人教版高中数学必修一《指数函数》ppt课件
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人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时3 指数函数的概念【课件】
现实世界的密切联系,学会用函数模型描述客观世界事物变化规
律.
学习目标
课程目标
学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的
实际意义
通过具体实例，感受不同现实背景
下函数值增长的变化规律，知道增
长率为常数的变化方式为指数增长，
培养数学建模及数学抽象素养
通过建立函数模型的过程，抽象
出指数函数的概念
通过由特殊到一般的研究方法，抽
天内，他在得到310万元的同时，共付给了神秘人2 147 483 647分，也
就是2 000多万元！
张财主的故事一定让你感到吃惊：开始时微不足道的数字，两倍两倍
地增长，竟然会变得这么巨大！事实的确如此，因为张财主碰上了“指
数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指数
函数y＝ax(a> 1)时， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．
中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等．已
知物质A的半衰期为7.5 h，则物质B的半衰期为(
思路点拨
进行求解
A. 10 h
B.
8 h
C. 12 h
D.
15 h
)
根据题设中实际问题建构指数函数模型，再利用指数幂的运算
【方法规律】
由特殊到一般探求变化规律，建构不同的指数函数模型，研究两者之间的
【问题3】你能再写出一些类似的函数吗?这些函数具有什么共同特征?
【活动2】探究指数函数的结构特征
【问题4】你能从上述函数中,抽象出指数函数的定义吗?
【问题5】下列函数中,哪些是指数函数?哪些不是指数函数?
【问题6】对于指数函数,其底数有怎样的要求?
律.
学习目标
课程目标
学科核心素养
通过具体实例，了解指数函数的
实际意义
通过具体实例，感受不同现实背景
下函数值增长的变化规律，知道增
长率为常数的变化方式为指数增长，
培养数学建模及数学抽象素养
通过建立函数模型的过程，抽象
出指数函数的概念
通过由特殊到一般的研究方法，抽
天内，他在得到310万元的同时，共付给了神秘人2 147 483 647分，也
就是2 000多万元！
张财主的故事一定让你感到吃惊：开始时微不足道的数字，两倍两倍
地增长，竟然会变得这么巨大！事实的确如此，因为张财主碰上了“指
数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…), 即符合指数
函数y＝ax(a> 1)时， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．
中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120 h后两种物质的质量相等．已
知物质A的半衰期为7.5 h，则物质B的半衰期为(
思路点拨
进行求解
A. 10 h
B.
8 h
C. 12 h
D.
15 h
)
根据题设中实际问题建构指数函数模型，再利用指数幂的运算
【方法规律】
由特殊到一般探求变化规律，建构不同的指数函数模型，研究两者之间的
【问题3】你能再写出一些类似的函数吗?这些函数具有什么共同特征?
【活动2】探究指数函数的结构特征
【问题4】你能从上述函数中,抽象出指数函数的定义吗?
【问题5】下列函数中,哪些是指数函数?哪些不是指数函数?
【问题6】对于指数函数,其底数有怎样的要求?
高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
指数函数的图象与性质课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.探究函数 = 与 =
深理解；
两道题进一步促进形成
4.通过练习检测目标是否
用函数观点解决实际问
达成.
题的意识.
象与性质
1.用描点法或信息技术画函
数 = 的图象，归纳其
性质；
2.用描点法或信息技术化函
数 =
的图象归纳其性
的图象的关系，并用信
息技术验证.
小结
过程设计
性质.
过程设计
2设计意图
例 1 引导学生将每一组中的两个值可以
看作一个指数函数的两个函数值利用单
调性进行比较，引导学生总结规律方法.
通过应用函数的单调性比较大小，进一
步理解指数函数的单调性.例 2 引导学生
将实际问题转化为数学问题，通过建立
指数函数模型，培养学生数学建模能力
，使学生学习“有用的数学”.
2 思维与能力基础
学生在上一章学习了幂函数，知道研究具体函数基本思路及一般过程，即“背景-概念-图象和性质-
应用”，经历过利用图象归纳出函数性质的过程.本节的学习可采用类比的方法，引导学生发现研究的
对象，研究的内容、研究的方法.
3 思维与能力基础
指数函数性质的探索需要学生自行选择具体的函数，学生可能在底数的选取上没有思路，在得到
要求用信息技术画图；
3.增加了例4(利用图象分析和解决问题).
3.正文和习题中均没有图象和相关题目.
学情分析
1 知识基础
学生在前面学习了指数函数的概念，解析式，指数增长与指数衰减，在此基础上，能够根据解析
式采用描点法画出函数图象，能够根据指数增长与指数衰减两种类型，对a的取值进行讨论，研究指
新人教A版必修一指数函数课件(36张)
【解析】画出 f(x)=|3x-1|的图象如图:
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.
由 y=3x 的图象可得 0<3c<1<3a,∵f(c)=1-3c,
f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
D.3c+3a<2
T 题型三指
2
ab
(3)
1 1
1 1 (a>0,b>0).
4
(a4 b2 ) a 3 b3
先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.
2
【解】(1)原式= 8
27
=
2
3
1
+5002 -10(
27 -3
8
+
1
500
-
1
2
−
10
+1
5-2
5+2)+1
4
9
167
.
9
= +10 5-10 5-20+1=-
(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
= 2
(m +2mn+4n2 )(m-2n)
=m3=a.
1-
2n
m
·m
×
1
32)6-
2
3
1
3
=2+4×27=110.
T 题型二指
数函数的图象
例 2 已知函数 y=
1 |x+1|
.
3
(1)作出其图象;
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立,则有 c<0 且 a>0.
由 y=3x 的图象可得 0<3c<1<3a,∵f(c)=1-3c,
f(a)=3a-1,f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3c+3a<2.
D.3c+3a<2
T 题型三指
2
ab
(3)
1 1
1 1 (a>0,b>0).
4
(a4 b2 ) a 3 b3
先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算.
2
【解】(1)原式= 8
27
=
2
3
1
+5002 -10(
27 -3
8
+
1
500
-
1
2
−
10
+1
5-2
5+2)+1
4
9
167
.
9
= +10 5-10 5-20+1=-
(2)原式= 5-2-1- ( 5-2)2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1.
= 2
(m +2mn+4n2 )(m-2n)
=m3=a.
1-
2n
m
·m
×
1
32)6-
2
3
1
3
=2+4×27=110.
T 题型二指
数函数的图象
例 2 已知函数 y=
1 |x+1|
.
3
(1)作出其图象;
高一数学指数函数00ppt课件
化学反应速率
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
高中数学人教A版必修第一册4.2指数函数(教学课件)
f
(1)
1
π3
3
π
，
f
(3)
π1
1 π
.
图象
定义域
值域 性
过定点 质
单调性
奇偶性
0 a 1
a 1
R (0， )
(0，1) ，即 x 0 时， y 1
减函数
增函数
非奇非偶
例 2 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5 ，1.73 ；（2） 0.8 2 ， 0.8 3 ；（3）1.70.3 ，0.93.1 .
t
1
t
1
2
2
3 4
，
函数
f
(t)
t
1 2
2
3 4
在 (0, )
上为增函数，
f
(t)
f
(0)
1，
函数 y
1 4
x
1 2
x
1 的值域为(1, )
.
8.已知函数 f (x) ax ( a 0 ，且 a 1)在[1,1] 上恒有 f (x) 2 ，则 实数 a 的取值范围为___12_,_1__∪__(1_,_2_)___.
3 2a 0
对于
B，欲使得该函数为增函数，需满足
a 3
1 2a
1
a
，解得1
a
3 2
，故
B
正确；
对于 C， f (1) 3 2a 1 1 ，解得 a 1 ，故 C 错误； 2
对于 D，该函数为非奇非偶函数，故 D 错误. 故选 AB.
6.已知指数函数 f (x) (2a 1) x ，且 f (3) f (2) ，则实数 a 的 取值范围是_____12_,_1___________.
4.2.1指数函数的概念PPT课件(人教版)
数学问题
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．1 指数函数 2．1.1 指数与指数幂的运算
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．理解 n 次方根及根式的概念． 2．正确运用根式运算性质进行运算变换． 3．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 4．掌握有理指数幂的运算性质． 【核心扫描】 1．利用根式的运算性质对式子进行化简．(重点) 2．已知条件的求值问题．(难点) 3．根式与分数指数幂的互化．(重点) 4．运用有理指数幂运算性质进行化简、求值．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)3
6 a·
－a(a<0)；
(2) 3 ab2 ab3(a，b>0)；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 (12 分)计算下列各式：
审题指导 此类问题的解决先算乘方，再算乘除，且负化正，大 化小，小数化分数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 根式性质的应用 【例 1】 计算下列各式的值：
3 (1)
－43；(2)4
－92；(3)6
3－π6；(4)8
x－28；
(5) 3－2 2＋3 1－ 23＋4 1－ 24. [思路探索] 根据根式的性质求解，注意被开方数的正负．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 (1)此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里 向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简． (2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写 法，分数指数幂与根式可以相互转化．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 计算下列各式的值：(1)3 －83；(2) －102；
3 (3)
3－π3；(4)3
－83＋4
3－24－3 2－
33；
n (5)
x－πn(x<π，n∈N*)．
解
3 (1)
－83＝－8；
(2) －102＝|－10|＝10；
3 (3)
3－π3＝3－π；
(4)原式＝－8＋2－ 3－(2－ 3)＝－8；
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
n (2)
an＝a|a，|，nn为为奇偶数数
(n>1，n∈N*)．
①当 n 为奇数时，则 a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； ②当 n 为偶数时，∵(|a|)n＝an≥0，
则|a|是 an 的 n 次方根， 如4 －24＝2. 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【题后反思】 一般地，进行分数指数幂运算时，化负指数为正 指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，这样便于进行乘 除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】 计算下列各式：
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示
n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围
n 为奇数
n a
a∈R
n 为偶数
n (
a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R;
当 n 为偶数时，a≥0)．
①当 n 为奇数时，n a表示 a 的 n 次方根，由 n 次方根的定义，得
n (
a)n＝a；
②当 n 为偶数时，n a表示正数 a 的正的 n 次方根或 0 的 n 次方根．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数 r，s，均有 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)(指数相加律)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)(指数相乘律)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中，底数大于 0 的要求．
n ±a
[0，＋∞)
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(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． 2．根式的性质
(1)n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
n>1)；
n (3)
an＝a(n
为大于
1
的奇数)；
n (4)
an＝
解
3 (1)
－43＝3
－64，因为(－4)3＝－64，
所以3 －64＝－4，即3 －43＝－4；
4 (2)
－92＝4
81＝4
34＝3；
6 (3)
3－π6＝|－28＝|x－2|＝x2－－2x
x≥2 x<2 .
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(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2， 所以原式＝ 1－ 22＋3 1－ 23＋4 1－ 24
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方法技巧 整体代换思想在条件求值中的应用 整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运 算． 本节中的整体代换主要应用于条件求值，对于条件求值问题， 一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法 求值．
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[思路分析] 从整体上寻求所求式与已知条件的关系，然后整体 代入求值。
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得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3. (2)由 a＋a－1＝3.两边平方， 得 a2＋a－2＋2＝9， ∴a2＋a－2＝7. (3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.
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方法点评 本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称 为“知值求值”，解决此类问题的步骤是： ①审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； ②化简：化简已知条件与所求代数式； ③求值：把条件代入求值．
n (5)
x－πn＝πx－－πxnn为 为偶 奇数 数， ，nn∈ ∈NN**.，
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题型二 根式与分数指数幂的互化 【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(2) 1 ；
3
5 x
x22
[思路探索] 根据分数指数幂的意义以及运算性质转化．
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＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2| ＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1. 规律方法 利用根式的性质解题，关键是在理解的基础上熟记根
式的意义与性质，特别要注意在n an中，n 是偶数，且 a<0 的情况．同 时对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差和完全 平方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
幂
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4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
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名师点睛
1．关于根式(n a)n 与n an的理解
|a|
＝a－aa≥a0<0
(n 为大于 1 的偶数)．
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3．分数指数幂的意义
正分数 分 指数幂
规定：amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
数 指
负分数 指数幂
规定：a－mn ＝
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且 n>1) n am
数 性质 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义
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2．1 指数函数 2．1.1 指数与指数幂的运算
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【课标要求】 1．理解 n 次方根及根式的概念． 2．正确运用根式运算性质进行运算变换． 3．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． 4．掌握有理指数幂的运算性质． 【核心扫描】 1．利用根式的运算性质对式子进行化简．(重点) 2．已知条件的求值问题．(难点) 3．根式与分数指数幂的互化．(重点) 4．运用有理指数幂运算性质进行化简、求值．(难点)
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【变式 2】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)3
6 a·
－a(a<0)；
(2) 3 ab2 ab3(a，b>0)；
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题型三 分数指数幂的运算 【例 3】 (12 分)计算下列各式：
审题指导 此类问题的解决先算乘方，再算乘除，且负化正，大 化小，小数化分数．
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题型一 根式性质的应用 【例 1】 计算下列各式的值：
3 (1)
－43；(2)4
－92；(3)6
3－π6；(4)8
x－28；
(5) 3－2 2＋3 1－ 23＋4 1－ 24. [思路探索] 根据根式的性质求解，注意被开方数的正负．
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规律方法 (1)此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里 向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简． (2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写 法，分数指数幂与根式可以相互转化．
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【变式 1】 计算下列各式的值：(1)3 －83；(2) －102；
3 (3)
3－π3；(4)3
－83＋4
3－24－3 2－
33；
n (5)
x－πn(x<π，n∈N*)．
解
3 (1)
－83＝－8；
(2) －102＝|－10|＝10；
3 (3)
3－π3＝3－π；
(4)原式＝－8＋2－ 3－(2－ 3)＝－8；
若 a<0，n 为偶数，则n a没有意义．如( －2)2≠－2.
n (2)
an＝a|a，|，nn为为奇偶数数
(n>1，n∈N*)．
①当 n 为奇数时，则 a 是 an 的 n 次方根，即 a＝n an； ②当 n 为偶数时，∵(|a|)n＝an≥0，
则|a|是 an 的 n 次方根， 如4 －24＝2. 即n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
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【题后反思】 一般地，进行分数指数幂运算时，化负指数为正 指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，这样便于进行乘 除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．
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【变式3】 计算下列各式：
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自学导引 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示
n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围
n 为奇数
n a
a∈R
n 为偶数
n (
a)n＝a(n>1，n∈N*，当 n 为奇数时，a∈R;
当 n 为偶数时，a≥0)．
①当 n 为奇数时，n a表示 a 的 n 次方根，由 n 次方根的定义，得
n (
a)n＝a；
②当 n 为偶数时，n a表示正数 a 的正的 n 次方根或 0 的 n 次方根．
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2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数 r，s，均有 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)(指数相加律)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)(指数相乘律)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中，底数大于 0 的要求．
n ±a
[0，＋∞)
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(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． 2．根式的性质
(1)n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
n>1)；
n (3)
an＝a(n
为大于
1
的奇数)；
n (4)
an＝
解
3 (1)
－43＝3
－64，因为(－4)3＝－64，
所以3 －64＝－4，即3 －43＝－4；
4 (2)
－92＝4
81＝4
34＝3；
6 (3)
3－π6＝|－28＝|x－2|＝x2－－2x
x≥2 x<2 .
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(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2， 所以原式＝ 1－ 22＋3 1－ 23＋4 1－ 24
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方法技巧 整体代换思想在条件求值中的应用 整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运 算． 本节中的整体代换主要应用于条件求值，对于条件求值问题， 一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法 求值．
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得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3. (2)由 a＋a－1＝3.两边平方， 得 a2＋a－2＋2＝9， ∴a2＋a－2＝7. (3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.
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题型二 根式与分数指数幂的互化 【例 2】 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(2) 1 ；
3
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＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2| ＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1. 规律方法 利用根式的性质解题，关键是在理解的基础上熟记根
式的意义与性质，特别要注意在n an中，n 是偶数，且 a<0 的情况．同 时对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差和完全 平方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
幂
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4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
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1．关于根式(n a)n 与n an的理解
|a|
＝a－aa≥a0<0
(n 为大于 1 的偶数)．
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3．分数指数幂的意义
正分数 分 指数幂
规定：amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
数 指
负分数 指数幂
规定：a－mn ＝
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且 n>1) n am
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