数学建模题目及答案

数学建模题目及答案

【篇一：2013全国大学生数学建模比赛b题答案】lass=txt>承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、

讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考

文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学参赛队员 (打印并

签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2013年 9 月 13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

碎纸片的拼接复原

摘要

本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准

确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类

条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复

原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解

决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评

价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。

面对题目中给出的bmp格式的黑白文字图片，我们使用matlab软

件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中

该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。题

目每一个附件中的碎纸片均为来自同一页的文件，所以不需考虑残片中含有未知纸张的残片以及残片中不会含有公共部分。鉴于残片形状分为“长条形”与“小长方形”，残片内容分为中文、英文，纸张的打印类型分为“单面型”、“双面型”，所以我们根据残片的类型对矩阵做不同处理。

针对问题一中给出的“长条形”碎纸片：对图片转化后的矩阵进行边缘检测，发现每一张图片的两短边在一定范围内全是白色，而仅有2张图片的长边在一定范围内全是白色，说明我们需要对长边进行拼接，一边包含全白的长边是原文件纸张的两端。由于考虑到模型应用的推广，我们在此问中的模型包含了图片倒置的情况（仅在问题一中考虑倒置情况，鉴于问题二、三中数据量的增多，二三问不再考虑倒置情况），对图片的长边及矩阵中的第一列和最后一列与其他矩阵的第一列和最后一列进行边缘匹配，根据边缘匹配度来确定图片复原，最后若发现拼接效果有偏差，在进行人工操作。

针对问题二中的“小长方形”碎纸片：由于数据量变多，盲目使用问题一中的方法不能保证准确度，所以这里要进一步约束使当前图片与少量图片进行匹配。观察两种文字的特点，我们可以发现中英文在位置上均有一定的特性，我们利用这种特性将有相同位置特性的碎纸片归类为一组，在问题一方法的基础上做少许修改后代入有相同位置特性的一组碎纸片中，根据边缘匹配度将他们连接、检查并做人工处理可得拼接后的横行纸片，再将横行纸片的长边用同样的方法做边缘匹配可将行与行之间拼接起来，再做人工调整得到最优结果。通过模型的建立求解过程可以发现中英文在本问题的求解方法中有着一定的不同，英文需要更多地人工判断处理。

针对问题三考虑到双面问题以及问题二中英文碎纸片的情况，我们把碎纸片两面匹配度之和作为判断碎纸片是否连接的评价标准，在问题一方法的基础上，在计算机每一步的匹配结果加以人工选择与判断，这样再次处理得到的结果，可以得到同问题二中一样的横行碎纸片，在根据新的横行碎纸片的两面边缘匹配度之和进行同样的操作处理可以将原纸张拼接复原。

关键词：残片复原 matlab图像处理二值化边缘匹配度倒置情况位置特性

人工处理

一问题重述

b题碎纸片的拼接复原

破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题：

1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达（见

【结果表达格式说明】）。

2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。

3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。

【数据文件说明】

（1）每一附件为同一页纸的碎片数据。

（2）附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19条碎片。【结果表达格式说明】

复原图片放入附录中，表格表达格式如下：

(4) 不能确定复原位置的碎片，可不填入上述表格，单独列表。

二、模型假设

①假设题目中的碎纸图片与真实文件纸张大小、颜色、边缘情况相同。②假设题目中的碎纸照片边缘完整，不存在破损。

③假设所有碎纸片的扫描情况相同。

④假设人工干预后可以得到正确结果。

⑤假设原文件纸张的内容具有意义。

三、符号说明

四、问题分析

4.1问题一的分析

4.1．1 中文碎纸片的复原分析

问题1、2、3附件1、2、3、4、5中的碎纸片均为一份纸张撕裂所得，所以碎纸片附件1中所给的图片为[5]扫描原纸张碎片后得到的bmp格式的图片，图片像素均为

使用[1]matlab中的iamread函数可以做出图片的灰度矩阵ai，举

例如下（由1980?72，

于该像素图片转换后为1980?72的矩阵，论文中无法放置，所以仅

简单举例说明，论文中若还出现庞大的矩阵，同本说明）：中不会

存在含有相同信息的公共部分，这里进行强调，下面不再重述。

【篇二：数学建模考试题(开卷)及答案】

业《数学建模》课程考试供选试题

第1题

4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷

纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相

继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽

然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇

储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，

许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我

国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理

所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，

目的就是保gdp增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰

着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下：

1、gdp增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的gdp到底要增长多少？

2、要实现gdp增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要

投资多少？

3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流

向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资

应该如何分配到不同的产业(或行业)里？

4、请你给出相关的政策与建议。

第2题

深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计

算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深

度，假定你捡到一块质量是1kg的石头，并准确的测定出听到回声的时间t=5s，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。

1、不计空气阻力；

2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；

3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；

4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。

第3题

优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。

step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。

step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。

如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:

1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。

2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。

第4题

送货问题：某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料a,b,c从某港口(编号⑨)分别运

往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料a,b,c分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？

3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图１唯一的运输路线图和里程数

表１各公司所需要的货物量

第5题

生产与存贮问题：一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮

问题。

假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示: 月份( k)：123456

月需求量(bk)：853274

单位工时(ak)：1118 13 17 20 10

设库存容量h = 9,开始时库存量为2,期终库存量为0。要求制定一

个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗

费工时数最少。

解：s：总耗费工时。a(n):月耗工时。h（n）：月库存量。y（n）:

月生产量。b（n）：月需求量。q：总成本费。w：总存贮费。m:总费用。

由保证需求量及库存容量的约束条件下，我们可以得到以下的约束

条件，转换成数学模型。

h1=y1+2-8 0=h1=9

h2=y2+h1-5 0=h2=9

h3=y3+h2-3 0=h1=9

h4=y4+h3-2 0=h1=9

h5=y5+h4-7 0=h1=9

h6=y6+h5-4 h6=0

由此可以得到以下的式子：

0=y1+2-8=9 6=y1=15

0=y2+h1-5=9 11-y1=y2=20-y1

0=y3+h2-3=914-(y1+y2)=y3=23-(y1+y2)

0=y4+h3-2=9 16-(y1+y2+y3)=y4=25-(y1+y2+y3)

0=y5+h4-7=9 23-(y1+..y4)=y5=32-(y1+ (4)

y6+h5-4=0y1+y2+ (6)

27=0

我们是从一月份开始逐月的确定生产量，又要考虑耗费工时的最小。 a1=y(1)11/8 a2= y(2)18/5a3=y（3）13/3

a4=y（4）17/2 a5=y(5)20/7 a6=y(6)10/4

11/8=1.3（最小） 18/5=3.6

13/3=4.3 17/2=8.5(最大)

20/7=310/4=2.5（第二小）

所以：总工时

s=a1+a2+...............a6

总费用

m=q+w

经分析要使得s取最小值，库存量h1，h2必须取最大值，h4，h5

取最小值。所以得到的逐月生产计划是：

月份 1 2 3 4 5 6

生产量 15 5 0 0 3 4

第6题

碎石运输方案设计：在一平原地区要进行一项道路改造项目，在a，b之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形

公路。为了铺设这条道路，需要从s1，s2两个采石点运碎石。1立

方米碎石的成本都为60元。（s1，s2运出的碎石已满足工程需要，不必再进

一步进行粉碎。）s1，s2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺

设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在a，b

之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1

立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km

运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一

个临时码头需要用10万元。

建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：

a（0,100），b（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。

河与ab的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流

的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为

m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。桥的

造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。

此地区没有其它可以借用的道路。

为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需

要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指

出你的方案的总费用。

第7题

人民币的汇率问题：人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论

的热点，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展

的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些

学者则希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题：

1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；

2、人民币汇率与主要货币(如英镑、日元、欧元等)的汇率关系；

3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。

第8题

列车售餐问题：长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车

上食物的价格也略高。以t238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早

餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3

元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，

因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高

出的价格应有一个限制，

不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每

餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车

在用餐销售上效益最大。

解：4 问题假设：

1.价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买 ,即b1 = 20;

2.方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买 ,即b2 = 36;

3.因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；

4.早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买, 即b3 = 30;

5.各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1 = 10元（盒饭），

q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐）；

6.销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数

7.进一步设: x ( p ) = a – bp, a, b 0；

5 符号说明：

q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；

p：食物所卖的价格；

a：绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；

b：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）； i：收入；u：利润；c：支出；

x：需要购买某食物的人数；

相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2,

x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；

6 模型建立与求解：

采用先统一再分开的算法；

收入i ( p ) = px; 支出 c ( p ) = qx; 利润 u ( p ) = i ( p ) – c ( p );

求p使u ( p ) 最大；使利润 u(p)最大的最优价格 p*满足

u ( p ) = i ( p ) – c ( p )

= (p – q )( a – bp)

= -bpp + ( a + bq)p - aq

因为

q / 2 ~ 成本的一半；

b ~ 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）bp*

a ~ 绝对需求( p很小时的需求) a p*

7 对于盒饭：

由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，

但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 20p1;

由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 +

500 / 2 * 20 = 17.5;

由 500 – 20 * 17.5 = 150 200; 此时不能直接用公式；

由500 – 20p1 = 200 得到 p1 = 15;

所以取得最大利润时p1 = 15;

8 同理可得方便面：

【篇三：数学建模习题答案】

t>中国地质大学能源学院华文静

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：

模型假设

（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连

线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现

间断（没有像台阶那样的情况），

即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子

能放稳的必要条件

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，

要求对于椅脚的间

距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距

和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使

是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只

脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪

动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转

动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平

移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能

解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找

到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中

心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，

这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度?这一变量就表示了椅

子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形abcd,以对角线ac所在的直线为x轴，对称中

心o为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕o点沿逆时针方向旋转

角度?后，长方形abcd转至a1b1c1d1的位置，这样就可以用旋转角?（0????）表示出椅子绕点o旋转?后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直

距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是?的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是?的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的?，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形abcd是对称中心图形，绕其对称中心o沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但a,c和b,d对换了。因此，记a，b两脚与地面竖直距离之和为

f(?)，c,d两脚之和为g(?)，其中??0，?，使得f(?0)?模型求解如

果f(0)?

??

g(?0)成立。

g(0)?0，那么结论成立。

与g(0)不同时为零，不妨设f(0)?0,g(0)?0.这时，将长方形abcd绕

点如果f(0)

o逆时针旋转角度?后，点a,b分别于与c，d互换，但长方形abcd 在地面上所处的位

f(0)?g(0)?0,h(?)?f(?)?g(?)?0，

g(?0)；

根据连续函数介值定理，必存在?0?使得h(?0)?0,即f(?0)?（0，?），又因为f(?0)?g(?0)?0,所以f(?0)?

于是，椅子的四只脚同时着地，g(?0)?0。

放稳了。模型讨论

2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，

而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？模型假设

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只

能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设

计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

符号说明

x1：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0; x2：代

表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； x3：代表鸡

的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； x4：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；

sk?(x1,x2,x3,x4):状态向量，代表时刻k左岸的状态；

dk?(x1,x2,x3,x4):决策向量，代表时刻k船上的状态；

模型建立

限制条件：x1?0??

?x2?x3?2

x?x?24?3

初始状态：s0?(1，1，1，1),d0?(0，0，0，0) 模型求解

根据乘法原理，四维向量共有2（x1,x2,x3,x4）

4

?16种情况根据限制条件可以排除

（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1,1）三种情况，其余13种情况可

以归入两个集合进行分配，易知

可行决策集仅有五个元素d?(1，1，1，0),(1，0，1，0),(1，0，0，1),(1，0，0，0),(0，0，,0，0),状态集有8个元素，将其进行分配，

共有两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把

鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态

见表1）；

方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把

鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见

表2)；

??

（1,1,1,1）?（0,0,0,0）目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由

3. 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的q值方法.

（3）d’hondt方法：将各宿舍的人数用正整数n?1,2,3,?相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 解：先考虑n=10的分配方案，

p1?235,p2?333,p3?432,?pi?1000

i?1

3

方法一（按比例分配）

q1?p1n?2.35,q2?p2n?3.33,q3?p3n?4

分配结果为：n1?3,n2?3,n3?4 方法二（q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?3,n2?3,n3?4

第10个席位：计算q值为

235233324322

q1??920417，q2??924075q3??93312

2?33?44?5

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法）

原理：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）,

pi

是每席位ni

2,3…，从而得到的代表的人数，取ni=1,

接近。

pip

中选较大者，可使对所有的i，i尽量nini

所以此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果。现将3中方

法两次分配额结果

俱乐

部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的

重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下

数据（胸围指鱼身的最大周长）：

先用机理分析，再用数据确定参数。模型分析

本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的

重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上

没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。模型假设

（1）设鱼的重量为?；（2）鱼的身长记为l；模型的构成与求解

因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼

的重量?与身长l的立方成正比，为这两者之间的比例系数。即??

k1?3,k1为比例系数。不过常钓得较

肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方

成正比，于是??系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：

k1?0.0146,k2?0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：

k2d2l,k2为比例

通过机理分析，基本上满意 5.生物学家认为，对于休息状态的热血

动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量

成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率

之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。