对数运算与换底公式
3.注意公式的正用和逆用。
4.注意底数和真数的范围。
训练
1.求 log2 3 鬃log3 7 log7 8的值.
2.求 9log3 x - 7 - log49 x2 12 > 0的解集.
已知f (x ) = x 2 + (lga + 2)x + lgb, f (- 1) = - 2,当x ? R 时f (x ) ? 2x 恒成立, 求实数a的值, 并求此时f (x )的最小值 ?
⑵
M loga N loga M loga N
⑶ loga M n n loga M (n R)
①简记为：“积的对数 = 对数的和” “商的对数 = 对数的差
“n次方的对数”= 对数的n倍” ②注意公式的正用和逆用
③注意底数和真数的取值范围
知识探究（一）：对数的换底公式
思考1:假设 log2 5 x ，则
=
logc N logc a
(a,c > 0且a,c ? 1, NN n =
n m loga N
(a > 0且a ? 1,N 0,m ? 0)
(2).
loga b =
1 logb a
(a,b > 0且a,b ? 1)
变形为loga b ?logb a 1
(a,b > 0且a,b ? 1)
变形为loga b ?logb a 1
例1. log 4 鬃log 5 log 8 ?log 9
3
4
5
8
利用换底公式计 (1) log2 5 log5 3 log3 2
(2) log4 5 log8 5
例2. 解方程 : log3(x - 1) = log9(x + 5) .
p logc N logc a
即 log a
N
log c log c
N a
选底有什么要求吗? 公式有什么作用?
任意选，只要底有意义就行 把不同底换成同底
换底公式的推论1：
logam N n =
n m
loga
N
(a > 0且a ? 1,N
0,m ? 0)
换底公式的推论2
：
loga b =
1 logb a
log2
5
log2 3
x log2 3
log2
3x，从而有 3x
5.
进一步可得到什么结论？
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
换底公式：
loga N
=
logc N logc a
(a,c > 0且a,c ? 1, N 0)
由对数的定义得
证明 N = a p
： loga N = p
? logc N logc a p ? logc N p logc a
的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算
7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍（精确到1）.
归纳小结
1.换底公式
loga N
2.2.1 对数与对数运算 换底公式及对数运算的应用
知识回顾
1.指数与对数的换算:
ab N b loga N
2.对数运算的三个常用结论:
(1)
loga
a
.
1
(2) loga 1 0
(3) aloga N N
复习回顾
对数的运算性质
如果a > 0,a ? 1, M 0, N > 0,那么
⑴ loga (MN ) loga M loga N 可推广到n个
例3 计算：
(1) log 8 9 log 27 32
(2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）
(3) 设 log3 4 鬃log4 8 log8 m = log4 16, 求m的值.
巩固练习：
1: 设 3a 5b m，已知 1 1 2,
=
logN 6 -
logN 3
6 = logN 3
= logN 2.
而1 = 1 2y 2 log4 N
\ 1- 1 = 1 . z x 2y
=
1 2
logN
4
=
1
logN 42 =
logN
2.
例: 20世纪30年代，里克特制订了一种表明
地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说
求m 的值.
ab
2. 若x, y, z > 0, 且 3x = 4y = 6z , 求证 : 1 - 1 = 1 . z x 2y
证明 : 设3x = 4y = 6z = N , 由对数定义得
x = log3 N , y = log4 N , z = log6 N ,
1z
11
=
-
x log6 N
1 log3 N
对数的运算及换底公式2012.10.27
关系： １．关系： a b = N
指数式
b = log a N
对数式
a
指数式 a b = N 对数式 log a N = b 底数 对数的底数
N
幂 真数
b
指数 对数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N 特殊对数： ） 为底的对数； 特殊对数 为底的对数 2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N ）自然对数 为底的对数； 3.重要结论：1）log a a = 1；2）log a 1 = 0 重要结论： ） 重要结论 ； ） 4.对数恒等式：a log a N = N 对数恒等式： 对数恒等式
n N = log a N m
n
(a, c ∈ (0,1) U (1,+∞), N > 0) a, b ∈ (0,1) U (1,+∞)
1、计算： (1) log 5 35 －2log 5 、计算：
7 + log 5 7 －log 5 1. 8 3
(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2
解法一： 解法一： 解法二： 解法二：
7 7 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 lg 14 − 2 lg + lg 7 − lg 18 3 3 7 7 2 = lg 14 − lg( ) + lg 7 − lg 18 = lg(2 × 7) − 2 lg 3 3 2 + lg 7 − lg(2 × 3 ) 14 × 7 = lg 7 2 = lg 2 + lg 7 − 2(lg 7 − lg 3) ( ) × 18 3 + lg 7 − (lg 2 + 2 lg 3) = lg 1 = 0 =0
对数的运算法则及公式是什么
对数的运算法则及公式是什么在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的指数。
对数的运算法则和公式是数学中对数运算的基本准则和表达方式。
本文将重点介绍对数的运算法则及公式。
一、对数的定义和符号对数是指数的逆运算，主要用于求指数运算的未知数。
以底数为a，对数为n的运算表达为：a^n = x，其中n为指数，a为底数，x为真数。
对数的符号为log。
例如，对于底数为2的对数运算：2^3 = 8，可以表示为log2(8)=3。
其中，2为底数，3为指数，8为真数。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则(1) 乘法法则：loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) 除法法则：loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
(3) 幂运算法则：loga(M^k) = k*loga(M)。
(4) 开方法则：loga√M = 1/2 * loga(M)。
2. 对数换底公式对数换底公式是指当底数不同时，如何在不同底数之间进行换算。
常用的对数换底公式有以下两种形式：(1) loga(M) = logc(M) / logc(a)，其中c为任意常数。
(2) loga(M) = ln(M) / ln(a)，其中ln表示自然对数。
三、对数公式1. 对数幂的对数公式对数幂的对数公式是指对数运算中底数为幂的情况，常用的对数幂的对数公式有以下两种形式：(1) loga(a^k) = k，其中k为任意常数。
(2) loga(1) = 0。
2. 对数的乘法公式对数的乘法公式是指对数运算中底数相同，真数相乘的情况。
常用的对数的乘法公式有以下两种形式：(1) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) loga(a) = 1。
3. 对数的除法公式对数的除法公式是指对数运算中底数相同，真数相除的情况。
常用的对数的除法公式有以下两种形式：(1) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
换底公式的五个推论及其证明
换底公式的五个推论及其证明换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。
它有五个常用的推论，分别是：推论一：对数的乘法规则对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。
该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。
推论二：对数的除法规则对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。
该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。
推论三：对数的幂次规则对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。
该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。
推论四：对数函数的换底公式对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。
该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。
推论五：自然对数的换底公式自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。
该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。
下面对这五个推论进行证明：证明推论一：假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。
又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。
同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。
将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。
由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。
2.2.1对数与对数运算(2)--换底公式及对数运算的应用
lg 2 lg 4 lg 8 (lg 2 lg 4 lg 8 ) lg 5 lg 25 lg125
(3lg 5 2 lg 5 lg 5 ) (lg 2 2 lg 2 3lg 2) lg 2 2 lg 2 3lg 2 lg 5 2 lg 5 3lg 5
思考：如何用以10为底的对数来计算 log2 5
解析：log2 5 x
2x 5 lg 2x lg 5 x lg 2 lg 5 x lg 5
lg 2
用类似的方法推导换底公式
我们把
log
a
b
logc logc
b a
（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）
叫做对数换底公式
补充例1.
(1) log 8 9 log 27 32 ;
解 : 原式 lg 9 lg 32 2 lg 3 5lg 2
lg 8 lg 27 3lg 2 3lg 3 10
9
(2).(log2 125 log4 25 log8 5) (log5 2 log25 4 log125 8)
2.2.1 对数与对数运算(2) 换底公式及对数运算的应用 寿县一中：邓红
知识回顾
1.对数运算有哪三条基本性质？
（1）loga M loga N loga (M N )
（2）loga
M
loga
N
பைடு நூலகம்loga
M N
（3）loga M n n loga M
2.对数运算有哪.三个常用结论？
的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距
对数的运算
③原式＝lg 25＋lg 8 ＋lg ·lg(10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.
【答案】(1)B(2)－1(3)见解析
(1)用对数运算性质把所求式化为用lg2和lg3表示的形式．
(2a1＝0的综合应用．
方法归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
又因为log2×1818＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以原式＝ .
跟踪训练1求下列各式的值：
(1)log318－log36；(2)log 3＋2log 2；
(3)log2 ＋log2 ；(4) .
解析：(1)原式＝log3 ＝log33＝1.
(2)原式＝log 3＋log 4＝log 12＝－1.
(3)原式＝log2[ ]
＝log2 ＝log2 ＝log24＝2.
[
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()
(2)loga(xy)＝logax·logay.()
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()
(4)由换底公式可得logab＝ .()
答案：(1)√(2)×(3)×(4)×
2．下列等式成立的是()
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
对数底数转换公式
对数底数转换公式对数底数转换公式是数学中常用的一种方法，它可以将一个对数的底数转换成另一个底数的对数。
在解决数学问题时，我们经常会遇到需要不同底数的对数进行运算的情况，这时候就需要用到对数底数转换公式。
对数底数转换公式的表达方式如下：logₐb = logₐc * log_cb其中，logₐb表示以a为底数的b的对数，logₐc表示以a为底数的c的对数，log_cb表示以c为底数的b的对数。
这个公式可以帮助我们将一个对数的底数转换成另一个底数的对数。
为了更好地理解对数底数转换公式，下面我们通过几个实际的例子来进行说明。
例子1：假设我们需要计算以10为底数的1000的对数，但是我们只知道以2为底数的1000的对数。
这时候，我们可以利用对数底数转换公式来进行计算。
根据对数底数转换公式，我们可以将以10为底数的1000的对数转换成以2为底数的1000的对数。
首先，我们需要知道以2为底数的10的对数，我们可以使用换底公式来计算log₂10：log₂10 = log₁₀10 / log₁₀2 ≈ 3.32接着，我们将以10为底数的1000的对数转换成以2为底数的1000的对数：log₁₀1000 = log₂1000 * log₁₀2 ≈ 9.97所以，以10为底数的1000的对数约等于9.97。
例子2：假设我们需要计算以e为底数的100的对数，但是我们只知道以10为底数的100的对数。
这时候，我们同样可以利用对数底数转换公式来进行计算。
我们需要知道以10为底数的e的对数，我们可以使用换底公式来计算log₁₀e：log₁₀e = 1 / logₑ10 ≈ 0.43接着，我们将以10为底数的100的对数转换成以e为底数的100的对数：log₁₀100 = logₑ100 * log₁₀e ≈ 4.61所以，以e为底数的100的对数约等于4.61。
通过以上两个例子，我们可以看到对数底数转换公式的实际应用。
它可以帮助我们在不知道一个底数的对数的情况下，通过已知底数的对数来计算出所需底数的对数。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
2.8换底公式及对数运算的应用
的值？ 的值？ 思考6:换底公式在对数运算中有什么意 思考6:换底公式在对数运算中有什么意 6: 义和作用？ 义和作用？
探究2： 探究 ：换底公式的变式
思考1: 有什么关系？ 思考1:loga b 与 logb a 有什么关系？
思考2: 有什么关系？ 思考2: log n N与 loga N 有什么关系？ a
a≠1； 0 c≠1； 0 （a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0） 0 叫做对数换底公式 该公式有什么特征？ 对数换底公式， 叫做对数换底公式，该公式有什么特征？
思考5:通过计算器可得任何一个正数的 思考5:通过计算器可得任何一个正数的 5:
18 常用对数， 常用对数，利用换底公式如何求 log1.01 13
作业： 作业： (1)作业本 (1)作业本 习题2.2A 2.2A组 (2)P83 习题2.2A组： 6，11，12. 11，
20世纪30年代 世纪30年代， 例2 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大 小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级， 小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震 能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是 我们常说的里氏震级M 我们常说的里氏震级M，其计算公式为 lgA－ M＝lgA－lgA0, 其中A是被测地震的最大振幅， 其中A是被测地震的最大振幅， 标准地震” A0是“标准地震”的振幅 (使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成 的偏差). 的偏差). (1)假设在一次地震中 一个距离震中100 假设在一次地震中， 100千米的测震仪记 (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记 录的地震最大振幅是20 此时标准地震的振幅是0.001 20， 0.001， 录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001， 计算这次地震的震级（精确到0.1 0.1）； 计算这次地震的震级（精确到0.1）； (2)5级地震给人的震感已比较明显 计算7.6 级地震给人的震感已比较明显， 7.6级地震的最 (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最 大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1 大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.