++==，1015304550305y ++++==． 故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数多个【答案】B【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】4,sinC sin ,sin 2A C AC =∴==∴<, 所以C 只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项． 【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-，∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．60【答案】C【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数． 【详解】由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ． 【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos a b c B =+，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由题意和余弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得cos C ，可得角C 的值．【详解】Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得222222a c b c a b ac+-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b++的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．7D ．9【答案】B【解析】根据条件可知10a +>，0b >，122a b ++=，从而得出121222(1)2()(12)()149111b a a b a b a b a b ++=+++=++++++…，这样便可得出121a b++的最小值． 【详解】1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=；122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ． 【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．12．已知,R λμ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，则||||BP CP =u u u ru u u r （ ） A ．sin2sin2BC B ．cos 2cos2BC C ．sin 2sin 2C BD ．cos2cos2C B 【答案】D【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P 在ABC ∠的外角平分线上，且点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB B PBC CP ∠==∠u u u r u u u r 得解．【详解】因为||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以,||||||||AB BC AC CB BP CP AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．不等式210x x+>的解集为_________. 【答案】1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集． 【详解】210x x+>同解于(21)0x x +> 解得21x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U【点睛】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】13【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况， 所以他们选择相同交通工具的概率为3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．15．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.【答案】【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解． 【详解】由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l 的最大距离d =故答案为： 【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值．【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)3B π=+…当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种. 所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=. （1）求n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3n a n =-（2）2124n n T -=-【解析】（1）在等差数列{}n a 中根据77S =，2128a a +=，可求得其首项与公差，从而可求得n a ；（2）可证明{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n an b =32n n b -∴= 所以()2112142124n n n T --==--. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,n ii i x y nx b ay bx x ynx =--==--∑∑$$. 【答案】（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案． 【详解】（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1in 3s ADB ∠=.（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2AB =（22 【解析】（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值．【详解】（1）由题意可得222cos 13D sin D =-=， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g2212622362=+-⨯=，则2AB =（2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-==g g ， 23sin 1A cos A -，3cos AB AC A==， ABC ∆的面积为1132sin 23222S AB AC A ===g g g g． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点()1,3A -、()3,4B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=. （1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）2）13【解析】（1）由题意求得AC 所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C 的坐标，由题意列式求得C 的坐标，再求出||AC ，代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d ==（2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即C(1,6)，||AC ∴=ABC ∆∴的面积1||132S AC d ==g ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+. （1）证明：数列13n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）证明：n S <【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推式取倒数得1123n n na a +=+，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得132n n na =+，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n na a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n na -=， 即132n n n a =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=- 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
重庆市四区2018-2019年高一下学期高中联合调研评估测试(期末)数学试题及答案
2018-2019学年度上期重庆市高中联合调研评估测试高一数学 试题(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A.12B.22C.14D.242.函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A.(－4，－1) B.(－4，1) C.(－1，1) D.(－1，1] 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D.4 4.已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A.－14 B.14 C.－23 D.235.已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 等于( ) A.9 B.21 C.27 D.366.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x －3y 的最小值为( )A.9B.－6C.－9D.6 7.如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C ( ) A.北偏东60°；102 B.北偏东40°；10 3 C.北偏东30°；103 D.北偏东20°；1028.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A.[－3，0]B.[－3，2]C.[0，2]D.[0，3] 9.当x ＞0时，不等式x 2－mx ＋9＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，6)B.(－∞，6]C.[6，＋∞)D.(6，＋∞)10.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ，b ＞0)的最大值为8，则a＋b 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8 11.等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A.－9 B.－15 C.15 D.±1512.在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1).若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A.8B.9C.8或9D.17 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则cb sin B的值为________.14.若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3有解，则实数a 的取值范围为________.15.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则使a n ＜25成立的n 的最大值为________. 16.已知△ABC 的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k ，1)(k ＞1)，m ·n 的最大值为5，求k 的值. 18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋2－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19.(12分)甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A ，B ，C 三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A ，B ，C 三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A ，B ，C 三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？20.(12分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.(12分)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，并且sin A ·sinC ＝cos 2B ，S △ABC ＝43，求a ，b ，c .22.(12分)已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }满足a 1＝2，a n ≠1，(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0.(1)求证a n ＋1＝34a n ＋14；(2)求数列{a n －1}的通项公式；(3)若b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)，求{b n }中的最大项.2018-2019学年度上期重庆市高中联合调研评估测试高一数学 答案1.解析 由正弦定理得sin C ＝c ·a sin A ＝4×2＝21. 答案 A2.解析 由题－x2－3x ＋4＞0x ＋1＞0，⇒－1＜x ＜1. 答案 C3.解析 设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2， ∴S 4＝16，S 6＝36，∴S4S6＝49. 答案 C4.解析 由题意知，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4， 设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝2ab a2＋b2－c2＝2·3k ·2k （3k ）2＋（2k ）2－（4k ）2＝－41. 答案 A5.解析 S 3＋a n ＋a n －1＋a n －2＝4＝3(a 1＋a n )， ∴a 1＋a n ＝34，又S n ＝2n （a1＋an ）＝3＝18， ∴n ＝27. 答案 C6.解析 作出可行域如图所示的阴影部分.由目标函数z ＝x －3y 得：y ＝31x －3z， ∴－3z为直线在y 轴上的截距.∴平移直线l 0：y ＝31x ，当直线经过点A 时，z 取得最小值. ∵2x ＋y －9＝0，x －y ＝0，∴y ＝3，x ＝3，∴A (3，3). ∴z min ＝3－3×3＝－6. 答案 B7.解析 由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×1021＝300， 所以AC ＝10. 答案 B8.解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B9.解析 由题意得：当x ＞0时，mx ＜x 2＋9，即m ＜x ＋x 9恒成立.又有x ＋x 9≥2 x 9＝6，当且仅当x ＝x 9，即x ＝3时，等号成立.则实数m 的取值范围是(－∞，6). 答案 A10.解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1，4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，即ab ＝4，所以a ＋b ≥2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立.所以a ＋b 的最小值为4.答案 B11.解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝210（a1＋a10）＝±15. 答案 D12.解析 ∵a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， ∴a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根. 又∵等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， ∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q 2＝a3a5＝41，∴q ＝21.∴a n ＝4·21＝21，∴b n ＝log 2a n ＝5－n . ∴S n ＝2（9－n ）·n ，∴n Sn ＝29－n .T n ＝1S1＋2S2＋…＋n Sn ＝41(－n 2＋17n )＝414289.∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值. 答案 C13.解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵c 2－a 2＝bc －ac ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝2bc b2＋c2－a2＝2bc bc＝21，∴A ＝60°.由正弦定理得sin A a ＝sin B b ，∴sin B ＝2a 3b. ∴bsin B c ＝b22ac ＝32. 答案 3314.解析 由题意知，只需y ＝x 2－ax －a 的最小值不大于－3即可. 即4－4a －a2≤－3， 解得a ≤－6或a ≥2.答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞) 15.解析 易知{}为等差数列，首项为＝1，公差为1， ∴＝1＋(n －1)＝n ， ∴a n ＝n 2，令n 2＜25，∴n ＜5，∴n ≤4. 答案 416.解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a 为最长边，故a ＝b ＋4，c ＝b －4，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)cos 120°， 化简得b 2－10b ＝0， ∴b ＝10或b ＝0(舍去)， ∴c ＝6，S △ABC ＝21bc sin A ＝15.答案 1517.解 (1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ， 得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0， 故cos B ＝21，所以B ＝3π.(2)m·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 其中A ∈32π，设sin A ＝t ，t ∈(0，1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2.又k ＞1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值. 由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝23. 18.解 (1)因为S n ＝2n ＋2－4，所以a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－4－(2n ＋1－4)＝2n ＋1，显然a 1也符合该表达式.所以a n ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝a n ·log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2，②②－①得，T n ＝－2·22－23－24－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－1－223（1－2n －1）＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝n ·2n ＋2.19.解 设从甲到A 调运x 吨，从甲到B 调运y 吨，从甲到C 调运(300－x －y )吨，则从乙到A 调运(200－x )吨，从乙到B 调运(450－y )吨，从乙到C 调运(100＋x ＋y )吨，设调运的总费用为z 元，则z ＝6x ＋3y ＋5(300－x －y )＋5(200－x )＋9(450－y )＋6(100＋x ＋y )＝2x －5y ＋7 150.由已知得约束条件为100＋x ＋y ≥0，450－y ≥0， 整理得x ＋y ≤300，0≤y ≤450，画可行域并平移直线2x －5y ＝0可得最优解为x ＝0，y ＝300.即从甲到B 调运300吨，从乙到A 调运200吨，从乙到B 调运150吨，从乙到C 调运400吨，总运费最小.20.解 (1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ，所以k ＝2，所以x ＝3－m ＋12， 每件产品的销售价格为1.5×x 8＋16x(万元)， 所以年利润y ＝x ·x 8＋16x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8m ＋12－m ＝－＋（m ＋1）16＋29(m ≥0). (2)因为m ≥0时，m ＋116＋(m ＋1)≥2＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当m ＋116＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元).所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 21.解 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°， ∴sin A ·sin C ＝cos 260°＝41.① 又S △ABC ＝4＝21ac sin B ，∴ac ＝16.②由①②，得sin A ·sin C ac ＝sin A a ＝sin C c＝64， ∴sin A a ＝sin C c＝8.∴b ＝sin A asin B＝8sin B ＝8sin 60°＝4， ∵cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝21， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴(a ＋c )2＝48＋48＝96，∴a ＋c ＝4.③联立③与②解得，a ＝2(＋)，c ＝2(－)或a ＝2(－)，c ＝2(＋). 22.(1)证明 由(a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0，g (a n )＝4(a n －1)，f (a n )＝(a n －1)2，得(a n －1)·(4a n ＋1－3a n －1)＝0. 又a n ≠1，∴a n ＋1＝43a n ＋41. (2)解 ∵a n ≠1，∴an －1an ＋1－1＝an －1－1＝an －1（an －1）＝43(n ≥1)， ∴{a n －1}是公比为43的等比数列.重庆市四区2018-2019年高一下学期高中联合调研评估测试（期末）数学试题及答案- 11 - / 11 又a 1－1＝1，∴a n －1＝43.(3)解 由(2)知a n ＝43＋1，由(1)知a n ＋1＝43a n ＋41，则b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1)＝3(a n －1)2－4(a n ＋1－1) ＝3(a n －1)2－4－11＝3a n 2－9a n ＋6＝3＋13－9＋13＋6＝343－343.设u ＝43，y ＝b n ，则y ＝3u 2－3u ＝321－43，∵当n ≥1时，0＜u ＝43≤1，∴当u ＝1时，y max ＝0，此时n ＝1，则{b n }的最大项为b 1＝0.。
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高一下学期末考试数学试题
重庆市巴蜀中学高2021届高一(下)期末考试数学试题一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量，，，，若，则k＝（）A．B．4 C．D．﹣4[2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣e x＜0，则￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣e x≥0B．，，C．∀x∈（1，+∞），x﹣e x≥0D．，，3．已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣b＞1 C．＞D．a3＞b34．若等差数列{a n}满足a3+a2019＝4，则{a n}的前2021项之和S2021＝（）A．2021 B．2020 C．4042 D．40405．在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（）A．9πB．36πC．6πD．24π6．已知角，，则的最小值为（）A．2 B．1 C．4 D．37．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．28．已知直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是（）A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝﹣2或m＝1 D．m＝2或m＝19．已知实数，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（）A．B．C．D．11．若圆：＞始终平分圆：的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（）A．B．C．D．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量，夹角为，则．14．已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为．15．已知数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，则a19＝．16．已知点P为△ABC内的一点，且，则．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分）17．已知圆：12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．18．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，，．（1）求角B；（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．19．已知数列{a n}为等比数列，公比q＞0，S n为其前n项和，且a1＝4，S3＝28．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若，，，求角B；（2）若，，求△ABC周长的取值范围．21．已知数列{a n}各项均为正数，前n项和为S n，且S n满足：∀ ，．（1）求a1的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，且c n＝a n×b n．证明：对一切正整数n，有＜．22．已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．一、1D．2．B3．D4．C5．A6．C7．B8．C9．A10．D11．B12．二、13．单位向量，夹角为，则1．14．直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为：．15．解法一：数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，∴a2＝3，a3＝6，a4＝10，a8＝36，a16＝136，a19＝190，解法二：数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，令m＝1，可得a1+n＝a1+a n+n，a n＝a1+a n﹣1+n﹣1，a n﹣1＝a1+a n﹣2+n﹣2，…a2＝a1+a1+1，累加可得：a n＝（n﹣1）a1+a1+1+2+…+n﹣1可得a n．∴a19＝190，16．取AB的四等分点为E，取AC的三等分点为F，以AE，AF为相邻两边作平行四边形AFPE，作EG⊥AC，BH⊥AC，由图可知：，三、17．（1）由题意可得：圆心坐标（，4），圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上，所以4•4﹣12＝0⇒m＝8 所以圆的标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4（2）斜率不存在时x＝6，显然圆心（4，4）到x＝6的距离为2，正好等于半径，所以x＝6是其中一条切线；当斜率存在时，设斜率为k，则过A点的直线方程为：y＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k＝0，圆心到直线的距离等于半径2，2⇒（k+2）2＝k2+1⇒k，所以直线l的方程是3x+4y﹣18＝0．综上，所求的切线方程是：x＝6或3x+4y﹣18＝0．18．（1）因为向量，，，，．所以b sin A﹣a cos B＝a，由正弦定理可得：sin A sin B﹣sin A cos B＝sin A，所以sin B﹣cos B＝1，即2sin B cos B＝0，又B∈（0，π），所以B；（2）因为sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，所以2sin C cos A＝4sin A cos A，又cos A≠0，所以sin C＝2sin A，即c＝2a，又B，b＝3，所以a，c，所以S△ABC，故△ABC的面积为．19．（1）数列{a n}为等比数列，公比q＞0，且a1＝4，S3＝28．可得4+4q+4q2＝28，解得q＝2（﹣3舍去），可得a n＝4•2n﹣1＝2n+1；（2）b n＝n•2n+1，前n项和T n＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，2T n＝1•8+2•16+3•32+…+n•2n+2，相减可得﹣T n＝4+8+16+…+2n+1﹣n•2n+2n•2n+2，化为T n＝4+（n﹣1）•2n+2．20．（1）若，，，可得sin B，由a＞b，即A＞B，则B为锐角，可得B；（2）由sin（A+B），即sin（π﹣C），可得sin（C），由0＜C＜π即有＜C＜，可得C，即C，设Aα，Bα，＜α＜，由可得，即为，可得c，由＜α＜，可得＜cosα≤1，即有2≤c＜4，则6≤a+b+c＜8，则△ABC周长的取值范围为[6，8）．21．（1）S n满足：∀ ，．可得n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1a n a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝2，可得a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n≥2：上式对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*：（2）证明：，c n＝a n b n＝2n•＜，则c1+c2+…+c n＜1＝1＜．22．（1）由题得k OM＝1，所以k l＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣6＝0，所以x＝6﹣y，如图可知，对每个给定的点N，当NE为圆O的切线时，∠ONE最大，此时OE⊥EN，若∠ONE＝30°，则ON＝2OE＝4，即4，又因为x0＝6﹣y0，代入整理得，则△＝36﹣40＝﹣4＜0即该方程无解，故不存在这样的点E．（2）当直线AC，BD斜率存在时，设直线AC的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，则x1+x2，x1x2，△＝4k4﹣4（1+k2）（k2﹣4）＝16+12k2＞0，，所以P（，），同理得Q（，），即Q（，），k PQ，所以直线PQ方程为y，y，恒过定点（，0），当AC斜率为0，直线BD斜率不存在时，直线AC方程y＝0，此时A（﹣2，0），C（2，0），P（0，0）直线BD方程x＝1，此时B（1，），D（1，），Q（1，0），直线PQ为y＝0，经过点（，0）．综上所述，恒过定点（，0）．。
重庆市南岸区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
f (2x 1) f (1) 0 f (2x 1) f (1)
又因为
3 ，即
3，
2x 1 1 1 2x 1 1
1 x 2
所以
3 ，即 3
3 ，求得 3
3 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单
2x 1 1
调性，把不等式转化为
3 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能
定理得 (2c)2 (4a)2 (2a)2 2(4a)(2a) cos120 c2 7a2 e 7
考点：双曲线定义
【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定
义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的 点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.
5.已知定义在
R
上的函数
f
x 是奇函数且满足，
f
3 2
x
f
(x) ，f
(2)
3
，数列
an
满足
a1
1 ，且
Sn
2an
n ，(其中
Sn
为
an
的前
n
项和).则
f a5 f a6 （）
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】A
【解析】
由奇函数满足
f
3 2
x
f
x
可知该函数是周期为 T
3 的奇函数，
则：
2bc
2bc 2 ，
由于：0＜A＜π，
故：A 3 ．
重庆市七校2018-2019学年高一下学期期末考试数学(文)试题含答案
2018— 2018学年度第二学期期末七校联考高一数学试题（文科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分 •满分150分，考试时间120 分钟.注意事项：1 •答题前，务必将自己的姓名•准考证号等填写在答题卷规定的位置上2 •答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3 •答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上4 •考试结束后，将答题卷交回.第I 卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求的。
1.（原创）不等式（x-1）（x-2） ：：：0的解集为（ ）2・（改编）设a,b,c ・R ，且a b ，则下列不等式成立的是（）1 1A • ac bcB •a b22C . a bD • a c b c3•阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，输出S 的值为（）A • 15B • 105C • 245D • 945X 乞14 •（原创）若变量x 、y 满足约束条件 y_-1，则z=2xy 的、x —y+1 工0A • {x| x ：：1,或 x 2}B • {x |1 ：： x ：：2}C . {x|x -2,或 x 七-1}D . {x | —2 ：： x ：：—1}最大值是（ ）A . 5B . 4C . 1D 55 •对一批产品的长度（单位： mm ）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间［20,25）上为一等品，在区间［15,20）和［25,30）上为二等品，在 区间［10,15）和［30,35）上为三等品，用频率6.（改编）一船以每小时15.2km 的速度向东行驶，船在 A 处看到一灯塔B 在北偏东60° 行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°这时船与灯塔的距离为（）A . 60kmB . 60 2 kmC . 30、2 kmD . 30km7.（改编）一组数据从小到大的顺序排列为 1, 2, 2, x ,5, 10,其中X = 5，已知该组数据3的中位数是众数的-倍，则该组数据的标准差为（）2A . 9B . 4C . 3D . 2&《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何•淇意思为 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得 多少钱？ ”（钱”是古代的一种重量单位）。
2018-2019学年重庆市巴南区高一下学期期末质量监测数学试题(含答案解析)
2018-2019学年重庆市巴南区高一下学期期末质量监测数学试题一、单选题1．若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b --> B ．22a b <C ．a b <D ．33a b >【答案】B【解析】利用特殊值排除错误选项，根据指数函数单调性选出正确选项. 【详解】设2,1a b =-=-，则()()2212,114---=-=，A 选项错误.22,11-=-=，C 选项错误.()()3328,11-=--=-，D 选项错误.根据指数函数2xy =在R 上递增可知：若0a b <<，则22a b <，所以B 选项正确.故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数单调性，属于基础题. 2．在等比数列{}n a 中，若33a =-，1127a =-，那么7a 为（ ） A ．-9 B ．-15 C ．9D ．9±【答案】A【解析】根据等比中项的性质，求得7a 的值. 【详解】根据等比中项的性质有()()2731132781a a a =⋅=-⋅-=，由于4730a a q =⋅<，所以79a =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，属于基础题.3．某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生750人，高三年级有学生690人，现用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取68人进行某项研究，则应从高二年级抽取的学生的人数为（ ） A ．20B ．23C ．25D ．29【答案】C【解析】根据分层抽样抽样比计算出从高二年级抽取的学生的人数. 【详解】依题意，从高二年级抽取的学生的人数为75025 686825 60075069068⨯=⨯=++人.故选：C【点睛】本小题主要考查分层抽样各层抽样数量的计算，属于基础题.4．在ABC∆中，2a=，22c=，30A=︒，则B为（）A．15︒或105︒B．75︒C．15︒D．45︒或135︒【答案】A【解析】利用正弦定理求得sin C，由此求得B.【详解】由正弦定理得122sin22sin22c ACa⨯===，而c a>，所以45C=o或135o，对应的105B=o或15o.故选：A【点睛】本小题主要考查正弦定理将三角形，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】B【解析】运行程序，计算出输出的k的值.【详解】运行程序18,0S k ==，3,15k S ==，判断是， 6,9k S ==，判断是，9,0k S ==，判断否，输出9k =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出的结果，属于基础题.6．如图，一个可以自由转动的游戏转盘上有红、黄、蓝三种颜色，它们所占面积的比例为5:4:3，转动转盘，则指针不停在红色区域的概率为（ ）A ．14B ．13 C ．512D ．712【答案】D【解析】根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】依题意可知，指针不停在红色区域的概率为43754312+=++.故选：D 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛的得分.已知甲得分的中位数为17，乙得分的均平数为14，则式子x y +的值是（ ）A ．7B ．9C ．10D ．12【答案】B【解析】根据甲的中位数和乙的平均数求得,x y ，由此求得x y + 【详解】由于甲的中位数为17，所以7x =，乙的平均数671414122320147y+++++++=，解得2y =，所以9x y +=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查茎叶图、平均数、中位数等知识，属于基础题.8．两个灯塔A 、B 与海洋观测站C 的距离都等于8km ，灯塔A 在观测站C 的东北方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东15︒方向上，则A 、B 之间的距离为（ ）A ．B ．8kmC ．D ．【答案】D【解析】求得ACB ∠，利用余弦定理求得,A B 的距离. 【详解】依题意1801545120ACB ∠=--=o o o o ，由余弦定理得2222cos120AB CA CB CA CB =+-⋅⋅⋅o 164642881922⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AB =.故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若前5项和为32，后5项和为148，270n S =，则412a a +的值为（ ） A ．18 B ．32C ．36D ．72【答案】C【解析】利用已知条件列方程组，化简求得n ，根据等差数列的性质求得412a a +. 【详解】题意1234512341321482702n n n n n n a a a a a a a a a a a an ----⎧⎪++++=⎪++++=⎨⎪+⎪⋅=⎩，前两个式子相加得()115180,36n n a a a a +=+=，代入第三个式子得18270,15n n ==，所以11536a a +=，所以41211536a a a a +=+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.10．已知ABC ∆三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos sin a b C c B =+，且222sin sin sin sin A B C B C =+，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】利用正弦定理、余弦定理、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简已知条件，由此求得,,A B C 的大小，进而得出正确选项. 【详解】由正弦定理得sin sin cos sin sin A B C B C =+，即()sin sin cos sin sin B C B C B C +=+，所以cos sin sin sin B C B C =，π4A =.又22222a b c bc =+-⋅，由余弦定理得cos 2A =所以πcos sin ,4B B B ==, 所以π2πC A B =--=，所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.11．二次不等式20ax bx c ++>的解集为()(),12,-∞⋃+∞，若()2f x cx bx a =++，则（ ）A ．()()()201f f f >>B ．()()()210f f f >>C ．()()()012f f f >>D ．()()()021f f f >>【答案】A【解析】利用二次不等式20ax bx c ++>的解集，求得,,a b c 的关系，由此判断二次函数()2f x cx bx a =++的图像与性质，从而判断出()()()0,1,2f f f 的大小关系.【详解】由于二次不等式20ax bx c ++>的解集为()(),12,-∞⋃+∞，所以0123122a ba ca⎧⎪>⎪⎪-=+=⎨⎪⎪=⨯=⎪⎩，即03020a b a c a >⎧⎪=-<⎨⎪=>⎩，故()2223f x cx bx a ax ax a =++=-+，其图像开口向上，且对称轴为34x =，由于333201444->->-，所以()()()201f f f >>.故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式，考查二次函数的图像与性质，属于基础题. 12．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12n n n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb bb b a a a a +++⋅⋅⋅+的值是（ ）A ．122n n +⋅-B ．()122nn -⋅+C ．()122nn +⋅-D ．()1122n n +-⋅+【答案】D【解析】首先根据递推关系式求得数列{}{},n n a b 的通项公式，然后利用错位相减求和法求得所求表达式的值. 【详解】由()221110n n n n n a na a a +++-+=，得()()1110n n n n n a na a a +++-+=⎡⎤⎣⎦，由于已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，所以由()110n n n a na ++-=，化简得11n n a na n +=+，所以()112n n a n n a n --=≥，所以13211221n n n n n a a a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅L 122111132n n n n n--=⋅⋅⋅⋅⋅=-L ，当1n =时上式也符合，所以1n a n=.由于12nn n b b +=+，所以()1122n n n b b n ---=≥，所以112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L 1212222n n --=++++L ()12122212n n--=+=-，当1n =时上式也符合，故2nn b =.所以2nn nbn a =⋅.令312123n nn b b b b a a a S a +++⋅⋅⋅+=，即212222n n S n =⋅+⋅++⋅L ①，两边乘以2得231212222n n S n +=⋅+⋅++⋅L ②，①-②得212222nn n S n +-=+++-⋅L ()1212212n n n +-=-⋅-，所以()()112122122n n n n S n n ++=-+⋅=-⋅+.故选：D 【点睛】本小题主要考查累乘法、累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．从数字1，2，3，4，5中取两个不同的数字，设“两个数字之和为偶数”为事件A ，则事件A 的概率为______. 【答案】25【解析】利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】从1,2,3,4,5中，任选两个的方法如下：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共10种，其中和为偶数的有13,15,24,35共4种，所以事件A 的概率为42105=. 故答案为：25【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.14．把一个容量为n 的样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为9和0.15，则n 的值为______. 【答案】60【解析】用频数除以频率，求得n 的值. 【详解】 依题意，n 的值为9600.15=. 故答案为：60 【点睛】本小题主要考查根据频数和频率计算样本容量，属于基础题.15．已知函数()f x 满足()()12f x f x +=-，且()34f =，则()20f =______. 【答案】30-【解析】利用抽象函数的关系式，以此求得()()()4,5,,20f f f L 的值. 【详解】由于()()12f x f x +=-，且()34f =，所以()()432f f =-，()()()542322f f f =-=-⨯，()()()652332f f f =-=-⨯，……，以此类推，()()20317243430f f =-⨯=-=-.故答案为：30- 【点睛】本小题主要考查根据抽象函数关系式求函数值，属于基础题.16．若正数a 、b 、c 满足2224c ac bc ab +++=，则式子223a b c ++的最小值为______.【答案】【解析】将已知等式左边因式分解，然后利用基本不等式求得223a b c ++的最小值. 【详解】由2224c ac bc ab +++=得()()24c b a c ++=，223a b c ++()()22a c c b =+++≥==，当且仅当()22c b a c +=+=.所以223a b c ++的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()122n n a a n --=≥，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12n a n n b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）1214433n n S n +=⋅+-. 【解析】（1）根据等差数列的定义、等比中项的性质，求得数列{}n a 的通项公式. （2）利用分组求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（1）由于数列{}n a 满足()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，由于1a ，2a ，5a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114a d a a d +=⋅+，也即()()211128a a a +=⋅+，解得11a =，所以21n a n =-，所以求数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）得12n a n n b a +=+214n n =-+，所以()414121214n n n S n -+-=⋅+-()212414414333n n n n +=+-=⋅+-. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查等比中项的性质，考查分组求和法，属于基础题.18．某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，给出下表数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）试判断y 与x 之间是正相关还是负相关，并预测燃放烟花爆竹的天数为9天时的雾霾天数约为几天？（参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.）【答案】（1）1917ˆ2626yx =-；（2）正相关，6天 【解析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）根据回归直线方程判断出判断y 与x 之间的相关关系，令9x =，求得雾霾天数的预测值. 【详解】 （1）依题意23578122465,3x y ++++++++====，所以294553191515526b-⨯⨯==-⨯$，$1917352626a =-⨯=-，所以1917ˆ2626y x =-. （2）由1917ˆ2626y x =-可知，y 与x 正相关，当9x =时，雾霾天数的预测值为19177796262613⨯-=≈天. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 2b Ac a ⋅=+. （1）求角B ；（2）若7b =，且a c <，ABC ∆的面积为4，求sin A 的值.【答案】（1）2π3；（2）3314【解析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小. （2）利用三角形的面积公式以及余弦定理列方程组，解方程组求得a ，再由正弦定理求得sin A . 【详解】（1）依题意，1cos 2b A c a ⋅=+，由余弦定理得222122b c a b c a bc +-⋅=+，化简得222b ac ac =++，所以2221cos 22a cb B bc +-==-，由于0πB <<，所以2π3B =. （2）由余弦定理和三角形的面积公式得2222cos 1153sin 2b a c ac Bac B ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩，即2249131532a c acac ⎧=++⎪⎨⋅=⎪⎩，即224915a c ac ac ⎧=++⎨=⎩，即()249a c ac +-=()264,8a c a c +=+=，由815a c ac a c+=⎧⎪=⎨⎪<⎩解得35a c =⎧⎨=⎩，所以由正弦定理得33sin 332,sin sin sin 7a b a BA AB b⨯====. 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 20．某单位为了解其后勤部门的服务情况，随机访问了40名其他部门的员工，根据这40名员工对后勤部门的评分情况，绘制了频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求a 的值；（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；（3）以评分在[)40,60的受访者中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率.【答案】（1）0.01a =；（2）中位数75；（3）35【解析】（1）根据频率之和为1列方程，解方程求得a 的值. （2）根据频率分布直方图，求得中位数的估计值.（3）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）依题意()0.0050.0150.020.03101a ++++⨯=，解得0.01a =. （2）由于()0.0050.010.02100.35++⨯=，所以中位数为0.50.3570750.03-+=.（3）[)40,50的人数为400.005102⨯⨯=，记为1,2；[)50,60的人数为400.01104⨯⨯=，记为3,4,5,6.从1,2,3,4,5,6中任取两人，可能情况有：12,13,14,15,16,23,24,25,26，34,35,36,45,46,56共15种，其中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的为12,13,14,15,16,23,24,25,26共9种，故随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率为93155=. 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图计算中位数，考查古典概型的计算，属于基础题.21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，ABC ∆的周长为12.（1）当5a =时，求ABC ∆的面积； （2）求b c +的取值范围.【答案】（1）（2）(]6,8.【解析】（1）利用三角形的周长和余弦定理，求得bc ，由此求得三角形ABC 的面积. （2）利用正弦定理求得b c +的表达式，再结合三角函数求取值范围的方法，求得b c +的取值范围. 【详解】（1）依题意，5,60,12,7a A a b c b c ==++=+=o，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()2225373,8b c bc bc bc =+-=-=，所以三角形ABC的面积为11sin 8222bc A =⨯⨯=. （2）由正弦定理得，sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++====++， 所以12sin sin B C b c ++=，令sin sin t B C =+，则b c +==.而()sin sin sin sin 120t B C B B =+=+-o 1sin sin 2B B B =++3sin 2B B =+()30B =+o.由于0120B <<o o ，所以3030150B <+<ooo，所以()1sin 30,12B ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦o，所以()302t B ⎛=+∈ ⎝o，1t ∈，1,122t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，31,222t ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，12,23⎛⎤⎥⎝⎦(]6,8，即b c +的取值范围是(]6,8. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和n S满足)2n a n ≥=，数列{}n b 满足122111222n n b b b n +++=L . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足1111237c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2n ≥时()()1111n n n n n n b c a b a b -+++=++，求数列{}n c 的前n 项和nT.【答案】（1）21n a n =-；（2）111123212n n T n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用“退1作差法”求得{}n b 的通项公式，由裂项求和法求得n T . 【详解】 （1）依题意)2n a n ≥=，1n n S S --=+，即={}n a为正项数列，所以1=1==为首项，公差为1的等差2,n n S n ==.当2n ≥时，()211n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-，当1n =时上式也符合，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由122111222n n b b b n +++=L ①得()1212111112222n n b b b n n --+++=-≥L ②，①-②得1,122nn n n b b ==.当1n =时1111,22b b ==，也满足2n n b =.所以数列{}n b 的通项公式为2nn b =.所以当2n ≥时，()()1111n n n n n n b c a b a b -+++=++()()1121212212n n n n n -++=-+++11112212212n n n n +⎛⎫=- ⎪-+++⎝⎭，当1n =时，1111237c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，上式也符合，所以n c 11112212212n n n n +⎛⎫=- ⎪-+++⎝⎭，所以n T =22311111111212323252212212n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111123212n n +⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦.所以111123212n n T n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
2018-2019学年重庆市区县高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．62．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．73．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．284．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为( )A ．600B ．800C ．1000D ．12005．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．966．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．6010．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．912．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()ABBCACCBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x+>的解集为 ． 14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为 ．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆的面积为3cos bc A ，则cos sin B C +的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=． （1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度； （2）求ABC ∆的面积．21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=． （1）求点B 到直线AC 的距离； （2）求ABC ∆的面积．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+．（1）证明：数列1{3}n na -为等比数列； （2）证明：2(61)n S <-．2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．6【解答】解：Q 向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，,a b r r 共线， ∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ．2．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．7【解答】解：由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．28【解答】解：{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ．4．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为()A ．600B ．800C ．1000D ．1200【解答】解：根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则 321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ．5．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．96【解答】解：1234535x ++++==，1015304550305y ++++==．故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ．6．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【解答】解：由已知220a b +>且a b >， 所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+． 故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个【解答】解：4A π=Q，5a =，4c =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：22251624b b =+-⨯⨯⨯，可得：24290b b --=，(*)∴由△24680b ac =-=>，且两根之和为正、两根之积为负数，∴方程(*)有两个不相等的实数根，且只有一个正实数根，即有一个边b 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有一个解． 故选：B ．8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-， ∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ．9．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．60【解答】解：由频率分布直方图得：这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得：222222a c b c a b ac +-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ．11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．9【解答】解：1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=； 122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ．12．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()AB BC AC CBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 【解答】解：由||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得： cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x +>的解集为 1(,)(0,)2-∞-+∞U ． 【解答】解：210x x+>同解于 2100x x +>⎧⎨>⎩或2100x x +<⎧⎨<⎩解得12x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为13． 【解答】解：甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为3193=．故答案为：13．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为【解答】解：由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=， 联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l的最大距离d ==故答案为：16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +【解答】解：ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan A ∴=，6A π∴=．则11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin ))6223B C B A B B B B B B B B B ππ+=++=++=+++…，当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？【解答】解：（1）所有的选法有26C 种，A 同学被选中的方法有1115C C 种，故A 同学被选中的概率是 152613C P C ==．（2）所有的选法有26C 种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，这两种情况分别有1142C C 和22C 种选法， 故至少有1名女同学被选中的概率是1124222635C C C P C +==． 18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=．（1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n a n b =32n n b -∴=则111(12)14(21)124n n n T ---==--． 19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,n i ii n ii x y nxyb a y bx x nx ==-==--∑∑． 【解答】解：（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+； （2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意可得222cos 1D sin D =-= 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g 2212622362=+-⨯=，则2AB = （2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-===g g ， 23sin 1A cos A =-=3cos AB AC A == ABC ∆的面积为1132sin 2322S AB AC A ===g g g g 21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d == （2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即(1,6)C ，||AC ∴= ABCd ∴∆的面积1||132S AC d ==g ． 22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+． （1）证明：数列1{3}n n a -为等比数列； （2）证明：n S <． 【解答】证明：（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n n a a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n n a -=， 即132n n na =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=--．。
2018-2019学年重庆市育才中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市育才中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若直线20x ay +-=和0x y +=互相垂直，则a =（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】根据两条直线垂直的充要条件12120A A B B +=计算可得答案. 【详解】因为直线20x ay +-=和0x y +=互相垂直， 所以1110a ⨯+⨯=，解得1a =-， 故选：A 【点睛】本题考查了两条直线垂直的充要条件12120A A B B +=，属于基础题. 2．已知等差数列{}n a 的前5项和为515S =，则3a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质可得答案. 【详解】因为{}n a 为等差数列， 所以153535()52522a a a S a +⨯===， 所以3515a =，即33a =. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质，属于基础题.3．已知平面向量()1,a x =r ，()2,1b x =-r ，//a b r r ，则x =（ ）A ．-1B ．13-C ．13D ．2【答案】C【解析】根据平面向量共线的坐标表示列式可解得.【详解】因为()1,a x =r ，()2,1b x =-r ，//a b r r ，所以1(1)20x x ⨯--⋅=，解得13x =. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.4．已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．2a ab >B ．22a b >C ．a b +≥D ．11a b< 【答案】B【解析】对,,,A B C D 四个选项逐个分析可得答案. 【详解】对于A ，由2()a ab a a b -=-可知，当0a ≤时，2a ab ≤，故A 不正确；对于B ，由指数函数2xy =为增函数可知22a b >，故B 正确；对于C ，当0a b >>时，可知a b +<，故C 不正确； 对于D ，当0,0a b ><时，可知110a b>>，故D 不正确. 故选：B 【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性比较大小，考查了不等式的性质，属于基础题. 5．已知点()2,2A ，()1,1B -，若直线l ：kx y k 0--=与线段AB （含端点）相交，则k 的取值范围为（ ） A ．[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭UD ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为直线l ：kx y k 0--=经过定点(1,0)P ，作出图形，根据图形利用,PA PB 的斜率表示即可.【详解】因为直线l ：kx y k 0--=经过定点(1,0)P ， 如图所示：因为20221PA k -==-，101112PB k -==---， 所以结合图形可知，2k ≥或12k ≤-.故选：A 【点睛】本题考查了直线过定点问题，考查了斜率公式，考查了数形结合思想，属于基础题. 6．已知数列{}n a 满足14a =，12n n a a +=-，则1221a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．336 B ．348C ．492D ．516【答案】B【解析】根据12n n a a +=-可知数列{}n a 是等差数列，求出通项公式，根据通项公式判断各项符号，再根据各项符号去掉绝对值，通过添两项，减两项，转化为等差数列前n 项和公式计算可得. 【详解】因为12n n a a +=-，所以12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是首项为4，公差为2-的等差数列， 所以1(1)(2)26n a a n n =+-⨯-=-+， 所以3n ≥时，0n a ≤，又120,0a a >>，所以1221a a a ++⋅⋅⋅+=123421a a a a a +----L12123212()()a a a a a a =+-++++L121(211)2(42)[21(2)]2a -=+-+⨯- 348=故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，根据通项公式去掉绝对值符号，转化为等差数列的前n 项和公式计算是解题关键，属于中档题.7．若双曲线22x y m -=的一个焦点与抛物线2x y =的焦点重合，则实数m =（ ） A ．18- B ．132-C ．132D ．18【答案】B【解析】根据抛物线2x y =可得双曲线的一个焦点1(0,)4在y 轴上，可得双曲线的标准方程为，221y x m m-=--，由此列式可求得m 的值.【详解】由2x y =可知12p =，所以其焦点1(0,)4F ， 所以双曲线22x y m -=的一个焦点为1(0,)4，所以221y x m m-=--，所以21()()4m m -+-= ，解得132m =-.故选：B 【点睛】本题考查了抛物线的焦点，考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的焦点，属于基础题.8．设数列{}n a 满足12a =，111n n a a +=-，记{}n a 前n 项之积为n T ，则2021T =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【解析】先根据111n n a a +=-推出周期为3，再计算出23,a a ，然后利用周期可得2021T 67312312()a a a a a =⋅⋅，代入123,,a a a 计算可得结果.【详解】由111n n a a +=-得111n na a +=-，所以21111111111111n n n n n n n na a a a a a a a ++--=====-------，所以31111(1)n n n n a a a a ++=-=--=， 所以数列{}n a 是周期为3周期数列， 因为12a =，所以21111112a a ===---，3211111(1)2a a ===---，所以12312(1)12a a a =⨯-⨯=-， 又202167332=⨯+，所以2021T 67367312312()(1)2(1)2a a a a a =⋅⋅=-⨯⨯-=.故选：D 【点睛】本题考查了数列的周期性，利用周期将问题转化为123,,a a a 的值进行计算是解题关键，属于中档题.9．圆22440x y x y m +--+=上动点P 到直线20x y ++=的最小距离为m =（ ）A ．-10B ．-6C ．6D ．10【答案】C【解析】先化圆的一般方程为标准方程，得到圆心坐标和半径，再利用圆心到直线的距离减去半径等于. 【详解】由22440x y x y m +--+=可得22(2)(2)8x y m -+-=-，所以圆心为(2,2)(8)m <， 因为圆心到直线20x y ++=的距离d ==所以=，故选：C 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.10．已知非零实数a 、b 和1成等差数列，直线10ax by ++=与椭圆C ：22110x ym +=恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．53m ≥B ．53m >且10m ≠ C ．53m >D ．53m ≥且10m ≠【答案】D【解析】利用等差数列知识可得21a b =-，从而可得直线经过定点(1,2)-，根据直线与椭圆有公共点可得点(1,2)-在椭圆上或内，可得135m ≤，再根据22110x y m +=表示椭圆，可得0m >且10m ≠，由此可解得答案. 【详解】因为非零实数a 、b 和1成等差数列， 所以21b a =+，即21a b =-，所以直线方程为(21)10b x by -++=，即(2)10b x y x +-+=，由2010x y x +=⎧⎨-+=⎩，解得x 1,y 2==-，所以直线(21)10b x by -++=过定点(1,2)-，因为(21)10b x by -++=与椭圆C ：22110x y m +=恒有公共点，所以定点(1,2)-在椭圆上或内，所以21(2)110m -+≤，即135m ≤，又22110x y m +=表示椭圆，所以0m >且10m ≠， 所以53m ≥且10m ≠. 故选：D本题考查了等差数列的性质，考查了直线经过定点，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了点与椭圆的位置关系，考查了椭圆的标准方程，属于基础题.11．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a 、n a ，使得1lg lg 4lg 22lg m n a a a +=+，则14m n+的最小值为（ ） A ．32B ．53 C ．256D ．92【答案】A【解析】根据7652a a a =+求出公比2q =，根据1lg lg 4lg 22lg m n a a a +=+可得6m n +=，根据基本不等式可求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由7652a a a =+得25552a q a q a =+，因为50a >，所以22q q =+，解得2q =（1q =-已舍）， 由1lg lg 4lg 22lg m n a a a +=+，得421lg()lg(2)m n a a a =⨯， 所以2116m n a a a =，所以1121112216m n a a a --⨯⨯⨯=⨯，因为10a >，所以11422m n -+-=， 所以6m n +=**(,)m N n N ∈∈，所以1411414()()(5)66m n m n m n m n n m +=++=++19(566≥+=32=， 当且仅当4m nn m=，即2n m =，又6m n +=，所以2,4m n ==时，等号成立， 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了对数的运算性质，考查了基本不等式求最值，属于中档题.12．已知1F 、2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，若其中一条渐近线上存在关于原点O 对称的两点P 、Q ，四边形12PFQF 为矩形，且面积为222b ，则双曲线离心率e 为（ ） A ．4 B ．22C ．2D ．2【答案】D【解析】根据矩形的对角线长相等可得1||||PO OF c ==，1POF θ∠=，根据渐近线的斜率可得sin bcθ=，再根据三角形面积公式列式可得2c b =，最后用离心率公式可求得结果. 【详解】因为四边形12PFQF 为矩形，所以12||||PQ F F =， 又O 为对角线的中点，所以1||||PO OF c ==，假设点P 在第一象限，设1POF θ∠=，(0,)2πθ∈，依题意可得tan baθ=，则2222222222sin tan sin sin cos tan 11b a b a θθθθθθ===+++22222b b a bc ==+， 所以sin b c θ= ，所以矩形面积为2214sin 222b c c bc cθ⨯=⨯=，依题意可得2222bc b =，即2c b =，所以22222a c b b b b =--=，所以离心率c e a b===故选：D 【点睛】本题考查了矩形的性质，考查了双曲线的渐近线，考查了同角公式，考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．已知向量1OA OB ==u u u r u u u r ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则AOB ∠=______.【答案】3π 【解析】直接根据向量的夹角公式计算可得. 【详解】因为||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r，所以111cos 2AOB =⨯⨯∠， 所以1cos 2AOB ∠=，又[0,]AOB π∠∈，所以3AOB π∠=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了平面向量的夹角的余弦公式，考查了平面向量夹角的范围，属于基础题.14．若圆1C ：()(2211x y -++=与圆2C ：()221x a y -+=没有公共点，则实数a 的取值范围是______.【答案】0a <或2a >【解析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距小于两圆半径之和或者小于两圆半径之差的绝对值列式可解得. 【详解】由圆1C ：()(2211x y -+=可知圆心1(1,C ，半径11r =，由圆2C ：()221x a y -+=可得圆心2(,0)C a ，半径21r =， 因为两圆无公共点，所以两圆相离或内含，所以1212||2C C r r >+=，或1212||||0C C r r <-=（无解）2>，解得0a <或2a > 故答案为：0a <或2a > 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标和半径，考查了两圆相离或内含的位置关系，属于基础题.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角C 为钝角，若ABC ∆2ab =，c =a b +=______. 【答案】3【解析】根据三角形面积公式可解得23C π=，再根据余弦定理配方可得结果. 【详解】因为1sin 2ABC S ab C =V 12sin 2C =⨯，解得sin C =， 又2C ππ<<，所以23C π=， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 所以217()22()2a b ab ab =+--⨯-， 所以3a b +=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，属于基础题.16．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}nf a 仍是等比数列，则()f x 称为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数：①()3f x x =；②()x f x e =；③()f x =④()2log f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为______. 【答案】①③【解析】根据新定义“保等比数列函数”.结合等比数列的定义，逐个判断四个函数，即可得到结论.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=， 对于①，()3f x x =，因为1()()n n f a f a +333113()n n n na a q a a ++===，即(){}n f a 仍为等比数列，所以()3f x x =为“保等比数列函数”；对于②，()xf x e =，因为1()()n n f a f a +11n n n n a a a a e e e++-==不为常数，所以(){}n f a 不为等比数列，所以()xf x e =不为“保等比数列函数”；对于③，()f x =1()()n n f a f a+===(){}nf a 仍为等比数列，所以()f x =“保等比数列函数”；对于④，()2log f x x =，因为1()()n n f a f a +21222222log ||log ||log ||log ||1log ||log ||log ||n n n n n a a q q a a a ++===+不为常数，所以(){}n f a 不为等比数列，所以()2log f x x =不为“保等比数列函数”. 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了等比数列的定义，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a是首项为、公比0q <的等比数列，且满足1a、3a -5a 成等差数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设232log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）(nn a =（Ⅱ）133(1)222n n n n S ++=-+【解析】（Ⅰ）由1a、3a -5a成等差数列，得3152(a a a -=+，利用等比数列的通项公式可得q =（Ⅱ）利用指数的幂运算和对数的运算可得3nn b n =+，再分组求和即可得到结论.【详解】（Ⅰ）因为1a、3a -5a 成等差数列，所以3152(a a a -=+，所以241112(a q a a q -=+，所以242()q -=+， 所以42230q q --=，所以23q =，又0q <，所以q =所以1(n n a -=(n =.（Ⅱ）232log n n n b a a =+223(log (3n n n n =+=+，所以n S 1233312nn =+++++++=L L 3(13)(1)132nn n -++- 133(1)222n n n ++=-+. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了等差，等比数列的前n 项和的公式，考查了分组求和，属于中档题.18．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量sin ,3m A a π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r，,cos 2n b B π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，且m n ⊥u r r .（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若12AB CA ⋅=-u u u r u u u r，求边a 的最小值. 【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用平面向量垂直的坐标表示可得sin()cos()032b A a B ππ+++=，利用正弦定理以及诱导公式可得sin()sin 3A A π+=，根据两角和的正弦公式以及同角公式可得tan A =3A π=；（Ⅱ）利用平面向量的数量积可得24bc =，再根据余弦定理以及基本不等式可得结论. 【详解】（Ⅰ）因为m n ⊥u r r，所以0m n ⋅=r r， 所以sin()cos()032b A a B ππ+++=， 所以由正弦定理和诱导公式可得sin sin()sin sin 03B A A B π+-=，因为sin 0B >，所以sin()sin 3A A π+=，所以sin coscos sinsin 33A A A ππ+=sin A A =，所以tan A =0A π<<，所以3A π=.（Ⅱ）因为12AB CA ⋅=-u u u r u u u r ，所以12AB AC ⋅=u u u r u u u r， 所以cos123cb π⋅=，所以24bc =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-=22b c bc +-2bc bc bc ≥-==24，当且仅当b c ==所以a ≥a 的最小值为【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量的数量积，考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，考查了基本不等式，属于中档题.19．已知以点()1,1C -为圆心的圆C 与直线l ：240x y +-=交于A 、B 两点，AB =（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）平面内一动点P 满足ABP ∆是直角三角形，且2APB π∠=，求点P 的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）22(1)(1)10x y ++-=（Ⅱ）22(1)(2)5x y -+-=(2x ≠且0x ≠）【解析】（Ⅰ）先求出圆心到直线的距离d ，再根据勾股定理求出圆的半径，从而可得圆C 的标准方程；（Ⅱ）转化为求以AB 为直径的圆（除去,A B 两点）的方程，求出AB 的中点坐标后即可得到结果.【详解】（Ⅰ）因为点()1,1C -到直线l ：240x y +-=的距离541d ==+，所以圆的半径为22||()55102AB d +=+=， 所以圆C 的标准方程为22(1)(1)10x y ++-=. （Ⅱ）取AB 的中点为,E 如图：则CE AB ⊥，所以112CE AB k k =-=， 所以直线1:1(1)2CE y x -=+，即1322y x =+， 联立241322x y y x +=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)E ， 因为2APB π∠=，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（除去,A B 两点），所以所求轨迹方程为：22(1)(2)5x y -+-=(2x ≠且0x ≠） 【点睛】本题考查了点到直线的距离，考查了垂径定理，考查了直线方程的点斜式，考查了圆的标准方程，属于中档题.20．已知过定点()0,1F ，且与直线1l ：1y =-相切的动圆圆心为C . （Ⅰ）求圆心C 的轨迹方程E ；（Ⅱ）过点F 作直线2l 与轨迹E 交于P 、Q 两点，交直线1l 于点R ，PQ 中点记为M ，求MR FR ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）16【解析】（Ⅰ）根据抛物线的定义可知，圆心C 的轨迹是以F 为焦点，直线1l ：1y =-为准线的抛物线，由此可得轨迹方程；（Ⅱ）设直线2l 的方程为1(0)y kx k =+≠，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到2(2,21)M k k +，再求得2(,1)R k--，根据平面向量的数量积公式运算后，根据基本不等式可得最小值. 【详解】（Ⅰ）由题意可知，圆心C 到点F 的距离等于它到直线1l ：1y =-的距离， 所以圆心C 的轨迹是以F 为焦点，直线1l ：1y =-为准线的抛物线， 所以所求轨迹E 的方程为：24x y =.（Ⅱ）设直线2l 的方程为1(0)y kx k =+≠，与抛物线方程联立消去y 得2440x kx --=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则124x x k +=，所以2(2,21)M k k +，易得2(,1)R k --， 所以MR FR ⋅u u u r u u u r 222(2,121)(,11)k k k k -----⋅---22224444448k k k k=+++=++2244816k k≥⨯=（当且仅当1k =±时取得等号）所以MR FR ⋅u u u r u u u r的最小值为16【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线相交的问题，考查了平面向量的数量积，考查了基本不等式求最小值，属于中档题.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S n a n N=+-∈.（Ⅰ）求证：数列{}1n a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()*112nn n n b a a n N +⎛⎫⋅⋅=∈ ⎪⎝⎭，{}n b 的前n 项和为n T ，求证：23n T <. 【答案】（Ⅰ）证明见解析，112n n a =+，（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）利用1n n n a S S -=-可得121n n a a -=+，再两边减去2，可得{1}n a -为等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果； （Ⅱ）求出n b 并裂项得1112()1212n n n b +=-++，再裂项求和可得n T 1112()312n +=-+，由此放缩可证结论. 【详解】（Ⅰ）1n =时，1112S a =+-，132a =， 当2n ≥时，1112n n S n a --=-+-，11212n n n n n a S S n a n a --=-=+--+-+，所以121n n a a -=+，所以12(1)1n n a a --=-，所以111(1)2n n a a --=-， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12的等比数列，所以11111()222n n n a --=⨯=.所以112n n a =+.（Ⅱ）由112nn n n b a a +⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，得112(12)(12)n n n n b ++=++122(12)(12)n n n +⨯=++1112()1212n n +=-++，所以n T 122311111112()121212121212n n +=-+-++-++++++L 1112()312n +=-+ 23<. 【点睛】本题考查了用定义证明数列为等比数列，考查了求数列的通项公式，考查了裂项求和方法，考查了放缩法证不等式，属于中档题.22．已知点C 为圆221x y +=上一点，CA x ⊥轴于点A ，CB y ⊥轴于点B ，点P 满足2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），点P 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求E 的方程；l 交曲线E 于不同的两点M 、N ，是否存在定点T ，使得直线TM 、TN 的斜率之和恒为0.若存在，则求出点T 的坐标；若不存在，则请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=，（Ⅱ）存在，T 1)2或1()2- 【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，00(,)C x y ,由2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r将00,x y 用,x y 表示，然后将00,x y 代入221x y +=，化简即可得到结果；（Ⅱ）假设存在定点(,)T m n 满足题意，设11(,)M x y ，22(,)N x y的直线l的方程为2y x b =+，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和斜率和为0恒成立，可得结果. 【详解】（Ⅰ）设(,)P x y ，00(,)C x y ， 则0(,0)A x ，0(0,)B y ，由2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r得0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=，所以002x x y y =⎧⎨=⎩，所以0002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又00(,)C x y 在圆221x y +=上，所以22()12x y +=，即2214x y +=.（Ⅱ）假设存在定点(,)T m n 满足题意，设11(,)M x y ，22(,)N x y的直线l的方程为y x b =+，则2214y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2210x b +-=，， 所以2234(1)b b =--=V 240b ->，解得22b -<<又12x x +=，2121x x b =-，因为TM TNk k +=1212y n y nx m x m--+--0=， 所以1221()()()()0y n x m y n x m --+--=， 则12y x 1221210my nx mn y x my nx mn --++--+=， 则12211212()()20y x y x m y y n x x mn +-+-++=，则122112()()()()202222x b x x b x m x b x b n mn +++-+++-+=，12x 12()b x x ++12()2m x x -+2bm-20mn +=，2231)2202b mb bm mn -+-++=，所以1()202b m mn -++=对任意的22b -<<恒成立，所以10220m mn ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，解得12m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以存在定点T 1)2或1()2-，使得TM 、TN 的斜率之和恒为0. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示，考查了代入法求曲线的轨迹方程，考查了韦达定理，考查了斜率公式的应用，考查了字母运算能力，属于中档题.。
2018-2019学年重庆一中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．102．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．203．（5分）已知向量(1,2)a =r ，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r) A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．27．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1169．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:311．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 ．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =-，521a =+，则2326372a a a a a ++等于 ．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2:1AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 ．16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2nn S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20．（12分）如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC CE =，点F 为CE 的中点．（1）若2BE BC CD ===，求三棱锥D BFC -的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(3n a b =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．10【解答】解：由等差数列{}n a 的性质，及1353a a a ++=， 333a ∴=， 31a ∴=，15535()552a a S a +∴===． 故选：A ．2．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．20【解答】解：每个个体被抽到的概率等于9013602701809=++，甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为1270309⨯=，故选：C ．3．（5分）已知向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，∴(4,2)a b m +=+rr，若“//()a a b +r r r ”则2240m +-⨯=，解得：6m =，故“6m =”是“//()a a b +rr r ”的充分必要条件，故选：A ．4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r )A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 【解答】解：在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11()22AB AB AC =-⨯+u u u r u u u r u u u r3144AB AC =-u u ur u u u r ， 故选：A ．6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．2【解答】解：Q 在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，∴1sin 2AB AC A =g g ，即122AC ⨯⨯=， 解得：1AC =，由余弦定理得：2222cos 1423BC AC AB AC AB A =+-=+-=g g ，则BC = 故选：B ．7．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 正确，由图可知，结余最高为7月份，为802060-=，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D错误，故选：D．8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为()A．53B．103C．56D．116【解答】解：设五个人所分得的面包为2a d-，a d-，a，a d+，2a d+，（其中0)d>；则，(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a-+-+++++==，20a∴=；由1(2)27a a d a d a d a d++++=-+-，得337(23)a d a d+=-；2411d a∴=，55/6d∴=；所以，最小的1分为110522063a d-=-=．故选：A ．9．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+【解答】解：340a b +>Q ，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b ab +=Q ， 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)121212123(4)72(4)743744444a a ab a a a a a a a a a a -++=+=+=++=-++-+=+-----g …，当且仅当423a =+取等号． 故选：D ．10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:3【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，ABC ACD S S ∆∆∴=． D PAC P ACD P ABC V V V ---∴==． 2NB PN =Q ，23NB PB ∴=，23N ABC P ABCV V --∴=，13N PAC P ABC N ABC P ABC V V V V ----∴=-=．∴13N ABC D PAC V V --=． 故选：D ．11．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π【解答】解：取AD 的中点E ，Q 平面PAD ⊥平面ABC ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆ 为等腰直角三角形，∴四棱锥P ABCD -的外接球的球心为正方形ABCD 的中心O ，设半径为R ，则OE AD ⊥Q ，1PE = 112R ∴=+=，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为8π．故选：D ．12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：ABC ∆中设AB c =，BC a =，AC b =sin cos sin B A C =Q g ，sin()sin cos A C C A +=，即sin cos sin cos sin cos A C C A C A += sin cos 0A C ∴=sin 0cos 0A C ≠∴=Q 90C =︒Q 9AB AC =u u u r u u u rg ，6ABC S ∆=cos 9bc A ∴=，1sin 62bc A =4tan 3A ∴=，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =5c ∴=，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得(0C ，0)(3A ，0)(0B ，4)P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3CP CA CB λλλ=+-=u u u r u u u r u u u r ，44)(01)λλ-剟 设1||CAe CA =u u u r u r u u ur ，2||CB e CB =u u u ru u r u u u r 则12||||1e e ==u r u u r ， 1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r，∴(||||CA CBCP x y x CA CB =+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，0)(0+，)(y x =，)y 可得3x λ=，44y λ=-则4312x y +=， 1243212x y xy =+…，3xy „故所求的xy 最大值为：3． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 2 ．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，1170(12451011)1757x +⨯++++++=，即1(33)57x ⨯+=， 即3335x +=， 解得2x =． 故答案为：2．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =，521a ，则2326372a a a a a ++等于 8 ．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{}n a 中， 321a Q ，521a =，2326372a a a a a ∴++2233552a a a a =++235()a a =+2(2121)= 8=．故答案为：8．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 60︒ ．【解答】解：取11A C 的中点1D ，连接11B D ，D Q 是AC 的中点，11//B D BD ∴，11AB D ∴∠即为异面直线1AB 与BD 所成的角．连接1AD ，设AB a =，则12AA a =，13AB a ∴=，113B D ，2213242a AD a a =+=． 22211393144cos 23232a a a AB D a a+-∴∠==⨯⨯， 1160AB D ∴∠=︒．故答案为：60︒16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BE CF 的取值范围为 1(4，7)8． 【解答】解：设AB c =，AC b =，BC a =， 由题意得，3cos 3cos 2a B b A b +=，则由正弦定理可得：3sin cos 3sin cos 2sin A B B A B +=，即3sin()3sin 2sin A B C B +==，由正弦定理得，32c b =，即32b c =，Q 点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴由中线长定理得，222221112()2224BE a c b a c =+-=- 222221172()2222CF a b c a c =+-+∴BE CF ==a b c <+Q 且a c b +>，∴1522c a c <<，则1522a c <<， ∴2125()44a c <<， 2742()162a c ∴<+<，则1748， 则BF CF 的取值范围是1(4，7)8． 故答案为：1(4，7)8．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2n n S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，11a S =，由111111122S a a a +=+=，得：123a =．当2n …时，11111,122n n n n S a S a --=-=-．则111()2n n n n S S a a ---=-，即11()2n n n a a a -=-，所以11(2)3n n a a n -=…．Q 1203a =≠，∴113n n a a -=．故数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．故11*1211()2()()333n n n n a a q n N --===∈g g ．（Ⅱ）Q 112n n S a +=，∴112n n S a -=．∴1111331(1)()13n n n b log Slog n ++=-==+．∴11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++． 所以，1223111111111111()()()233412222(2)n n n nT b b b b b b n n n n +=++⋯+=-+-+⋯+-=-=++++． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．【解答】证明：（1）1BB ⊥Q 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 1AB BB ∴⊥又AB BC ⊥，1BB BC B =I ，AB ∴⊥平面11B BCC而AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC（2）取AC 的中点G ，连结1C G 、FG ，F Q 为BC 的中点，//FG AB ∴又E 为11A C 的中点1//C E AG ∴，且1C E AG =∴四边形1AEC G 为平行四边形，1//AE C G ∴∴平面1//C GF 平面EAB ，而1C F ⊂平面1C GF ，1//C F∴平面EAB．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：10(0.0100.0150.0300.010)1a++++=，解得0.035a=．（2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁，设中位数为x，则100.010100.015(35)0.0350.5x⨯+⨯+-⨯=，解得42.1x=岁．20．（12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC CE=，点F为CE的中点．（1）若2BE BC CD===，求三棱锥D BFC-的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，DC BC ⊥，DC ∴⊥平面BCE ，2BE BC CD ===Q ，∴1113(13)2332D BFC BFC V S DC -==⨯⨯⨯⨯=g ； （2）当P 为AE 中点时，有PM BE ⊥．证明如下：取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，P Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，//PH AB ∴，又//AB CD ，//PH CD ∴，则P ，H ，C ，D 四点共面． Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =， CD ⊂平面ABCD ，CD BC ⊥，CD ∴⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，CD BE ∴⊥，BC CE =Q ，H 为BE 的中点，CH BE ∴⊥，又CD CH C =I ，BE ∴⊥平面DPHC ，又PM ⊂平面DPHC ，BE PM ∴⊥，即PM BE ⊥．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．【解答】解：（1）Q (sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =-r ，)b c +，且m n ⊥r r，sin ()(sin sin )()0A a B C b c ∴+-+=，利用正弦定理化简得：()()()0a a b c b c ++-=，即222a b c +-=，222cos 22a b c C ab +-∴==， (0,)C π∈Q ，6C π∴=；（2）由（1）得56A B π+=，即56B A π=-， 又ABC ∆为锐角三角形， ∴506202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：32A ππ<<，1c =Q ，∴由正弦定理得：12sin sin sin sin 6a b c A B C π====， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴2sin 2sin()2sin cos 2cos sin cos 2sin()6666b A B A A A A A A A A ππππ-=-=-+=---=-， Q32A ππ<<，∴663A πππ<-<，∴1sin()26A π<-<12sin()6A π<-<b -的取值范围为．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…【解答】解：（1）证明：121111222244222222n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a ++++++-----===-----， 而124b -={2}n b ∴-是以4为首项2为公比的等比数列，112222n n n n b b ++-==+即11222n n n a a ++-=+，1111222n n n n n a a ++-=+累加法可求出111()222n n n a n -=+- ∴1(21)22n n a n -=+-；（2）111(21)22n n n c a n -==+-， 123111,,826c c c ===1458.09364k T k ⇒剠，2459.1364k T k ⇒剠，3459.41364kT k ⇒剠由条件知当4n …时，122n n -…， 即121111111()(21)22422(22)(21)(21)(21)22121n n c n n n n n n n n n -==<=-+-+-+-+--+„ ∴123451121111899189945()()9.910427217282(21)728364n n n kT c c c c c c c k n n -=+++++⋯++<+-=-<⇒++剠而*k N ∈综上所述k 的最小值为10．。
重庆市四区2018-2019学年高一数学下学期联合期末考试评估试题(含解析)
5
，
a2·a6
4
，
bn log2an ，数列
bn
的前
n
项和为 Sn ，则当
S1 1
S2 1
Sn n
取最大值时，n
的值为（
）
A. 8
B. 9
C. 8 或 9
D. 17
【答案】C
【解析】
∵ an为等比数列，公比为 q (0,1) ，且 a3 a5 5，a2 a6 4
{a3 a5 5 ∴ a3 a5 4
23 【答案】 3
【解析】 【分析】
利用 a, b, c 成等比数列得到 c2 b2 a2 bc ，再利用余弦定理可得 A 60 ，而根据正弦定
理和
a,
b, c
成等比数列有
c b sin
B
1 sin
A
，从而得到所求之值.
【详解】∵ a, b, c 成等比数列，∴ b2 ac .又∵ a2 c2 ac bc ，∴ c2 b2 a2 bc .
a1
而
an
a2
an1
a3
an2
2Sn n
，
6Sn 4
所以 n
，故 n 27 ，选 C.
【点睛】一般地，如果
an
为等差数列，
Sn
为其前
n
项和，则有性质：
（1）若 m, n, p, q N*, m n p q ，则 am an ap aq ；
（2）
Sn
n ak
an1k 2
,k
1, 2,, n
【解析】
【分析】
S6 利用前 n 项和 Sn 的性质可求 S4 的值.
【详解】设 Sn an2 bn ，则