2019年江苏省中考数学真题分类汇编 专题06 方程与不等式之解答题(原卷版)
专题06 方程与不等式之解答题
一．解答题（共16小题）
1．（2019•盐城）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
2．（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
3．（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，
并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
4．（2019•苏州）解不等式组：
5．（2019•盐城）解不等式组：
6．（2019•连云港）解不等式组
7．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
8．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．
9．（2019•南京）解方程：1．
10．（2019•镇江）（1）解方程：1；
（2）解不等式：4（x﹣1）x
11．（2019•徐州）（1）解方程：1
（2）解不等式组：
12．（2019•常州）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
13．（2019•扬州）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？
14．（2019•无锡）解方程：
（1）x2﹣2x﹣5＝0；
（2）．
15．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
16．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？。
2019年江苏省中考数学真题分类汇编 专题05 方程与不等式之填空题(原卷版)
5．（2019•泰州）不等式组 的解集为．
6．（2019•淮安）方程 1的解是．
7．（2019•宿迁）关于x的分式方程 1的解为正数，则a的取值范围是．
8．（2019•镇江）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．
9．（2019•泰州）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．
10．（2019•南京）已知2 是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝．
11．（2019•连云港）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则 c的值等于．
12．（2019•扬州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．
13．（2019•盐城）设x1、x2是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1（共14小题）
1．（2019•常州）若 是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．
2．（2019•苏州）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．
3．（2019•宿迁）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为．
14．（2019•徐州）方程x2﹣4＝0的解是．
2019年江苏省苏州市中考数学试卷(详解版)
2019年江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题， 每小题3分，共30分）答案解析A.B.C.D.的相反数是（）．1D的相反数是，故选：．答案解析A.B.C.D.有一组数据：，，，，，这组数据的中位数为（）．2B这组数据排列排序为：，，，，，∴这组数据的中位数为．故选．答案解析A.B.C. D.苏州是全国重点旅游城市，年实现旅游总收入约为万元，数据用科学记数法可表示为（）．3D 将用科学记数法表示为：．故选．4如图，已知直线5如图，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故选：．答案解析A.B.C.D.小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（）．6A设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为，故选．答案解析A.B.C.D.若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则不等式的解为（）．7D如图所示：不等式的解为：．故选：．8如图，小亮为了测量校园里教学楼9如图，菱形10如图，在11计算：12因式分解：13若14若15“16如图，讲一个棱长为17如图，扇形18如图，一块含有19计算：20解不等式组：21先化简，在求值：22在一个不透明的盒子中装有23某校计划组织学生参加24如图，25如图，26如图，答案解析若，求的值．(3)证明见解析．(1)证明见解析．(2)．(3)∵点是中点，是圆半径，∴，∵是圆的直径，∴，∴．(1)∵，∴，∴，∴．(2)∵，∴和的相似比为：，设：，则，，，∴，即和的相似比为，设：，则，，，∴，，∴．(3)已知矩形中，．点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点）．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．2728如图①，抛物线∴、到的距离相等，∴，设直线解析式为：，∵直线经过点，所以：直线的解析式为，联立，解得：，∴点坐标为，又∵，可得：≌，可得：≌，∴，设，由得：，解得：，（舍去），∴坐标为．。
2019年江苏省中考数学真题分类汇编 专题04 方程与不等式之选择题(原卷版)
专题04 方程与不等式之选择题
一．选择题（共7小题）
1．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）A．
B．
C．
D．
3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．（2019•苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）
A．B．C．D．
5．（2019•淮安）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
6．（2019•泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
7．（2019•盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定。
(完整版)江苏苏州2019中考试卷-数学(解析版)
江苏苏州2019中考试卷-数学（解析版）【一】选择题〔此题共10个小题，每题3分，共30分〕1、2的相反数是〔〕A、﹣2B、2C、﹣D、考点：相反数。
专题：常规题型。
分析：依照相反数的定义即可求解、解答：解：2的相反数等于﹣2、应选A、点评：此题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键、2、假设式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是〔〕A、x＜2B、x≤2C、x＞2D、x≥2考点：二次根式有意义的条件。
分析：依照二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解、解答：解：依照题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2、应选D、点评：此题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数、3、一组数据2，4，5，5，6的众数是〔〕考点：众数。
分析：依照众数的定义解答即可、解答：解：在2，4，5，5，6中，5出现了两次，次数最多，故众数为5、应选C、点评：此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，众数能够有多个、停止时，指针指向阴影区域的概率是〔〕A、B、C、D、考点：几何概率。
分析：确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，依照那个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率、解答：解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；应选B、点评：此题考查了几何概率、用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比、5、如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，那么∠BDC的度数是〔〕A、20°B、25°C、30°D、40°考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系。
分析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数、解答：解：∵=，∠AOB=60°，∴∠BDC=∠AOB=30°、应选C、点评：此题考查了圆周角定理、此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用、6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，假设AC=4，那么四边形CODE的周长〔〕A、4B、6C、8D、10考点：菱形的判定与性质；矩形的性质。
2019年江苏省中考数学附解析
2019年江苏省中考数学学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．tan30°的值等于（ ）A ．12B ．32C ．33D ．32．如图，BD 是△ABC 的角平分线，∠ADB=∠DEB ，则与△ABD 相似的三角形是（ ）A ． △DBCB ．△DEC C ．△ABCD ．△DBE3． 若代数式232x x ++的值为 6，则代数式2395x x +−的值为（ ）A ．17B ．7C ．0D ．-74．利用反证法证明“三角形中至少有1个内角不小于60°”应先假设（ ）A ．三角形每个内角都大于60°B ．三角形有一个内角大于60°C ．三角形每个内角都小于60°D ．三角形有一个内角小于60° 5．以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．6 6．在对50个数进行整理的频数分布表中，各组的频数之和与频率之和分别等于 （ ）A ．50，1B ． 50，50C ．1，50D ．1，1 7．某商场的营业额2002年比2001年上升10％，2003年比2002年又上升l0％，而2004年和2005年连续两年平均每年比上年降低10％，那么2005年的营业额比2001年的营业额 （ ）A ．降低了2％B ．没有变化C ．上升了2％D ．降低了l ．99％8．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则图中显示出某药品A 的质量范围是（ ）A ．大于2 gB ．小于3 gC ．大于2 g 或小于3 gD ．大于2 g 且小于3 g9．如果不等式组731x x x n +<−⎧⎨>⎩的解集是4x >，那么n 的取值范围是（ ）A ．4n ≥B ．4n ≤C ．4n =D ．64n <10．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（ ）11．下列事件中，属于随机事件的是（ ）A ．掷一枚普通正六面体骰子所得点数不超过 6B ．买一张体育彩票中奖C ．太阳从西边落下D ．口袋中只装有 10个红球，从中摸出一个白球12．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．321x −B ．21x −−C ．21x +D ．21x −+13．下列各图中，是轴对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．把多项式22()4()x y x y −+−分解因式，其正确的结果是（ ） A ．(22)(2)x y x y x y x y +−−++− B ．(53)(53)x y y x −−C ．(3)(3)x y y x −−D ． (3)(2)x y y x −− 二、填空题15．两圆内切，圆心距等于 3 cm ，一个圆的半径为 5 cm ，则另一个圆的半径是 cm ．16．两圆半径分别为2、3，两圆圆心距为d ，则两圆相交时d 的取值范围为 ．17．课堂上老师用投影仪在屏幕上投影了一蝠风景图，它和原图是 ．18．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们具有很多共性，如： (填一条即可）．19．如图所示，已知：∠l=∠2=∠3，EF ⊥AB 于点F ．求证：CD ⊥AB ．证明：∵∠1=∠2( )．∴ ∥ ( )． ∴∠ADG= ( )． ∵∠l=∠3( )，∴∠ADG+∠1= + ．∵EF ⊥AB( )，∴∠B+∠3=180°-90°=90° ( )．∴∠ADG+∠1=90°．∴CD ⊥AB( )．20．如图，若AB CD ∥，EF 与AB CD ，分别相交于点E F EP EF EFD ∠，，，⊥的平分线与EP 相交于点P ，且40BEP ∠=，则EPF ∠= 度．21．如图，将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转70°后与△ADE 重合，已知∠B=105°，∠E=30°，那么∠BAE= 度.22． 有四张不透明的卡片的正面分别写有 2，227，π，2，除正面的数不同外，其余都相同. 将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 .23．根据图，完成下列填空：∠BOD=∠B0C+ ；∠AOC= + ；∠AOB= + + ；∠AOD+∠BOC= - ．24．用代数式表示：(1)a 的平方根(a ≥0) ；(2)a 的立方根 ．25．若一个数的平方等于3，则这个数是 .三、解答题26．如图，已知在⊙O 中，AB 为弦，C 、D 两点在 AB 上，且 AC= BD ．请你仔细观察后回答，图中共有几个等腰三角形？把它们写出来，并说明理由．27．如图，□ABCD 中，已知BC=AB=2 cm ，O 是对角线AC ，BD 的交点，则△AOB 的周长比△BOC 的周长短多少？28．已知关于x 的方程11x a =+的解是3x =，求关于y 的不等式(3)6a y −<−的解集．29．如图，△ABC 的顶点A 平移到了点D ，请你作出△ABC 经平移变换后所得的像．30．现有一条直径为l2 cm 的圆柱形铅柱，若要铸造12个直径为l2 cm 的铅球，应截取多长的铅柱(损耗不计)?(球的体积公式343R π，R 为球半径)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．B4．C5．D6．A7．D8．D9．B10．C11．B12．D13．B14．C二、填空题15．2 或816．1<d<517．相似形18．略（只要符合即可）19．已知；DG；BC；内错角相等，两直线平行；∠B；两直线平行，同位角相等；已知；∠B；∠3；已知；三角形的内角和为l80°；垂直的定义20．6521．2522．123．2∠DOC；∠AOD，∠DOC；∠AOD，∠DOC，∠COB；∠AOB，∠DOC24．(1)25．三、解答题26．共有 2 个等腰三角形：△QAB 和△OCD．∵OA=OB，∴△QAB 是等腰三角形．OA=OB，∴∠A=∠B．∵AC=BD．.∴△OAC≌△OBD(SAS)，OC=OD，∴△OCD是等腰三角形.27．2cm28．解：根据题意可得，311a=+，两边同乘以(1)a+得：31a=+，2a∴=(3)6a y−<−即(23)6y−<−，6y−<−，∴不等式的解集为6y>．29．略30．96cm。
江苏省2019年13地市中考数学解答题汇总 含解析
江苏省2019年13地市中考数学解答题汇总南京市解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）【解答】解：（x+y）（x2﹣xy+y2），＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，＝x3+y3．故答案为：x3+y3．18．（7分）解方程：﹣1＝．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，即x2+x﹣x2+1＝3，解得x＝2检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，∴x＝2是原方程的解，故原分式方程的解是x＝2．19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是＝＝24，＝＝18，方差分别是＝＝0.8，＝＝8.8，∴＜，∴该市这5天的日最低气温波动大；（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是．【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；故答案为：．22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．23．（8分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，解得x＜；（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；当0＜k≤1时，y1＞y2．24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m 的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）【解答】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的长度为323m．25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，则CD＝x，AD＝x，∵AD+CD＝AC，∴+x＝3，∴x＝，∴CD＝x＝，观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．∵DG∥AB，∴＝，∴＝，解得m＝，∴CD＝3﹣＝，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．∵DG∥AB，∴＝，∴＝，∴n＝，∴CG＝4﹣＝，∴CD＝＝，观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．27．（11分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是（1，2）．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，∵0≤x≤2，∴x+y＝3，∴，解得：，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0，∴，，∴，∴x2+4＝3x，∴x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵，又x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．∵∠EFH ＝45°，∴EH ＝HF ，d （O ，E ）＝OH +EH ＝OF ，同理d （O ，P ）＝OG ，∵OG ≥OF ，∴d （O ，P ）≥d （O ，E ），∴上述方案修建的道路最短．苏州市解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要得计算过程，推演步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔.19.（本题满分5分）计算： 【解答】解：20.（本题满分5分）【解答】解：由①得由②得21.（本题满分6分）先化简，再求值：，其中. 【解答】解：原式()2022π+---321=+-原式4=()152437x x x +<⎧⎪⎨+>+⎪⎩解不等式组：15x +<4x <()2437x x +>+2837x x +>+1x ->-1x <1x <所以2361693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭3x =()233633x x x x -+-=÷++()23333x x x x --=÷++()23333x x x x -+=⋅-+代入 原式22.(本题满分6分)在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.(1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ；(2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解). 【解答】解：（1）（2）答：从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是，抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为. 23.(本题满分8分)某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴题小組.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情況,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)； （2）（3）若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？13x =+3x ===1282123P ==1223________, ________;m n ==（2）（3）选择“围棋”课外兴趣小组的人数为答：参加问卷调查的学生人数为，，选择“围棋”课外兴趣小组的人数为.24.(本题满分8分)如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；，求的度数.36,16m n==()241200=192150⨯人150人36,16m n==192人ABC△E BC AE AB=AC A AF CAF BAE∠=∠EF EF AC G EF BC=FGC∠BAC EAF∴∠=∠AE AB AC AF==Q又，()BAC EAF SAS∴△≌△（2） 25.(本题满分8分)如图，为反比例函数图像上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且（1）求的值；（2）过点作，交反比例函数的图像于点，连接交于点，求的值.【解答】解：（1）过点作交轴于点，交于点.（2）EF BC ∴=65AB AE ABC =∠=︒Q ，18065250BAE ∴∠=︒-︒⨯=︒50FAG ∴∠=︒BAC EAF Q 又△≌△28F C ∴∠=∠=︒502878FGC ∴∠=︒+︒=︒A ky x =()0x >其中x B 4OB =OA AB OA AB ==k B BC OB ⊥ky x=()0x >其中C OC AB D ADDBA AH OB ⊥x H OC M 4OA AB OB ===Q 2OH ∴=6AH ∴=()2,6A ∴12k ∴=124x y x==将代入()4,3D 得3BC ∴=1322MH BC ==Q 92AM ∴=AH x BC x ⊥⊥Q 轴，轴AH BC ∴∥ADM BDC ∴△∽△26.（本题满分10分）如图，AE 为的直径，D 是弧BC 的中点BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F . （1）求证：；（2）求证：;（3）若,求的值.【解析】（1）证明：∵D 为弧BC 的中点，OD 为的半径 ∴又∵AB 为的直径 ∴ ∴（2）证明：∵D 为弧BC 的中点 ∴ ∴∴∴ 即（3）解：∵， ∴设CD =，则DE =， 又∵ ∴∴所以又∴ 即 32AD AM BD BC ∴==O e DO AC ∥2DE DA DC ⋅=1tan 2CAD ∠=sin CDA ∠O e OD BC ⊥O e 90ACB ∠=︒AC OD ∥»»CDBD =DCB DAC ∠=∠DCE DAC ∆∆∽DC DEDA DC =2DE DA DC ⋅=DCE DAC ∆∆∽1tan 2CAD ∠=12CD DE CE DA DC AC ===2a a 4DA a =AC OD ∥AEC DEF ∆∽3CE AEEF DE==83BC CE =2AC CE =103AB CE =3sin sin 5CA CDA CBA AB ∠=∠==27．（本题满分10分）已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），的面积为S （cm ²），S 与t 的函数关系如图②所示： （1）直接写出动点M 的运动速度为 ，BC 的长度为 ;（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为.已知两动点M 、N 经过时间在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时的面积为.①求动点N 运动速度的取值范围;②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）2；10（2）①解：∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴∴②如右图=15过M 点做MH ⊥AC ，则A B C →→APM ∆/cm s cm D C B →→()/v cm s ()x s APM DPN ∆∆与()()2212,S cm S cm ()/v cm s 12S S ⋅12S S ⋅x ①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.5/cm s cm 57.515 2.5C vB v⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜在点在点2/6/3cm s v cm s ≤＜12()PAD CDM ABM N ABCD SS S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---12MH CM ==2x-5(N )∴∴= =因为，所以当时，取最大值.28．（本题满分10分）如图①，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y轴交于点C ，已知的面积为6. （1）求的值；（2）求外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，的面积为，且，求点Q 的坐标.（图①） （图②） 【解析】（1）解：由题意得 由图知：所以A ()，, =6∴（2）由（1）得A ()，, ∴直线AC 得解析式为：112152S MH AP x =⋅=-+22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅2430x x -+215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭152.57.54＜＜154x =12S S ⋅22542(1)y x a x a =-++-ABC ∆a ABC ∆QPB ∆2d PAQ AQB ∠=∠()()1y x x a =---0a ＜,0a ()1,0B ()0,C a -()()112ABC S a a ∆=-⋅-34()a a =-=或舍3a =--3,0()1,0B ()0,3C 3y x =+AC 中点坐标为∴AC 的垂直平分线为： 又∵AB 的垂直平分线为： ∴ 得外接圆圆心的坐标（-1，1）.（3）解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，∴=2d∵的面积为∴，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴设PB 直线解析式为;过点 ∴∴易得 所以P (-4,-5),由题意及 易得： ∴BQ =AP设Q （m ，-1）()∴∴Q33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭y x =-1x =-1y x x =-⎧⎨=-⎩11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆12ABP S PD AB ∆=⋅QPB ∆2d ABP BPQ S S ∆∆=AQ PB ∥y x b =+(1,0)B 1y x =-2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩45x y =-⎧⎨=⎩1()0x y =⎧⎨=⎩舍PAQ AQB ∠=∠ABQ QPA ∆∆≌0m ＜()221126m -+=4m =-()4,1-常州市解答题（本大题共10小题，共84分。
中考数学真题分项汇编(江苏专用)二次函数
中考数学真题分项汇编（江苏专用）专题06二次函数一、单选题(共0分)1．（2022·江苏泰州·中考真题）已知点(−3,y1),(−1,y2),(1,y3)在下列某一函数图像上，且y3<y1<y2那么这个函数是()A．y=3x B．y=3x2C．y=3x D．y=−3x【答案】D【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A．把点(−3,y1),(−1,y2),(1,y3)代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件y3<y1<y2不符，故选项错误，不符合题意；B．把点(−3,y1),(−1,y2),(1,y3)代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件y3<y1<y2不符，故选项错误，不符合题意；C．把点(−3,y1),(−1,y2),(1,y3)代入y=3x，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件y3<y1<y2不符，故选项错误，不符合题意；D．把点(−3,y1),(−1,y2),(1,y3)代入y=-3x，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以y3<y1<y2，这与已知条件y3<y1<y2相符，故选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．二、填空题(共0分)2．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），∵顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∵m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．3．（2022·江苏盐城·中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．【答案】1≤n<10【分析】先判断−2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=(m+1)2+1，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，∴−2<m<2，∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，∴n=m2+2m+2=(m+1)2+1，∴当m=−1时，n有最小值为1．当m=2时，n=(2+1)2+1=10，∴n的取值范围为1≤n<10.故答案为：1≤n<10【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．4．（2022·江苏南通·中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．【答案】m>3【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∵m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．6．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=−0.2x2+x+ 2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m．7．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A 种品牌粽子每袋的进价是25元，B 种品牌粽子每袋的进价是30元(2)当B 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；（2）设B 品牌粽子每袋的销售价降低a 元，利润为w 元，列出w 关于a 的函数关系式，求出函数的最值即可．【详解】（1）解：设A 种品牌粽子每袋的进价是x 元，B 种品牌粽子每袋的进价是y 元， 根据题意得，{100x +150y =7000180x +120y =8100 ，解得{x =25y =30，故A 种品牌粽子每袋的进价是25元，B 种品牌粽子每袋的进价是30元； （2）解：设B 品牌粽子每袋的销售价降低a 元，利润为w 元， 根据题意得，w =(54−a −30)(20+5a )=−5a 2+100a +480=−5(a −10)2+980， ∵−5<0，∵当B 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．9．（2022·江苏常州·中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +3的自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表：(2)将二次函数y =ax 2+bx +3的图像向右平移k(k >0)个单位，得到二次函数y =mx 2+nx +q 的图像，使得当−1<x <3时，y 随x 增大而增大；当4<x <5时，y 随x 增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数y =mx 2+nx +q 的表达式y =______，实数k 的取值范围是_______；(3)A 、B 、C 是二次函数y =ax 2+bx +3的图像上互不重合的三点．已知点A 、B 的横坐标分别是m 、m +1，点C 与点A 关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB 的度数．【答案】(1)y =−x 2−2x +3(2)y =−(x −3)2+4（答案不唯一），4≤k ≤5 (3)∵ACB =45°或135°【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线x =k −1，然后根据二次函数的增减性求出4≤k ≤5，即可得到答案；（3）先分别求出A 、B 、C 三点的坐标，然后求出x B −x C =2m +3，y B −y C =−2m −3，然后分四种情况讨论求解即可得到答案． （1）解：由题意得：{a −b +c =4a +b +c =0c =3，解得{a =−1b =−2 ，∵二次函数解析式为y =−x 2−2x +3； （2）解：∵原二次函数解析式为y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4 由题意得平移后的二次函数解析式为y =−(x +1−k )2+4， ∵平移后的二次函数对称轴为直线x =k −1，∵二次函数y =mx 2+nx +q 的图像，使得当−1<x <3时，y 随x 增大而增大；当4<x <5时，y 随x 增大而减小，且二次函数y =mx 2+nx +q 的开口向下， ∵3≤k −1≤4， ∵4≤k ≤5，∵符合题意的二次函数解析式可以为y =−(x +1−4)2+4=−(x −3)2+4； 故答案为：y =−(x −3)2+4（答案不唯一），4≤k ≤5； （3）解：∵二次函数解析式为y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4， ∵二次函数y =−x 2−2x +3的对称轴为直线x =−1， ∵A 、C 关于对称轴对称，点A 的横坐标为m ， ∵C 的横坐标为−2−m ，∵点A 的坐标为（m ，−m 2−2m +3），点C 的坐标为（−2−m ，−m 2−2m +3）， ∵点B 的横坐标为m +1，∵点B 的坐标为（m +1，−m 2−4m ）， ∵x B −x C =2m +3，y B −y C =−2m −3，如图1所示，当A 、B 同时在对称轴左侧时，过点B 作BE ∵x 轴于E ，交AC 于D ，连接BC ，∵A、C关于对称轴对称，∵AC∥x轴，∵BE⊥AC，∵x B−x C=2m+3，y B−y C=−2m−3，∵CD=−2m−3=BD，∵∵BDC是等腰直角三角形，∵∵ACB=45°，同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∵ACB=45°，如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，同理可证△BDC为等腰直角三角形，∵∵BCD=45°，∵∵ACB=135°，同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∵ACB=135°，综上所述，∵ACB=45°或135°【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．10．（2022·江苏常州·中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：∵函数表达式为y=x；∵函数表达式为y=x2；∵函数的图像关于原点对称；∵函数的图像关于y轴对称；∵函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，∵、∵放在不透明的盒子A中搅匀，∵、∵、∵放在不透明的盒子B中搅匀．(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到∵的概率是______；(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有∵、∵和∵、∵和∵、∵1(x>0)的图像相交于点B(3，1).与反比例函数y2=kx(1)求这两个函数的表达式；(2)当y1随x的增大而增大且y1<y2时，直接写出x的取值范围；(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图像相交于点E.若∵ACE与∵BDE的面积相等，求点E的坐标.≤x<3(2)32,2)(3)E(32【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）由图像直接得出结论即可；（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE=DE，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．（1）(x>0)的图解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx像相交于点B(3,1)，∴32+3m+1=1，k=1，3解得m=−3，k=3，(x>0)；∴二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，反比例函数的解析式为y2=3x（2）解：∵二次函数的解析式为y1=x2−3x+1，∴对称轴为直线x=3，2≤x<3；由图像知，当y1随x的增大而增大且y1<y2时，32（3）解：由题意作图如下：∵当x=0时，y1=1，∴A(0,1)，∵B(3,1)，∴ΔACE的CE边上的高与ΔBDE的DE边上的高相等，∵ΔACE与ΔBDE的面积相等，∴CE=DE，即E 点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当x =32时，y 2=2， ∴E (32,2)．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．12．（2022·江苏南通·中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n ≥0)的点叫做这个函数图像的“n 阶方点”．例如，点(13,13)是函数y =x 图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y =2x 图像的“2阶方点”．(1)在∵(−2,−12)；∵(−1,−1)；∵(1,1)三点中，是反比例函数y =1x 图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax −3a +1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值； (3)若y 关于x 的二次函数y =−(x −n)2−2n +1图像的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．2a−3a+1，解得：a=−1；把（－2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=−2a−3a+1，解得：a=3（舍去）；综上，a的值为3或−1；5（3）∵二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标为（n，−2n+1），∵二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，∵y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，∵二次函数y=−(x−n)2−2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，如图，当y=−(x−n)2−2n+1过点（n，－n）时，将（n，－n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：−n=−(n−n)2−2n+1，解得：n=1，当y=−(x−n)2−2n+1过点（－n，n）时，将（－n，n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：n=−(−n−n)2−2n+1，解得：n=1或n=−1（舍4去），由图可知，若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，≤n≤1．n的取值范围为：14【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上．(1)【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________．(2)【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明继续思考：设点P(0,m)，m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M 上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．∵AC=BC=√52−42=3,因为OP=n，所以x2+(n−1)2=n2，即x2=2n−1，则MO=MN，因为M(0,m)，14．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数y=2ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图像上的点B(m,54)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，一次函数y=12x+n(n>−916,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x1<x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．∵x1=_________，x2=_________（分别用含n的代数式表示）；∵证明：AE=BF；(3)如图2，二次函数y=a(x−t)2+2的图像是由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图像交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．∵A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；∵若A′M+3B′N=2，求t的值．AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．(1)∵EDC的度数为；(2)连接PG，求∵APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求CH的最大值．CE【答案】(1)45°(2)9（3）解：DG=PE，DG∵PE，理由如下：B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作yMN时，求点P的横坐标；轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．∵AQ=A′Q，17．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=−4点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D的左侧），且∠CAD=90∘．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∵CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∵CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．∵∠CAD=90∘，∵点D的坐标为(4,1)，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，且m>0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；(2)若∠ACO=∠CBD，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数y=−x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；∠OBC=45°(2)m=1(3)0<m<√3−12【分析】（1）分别令x,y等于0，即可求得A,B,C的坐标，根据OC=OB,∠BOC=90°，即可求得∠OBC=45°；（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得DF=(m+1)2，OF=m，BF=m+1．根据轴对称的性质，可得AE=BE，由tan∠ACE=AECE =BECE=BFOF=m+1m，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作DH⊥BC交BC于点H．由方法一，得DF=(m+1)2，BF=EF=m+1．证明△AOC∽△DHB，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时∠CQA>∠CBA，即∠CQA>45°．【详解】（1）当y=0时，−x2+2mx+2m+1=0．解方程，得x1=−1，x2=2m+1．∵点A在点B的左侧，且m>0，∵A(−1,0)，B(2m+1,0)．当x=0时，y=2m+1．∵C(0,2m+1)．∵OB=OC=2m+1．∵∠BOC=90°，∵∠OBC=45°．（2）方法一：如图1，连接AE．∵y=−x2+2mx+2m+1=−(x−m)2+(m+1)2，∵D(m,(m+1)2)，F(m,0)．∵DF=(m+1)2，OF=m，BF=m+1．∵点A，点B关于对称轴对称，∵AE=BE．∵∠EAB=∠OCB=45°．∵∠CEA=90°．方法二：如图2，过点D作DH⊥BC交BC于点H．√3−1【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，x2+bx+c与x轴交于O(0，0)，A(4，19．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数y=120)两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．(1)求二次函数的表达式；(2)∵求证：△OCD∽△A′BD；∵求DB的最小值；BA(3)当S△OCD=8S△A′BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC= 8dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．（2）如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）（3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：1m2+8)，21．（2022·江苏连云港·中考真题）已知二次函数y=x2+(m−2)x+m−4，其中m>2．(1)当该函数的图像经过原点O(0,0)，求此时函数图像的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=−x−2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，。
2019年江苏省苏州市中考数学试题(Word版,含解析)
2019年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数 学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组,成共28小题，满分130分。
考试时间120分钟.注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名，考点名称，考场号，座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔 填写在答题卡相应位置上,并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2.答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置 上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答;3.考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上 一律无效。
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。
请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上。
1.5的相反数是( ) A.51 B.51- C.5 D.-5 2.有一组数据:2,2,4,5,7,这组数据的中位数为( ) A.2 B.4 C.5 D.73.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26 000 000万元，数据26 000 000用科学记数法可表示为( )A.0.26×108B.2.6×108C.26×106D.2.6×1074.如图，已知直线a//b ，直线c 与直线a, b 分别交于点A ，B.若∠l=54°， 则∠2等于 A. 126° B.134° C.136° D.144°5.如图, AB 为⊙O 的切线，切点为A 连接A0、BO, BO 与⊙0交于点C,延长BO 与⊙0交于点D,连接AD 。
若∠AB0=36°,则∠ADC 的度数为( )A.54°B.36°C.32°D.27°6.小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完),已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为( ) A.32415+=x x B.32415-=x x C.x x 24315=+ D.xx 24315=- 7.若一次函数b kx y += (k ,b 为常数，且0≠k )的图像经过点A(0,-1)， B(1,1)，则不等式1＞b kx +的解为( )A. 0＜xB. 0＞xC. 1＜xD.1＞x8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度,将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为318m 的地面上若测角仪的高度是1.5m.测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°.则教学楼的高度是( )A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m9.如图，菱形ABCD 的对角线AC, BD 交于点0, AC=4,BD=16,将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△O B A '''.当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为( ) A.6 B.8 C.10 D.1210.如图,在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且AD=AB=2,AD ⊥AB.过点D 作DE ⊥AD,DE 交AC 于点E.若DE=1，则△ABC 的面积为( )A.24B.4C.52D.8二、填空题:本大题共8小题，每小题3分，共24分。
专题06 一次二次方程(解析版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
方程与不等式形如2x p+=（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的nx m p()=或2方法解一元二次方程．如果方程化成2x p=的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成2+=（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．()nx m p注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．1.把x ＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的求根公式．2.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．3.用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出24b ac -的值（若240b ac -<，方程无实数根）；③在240b ac -≥的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②240b ac -≥．1.因式分解法解一元二次方程的意义②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（24b ac ∆=-）判断方程的根的情况．一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的根与24b ac ∆=-有如下关系：①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的两个实数根；③当0∆<时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．一元二次方程根的情况与判别式的关系 1.当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；2.当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；3.当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．根与系数关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系：12，x x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：12，x x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=，反过来也成立，即12()b x x a =-+，12c x x a=．3.常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，2212x x +等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．利用一元二次方程解决实际列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．1.类型1：如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为()(--．a xb x22)2.类型2：如图2所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为()()--．a xb x3.类型3：如图3所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和可转化为()()--．a xb x图1 图2 图31.重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场1）支球队比赛，∴1支球队需要比（的一元二次方程的一个根，．＜＜．＜＜解得，＝．＜＜＜＜，＜．①若，则＝，＝，时，（×9（x∴或或，∴或或，当时，当时，当时，6+6+2+，﹣，然后计算代数式＝或﹣，2+，﹣，2+，﹣，4+2+2﹣＝6+．►考向三解一元二次方程-配方法6．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1【思路点拨】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【规范解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故选：D．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．7．（2022•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）用配方法解方程即可；（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．【规范解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，∴（x+3）2＝10，∴x+3＝或x+3＝﹣，∴x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3；（2）解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．【真题剖析】本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．8．（2022•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【规范解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2），由①得：x≥1，由②得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2．【真题剖析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．►考向四解一元二次方程-公式法9．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）A．B．C．D．【思路点拨】利用公式法即可求解．【规范解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为．故选：D．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．10．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2【思路点拨】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【规范解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故选：D．【真题剖析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解时，＝时，＝＝ ．＝．＝．【思路点拨】（1）先根据数轴确定（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．＝＝＝1±．1+，﹣；±2．2+2，2；＝（2x ﹣y ）2+4x ﹣2y +x 2+4x +3＝（2x ﹣y ）2+2（2x ﹣y ）+1﹣1+x 2+4x +4﹣4+3＝[（2x ﹣y ）2+2（2x ﹣y ）+1]+（x 2+4x +4）﹣2＝（2x ﹣y +1）2+（x +2）2﹣2，∵x ，y 均为实数，∴（2x ﹣y +1）2≥0，（x +2）2≥0，∴原式W ≥﹣2，即原式的W 的最小值为：﹣2，解法二：由题意5x 2+（8﹣4y ）x +（y 2﹣2y +3﹣W ）＝0，∵x 为实数，∴（8﹣4y ）2﹣20（y 2﹣2y +3﹣W ）≥0，即5W ≥（y +3）2﹣10≥﹣10，∴W ≥﹣2，∴W 的最小值为：﹣2，故答案为：﹣2．【真题剖析】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．15．（2022•乐山）已知m 2+n 2+10＝6m ﹣2n ，则m ﹣n ＝ 4 ．【思路点拨】根据完全平方公式得出m 和n 的值即可得出结论．【规范解答】解：∵m 2+n 2+10＝6m ﹣2n ，∴m 2﹣6m +9+n 2+2n +1＝0，即（m ﹣3）2+（n +1）2＝0，∴m ＝3，n ＝﹣1，∴m ﹣n ＝4，故答案为：4．【真题剖析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出m 和n 的值是解题的关键．►考向七 根的判别式解题技巧/易错易混/特别提醒1.当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；2.当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；3.当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．16．（2023•眉山）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．﹣ ．﹣．﹣．＜≤＜且≤且≤，≤且是方程的两个实数根，且+＝﹣，求，由+＝﹣进行变形直接代入得到∵+＝＝＝﹣，∴，整理得＝．﹣，＝．也考查了根的判别式．【思路点拨】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【规范解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴每月盈利的平均增长率是20%．故答案为：20%．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．【规范解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意，得x（72﹣2x）＝640，化简，得x2﹣36x+320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，化简，得x2﹣36x+325＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17【思路点拨】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【规范解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）A．43903.89（1+x）＝53109.85B．43903.89（1+x）2＝53109.85C．43903.89x2＝53109.85D．43903.89（1+x2）＝53109.85【思路点拨】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．【规范解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，故选：B．【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．3．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2【思路点拨】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【规范解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，故选：B．【真题剖析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．A．5m B．70m【思路点拨】设小路的宽是x m根据花圃的面积是3600m2，可列出关于【规范解答】解：设小路的宽是﹣|+（）（））求不等式组的解集．）先化简，再求值（+÷，其中﹣|+（）（）2﹣4×+22﹣2+2）（+÷＝∴x＝3，∴原式＝3+1＝4．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．9．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【思路点拨】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【规范解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【真题剖析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．10．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）方程利用公式法求解即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【规范解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，∴x＝＝，∴，；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．【真题剖析】本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．11．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：（1）解不等式组：；（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．【思路点拨】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；＝＝＝1±，1+，﹣（答案不唯一）．＝，＝，试比较）比较大小： ＜ ．（填（2）根据“作差法”即可得到结论．【规范解答】解：（1）M﹣N＝﹣＝＝＝，∵3a＞b＞0，∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0，∴＞0，∴M＞N；（2）﹣＝＝﹣＜0，∴＜．故答案为：＜．【真题剖析】本题考查了配方法的应用，有理数大小的比较，熟练掌握“作差法”是解题的关键．14．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【思路点拨】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab ＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．【规范解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值为﹣2或1．）的两根时，，．﹣，＝．﹣ ﹣ ．，求的值．﹣，﹣，将其代入﹣，﹣，结合（的值，再将其代入＝中，即可求出结论．﹣，﹣；﹣，﹣；∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．【真题剖析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．16．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【思路点拨】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．【规范解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键。
2019年江苏卷 数学真题(解析版)
2019年江苏卷 数学真题（解析版）一、填空题：每小题5分，共计70分．1.已知集合A ={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A ∩B =_____.【答案】{1,6}. 【详解】由题知，.{1,6}AB =2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2 【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5【详解】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342x S S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=； 执行第四次，5,442x S S x =+==≥成立，输出 5.S =4.函数276y x x =+-_____.【答案】[－1,7]【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7].5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 【答案】53【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=， 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】710【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况， 所以所求的概率为6171010+=. 7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y = 【详解】由已知得222431b -=，解得b =b =， 因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4【详解】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r 的距离最小. 由2411y x '=-=-，得2(2)x =舍，32y =2,32)Q ， 则切点Q 到直线22gR r 22232411+=+，故答案为：4．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e,1)【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=， 当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1e x x ---=-，即00ln x x e =， 考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln1H x x=+，当1x>时，()()'0,H x H x>单调递增，注意到()H e e=，故00lnx x e=存在唯一的实数根x e=，此时1y=，故点A的坐标为(),1A e.12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA ，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB 于点F，由BE =2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭，得2213,22AB AC=即3,AB AC=故3ABAC=13.已知tan2π3tan4αα=-⎛⎫+⎪⎝⎭，则πsin24α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是_____.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 14.设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当(0,2]x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥ 又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k k k +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【详解】（1）因为23,2,cos 3a c b B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =. 所以33c =. （2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0）， F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2=3. 因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二： 由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E--.18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{－3,1,3}中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<≤=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【详解】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x =b 或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(－∞,－3) －3 (－3,1) 1 (1,+∞) + 0 – 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞+–+()f x↗ 极大值 ↘极小值 ↗所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k≤，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【详解】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【详解】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12 X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB ≤3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．2019年江苏卷 数学真题（原卷版）一、填空题：每小题5分，共计70分．1.已知集合A ={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A ∩B =_____.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.4.函数276y x x =+-_____.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)y x xx=+>上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅，则ABAC的值是_____.13.已知tan2π3tan4αα=-⎛⎫+⎪⎝⎭，则πsin24α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是_____.14.设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当(0,2]x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数()()()(),,,Rf x x a x b x c a b c=---∈，()f'x为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和()f'x的零点均在集合{－3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若0,01,1a b c=<≤=，且f（x）的极大值为M，求证:M≤427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n}满足：245132,440a a a a a a=-+=，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足:111221,n n nbS b b+==-，其中Sn为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n}(n∈N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有1k k kc b c+≤≤成立，求m的最大值．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下： 所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。