上海市金山中学2018届高三数学上学期期中试题 (1)
与直线
，
满足
之间的距离是 ，则
，且
，则数列
的前 项和 为__________.
9. 如果定义在 R 上的函数
满足：对于任意
，都有
，则称
为“ 函数”．给出下列函数：①
；②
；
③
；④
10. 设
为
，其中“ 函数”的序号是
． ①③
的反函数，则
的最大
值为________.
11.对于数列 ，定义
.
5. 过点 A3,1 的直线 l 的方向向量 e 1, 2 ，则 l 的方程为
.
6.
已知
f (n)
1 n 1
1 n2
1 n3
1 2n
，则
f (k
1)
f
k
.
7. 若 直 线 l1 : x 2 y m 0(m 0) 与 直 线 l2 : x ny 3 0 之 间 的 距 离 是
成本 C x (万元)，当年产量不足 80 台时, C x 1 x2 40x (万元)； 当年产量不小于 80
2
-3-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
台时 C x 101x 8100 2180 (万元)， 若每台设备售价为100 万元，通过市场分析,该
已知在等比数列 中，
，且 是 和
的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足
解：（1）设公比为 ，则
，
，求 的前 项和 ． ，
∵ 是和
的等差中项，
∴
，
，
解得
或
（舍），
∴
．
（2）
，
-7-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
的“优值”
，记数列
为 的“优值”，现在已知某数列
的前 项和为 ，若
对任意的 恒成立，则
实数 的取值范围是_________．
12. 已知
，函数
在区间 上的最大值是 5，则 的取值范围是
___________． 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 关于 、 的二元一次方程组
（1）求△ ABC 的面积 S ； （2）求 sin(2 A B) 的值．
解：
19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇， 决定
开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为 500 万元， 每生产 x 台,需另投入
1.已知集合
，集合
，则
.
2. 3.已知函数
.1
，则函数 的最小正周期是
.
4.已知
，若 与 平行，则
.
5.的方程为
.
6. 已知
，则
.
-5-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
7. 若 直 线 .0
的系数行列式 为
（C ）
-6-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
A.
B.
14. 设 都是不等于 1 的正数，则“
A .充分必要
B.充分非必要
C. ”是“
C.必要非充分
D. ”的什么条件 ( B )
D.非充分非必要
15. 已知 小值是
解：
-2-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
18. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 a b 2 ， c 4 ， sin A 2sin B ．
15. 已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最
小值是
（）
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
16. 已 知 函 数 f x 2017x log2017 x 2 1 x 2017 x 2 ， 则 关 于 x 的 不 等 式
（或由
得到
所以，
．
19. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定
开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为 万元, 每生产 台,需另投
-8-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
则
．
18. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
在△
中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
．
（1）求△
的面积 ；
（2）求 解：（1）因为
的值．
，所以由正弦定理得
，
又
，故
，
，
，
，
所以
，因为
，所以
．
所以
．
（2）因为
，
，
所以
，
，
，因为
，所以 为锐角，所以
，
）．
1.已知集合 A {1, 2,3, 4} ，集合 B {3, 4,5} ，则 A B
.
2. lim1 1 3
.
n n
3. 已知函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x ，则函数 f (x) 的最小正周期是
.
4.已知 a (1,2),b (m,1) ，若 a 与 b 平行，则 m
解:（1）当
时,
;
当
时,
,
（2）当
时,
值为 1300.(万元)；
.
, 此时, 当
时, 取得最大值, 最大
当
时
, , 当且仅当
,即
时, 最大值为 1500(万元), 所以, 当产量为 90 台时, 该企业在这一电子设备中所 获利润最大,最大值为 1500 万元. 20. （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
实数 k 的取值范围是_________．
12. 已知 a R ，函数 f (x) x 4 a a 在区间[1, 4] 上的最大值是 5，则 a 的取值范围是 x
___________．
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） x 5y 0
f 3x 1 f x 4 的解集为
（）
A
.
1 4
,
B.
,
1 4
C. 0,
D. ,0
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤． 17. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
已知在等比数列an 中， a1 1，且 a2 是 a1 和 a3 1的等差中项． （1）求数列an 的通项公式； （2）若数列bn满足 bn 2n 1 an (n N*) ，求bn的前 n 项和 Sn ．
13.关于 x 、 y 的二元一次方程组 2x 3y 4 的系数行列式 D 为
（）
05 A.
43
10 B.
24
15 C.
23
60 D.
54
14.设 a,b 都是不等于 1 的正数，则“ a b 1”是“ loga 3 logb 3 ”的什么条件 (
)
A .充分必要
B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要
48
8
值为_______.
11.对于数列an ，定义 Hn
a1
2a2
... n
2n1a n
为an 的“优值”，现在已知某数列an
的“优值” Hn 2n1 ，记数列 an kn 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn S5 对任意的 n 恒成立，则
-1-
如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 来源网络，造福学生
x1 f ( x2 ) x2 f ( x1 ) ，则称 f ( x ) 为“ H 函数”．给出下列函数：① y x 1；② y x2 1；
③
y
ex
1；④
y
ln
|
x
|
0
x0 ，其中“ H 函数”的序号是
x0
．
10. 设 f - 1(x) 为 f (x) = x - p cos x + p , x Î [0, p ] 的反函数，则 y = f (x) + f - 1(x) 的最大
k
,
k
Z
,
x
R
，
且
f (x) f (2 x) 0
，
2
f (x 1) 1 ，当 1 x 1时， f (x) 3x ． f (x) 2
（1）证明： f (x) 为奇函数；
（2）求 f (x) 在 1, 1 上的表达式； 2
（3）是否存在正整数 k ，使得
x 2k
1 ,2k 2
x
企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润 y (万元)关于年产量 x （台）的函数关系式；
【高三】上海市金山中学届上学期高上学期期中考试试题(数学)
【高三】上海市金山中学届上学期高上学期期中考试试题（数学）试卷说明：金山中学学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.设，若则实数，且是第四象限的角，那么________．3.函数的反函数_____________．4.在中，若，，，则三角形的面积________．【答案】【解析】试题分析：根据题意可得，即，，由面积公式可得考点：1.余弦定理的应用;2.三角形面积公式5.已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为的最小正周期与函数的最小正周期相等，则正实数的值为_____________．7.若，则【解析】试题分析：由已知可得，所以，解得．考点：极限的计算8.若，则 _________________ ．9.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】试题分析：由，，可得，由反正弦函数的定义域可得．考点：反三角函数的运用11.方程的实数解的个数为___________．考点：1.函数的图象;2.函数与方程的关系12.在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和___________．【答案】【解析】试题分析：根据题意可知数列是递减数列且，又，，则考点：等差数列的求和13.已知函数，当变化时，恒成立，则实数的取值范围是___________．14.已知定义域为的偶函数，对于任意，满足，且当时．令，，其中，函数。
则方程的解的个数为______________（结果用表示）．是一个单调增函数过两点，两函数图象在一个周期内有两个交点，所以共有个交点，即方程有个解．考点：1.函数的性质;2.函数的图象;3.函数与方程二、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.“”是“”的……………………（）．充分非必要条件．必要非充分条件．充分必要条件．既非充分又非必要条件16.若，且，则下列不等式中恒成立的是……………（）．．．．【答案】D【解析】试题分析：中不等式应为;中要为正数; 中要为正数; 正确．考点：基本不等式的应用17.若函数为上的奇函数，当时，，则当时，有…（）18.设函数，其中为已知实数，，则下列各命题中错误的是…（）．若，则对任意实数恒成立; ．若，则函数为奇函数; ．若，则函数为偶函数; ．当时，若，则【答案】D【解析】试题分析：由函数，可化简得：，则，，则在中，若，则，即正确;在中，若，则函数，有是奇函数，即正确; 在中，若，则函数，有是偶函数，即正确;在中，由知不同时为，则函数的最小正周期为，若，则，即错误．考点：1.三角化简;2.函数的奇偶性;3.函数的同周期性三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.记函数的定义域为的定义域为若，求实数的取值范围．．（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值，最小值．【答案】（1）;（2）最大值为1,最小值．【解析】试题分析：（1）首先根据同角三角关系和降次公式将函数化简为的形式，再运用即可将函数化简，最后由最小正周期公式即可求出最小正周21.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合这个要求，并说明原因；（2）若该公司采用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的，都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“型”函数．（1）求证：函数是上的“型”函数；（2）设是（1）中的“型”函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“型”函数，求实数和的值．【答案】（1）详见解析;（2）;（3）．∴ 或 12分23.已知等比数列的公比为，是的前项和．若，，求的值；若，，有无最值？说明理由设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？;（2）有最大值为，最小值为个项和公式，可见要对分类讨论，当时，，，;当时，，（2）若，，当时，，所以随的增大而增大，而，此时有最小值为1，但无最大值分当时①时，，所以随的增大而增大，即是偶数时，，即； 8分由此得：共有个分每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 1 1 每天发布最有价值的上海市金山中学届上学期高上学期期中考试试题（数学）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2018届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题及答案 精品
上海市金山中学2018届高三上学期期中考试数学试题1．计算：=-+∞→453lim 22n n n n 。
2．函数x x y cos 2sin +=的最大值为 。
3．函数|)|1ln()(x x f -=的定义域为 。
4．方程012cos 2=+x 的解集是 。
5．设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是 。
6. 设全集R U =，集合}161|{<+=x x A ，则=A C U 。
7．设53sin ,223-=<<θπθπ，则=2cos θ 。
8．设)(x f 是R 上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.5f 。
9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为4x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为 。
10．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,5ππ上是增函数，则ω的取值范围为 。
11．定义：},max{y x 表示y x 、两个数中的最大值，},min{y x 表示yx 、两个数中的最小值。
给出下列4个命题：①⇔≥a x x },max{21a x ≥1且a x ≥2；②⇔≤a x x },max{21a x ≤1且a x ≤2；③设函数)(x f 和)(x g 的公共定义域为D ，若D x ∈，)()(x g x f ≥恒成立，则max min)]([)]([x g x f ≥；④若函数|}||,min{|)(t x x x f +=的图像关于直线21-=x 对称，则t 的值为1。
其中真命题是 。
（写出所有真命题的序号）12. 设函数⎩⎨⎧<≤≤=0,,0sin 2)(2x x x x x f π，，则函数1)]([-=x f f y的零点个数是 。
2017-2018学年上海市金山中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年上海市金山中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与A．① ② B．① ③ C．① ④ D．③ ④【答案】B【解析】【分析】运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到所求的结论.【详解】①与定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；②与，对应法则不同，故不是同一个函数；③，，定义域和对应法则一样，故是同一函数；④与，定义法则不同，故不是同一函数；选B.【点睛】该题考查的是有关同一函数的问题，在解题的过程中，注意把握同一函数的定义，必须保证是三要素完全相同，才是同一函数.2．已知实数满足，则“成立”是“成立”的( )A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】由，因为，所以若成立，则，即成立，反之若成立，因为，所以，即成立，所以“成立”是“成立”的充要条件，故选A.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，解决该题的关键是要明确充分条件和必要条件的概念，以及要熟练掌握不等式的性质，从而正确判断结果.3．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释.A．如果，那么B．如果，那么C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立【答案】C【解析】【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，可得外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为，可得对任意正实数和，有，即可得出.【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，则外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为，对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立，故选C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，结合勾股定理，利用直角三角形的面积公式，得到其对应的关系，从而可以得到在什么情况下取得等号.4．设，则所有的交集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用对勾函数的性质逐一考查所给函数的值域，结合交集的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】利用对勾函数的性质可得：函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为2，最大值为，结合k的值可得所有的的交集为.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的求解问题，在解题的过程中，需要明确对勾函数的性质，在哪个区间上单调增，在哪个区间上单调减，从而求得相应函数的值域，再结合交集的特征求得结果.二、填空题5．方程组的解组成的集合为_________.【答案】【解析】【分析】解方程组，求出结果即可得答案.【详解】由，解得或，代入，解得或，所以方程组的解组成的集合为，故答案为.【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.6．写出命题“若且，则”的逆否命题：________．【答案】若，则或【解析】【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若，则”，直接写出即可.【详解】因为命题“若且，则”，所以它的逆否命题是“若，则或”.【点睛】该题考查的是有关四种命题的问题，需要注意在确定原命题的基础上，明确其逆否命题的形式，从而求得结果，属于简单题目.7．不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号，即可得结果.【详解】因为，所以或，解得或，所以不等式的解集为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的解法，解决对值不等式的关键是明确去绝对值符号的规律，从而求得结果，属于简单题目.8．设当________时，取到最小值．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故当时，取得最小值是，故答案是.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求函数最值的问题，在解题的过程中，注意条件一正二定三相等，从而求得结果，属于简单题目.9．已知集合,，则___________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数值域的求法求得集合M，根据函数定义域的求法求得集合N，再用集合的交集的定义求得.【详解】根据题意，可知，根据，可得，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关集合交集的运算问题，在解题的过程中，注意首先应用二次函数的性质求得集合M，利用分式与偶次根式的条件，求得集合N，之后应用交集中元素的特征，求得结果.10．是定义在上的奇函数，当时，，则时,________．【答案】【解析】【分析】当时，，根据当时，，可得的表达式，进而根据是定义在上的奇函数，，得到结果.【详解】当时，，当时，，所以，又是定义在上的奇函数，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关奇函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，需要借助于题中所给的条件，以及奇函数的定义，从而求得结果，属于中档题目.11．已知命题，命题，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用必要不充分条件的定义即可得出结论.【详解】设，，因为是的必要非充分条件，所以，则有，解得，故答案是.【点睛】该题考查的是有关根据必要非充分条件求参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确从集合的角度处理必要非充分条件，满足真包含关系，从而得到相应的不等式组，求得结果.12．设函数，若，则_________.【答案】【解析】当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2>0，f(f(a))<0，显然不成立；当a>0时，f(a)＝－a2，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，则a＝±或a＝0，故a＝.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.13．关于的不等式的解集为，则实数______. 【答案】1【解析】【分析】由题意知，根的判别式，建立关于k的等量关系式，求出k的值后，由于，即可求得结果.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，所以，所以，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关根据一元二次不等式的解集的形式，得到其对应的判别式的符号，从而得到相应的等量关系式，求得结果，属于简单题目.14．若不等式的解集是，不等式的解集是，且，中，，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】先由题意知：不等式的解集是，不等式的解集为R，原不等式等价于与同号，从而求得不等式的解集.【详解】由题意知：不等式的解集是，所以不等式的解集是，不等式的解集是，不等式的解集为R，再将原不等式等价于与同号，从而求得不等式的解集.不等式的解集为R，所以等价于与同号，所以其等价于，故不等式的解集为.【点睛】该题考查的是有关不等式的解集的问题，注意的等价条件是两者同号，而根据条件可得恒成立，从而得到即可，根据不等式的解集是，从而得到不等式的解集是，从而得到答案.15．设关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】由已知中关于的不等式的解集为，且，将2,3分别代入可以构造一个关于的不等式组，解不等式组即可求出实数的取值范围.【详解】因为关于的不等式的解集为，若，则，解得，若，则有或，解得，因为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关根据元素与集合的关系得到参数所满足的条件，从而得到相应的不等式组，进一步求得结果.16．设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，下列所有错误的说法的序号是_________.（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.【答案】（1）（4）【解析】【分析】数学中说明命题不正确，只需要举出反例依次判断即可得结果.【详解】若，，则，此时，故（1）错；同理（2）正确；若，则，则，故（4）错误，同理（3）正确，故答案是（1）（4）【点睛】该题考查的是有关命题真假判断的问题，涉及的知识点有新定义运算的，注意从题的条件中正确读取相关信息，再者就是不正确的命题只需要举个反例足矣.三、解答题17．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】由题意可得命题甲乙对应的k的范围，分甲真乙假，甲假乙真两种情形，由集合的运算可得.【详解】命题甲为真命题，则集合为空集，解得，命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，，解得由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，若甲为真命题，乙为假命题，则，k无解,若乙为真命题，甲为假命题，则，得或综上所述，实数的取值范围为 .【点睛】该题考查的是有关两个命题一真一假时对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确每一个命题为真命题时对应参数的取值范围，再分类讨论，求得结果，属于简单题目.18．已知函数的定义域是，关于的不等式的解集为．（1）当时，求集合；（2）求集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合偶次根式有意义的条件，列出相应的不等式，求得不等式的解集，即求得集合A，将代入不等式，求得一元二次不等式的解集，即求得集合B，根据并集中元素的特征，求得集合；（2）先将式子化为标准型，之后对进行讨论，求得相应的结果，注意分类讨论思想的应用.【详解】（1），，（2）由。
上海市金山中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题
上海市金山中学2018-2019学年上学期期中高考数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.2． 已知函数(5)2()e22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ） A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 3． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π4． 已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ）A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð5． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 6． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．08． 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
上海市金山中学高三数学上学期期中质量检测试题沪教版
（第6题图）上海市金山中学2012届高三数学上学期期中质量检测试题一、填空题：（本大题满分45分）本大题共有15题，考生应在空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律不得分。
1、不等式1|2|<-x 的解集为__________________。
2、已知}{n a 是等差数列，且11=a ，9321=++a a a ，则公差d =______________。
3、已知=∈-=2cos ),,2(,54cos αππαα则_________________。
4、设函数x x f -=)(的反函数为)(1x f -，则方程4)(1=-x f的解为____________。
5、若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为_________。
6、对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则32⊗=________。
7、D 为ABC ∆中BC 边的中点，若n m +=，则n m +=_________。
8、已知圆锥的母线长5=l cm ，高4=h cm ,则该圆锥的体积是________cm 3。
9、=++⋅⋅⋅++++∞→)122122122(lim 2n nn nn _________。
10、设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦长32||=AB ，则a =________。
11、在ABC ∆中，1,60==∠b A ο，三角形的面积3=S ，则a =_________。
12、无穷等比数列首项为1，公比q 为负数，且各项和为S ，则S 的取值范围是_________。
13、一个布袋中共有10个除了颜色之外完全相同的球，其中4个白球，6个黑球，则一次任意摸出两球中至少一个白球的概率是_______________。
14、设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，则实数m 的取值范围为________。
2018届上海市进才中学高三上学期期中数学试题
绝密★启用前2018届上海市进才中学高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（ ） A ．2x y = B ．ln y x = C ．1y x x =-D ．1y x x=+2．在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充分必要条件3．函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（ ） A ．[]()arcsin 0,1y x x =∈ B ．[]()arcsin 1,1y x x =∈-C ．[]()arcsin 1,1y x x π=-∈-D ．[]()arcsin 0,1y x x π=-∈4．对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M =，则满足条件的非空集合M 的个数是（ ） A ．11 B ．12C ．15D ．16第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知集合{}13A x x =-<<，集合{}230B x x x =-≤，则AB =__________.6．2249lim 37n n n n +=-+_________.7．方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解集是_________.8．不等式2101x x-<-的解集是_________. 9．已知角α的终边过点()3,4-，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 10．若将函数()sin(2)3f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则ϕ的最小值为______．11．若函数()()2,0,0x x g x f x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()f x =_________.12．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，数列{a n }的通项公式为________．13．已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是______.14．已知 >0,在函数y=2sin x 与y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 ，则 =_____. 15．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.16．已知数列{}n a 中，若1a 0=，2*k k 1i a k (i N ,2i 2,+=∈≤<1,2,3...)k =则满足i 2i a a 100+≥的i 的最小值为______．三、解答题17．已知函数()24coscos 2sin 22x f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）在ABC ∆中，A 为钝角，且22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC ∆的面积. 18．无穷数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -++++=-∈. （1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式及其各项的和.19．某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=. （1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？20．设数列{}n a 满足12a =，21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-.（1）求证：数列{}n b 为等比数列；（2）对于大于2的正整数q 、r （其中q r <），若25b 、q b 、r b 三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ； （3）若数列{}n c 满足()()()32*1214n nn n c b n N λ-⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，是否存在实数λ，使得数列{}n c 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由. 21．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 的一个弱渐近函数.（1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的一个弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()3g x x =是函数()2f x =在区间[)4,+∞上的弱渐近函数；（3）试问：函数()2121x f x x =+与函数()()221xf x e x -=--（其中e 为自然对数的底数）在区间[)1,+∞上是否存在相同的弱渐近函数？如果存在，请求出对应的弱渐近函数应满足的条件；如不存在，请说明理由.参考答案1．C 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性和这些函数在区间()0,∞+上的单调性，从而可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，设()2xf x =，定义域为R ，关于原点对称，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，且当0x >时，()2xf x =，该函数在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间()0,∞+上为增函数； 对于C 选项，设()1g x x x=-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11g x x x g x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数， 由于函数y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数1y x=在区间()0,∞+上为减函数， 所以，函数()1g x x x=-在区间()0,∞+上为增函数； 对于D 选项，设()1h x x x =+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数， 由双勾函数的单调性可知，函数()1h x x x=+在区间()0,1上为减函数，在区间()1,+∞上为增函数，则该函数在区间()0,∞+上不单调. 故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的奇偶性与单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 2．D 【解析】由题意可知，ABC ∆中至少有两个角是锐角，可设A 、B 为锐角，再由充分条件和必要条件的定义可得出结论. 【详解】由于直角三角形和钝角三角形中有两个锐角，锐角三角形中三个内角全为锐角， 在ABC ∆中，可设A 、B 为锐角，则cos 0A >，cos 0B >.若cos cos cos 0A B C >，则cos 0C >，C ∴为锐角，则ABC ∆为锐角三角形， 即“cos cos cos 0A B C >”⇒“ABC ∆为锐角三角形”；若ABC ∆为锐角三角形，则C 为锐角，所以，cos 0C >，可得出cos cos cos 0A B C >， 即“ABC ∆为锐角三角形”⇒“cos cos cos 0A B C >”.因此，“cos cos cos 0A B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查了角的属性与其余弦值符号之间的关系，考查推理能力，属于中等题. 3．D 【解析】 【分析】求出函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域，作为其反函数的定义域，再由原函数的定义域可得出其反函数. 【详解】 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]sin 0,1y x =∈，则函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数定义域为[]0,1，当[]0,1x ∈时，arcsin 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则arcsin ,2x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 且[]()sin arcsin sin arcsin x x x π-==，因此，函数sin ,2y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是[]()arcsin 0,1y x x π=-∈.【点睛】本题考查反三角函数的求解，解题时要注意原函数的定义域的限制，考查计算能力，属于中等题. 4．A 【解析】 【分析】根据题意，0M ∉且1M ∉，且2、4不同时在集合M 中，对集合M 分两种情况讨论：①2M ∉且4M ∉；②2和4有且只有一个在集合M 中，分别列举出符合条件的集合M ，即可得出答案. 【详解】2111==，200==，由题意可知0M ∉且1M ∉，由于242=，所以，2和4不同时在集合M 中.①当2M ∉且4M ∉时，则符合条件的集合M 有：{}3、{}5、{}3,5，共3种； ②若2和4有且只有一个在集合M 中，则符合条件的集合M 有：{}2、{}2,3、{}2,5、{}2,3,5、{}4、{}3,4、{}4,5、{}3,4,5，共8种.综上所述，满足条件的非空集合M 的个数是3811+=. 故选：A. 【点睛】本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．{}03x x ≤< 【解析】 【分析】解出集合B ，然后利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}23003B x x x x x =-≤=≤≤，因此，{}03A B x x ⋂=≤<.故答案为：{}03x x ≤<. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 6．43【解析】 【分析】在分式的分子和分母中同时除以2n ，利用常见数列的极限即可计算出所求极限值. 【详解】由题意可得22229449404lim lim 173730033n n n n n n n n→∞→∞+++===-+-+-+. 故答案为：43.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 7．{}2 【解析】 【分析】根据对数相等得出2335350x x x ⎧-=-⎨->⎩，解出即可.【详解】()()2lg 3lg 35x x -=-，根据对数相等得出2335350x x x ⎧-=-⎨->⎩，即232053x x x ⎧-+=⎪⎨>⎪⎩， 解得2x =，因此，方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解集是{}2.故答案为：{}2. 【点睛】根据考查简单的对数方程的求解，同时也要注意真数大于零的限制，考查运算求解能力，属于基础题. 8．()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意得出21010x x -<⎧⎨->⎩或21010x x ->⎧⎨-<⎩，解出这两个不等式组即可得出原不等式的解集.【详解】2101x x -<-，得21010x x -<⎧⎨->⎩或21010x x ->⎧⎨-<⎩，即1211x x ⎧<⎪⎨⎪-<<⎩或1211x x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩或， 解得112x -<<或1x >，因此，不等式2101x x -<-的解集是()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 9【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出cos α和sin α的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，4sin 5α==，因此，34cos 422252510πααα⎛⎫⎛⎫-=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：10. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 10．6π； 【解析】因为函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到sin(22)3y x πϕ=+- ,所以22()()036k k Z k k Z ππϕπϕπϕ-=∈∴=+∈>∴ ϕ的最小值为6π11．2x -- 【解析】 【分析】设0x >，可得出0x -<，求出()g x -，由奇函数的定义可得出()()f x g x =--，即可得出答案. 【详解】设0x >，可得出0x -<，则()2xg x --=，因此，函数()y g x =为奇函数，则()()2xf xg x -=--=-.故答案为：2x --. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，考查计算能力，属于中等题.12．22n n na +=* ()n N ∈ ．【解析】∵a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2-a 1=2，a 3-a 2=3，……，a n -a n-1=n （n≥2），由累加法可得a n -a 1=2+3+…+n=2(1)(2)222n n n n -++-=∵a 1＝1， ∴22n n na +=（n≥2）.∵当n=1时，也满足22n n na +=，22n n n a +∴=（n ∈N *）. 13．()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个根，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】解：∵()()g x f x b =-有两个零点，∴()f x b =有两个根，即()y f x =与y b =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()y f x =在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()y f x =单调递增，故不符合题意④当0a =时，函数()y f x =单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 14．【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为（ （ ， ），（ （， ）， ， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，（）（ ），.考点：三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解. 15【解析】 【分析】由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值. 【详解】设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得1a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题. 16．128 【解析】 【分析】由题意可得222(1)100i i a a k k +=++≥，得到k 的最小值，从而解得．【详解】 解：2,i a k = ()*1,22,1,2,3...k k i k N i +=∈≤<12222k k i ++∴≤<，()221i a k ∴=+222(1)100i i a a k k ∴+=++≥，故7k ≥；故i 的最小值为72128=， 故答案为128． 【点睛】本题考查了数列和不等式，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可，属于中档题.17．（1）π；（2【解析】 【分析】（1）利用二倍角的降幂公式可将函数()y f x =的解析式化简为()sin 2f x x =，再利用正弦型函数的周期公式可得出答案；（2）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭结合A 为钝角可求出A 的值，利用余弦定理求出b 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）()1cos 4sin 2sin 2sin 2sin cos 2sin sin 22xf x x x x x x x x +=⋅⋅-=+-= 因此，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=；（2）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得sin A =，又A 为钝角，所以23A π=，. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故213122b b ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，整理得220b b +-=，0b >，解得1b =，因此，11sin 2224ABCSbc A ==⋅=. 【点睛】本题考查三角函数周期的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中等题.18．（1）11a =，212a =，314a =；（2）112n n a -=；各项和为2.【解析】 【分析】（1）分别令1n =、2、3，代入题中等式可求出1a 、2a 、3a 的值； （2）令2n ≥，由1212242n n n a a na -++++=-可得()121212142n n n a a n a --++++-=-，将两个等式相减可求出n a ，再对1a 是否满足n a 在2n ≥的表达式，即可求出数列{}n a 的通项公式，可知该数列为等比数列，并利用无穷等比数列各项和公式可得出答案. 【详解】（1）依题意：11112412a -+=-=； 22224112a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即得212a =； 3312132223344224a --++⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得3334a =，所以314a =；（2）当2n ≥时，()121122142n n n n a a n a na --++++-+=-，① 可得()121212142n n n a a n a --++++-=-，② ①-②得，()()122111212211244222222n n n n n n n n n n n n n nna ------+-+++++⎛⎫=---=-== ⎪⎝⎭， 所以112n n a -=， 显然当1n =时，11a =也适合上式，所以当*n N ∈时，均有112n n a -=， 11112121222n n n n n n a a -+-===，所以，数列{}n a 是以1为首项，以12为公比的等比数列， 故无穷数列{}n a 各项的和1121112a S q ===--. 【点睛】本题考查利用数列的递推关系式求数列中项的值，同时也考查了利用n S 求通项以及无穷等比数列和的计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈千元.【解析】 【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径； （2）设1M A Dα?，可得24M ADπα?-，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后得出总造价y （千元）关于α的函数表达式，并利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立求出对应的tan α的值，即可计算出两圆的半径长. 【详解】（1）依题意，圆1M 的半径1tan 306034.63M B AB =⋅=⋅=≈（米）， ()tan 60tan 4531tan15tan 604521tan 60tan 4513--=-===++圆2M 的半径(260tan1560216.1M C =⋅=≈（米） ， 答：圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米； （2）设1M ADα?，则24M ADπα?-，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故景观步道的总造价为260tan 0.8260tan 0.94y ππαπα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭.1tan 2128tan 9128tan 911tan 1tan απαπααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()181281tan 171217841tan παππα⎡⎤⎡⎤=++-≥⋅=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦（当且仅当()1tan 0,12α=∈时取等号）， 当()1tan 0,12α=∈时，1tan 1tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭， 答：设计圆1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈（千元）.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．（1）证明见解析；（2）()(),3,5q r =；（3）存在，且实数λ的取值范围是348,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义结合数列{}n a 的递推公式证明出1n nb b +为非零常数，即可证明出数列{}n b 为等比数列；（2）由（1）中的结论求出等比数列{}n b 的通项公式，然后分225q r b b b ⨯=+、225q r b b b =+、225r q b b b =+三种情况讨论，结合等比数列和指数运算可求出q 、r 的值，由此可得出结果；（3）求得14644n n n c λ⎛⎫=+⋅⋅- ⎪⎝⎭，作差1134804nn n n c c λ+⎛⎫-=⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭，分n 为奇数和偶数两种情况求解不等式10n n c c +->恒成立问题，利用参变量分离法求出实数λ的取值范围. 【详解】（1）由21241n n a a n n +=+-+，()()()22112122n n a n n a n n +∴++-+=+-，即12n nb b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）知()1*2n n b n N -=∈，25b 、qb、r b 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，2121225q r ----∴+=，又q r <，21212132123524q r q r ----⎧=+==⎧∴⇒⎨⎨=+==⎩⎩，()(),3,5q r ∴=； ②若225q r b b b =+，则121122522q r ---⨯=⨯+，122225q r +--∴-=， 左边为偶数，右边为奇数，∴不成立； ③若225r q b b b =+，同理也不成立. 综合①②③得，()(),3,5q r =；（3）依题意()3114146444n nnnnn c λλ-⎛⎫⎛⎫=+-=+⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则1111114644643480444n nnn n n n n c c λλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯⋅---⋅⋅-=⋅-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.若λ存在，则10n n c c +->对*n N ∈恒成立. ①当n 为奇数时，23480n λ>-⋅，其中当1n =时，2max334805n ⎡⎤-⋅=-⎢⎥⎣⎦，故35λ>-； ②当n 为偶数时，23480n λ<⋅，其中当2n =时，2min 3484805n ⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，故485λ<. 综上所述，存在实数348,55λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得数列{}n c 是单调递增数列. 【点睛】本题考查等比数列的证明、利用等差中项的性质求参数，同时也考查了利用数列的单调性求参数，涉及不等式恒成立问题的处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 21．（1）[]4,4-；（2）见解析；（3）存在，()2g x x b =+，其中22,1b e⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由弱渐近函数的定义得出min 4m x ≤=，由此可求出实数m 的取值范围； （2）当4x ≥时，利用分子有理化结合放缩法证明出()()01g x f x <-≤，结合弱渐近函数的定义可证明结论成立；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数()g x kx b =+，根据弱渐近函数的定义得出()()11f x g x -≤和()()21f x g x -≤，可求得2k =以及实数b 所满足的不等式组，解出即可得出满足题意的若渐近函数()y g x =的解析式. 【详解】（1）依题意，当[)4,x ∈+∞时，()()331mf xg x x x x-=+-≤恒成立， 即1mm x x≤⇒≤恒成立，故4m ≤，所以，实数m 的取值范围是[]4,4-； （2）当4x ≥时，()()3232262222g x f x x x x x x x-=-=-=->-10x=>，()()323234241222g x f x x x x x x x-==-<⋅-=≤，. 故()()()()011g x f x g x f x <-≤⇒-≤，得证； （3）假设存在满足题意的弱渐近函数()g x kx b =+，()()()()212222122111x f g x kx b x kx b k x b x x x x -=--=-+--=-+--+++，若2k ≠，由于当1x ≥时，2011x <≤+，故(]222,11b b b x --∈----+，但是，当x →+∞时，()2k x -→±∞，故()()f x g x -→±∞， 不符合“()()1f x g x -≤恒成立”的要求，所以2k =， 此时()()(][]1222,11,11f g x b b x b x -=--∈----⊆-+，则2111b b --≥-⎧⎨--≤⎩，解得：21b -≤≤；()()()()221222x x f g x x e x b b e x ---=---+=---，当1x ≥时，10xee -<≤，故2222,2[1,1]xb e b b e -⎡⎫---∈-----⊆-⎪⎢⎣⎭，得22121b eb ⎧---≥-⎪⎨⎪--≤⎩，解得：231b e -≤≤--. 综上所述，函数()2121x f x x =+与函数()()221xf x e x -=--在区间[)1,+∞上存在相同的弱渐近函数，对应的弱渐近函数是()2g x x b =+，其中22,1b e ⎡⎤∈---⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查函数新定义的理解和应用，涉及函数不等式恒成立问题，解题的关键就是正确理解“若渐近函数”的定义，考查推理能力以及解决问题的能力，属于中等题.。
汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试(理数)
汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试数学（理科）一、选择题（12小题，每题5分，共60分）1、已知集合{}1,0,1,2,3A =-，2{|17,}B x x x N =<∈，则A B 等于（ ）A. {}1,0,1,2,3-B. {}0,1,2,3,4C. {}1,2,3D. {}0,1,2,32、已知函数2()12sin 3f x x =-，则()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A.12π B. 6π C. 3π D. 23π3、已知当0x <≤12时，不等式log 2a x <-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2)B. (1,C. 1)D. (0, 4、已知p ：0a <，q ：2a a >；则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5、已知函数()()221f x x a x b =+-+是偶函数，那么函数()g x =的定义域为（ ）A. 1(,]2-∞B. 1(0,]2 C. (]0,2 D. [)2,+∞ 63）7、已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=>，若存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有0()f x ≤()f x ≤0(2016)f x π+恒成立，则ω的最小值为（ ）A. 12016B. 14032C. 12016πD. 14032π8、已知定义在R 上的函数()f x 满足()22f =，且对任意的实数x ，都有()(5)15f x f x ⋅+=恒成立，则(2017)f 的值为（ ） A. B. C. D.A. 2B. 12C. 215D. 1529、在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A. -B. -C.D.10、已知函数()cos 4cos(4)3f x x x π=+-，将()f x 的图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的一个单调递增区间是（ ）A. 3[,]44ππB. 2[,]63ππC. [,]44ππ-D. [,]36ππ- 11、定义在()0,+∞内的连续可导函数()f x 满足()0f x >，且2()()3()f xx f x f x '<<对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则（ ） A. 1(1)14(2)3f f << B. 1(1)13(2)2f f << C. 1(1)116(2)8f f << D. 1(1)18(2)4f f <<12、已知函数()22,12ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，且函数()()()32F x f f x af x ⎡⎤=--⎣⎦恰有4个零点，下列选项中哪个集合内的a 值均符合题意（ ）A. 1ln23425a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， B. 1ln21422a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， C. 113425a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， D. ln213225a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，，二、填空题（4小题，每题5分，共20分） 1314cos 25αα+=，则67sin()πα+的值是__________． 14、已知点(1,0)A ，(0,1)B -，P (cos ,sin )θθ，且[0,]θπ∈，则BP BA ⋅的取值范围是 .15、定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x -+=+，当(0,2)x ∈时，2()ln(232)f x x x =-+则()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 .16、已知函数()3xf x xe a =+，如果存在唯一的0x Z ∈，使得()00f x ax <成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17、(本题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=.（1）求B ；（2）若3a =，点D 在AC 边上且BD AC ⊥，BD =c .18、(本题满分12分) 设函数()()1ln 0f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，求()f x 的极值； （2）如果()f x ≥ax 在()0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．19、(本题满分12分)数列{}n a 满足22n n a a +=+，且2a 、1a 、3a 、7a 成等比数列. 设1n n n b a a +=+.（1）求数列{}n b 的通项公式；（亲，题目没有让亲求数列{}n a 的通项公式） （2）设2+112n n n n n b c b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和.20、(本题满分12分) 在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, 异于点R 的点Q 满足：RQ （1）求动点Q 的轨迹的方程；（2） 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，． 问直线MN 是否经过某个定点？如果是，求出该定点， 如果不是，说明理由．21、(本题满分12分)已知函数()()21ln f x x x x =-+，()2ln 1g x x x ax =--.（1）求证: ()1,x ∀∈+∞，()2f x <；（2）若方程()0g x=有两个根，设两根分别为12,x x ,求证:21ln 12ln x x >+22、(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 1x cos y sin αα==+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθθ=+，直线l 的极坐标方程为3πθ=．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ， M 两点，交曲线2C 于O ， N 两点，求线段MN 的长．23、(本题满分10分)已知函数()6f x x x =+-.（1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为m ，若正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，m ≤.数学（理科）参考答案1-12：DBBAB BBDBC DA13、54-； 14、[0,1]； 15、10； 16、322239[,)(6,]22e e e e 17、解：（Ⅰ）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理， 可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，由A B C π++=可得()sin sin B C A +=， 所以()sin 2cos 10A B +=，因为0,sin 0A A π<<≠，所以1cos 2B =-，因为()0,B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B b BD ==⋅，把23,,3a B BD π===75b c =， 由23B π=得222239b a c ac c c =++=++，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =. 18、解：（1）由已知，当1a =时， ()1ln f x x x x=+，∴()21ln 1f x x x +-'=，()3120f x x x''=+>∴()f x '在()0,+∞上单调递增，且()10f '=，（2分）()f x '，(f x 随x 变化如下表：∴()f x 有极小值11f =，没有极大值．（5分）（2）（方法一）由题可得21(1ln )a x x -≤恒成立，当x e ≥时，上式恒成立； 当0x e <<时，21(1ln )a x x ≤-，又0a >，故21(1ln )x x a ≥-（8分）令()2(1ln )h x x x =-，则()(12ln )h x x x =-'， 令()0h x '=，x =∴当0x <<()0h x '>x e <<时， ()0h x '<，∴()max (1l 2h x h e e==-=，∴12e a ≥，解得： 20a e <≤，∴a 的取值范围是20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．（12分）（方法二）由题可得， 设()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->，则()21ln g x a x x='-，∵0a >，∴()g x '在()0,+∞上单调递增，()110g '=-<， 12110aa g e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭，∴101,ax e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，则2001ln a x x =，（8分） 由0a >知01x >，且00x x <<时， ()0g x '<，0x x >时， ()0g x '>，∴()()00min 002ln 10ln x g x g x xx -==≥，∴01ln 2x ≥，∴0x ≥2a e ≤，∴a 的取值范围是20,e ⎛⎤⎥⎝⎦．（12分）（方法三）由题可得()21ln 0f x a a x a xx -=+-≥恒成立， 令()21ln h x a xa x=+-，则()3a x x h x x⎛⎝⎭⎝⎭'=，（8分）∴0x<<时， ()0h x '<，x> ()0h x '>，∴()min 20h x a a==≥， ∴2ln 1a ≥，解得： 2a e ≤，∴a 的取值范围是20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．（12分）19、解：（Ⅰ）由22n n a a +=+及2a ， 1a ， 3a ， 7a 成等比数列得22312173{a a a a a a ⋅=⋅=， 即()()()22112111262a a a a a a ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩，解得12a =， 21a =，所以1123b a a =+=， 1n n b b +-= ()()211n n n n a a a a ++++-+ 22n n a a +=-=，所以数列{}n b 是首项为3，公差为2的等差数列，所以()321n b n =+- 21n =+. （Ⅱ）因为2+112n n n n n b c b b ++== ()()+12521232n n n n +++ ()()()()+12232121232n n n n n +-+=++ ()()+111212232n n n n =-++. 12n c c c +++=111132545478-+-+⨯⨯⨯⨯ ()()+111212232n n n n +-++()+1116232n n =-+.20、解：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为：1x =-．点R 是线段FP 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．…………2分 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：24(0)y x x =>．…………………………………….4分 (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，由AB ⊥CD ，且AB 、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB 、CD 斜率均存在，…………….5分设直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y（1）—（2）得k y y B A 4=+，即ky M 2=，……………………………………7分代入方程)1(-=x k y ，解得122+=kx M ．所以点Ｍ的坐标为222(1,)k k +．……………8分同理可得：N 的坐标为2(21,2)k k +-．………………………9分 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=，方程为 )12(1222---=+k x kk k y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ，..................11分 显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 恒过定点R (3,0)． (12)21、解：(1) ()()()1,,21ln 22x f x x x x ∀∈+∞<⇔+>-()()21211ln 2ln ln 0111x x x x x x x x x --+⇔>⇔>⇔->-++.下面证明：对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+， 则()()()221'01x h x x x -=>+，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，即()21ln 01x x x -->+，即证得：()()1,,2x f x ∀∈+∞<.(2)由()2ln 10g x x x ax =--=，得1ln x ax x -=，于是有1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+， ① 两式相减得()21221112ln x x x a x x x x x --=-，即可得212112ln1x x a x x x x +=-，②将②代入①可得()21211212121122ln1ln ()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-，即()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设2121,(1)x o x x t t x <<=>，则1222111ln ln (1)1x x x t t t x x x t ++=>--，由（1）可知()12121221ln 2,ln 21x x t t x x t x x ++>∴->-，又因为()1212121212122ln ln ln x x x x x x x x x x +-<-=-=，2,1∴>∴>，即12ln ln 12x x +>+.22、解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，曲线1C 的极坐标方程为22sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=．因为曲线2C的极坐标方程为2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+， 故曲线2C的直角坐标方程为222x y x +=+，即()(2214x y -+=．（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为3πθ=，化为直角坐标方程得y =，由22,{20,y x y y =+-=得0,{0,x y ==或32x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩.则OM ==由22,{2,y x y x =+=+得0,{0,x y ==或2,{x y ==则4ON ==．故4MN ON OM =-=23、解：（Ⅰ） ()26,0,6,06,26, 6.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩当0x ≤时，由2610x -+≤，解得20x -≤≤； 当06x <≤时，因为610<，所以06x <≤； 当6x >时，由2610x -≤，解得68x <≤ 综上可知，不等式()10f x ≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()f x 的最小值为6，即6m =.（或者6x x +-≥ ()66x x --=），所以6a b c ++=，由柯西不等式可得()()123a b c ++++=222⎛⎫++ ⎪⎝⎭222⎛⎫++ ⎪⎝⎭2≥6m ≤=.。
上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题设是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A.||||||a b a c b c -≤-+- B.2211a a a a+≥+C.1||2a b a b-+≥- 2.设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要3.函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A.()1f x +B.()1f x -C.()1f x +D.()1f x -4.已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A.18B.9C.27D.81第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.设全集I R =，}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________； 6.不等式2113x x ->+的解是_________； 7.若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________； 8.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{S n n}是首项为3，公差为2的等差数列，若b n=a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则使得S n +T n ≥268成立的n 的最小值为__________.10.如果函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数，则实数a =_________； 11.设函数())f x x =，若,a b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为_________； 12.若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________；13.()2k x ≤+的解集为区间[],a b ，且2b a -=，则k = ．14.对函数设0()||20f x x =-，()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则函数()n y f x =的零点个数n a 的通项公式为_________； 15.{}n a 为等差数列，则使等式1212111n n a a a a a a +++=++++++12122223332018n n a a a a a a =++++++=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值为_________；16.已知20b >>，则232241222c c c a c ++++++的最小值是_________. 三、解答题（题型注释）17.若数列n a 是递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}50n a -的前n 项和n S 的通项公式.18.对于两个实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中的较小数，已知函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭.（1）请画出函数()f x 的图像； （2）请写出函数()f x 的基本性质.19.某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为)*1,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定m 的取值范围. 20.已知函数21()(,)4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）求最大的()1mm >使得存在t R ∈，只需[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.21.已知数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，112a =，()22*112n n n n a a a a n N ++-=-∈，设数列的前n 项和为n S . （1）用1n a +表示n S ； （2）求证：1n n a a +<，并且313424n n S -<<； （3）记112n n nb a a +=-，求证：n b ≤参考答案1.C【解析】1.根据绝对值三角不等式得到A 正确；将不等式变换为2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭换元判断正确；取2,3a b ==≤，判断正确，得到答案.A. ||||||a b a c b c -≤-+-，根据绝对值三角不等式知不等式恒成立；B. 2211a a a a +≥+等价于2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭，设(][)1,,22,a t t a +=∈-∞-⋃+∞即220t t --≥即()()210t t -+≥，在(][),22,t ∈-∞-+∞恒成立；C. 1||2a b a b-+≥-，取2,3a b ==计算知不满足；≤≤即≤≥.故选：B 2.B【解析】2.先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选：B 3.D【解析】3.根据平移得到曲线C ：()11f x -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.函数()f x 的反函数为()1fx - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选：D 4.C【解析】4.根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．5.(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【解析】5.先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<<{}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或 ()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 6.(,3)(4,)-∞-⋃+∞【解析】6. 不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为：(,3)(4,)-∞-⋃+∞【解析】7.讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =8.20)x ≥【解析】8.利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为：20)x ≥9.5【解析】9.根据等差数列定义求得数列{a n }的前n 项和S n ；由a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式，利用b n=a 2n 求得数列{b n }的通项公式，进而求得数列{b n }的前n 项和T n ；依次代入求解即可得到n 的最小值。
【高三】上海市金山中学届上学期高上学期期中考试试题(数学)
【高三】上海市金山中学届上学期高上学期期中考试试题（数学）试卷说明：金山中学学年第一学期高三数学学科年级中考试卷一。
填空（每个问题4分，56分，填写答题纸上的答案）1如果是实数，并且是第四象限的一角，那么___3。
函数4的反函数。
在，if，，，三角形的面积，________________________；2.三角形面积公式5已知无穷比例数序列的前项和的极限存在，那么序列中项和的最小正周期等于函数的最小正周期，那么正实数的值为___7。
如果是，那么[analysis]试题分析：可以从已知的答案中获得答案，这样就可以解决问题。
测试点：计算极限8如果，那么_____9。
众所周知，函数的取值范围是，如果不等式的解集是，那么实数的值是，，那么测试题的分析的取值范围是：，可以从反正弦函数的定义域中得到。
测试点：反三角函数的应用11方程的实解数为_______;测试点：1函数图像；2.函数与等式12在算术序列中的关系，如果序列的前10项和前18项求和，则序列的前18项和[答案][分析]试题分析：根据问题的意义，我们可以知道数字序列是一个递减的数字序列，并且，然后，测试点：等差数列13之和如果已知函数在变化时为常数，则实数的值范围为___14。
一个偶数函数，它的域为any，满足，在那个时候，让，where，函数。
那么方程的解的数量是______________________。
它是一个通过两点的单调递增函数，两个函数图像在一个循环中有两个交点，因此有两个交点，即方程有解。
测试点：1函数的性质；2.功能形象；3.函数和方程II。
多项选择题：这道主题共有12道小题，每道小题得5分，每道小题的四个选项总共60分，只有一个符合该题的要求。
15“（）是一个充分和非必要条件。
必要和非充分条件。
充分和必要条件都不是充分和必要条件16如果，并且，在下列不等式中，总是正确的是………（）[答案]d[分析]试题分析：不平等应该是；必须是积极的；必须是积极的；对的测试点：应用基本不等式17如果函数是一个奇数函数，那么在那个时候，有。