三角恒等变形公式及答案(1)正用逆用变形用
高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用
A．
B． 5 C．
D．
【答案】A
【解析】由三角函数的定义可得
，又
，
所以
.故选 A.
12．【佛山市普通高中高三教学质量检测（二）】已知
cos
1 ， 7
0,
2
，则
cos
3
()
A． 11 14
【答案】D
B． 3 3 14
C． 5 3 14
D． 13 14
13 ．【 江 西 省 南 昌 市 2017-2018 学 年 度 高 三 第 二 轮 复 习 测 试 卷 （ 三 ）】 在 .
高中数学专题讲义：三角函数公式的正用、逆用与变用
考纲要求:
sinx 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，cosx＝tanx.
π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正
（Ⅰ）求 的大小；
中，
（Ⅱ）求
的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理可得
的取值范围为
.
，结合余弦定理可得 的大小；（Ⅱ）利用内角和定理
【详解】 （Ⅰ）因为 所以
可化简为
，结合
可得结果.
，
，由正弦定理，得
，
所以
， 又因为
， 所以 .
14．在 中，
.
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）求
3．已知
，
，
，则
（）
A．
B．
【答案】B
C．
D．
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解19---三角恒等变换与解三角形
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第19讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．考点一 三角恒等变换 核心提炼1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.例1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则() A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.153答案 A解析 方法一因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan 2α＝cos α2－sin α， 所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α， 且tan 2α＝cos α2－sin α， 所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515. 规律方法 三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪演练1 (1)(多选)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ＋3cos 2θ＝cos θ＋32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ等于( ) A.π3 B.π6 C.π12 D.π18答案 BD解析 sin θcos θ＋3cos 2θ ＝12sin 2θ＋3×1＋cos 2θ2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋32＝cos θ＋32， 故cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝cos θ， 所以2θ－π6＝θ＋2k π或2θ－π6＝－θ＋2k π(k ∈Z )， 故θ＝π6＋2k π或θ＝π18＋2k π3(k ∈Z )． 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π6或π18. (2)已知函数f (x )＝sin x －2cos x ，设当x ＝θ时，f (x )取得最大值，则cos θ＝________.答案 －255解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255， 则f (θ)＝5sin(θ－φ)＝5，因此θ－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π2＋2k π＝－sin φ＝－255. 考点二 正弦定理、余弦定理核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . 3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2022·济南模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( ) A ．3 B.13 C.33D. 3 答案 D解析 因为b sin 2A ＝a sin B ，所以2b sin A cos A ＝a sin B ，利用正弦定理可得2ab cos A ＝ab ， 所以cos A ＝12，又c ＝2b ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋4b 2－a 24b 2＝12， 解得a b＝ 3.(2)(2022·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )．①证明：2a 2＝b 2＋c 2；②若a ＝5，cos A ＝2531，求△ABC 的周长． ①证明 方法一由sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，可得sin C sin A cos B －sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ，结合正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 可得ac cos B －bc cos A ＝bc cos A －ab cos C ，即ac cos B ＋ab cos C ＝2bc cos A (*)．由余弦定理可得ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22， ab cos C ＝a 2＋b 2－c 22，2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2， 将上述三式代入(*)式整理，得2a 2＝b 2＋c 2.方法二 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C sin(A －B )＝sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2A cos 2B －cos 2A sin 2B＝sin 2A (1－sin 2B )－(1－sin 2A )sin 2B＝sin 2A －sin 2B ，同理有sin B sin(C －A )＝sin(C ＋A )sin(C －A )＝sin 2C －sin 2A .又sin C sin(A －B )＝sin B sin(C －A )，所以sin 2A －sin 2B ＝sin 2C －sin 2A ，即2sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，故由正弦定理可得2a 2＝b 2＋c 2.②解 由①及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得，a 2＝2bc cos A ，所以2bc ＝31.因为b 2＋c 2＝2a 2＝50，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝81，得b ＋c ＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.规律方法 正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．跟踪演练2 (1)在△ABC 中，若cos C ＝79，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 外接圆的面积为() A.49π8 B.81π8 C.81π49 D.81π32答案 D解析 根据正弦定理可知b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ，得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B＝2R sin(A ＋B )＝2，因为sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ＝1－cos 2C ＝429，所以R ＝928，所以△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝81π32.(2)(2022·衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A tan B ＝2c －bb .①求角A 的大小；②若a ＝2，求△ABC 面积的最大值及此时边b ，c 的值．解 ①在△ABC 中，由正弦定理得，c ＝2R sin C ，b ＝2R sin B ，则tan A tan B ＝2c b －1＝2sin C sin B －1，tan A tan B ＋1＝2sin C sin B， 化简得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A .即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，∵A ＋B ＝π－C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos A ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. ②由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又A ＝π3，∴b 2＋c 2－bc ＝4， 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4，则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立， ∴△ABC 面积的最大值为3，此时b ＝2，c ＝2.考点三 解三角形的实际应用核心提炼解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．例3 (1)滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12 m ，在它们的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 、滕王阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得滕王阁顶部C 的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)()A ．42 mB ．45 mC ．51 mD ．57 m答案 D解析 由题意得，在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin 15°， 在△ACM 中，∠CAM ＝30°＋15°＝45°，∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM ＝30°，由正弦定理得AM sin ∠ACM ＝CM sin ∠CAM， 所以CM ＝sin ∠CAM sin ∠ACM·AM ＝2AB sin 15°， 又sin 15°＝sin(45°－30°) ＝22×32－22×12＝6－24， 在Rt △CDM 中，CD ＝CM sin 60°＝6AB 2sin 15°＝1262×6－24＝36＋123≈57(m)． (2)雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ＝(R ＋h 1)2－R 2＋(R ＋h 2)2－R 2＝2Rh 1＋h 21＋2Rh 2＋h 22(如图)，其中h 1为雷达天线架设高度，h 2为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8 490 km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25 m，为保护航母的安全，须在直视距离412 km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据：2×8.49≈4.12)()A．6 400 m B．8 100 mC．9 100 m D．1 000 m答案 C解析根据题意可知L＝412 km，R＝8 490 km，h2＝0.025 km，因为L＝(R＋h1)2－R2＋(R＋h2)2－R2＝2Rh1＋h21＋2Rh2＋h22，即412＝(8 490＋h1)2－8 4902＋(8 490＋0.025)2－8 4902≈(8 490＋h1)2－8 4902＋20.6，解得h1≈9.02(km)≈9 100(m)．所以舰载预警机的巡航高度至少约为9 100 m.规律方法解三角形实际问题的步骤跟踪演练3(1)如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面P AD与地面垂直，在山顶P点测得点A ，C ，D 的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB ＝200 m ，CD ＝100 m ，现欲沿直线AD 开通穿山隧道，则隧道BC 的长为()A ．100(3＋1)mB ．200(3＋1)mC ．200 3 mD ．100 3 m答案 C解析 由题意可知A ＝30°，D ＝45°，∠PCB ＝60°，所以∠PCD ＝120°，∠APC ＝90°，∠DPC ＝15°，因为sin 15°＝sin(45°－30°) ＝22×32－22×12＝6－24， 所以在△PCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DPC ＝PC sin D， 即1006－24＝PC 22， 解得PC ＝100(3＋1)m ，所以在Rt △P AC 中，AC ＝2PC ＝200(3＋1)m ，所以BC ＝AC －AB ＝2003(m)．(2)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．现分别从地面上的两点A ，B 测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝60 2 米，则OP 等于( )A．40米B．30米C．30 2 米D．30 3 米答案 C解析如图所示，设OP＝h，由题意知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△AOP中，OA＝OPtan 30°＝3h，在Rt△BOP中，OB＝h.在△ABO中，由余弦定理，得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OB cos 60°，代入数据计算得到h＝302(米)．即OP＝302(米)．专题强化练一、单项选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC等于() A．1 B. 2 C. 5 D．3答案 D解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去)．2．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32答案 D解析 cos 2π12－cos 25π12＝1＋cos π62－1＋cos 5π62＝1＋322－1－322＝32. 3．(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为3154，b －c ＝1，cos A ＝14，则a 等于( ) A ．10 B ．3 C.10 D. 3答案 C解析 因为cos A ＝14，所以sin A ＝154， 又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝3154， 所以bc ＝6，又b －c ＝1，可得b ＝3，c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝10，即a ＝10.4．已知cos α＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3答案 C解析 ∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos(β－α)＝1－sin 2(β－α)＝31010， 又sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝31010×55－⎝⎛⎭⎫－1010×255＝22， 又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π4. 5．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度(单位：米)约为( )A ．3米B ．4米C ．6(3－1)米D ．3(3＋1)米答案 C解析 如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，∠CAD ＝45°，CD ＝24米，所以∠CAD ＝45°，在△ACD 中，由正弦定理得CDsin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC ，即24sin 45°＝AC sin 30°，解得AC ＝122(米)，在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝AB AC ，即sin 15°＝AB122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×⎝⎛⎭⎫32×22－12×22 ＝122×6－24＝32(6－2)＝6(3－1)米．6．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为() A ．－35B.35C ．－45D.45答案 C解析 由sin α－cos β＝3cos α－3sin β得，sin α－3cos α＝cos β－3sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－β－3cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，设f (x )＝sin x －3cos x ＝10⎝⎛⎭⎫110sin x －310cos x＝10sin(x －φ)， 其中cos φ＝110，sin φ＝310，φ为锐角，已知条件即为f (α)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－β，所以π2－β＝2k π＋α，或π2－β－φ＋α－φ＝2k π＋π，k ∈Z ，若π2－β＝2k π＋α，k ∈Z ，则α＋β＝－2k π＋π2，k ∈Z ，sin(α＋β)＝sin π2＝1与已知矛盾，所以π2－β－φ＋α－φ＝2k π＋π，k ∈Z ，α－β＝2k π＋π2＋2φ，k ∈Z ，则sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2＋2φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝cos 2φ＝2cos 2φ－1＝－45.二、多项选择题7．(2022·张家口质检)下列命题中，正确的是( )A ．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝π3，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形 答案 ABD解析 对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵A ＋B >π2， ∴π2>A >π2－B >0， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，因此不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，错误；对于D ，由于B ＝π3，b 2＝ac ，由余弦定理可得 b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，则A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 必是等边三角形，正确．8．函数f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )－12，若f (x 0)＝3210，x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π3，下列结论正确的是( ) A ．f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．直线x ＝π4是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上的最小值为－22D ．cos 2x 0＝210答案 AD解析 f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －12 ＝1－cos 2x2＋12sin 2x －12＝12(sin 2x －cos 2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故A 正确；当x ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝22，∴x ＝π4不是f (x )的对称轴，故B 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π12，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上无最小值，故C 错误；∵f (x 0)＝3210，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝35， 又2x 0－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝45， ∴cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＋π4 ＝22⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4－sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π4＝210， 故D 正确．三、填空题9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan 2α的值为________． 答案 3解析 由sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 可得sin α＝cos αcos π6－sin αsin π6 ＝32cos α－12sin α，则tan α＝33， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×331－⎝⎛⎭⎫332＝ 3. 10．(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝________. 答案 －78解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α－π2 ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎝⎛⎭⎫1－18＝－78. 11.(2022·开封模拟)如图，某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距5海里，cos ∠BAD ＝－45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里；小岛B ，C ，D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里．答案 35 15解析 由圆的内接四边形对角互补，得cos ∠BCD ＝cos(π－∠BAD )＝－cos ∠BAD＝45>0， 又∠BCD 为锐角，所以sin ∠BCD ＝1－cos 2∠BCD ＝35， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝BD 35＝55，则BD ＝35(海里)． 在△BCD 中，由余弦定理得 (35)2＝CD 2＋52－2×CD ×5×45， 整理得CD 2－8CD －20＝0，解得CD ＝10(负根舍去)．所以S △BCD ＝12×10×5×35＝15(平方海里)． 12．(2022·汝州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos 2C ＝cos 2A ＋4sin 2B ，则△ABC 面积的最大值为________．答案23解析 由cos 2C ＝cos 2A ＋4sin 2B 得，1－2sin 2C ＝1－2sin 2A ＋4sin 2B ，即sin 2A ＝sin 2C ＋2sin 2B ，由正弦定理得a 2＝c 2＋2b 2＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4，∴c 2＋2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝－b 2c<0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－b 24c 2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12b 2c 2⎝⎛⎭⎫1－b 24c 2 ＝12b 2c 2－14b 4， ∵c 2＋2b 2＝4，∴c 2＝4－2b 2，∴S △ABC ＝12b 2(4－2b 2)－14b 4 ＝12－94b 4＋4b 2， 则当b 2＝89时， ⎝⎛⎭⎫－94b 4＋4b 2max ＝－94×6481＋4×89＝169， ∴(S △ABC )max ＝12×43＝23. 四、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13. (1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b . 解 (1)由S 1－S 2＋S 3＝32， 得34(a 2－b 2＋c 2)＝32， 即a 2－b 2＋c 2＝2，又a 2－b 2＋c 2＝2ac cos B ，所以ac cos B ＝1.由sin B ＝13， 得cos B ＝223或cos B ＝－223(舍去)， 所以ac ＝322＝324， 则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×324×13＝28. (2)由sin A sin C ＝23，ac ＝324及正弦定理知 b 2sin 2B ＝ac sin A sin C ＝32423＝94， 即b 2＝94×19＝14，得b ＝12. 14．(2022·抚顺模拟)在①(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b ；②cos 2A －C 2－cos A cos C ＝34；③3c b cos A＝tan A ＋tan B 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b ＝23，________.(1)求角B ；(2)求2a －c 的取值范围．解 (1)选择①：∵(2c －a )sin C ＝(b 2＋c 2－a 2)sin B b， ∴由正弦定理可得(2c －a )c ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴2c －a ＝2b cos A ，可得cos A ＝2c －a 2b， ∴由余弦定理可得cos A ＝2c －a 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 选择②：∵cos 2A －C 2－cos A cos C ＝1＋cos (A －C )2－cos A cos C ＝1－cos A cos C ＋sin A sin C 2＝1－cos (A ＋C )2＝34， ∴cos(A ＋C )＝－12， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12， 又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. 选择③： 由正弦定理可得3c b cos A ＝3sin C sin B cos A，又tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B ＝sin Ccos A cos B ， 由3cb cos A ＝tan A ＋tan B ， 可得3sin Csin B cos A ＝sin Ccos A cos B ，∵sin C >0，∴tan B ＝3， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，由(1)及b ＝23， 得b sin B ＝a sin A ＝c sin C ＝2332＝4，故a ＝4sin A ，c ＝4sin C ，2a －c ＝8sin A －4sin C＝8sin A －4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A＝8sin A －23cos A －2sin A ＝6sin A －23cos A＝43sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，∵0<A <2π3，则－π6<A －π6<π2，－12<sin ⎝⎛⎭⎫A －π6<1，－23<43sin ⎝⎛⎭⎫A －π6<43﹒∴2a －c 的取值范围为()－23，43.。
5.5.2 简单的三角恒等变换(解析版)
5.5.2 简单的三角恒等变换一、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=， 21cos 2sin 2αα-= 二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）sin2a ＝1cos 2a - cos 2a ＝1cos 2a+1cos sin 1cos tan.21cos 1cos sin ααααααα--===++以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1cos tan,tan 21cos 2sin αααααα-==+ ； 2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-=== 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 三、积化和差与和差化积公式 1、积化和差1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+2、和差化积sin sin 2sincos22x y x yx y +-+= sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2coscos22x y x yx y +-+= cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 四、辅助角公式对于形如sin cos a x b x +的式子，可变形如下：sin cos a x b x +=222222sin cos a ba b x x a b a b ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭ 由于上式中22a a b +和22ba b+的平方和为1，故令2222cos ,sin a b a ba bϕϕ==++，则sin cos a x b x +=()22sin cos cos sin a b x x ϕϕ++=22sin()a b x ϕ++ 其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定， 或由22sin b a bϕ=+和22cos a a bϕ=+共同确定．五、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+； 221tan 2cos 1tan 2ααα-=+； 22tan2tan 1tan 2ααα=-六、三角函数化简“三看”原则七、三角恒等变换综合应用的解题思路（1）将()f x 化为sin cos a x b x +的形式； （2）构造)cos sin ()(x ba b x ba ab a x f ⋅++⋅++=222222（3）和角公式逆用，得()22)f x a b x ϕ=++ (其中φ为辅助角)；（4）利用()22)f x a b x ϕ=++研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．题型一 半角公式与万能公式的应用【例1】已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则tan2α=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13- 【答案】D 【解析】由sin tan21cos ααα=+，又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则4cos 5α=， 所以1tan 23α=-.故选：D【变式1-1】已知π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B 10C ．310D 310【答案】A【解析】由π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，得2234cos 1sin 155αα⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭，ππππ,2224αα<<∴<<，cos 02α>， 411cos 105cos 222αα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭= 所以cos πcos 22αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭10故选：A.【变式1-2】若3sin 5θ=，5π3π2θ<<，则tan cos 22θθ+=（ ） A ．103 B ．103 C ．3103 D ．3103【答案】B【解析】因为3sin 5θ=，5π3π2θ<<，所以24cos 1sin 5θθ=-=-， 因为5π3π422θ<<，所以sin 02θ<，cos 02θ<， 所以1cos 310sin 22θθ-=-，1cos 10cos 22θθ+=-= 所以sin 2tan32cos2θθθ==， 则10tan cos 32210θθ+=，故选：B.【变式1-3】已知()tan 3πα+=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．310 C ．34 D 310【答案】A【解析】()tan 3tan 3παα+=⇒=，222tan 233cos 2sin 221tan 135παααα⨯⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭故选：A【变式1-4】若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【解析】∵sin 1tan 1cos 22ααα==+，∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 故答案为：75.题型二 积化和差与和差化积的应用【例2】利用和差化积公式，求下列各式的值： （1）sin15sin105︒+︒； （2）sin20sin40sin80︒+︒-︒； （3）cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】（16（2）0；（3）12. 【解析】（1）1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=. （2）sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. （3）1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【变式2-1】利用积化和差公式，求下列各式的值： （1）cos15cos75︒︒； （2）sin20sin40sin80︒︒︒． 【答案】（1）14；（23【解析】（1）由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； （2）由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦11sin80sin80cos 2042=-︒+ ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+113sin 80sin 8044=-︒+︒3=【变式2-2】下列关系式中正确的是（ ） A ．sin5sin32sin8cos2θθθθ+= B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=- C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1cos cos sin sin 2x y x y x y --+=⎡⎤⎣⎦ 【答案】D【解析】A 中，()()sin5sin3sin 4sin 42sin 4cos θθθθθθθθ+=++-=，A 错；B 中，()()cos3cos5cos 4cos 42sin 4sin θθθθθθθθ-=--+=，B 错；C 中，()()sin3sin5=sin 4sin 42cos4sin θθθθθθθθ---+=-，C 错；D 中，()()()11cos cos 2sin sin sin sin 22x y x y x y x y --+=⨯=⎡⎤⎣⎦，D 正确.故选：D【变式2-3】若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13 D ．13- 【答案】A【解析】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=，所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ，故选：A ．【变式2-4】求值：cos40cos80cos80cos160cos160cos40︒︒︒︒︒++︒.【答案】34- 【解析】原式()()()()8040804016018016081cos cos cos cos 220⎡⎤=-++++⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦ ()()1cos c 160401040os 26⎡⎤+-⎣⎦+111cos cos cos 24c s 120400os o 008co 20c s120222⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+++++⎣⎦ ()13cos 40cos80cos 20024=++- ()()360206020cos 241cos s 0co 2=⎡⎤-+--⎦+⎣()132cos60cos20cos2024=︒︒-︒- ()133cos20cos20244=--=-︒︒.【变式2-5】在ABC 中，若30B =，则cos sin A C 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A C A C A C A C A C A C A C +--=+--=，所以，()()()111cos sin sin sin sin 242A C A C A C A C =+--=--⎡⎤⎣⎦， 30B =，则0150A <<，则()1502150AC A A A -=--=-，且有1502150150A -<-<，则()1sin 1A C -≤-≤，故()1113cos sin sin ,4244A C A C ⎡⎤⎡⎤=--∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：C.题型三 辅助角公式及其应用【例3】将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式： （13cos x x -； （226.444x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2sin .6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（225.12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）312cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）213sin 2244x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=--⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式2sin sin cos cos 6464x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭25.12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【变式3-1】求下列函数的最大值和最小值： （1）13cos 2y x x =+； （2）sin cos y x x =-； （3）sin 3y x x =； （4）sin 232y x x =.【答案】（1）最大值为1，最小值为1-；（222（3）最大值为2，最小值为2-；（4）最大值为2，最小值为2-【解析】（1）13cos sin sin 26y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为1，最小值为1-； （2）sin cos 24y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴22-（3）sin 32sin 3y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-；（4）sin 2322sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-.【变式3-2】（多选）若13sin cos()2x x x ϕ+=+，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π-B ．6πC ．56πD ．116π【答案】AD 【解析】因为13sin cos cos sin sin cos 2666πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x x x x x cos 26x k ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故26k πϕπ=-+，故ϕ的值可能为11,66ππ-．故B ，C 错误.故选：AD.【变式3-3】已知πcos()63x -= πcos cos()3x x +-等于（ ）A 23B ．± 23C ．－1D ．1 【答案】D【解析】π13π3cos cos()cos cos 331326x x x x x x ⎛⎫+-=+=-== ⎪⎝⎭，故选：D【变式3-4】已知函数2()23cos 2cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值，以及此时x 的取值. 【答案】（1）[,],Z 36k k k ππππ-++∈；（2）当6x π=，最大值为3；当6x π=-，最小值为0.【解析】（1）由函数2()23cos 2cos 32cos 21f x x x x x x =+=++2sin(2)16x π=++，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为[,],Z 36k k k ππππ-++∈.（2）由（1）知()2sin(2)16f x x π=++因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当262x ππ+=时，即6x π=，函数()f x 取得最大值，最大值为3；当ππ266x时，即6x π=-，函数()f x 取得最小值，最小值为0.题型四 三角恒等变换的化简问题【例4】化简4sin 24cos 24tan12cos12︒︒︒︒+=（ ） A ．1 B 2 C 3 D ．2【答案】C【解析】4sin 24cos 242sin 48sin12tan12cos12cos12︒︒︒︒︒︒︒++=()2sin 6012sin12cos12︒︒︒︒-+=3cos12sin12sin123︒︒︒-+==故选：C.【变式4-1】化简()()sin5cos513︒+︒︒=（ ） A 2B ．22C ．2D 2【答案】D【解析】()()22cos103sin10sin5cos513222︒+︒︒+︒︒︒+︒⎭2sin 4022sin 40cos402sin8022cos10︒︒︒︒=︒⋅==︒ D.【变式4-2】若1cos sin 222αα=，则1sin cos 124ααπα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．12 C 2D ．22【答案】B 【解析】因为1cossin 222αα=，所以tan 22α=， 所以()1sin cos 1sin cos 1cos sin 124ααααπααα++++=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222sin cos 2cos tan 121122222222sincos2sin tantan 22222ααααααααα+++====+++． 故选：B【变式4-3】若2πθπ<<，tan 3θ=-，22cos 2θ=+_________．【答案】45- 【解析】因为2πθπ<<，tan 3θ=-，∴sin 0,cos 0θθ><，()2222cos 2222cos 1θθ=++-222222cos (sin cos )2cos 4cos θθθθθ-==-222222cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--==++194195-==-+. 故答案为：45-.【变式4-4cos 40sin 5013sin 20sin 40cos 20cos 40sin 701cos 40︒+︒︒︒-︒︒-︒︒+︒.23 cos 40sin 50(13tan10)sin 20sin 40cos 20cos 40sin 701cos 40︒+︒+︒︒-︒︒-︒︒+︒()()()()22223sin10cos10cos 40sin 50sin 3010sin 3010cos10cos 3010cos 3010sin 70cos 20sin 20cos 20sin 20︒+︒︒+︒-︒-︒+︒︒=︒-︒-︒+︒︒︒+︒+︒-︒ ()2sin 3010cos 40cos 402cos30sin10cos102sin 30sin102sin 70cos 20︒+︒︒+︒⋅-︒︒︒=︒︒︒︒2sin 40cos 40cos 40cos30cos10sin 302sin 70cos 20︒︒︒+︒︒=︒︒︒sin80cos 40cos1032sin 70cos 20︒︒+︒=︒︒232cos 20=︒2232cos 20=︒2232cos 20=︒23=【变式4-5】求证：22(1cos 2)(2sin 1)tan12sin 44tan 12ααααα+-=-.【答案】证明见解析 【解析】证明：22(1cos 2)(2sin 1)tan2tan 12αααα+--221()tan 22cos cos 2tan 2αααα=-⋅⋅-222tan2cos cos 21tan 2αααα-⋅=⋅2t cos c an os2ααα⋅=⋅s cos c in os2ααα⋅=⋅1sin 2cos 22αα=⋅1sin 44α=所以原等式成立．题型五 三角形中的三角恒等变换【例5】在ABC ∆中，若sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】因为sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--所以sin sin 1cos cos A B A B =-所以cos cos sin sin 1A B A B +=，所以()cos 1A B -= 因为(),0,A B π∈，所以0A B -=，即A B = 所以三角形为等腰三角形；故选：D【变式5-1】已知ABC ，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos A B A B +=+，则ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】A 【解析】依题意，sin()sin()cos()cos()22222222A B A B A B A B A B A B A B A B+-+-+-+-++-=++-， 则有2sincos 2cos cos 2222A B A B A B A B +-+-=，在ABC 中，ππ222A B --<<，即cos02A B->， 因此tan12A B +=，又π022A B +<<，于是得π24A B +=，即π2A B +=， 所以ABC 是直角三角形.故选：A【变式5-2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=．则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】由A B C π++=知，()sin sin A B C =+，∴()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=＝()2sin B C +，0B C π<+<，()sin 0B C +≠， ()()sin sin B C B C ∴-=+，∴cos sin 0B C =，∵在△ABC 中，sin 0C >，∴cos 0B =， ∵0B π<<，∴2B π=，即△ABC 为直角三角形．故选：C ．【变式5-3】在△ABC 中，2,3ACB π∠=AB 边上的高1,,CD AD x DB y ===，则x y +的最小值为_________.【答案】23【解析】23ACB π∠=，3A B π∴+=，∴3B A π=-，03A π<<，AB x y =+11tan tan A B =+cos cos sin sin A B A B =+sin()sin sin A B A B+=32sin sin()3A A π=-3231sin (cos sin )A A A =-32311sin 2cos 2A A =+-3211sin(2)264A π=+-，∵03A π<<，∴52666A πππ<+<，∴当262A ππ+=时，x ＋y 的最小值为23 故答案为：23。
三角函数公式的正用、逆用、变形用
＝
所
。
２
ｒ— 一
（ ２ ） 方法１ ） ＝ ｓ ｉ ｎ ＋ ∞ｏ ｓ ＝ 、 ／ ＋ １ ｓ ｉ ｎ （ ２ ｘ ＋ ｑ ￣ ） ， ｔ ａ ｎ ｑ ＝ ａ 。
因为 函 ） 的图像关 于 直线 ： 一
８
对 称 ， 所 詈 ） ） 的 最 值 ，
所 以 当 ＝ 一 詈 时 ， ＋ ＝ １ 了 ＋ 号 ｊ ＝ １ Ｔ ３ ４ ＇ ｒ ｒ （ ｋ ∈ ｚ ） ，
： ｓ ｉ ｎ ２ ｘ ＋ ｘ ／ ￣ （ ２ — ２ ｃ 。 ｓ ２ ） 一 ＝ ｓ ｉ ｎ ２ ｘ 一 、 ／ 了 ｃ ｏ ｓ ２ ｘ
：
２ ｆ ｉ ｎ ２ ｘ 一 ２ 。 ２ ｘ １ ＼２ ／
２ｓ ｉ ｎ
￣ ｒ ） 的最 小ｉ ＥＮＪ ￣ ｊ Ｔ ＝２ － －耵
—
。
例 ２ （ １ ） 已 知 函 ） ＝ ４ ｔ ａ 似 ｓ ｉ ｎ （ 一 ＇ ／ ２ ｉ ＂ Ｘ ） ｅ 。 ｓ （ 一 号 ） 一 ， 求 ） 的 定 义 域 与 最 小 正 周 期 。
（ ２ ） 函 ） ＝ ｓ ｉ ｎ ＋ Ⅱ ｃ 。 ｓ 的 图像 关 于 直 线 一 对称 ， 求。 的值 。
。
ＱＰ Ｇ． 高 一
ｑｑ
重 点 突破
重ｌ 难ｌ 点１ 聚ｌ 焦
二、 三 角 函数 的倍 角正 、 余 弦公 式 的应 用
两 角之 和 的正 、 余 弦公式 中 ， 令 ， 可得 如下 的倍 角公 式 及其 变形 ：
２ ２
２ｓ ｉ ｎ ｅ ｏ ｓ ＝ｓ ｉ ｎ ２ ， Ｃ Ｏ Ｓ ａ－ｓ ｉ ｎ Ｏ Ｌ ＝Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０ ￣ ，
形 式 ， 然 后 利 用 正 弦 （ 余 弦 ） 函 数 的 性 质 求 解 。 第 （ ２ ） 小 题 也 可 以 活 用 对 称 性 求 解 ， ０ ） （ ～ ｊ ）
三角恒等变换题型归纳
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式❖ 基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．❖ 常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.[答案] (1)－12 (2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45.答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． [题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1B.12C.32 D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12. 2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( )A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.第六节 简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简[典例](1)sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α(2)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．[解] (1)选D 原式＝－sin 2α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝－2sin αcos α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝cos α.(2)原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.[题组训练]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.答案：22cos α2．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α.解：原式＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.考点二 三角函数式的求值考法(一) 给角求值 [典例]cos 10°(1＋3tan 10°)cos 50°的值是________．[解析] 原式＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin (10°＋30°)cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.[答案] 2[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．考法(二) 给值求值[典例] 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求：(1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解] (1)由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π② 由①②解得cos α＝－35.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，∴sin α＝45， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或已知条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 考法(三) 给值求角 [典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， ∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255. 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. [答案] A[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．[题组训练]1．求值：cos 20°cos 35°1－sin 20°＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C 原式＝cos 20°cos 35°|sin 10°－cos 10°|＝cos 210°－sin 210°cos 35°(cos 10°－sin 10°)＝cos 10°＋sin 10°cos 35°＝2⎝⎛⎭⎫22cos 10°＋22sin 10°cos 35°＝2cos (45°－10°)cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 法一：因为sin α＋cos α＝33，所以(sin α＋cos α)2＝13，即2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， 所以sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)<0. 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 法二：由cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得cos α－sin α<0， 因为sin α＋cos α＝33， 所以(sin α＋cos α)2＝13＝1＋2sin αcos α，得2sin αcos α＝－23，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53，则cos α－sin α＝－153，所以cos 2α＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 3．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.考点三 三角恒等变换的综合应用[典例] (2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1， 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.[解题技法]三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． [题组训练]1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos 2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32 解析：选D 因为f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，所以T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.对于A ，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以不正确；对于B ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，故不正确；对于C ，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以不正确；对于D ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故正确．故选D. 2．已知函数f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 解：(1)f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． 令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)． (2)令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[课时跟踪检测]A 级1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝⎛⎭⎫32－12sin α＝⎝⎛⎭⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1.2．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，所以⎩⎨⎧sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010. 4．(2019·咸宁模拟)已知tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则sin 2α＝( )A.725B.1425C ．－725D ．－1425解析：选C 由题意知tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝－17，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－725.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－79， 解得sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝19，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．7 B.17C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 7．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78. 答案：789．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π310．函数y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最小正周期是________． 解析：y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12sin x cos x －32sin 2x ＝14sin 2x －32·1－cos 2x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－34，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π11．化简：(1)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)； (2)cos 2α1tan α2－tan α2.解：(1)原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24° ＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24° ＝43sin (12°－60°)sin 48°＝－4 3. (2)法一：原式＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2 αcos 2 α2－sin 2 α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2 α2－sin 2 α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α. 法二：原式＝cos 2αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2 α2 ＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α. 12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. B 级1．(2018·大庆中学期末)已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝( )A. 3B. 2 C ．－ 2 D ．－ 3解析：选C ∵tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，∴tan α＋1tan α＝k ，tan α·1tan α＝k 2－3.∵3π<α<7π2，∴k >0，∴k ＝2， ∴tan α＝1，∴α＝3π＋π4， 则cos α＝－22，sin α＝－22，∴cos α＋sin α＝－ 2. 2．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________. 解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13， 即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33. 答案：333．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。
三角恒等变换
时要牢记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,能合理选用公式.
例3 (2017山西临汾二模,11)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,当x=θ时,函 数y=f(x)取得最小值,则 A.-3 B.3
sin 2θ 2cos 2θ = ( sin 2θ 2cos 2θ 1 1 C.- D. 3 3
,故选C.
2
θ θ θ θ 2 θ 2sin cos 2cos sin cos 2 2 2 2 2 (2)原式= θ 4cos 2 2
θ 2 θ 2 θ cos cos θ θ sin cos =cos · 2 . 2 = 2 2 θ θ cos cos 2 2
sin 2α= 2
α α 1±sin α= sin cos ; 2 2 α sin α 1 cos α tan = = . 2 1 cos α sin α
2
2.辅助角公式
a 2 b 2 sin(α+φ), asin α+bcos α=
其中cos φ= 2
a
2
a b
,sin φ= 2
b
2
a b
.
方法技巧
方法 1 三角函数式的化简方法
1.化简原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合
理地拆分,从而正确运用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常 见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)尽量使分母不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等.
(完整版)三角恒等变换知识点归纳
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、 ．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。
，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角2k π+α(k ∈Z)π+α-α图示与α角终边的关系相同 关于原点对称关于x 轴对称角 π-α2π-α 2π+α图示与α角终边的关系 关于y 轴对称关于直线y=x 对称2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角2k π+απ+α-απ-α2π-α2π+α(k∈Z)正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα- cosαcosα- cosαsinα-sinα正切tanαtanα- tanα- tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。
记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。
其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。
二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sinα=22tan21tan2αα+, cosα=221tan21tan2αα-+3、形如asinα+bcosα的化简asinα+bcosα=22a b+α+β).其中cos β22a b+,sinβ22a b+三、简单的三角恒等变换1、用cosα表示sin22α,cos22α,tan22αsin22α=1cos2α-;cos22α=1cos2α+;tan 22α=1cos 1cos αα-+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。
2、用cos α表示sin 2α,cos 2α,tan 2αsin 2α=cos 2α=tan 2α= 3、用sin α,cos α表示tan 2α tan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 四、常用数据: 30456090、、、的三角函数值 6sin15cos 75-==,42615cos 75sin +==3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos,sin 2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。
三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义理-高考数学一轮复习资料
第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝□01cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝□02sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝□03tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.公式的常用变形(1)tan α±tan β＝□01tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝□021＋cos2α2， sin 2α＝□031－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．1.概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B ．sin α C.cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A.－14B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A.0B.3034C.916D.158答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35， 所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型 一 两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫223，13，则sin(α－β)＝________. 答案 －429解析 因为角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，13， 所以sin α＝13，cos α＝223.因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13，所以sin β＝13，cos β＝－223，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－223×13＝－429. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________． 答案 －4＋3310解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又∵π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2018·上饶三模)由射线y ＝43x (x ≥0)按逆时针方向旋转到射线y ＝－512x (x ≤0)的位置所成的角为θ，则cos θ＝( )A.－1665 B ．±1665 C ．－5665 D ．±5665答案 A解析 设y ＝43x (x ≥0)的倾斜角为α，则sin α＝45，cos α＝35，射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，sin β＝513，cos β＝－1213，∴cos θ＝cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析 由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型 二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°)答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析 由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sin α－cos α＝43”，求cos4α.解 因为sin α－cos α＝43，所以1－2sin αcos α＝169，所以sin2α＝2sin αcos α＝－79，所以cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝－1781.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23，α∈(π，2π)”，求sin α＋cos α.解 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝23.所以sin2α＝13>0，又因为α∈(π，2π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＋cos α<0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋13＝43，所以sin α＋cos α＝－233.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)． (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.2.(2019·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，则tan x ＝( )A.12 B ．－2 C.22 D. 2 答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以32cos x －12sin x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22，3cos x －sin x ＝1－sin x ，解得cos x ＝33， 因为x ∈(0，π)，所以sin x ＝1－cos 2x ＝63，所以tan x ＝sin xcos x ＝6333＝ 2.3.化简：－α1－tan 2－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝－2α－2α·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12. 题型 三 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)sin2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________.答案 (1)14 (2)32解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°－＝14. (2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 2.(2018·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23.3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析 因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。
高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)
第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】 【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。