八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件人教版
注：单项式乘单项式，积为_单__项__式___.
2.单项式乘多项式：
(1)单项式分别__乘__以__多项式的每一项；
(2)将所得的积__相__加____. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的 项数_相__同_____.
实质是转化为 单项式乘单项 式的运算
3.多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的_每__一__项_，
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x =(2x2-2xy) ÷2x =x-y.
当x=3,y=1.5时， 原式=3-1.5=1.5.
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法 时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提 高解题速度.
针对训练
(a+b)2 =__a_2+__2_a_b_+__b_2 ___
五、因式分解 1.因式分解的定定义
把一个多项式化为几个__整__式____的__乘__积____的形式,像这样的式子变形叫
做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法 (1)提公因式法 (2)公式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式； 3.检查分解是否彻底；
①平方差公式：_a_2_-_b_2_=__(_a_+_b__)(_a__-b__)
②完全平方公式：_a_2_±___2_a_b__+_b_2_=__(_a_±__b__)_2_
考点讲练
考点一 幂的运算
例1 下列计算正确的是( D )
A．(a2)3＝a5
B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a
D．a·a3＝a4
ab a b (
= n
)
nn ____________
二、整式的乘法 1.单项式乘单项式：
(1)将_单__项__式__的__系__数__相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用_同__底__数__幂__的乘法,作为积的一个因式；
(3)单独出现的字母，连同它的指__数____，作为积的一个因式；
考点四 因式分解及应用
例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项 式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的 形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
再把所得的积__相__加____.
三、整式的除法 1.同底数幂的除法：
同底数幂相除，底数__不__变___,指数___相__减____.
a m ÷ a n =__a_m_-_n__
任何不等于0的数的0次幂都等于___1_____.
a 0 =a a m ÷ m =__1_____
2.单项式除以单项式： 单项式相除, 把_系__数____、_同__底__数__的__幂___分别相除后，作为商的因 式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的__指__数___一起作为商 的一个因式.
针对训练
12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是________． 13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y(－xy－4xy12)＝2 ________． 14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为_______2_0． 15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式9 ，则m＝________．
针对训练
1.下列计算不正确的是（ D ）
A.2a3 ÷a=2a2
B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7
D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301.
解：原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B2x(x－ )
4
x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
解：（1）原式＝－12x7y9 （2）原式＝－x3＋6x （3）原式＝2a3b2＋10a3b3 （4）原式＝4x2＋17xy－10y2 （5）原式＝2xy－2
考点三 乘法公式的运用 例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.
第十四章 整式的乘法与因式分解 小结与复习
要点梳理
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数__不__变____,指数_相__加___.
a m · a n =__a_m_+_n__
2.幂的乘方：底数_不__变_____,指数_相__乘___.
a a = (
m) n
mn
____________
3.积的乘方：积的每一个因式分别_乘__方__，再把所得的幂_相__乘__.
针对训练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为a-2b+1 ；
5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项
式是
x2
2x
1 2.
6.计算： (1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)． (2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1) (3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2； (4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)； (5)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y；
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
解：原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
归纳总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂 的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可 以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2)
(3) 原式＝－4(a－3)2
(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2 =(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
∴420>1510.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
－6或0
16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形， 把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积， 验证公式是 _a_2_-_b_2=_(_a_+b)(a.-b).
b
b
b
b
a
a
bb a-b
a
a
17．把下列各式因式分解： (1)2m(a－b)－3n(b－a)； (2)16x2－64； (3)－4a2＋24a－36. 解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)．
10．计算： (1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；
(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.
解：(1) 原式= (x＋2y)(x－2y)(x2－4y2) =(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4；
(2)原式＝[a＋(b－3)][(a－(b-3)] =a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9.
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的 每一项 除以这 个 单项式 ，再把所得的商 相加 .
四、乘法公式 1.平方差公式 两数___和___与这两数__差____的积,等于这两数的_平__方__差_.
(a+b)(a-b) =_a_2_-_b__2 ___
2.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平__方__和___，加上（或减去）它 们的__积____的2倍.
7．下列计算中，正确的是( C ) A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2 8．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( B ) A．±6 B．±12 C．±18 D．±72 9．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝__3_8_____．
2.单项式乘多项式：
(1)单项式分别__乘__以__多项式的每一项；
(2)将所得的积__相__加____. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的 项数_相__同_____.
实质是转化为 单项式乘单项 式的运算
3.多项式乘多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的_每__一__项_，
解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x =(2x2-2xy) ÷2x =x-y.
当x=3,y=1.5时， 原式=3-1.5=1.5.
归纳总结
整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法 时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提 高解题速度.
针对训练
(a+b)2 =__a_2+__2_a_b_+__b_2 ___
五、因式分解 1.因式分解的定定义
把一个多项式化为几个__整__式____的__乘__积____的形式,像这样的式子变形叫
做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法 (1)提公因式法 (2)公式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式； 3.检查分解是否彻底；
①平方差公式：_a_2_-_b_2_=__(_a_+_b__)(_a__-b__)
②完全平方公式：_a_2_±___2_a_b__+_b_2_=__(_a_±__b__)_2_
考点讲练
考点一 幂的运算
例1 下列计算正确的是( D )
A．(a2)3＝a5
B．2a－a＝2
C．(2a)2＝4a
D．a·a3＝a4
ab a b (
= n
)
nn ____________
二、整式的乘法 1.单项式乘单项式：
(1)将_单__项__式__的__系__数__相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用_同__底__数__幂__的乘法,作为积的一个因式；
(3)单独出现的字母，连同它的指__数____，作为积的一个因式；
考点四 因式分解及应用
例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项 式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的 形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
再把所得的积__相__加____.
三、整式的除法 1.同底数幂的除法：
同底数幂相除，底数__不__变___,指数___相__减____.
a m ÷ a n =__a_m_-_n__
任何不等于0的数的0次幂都等于___1_____.
a 0 =a a m ÷ m =__1_____
2.单项式除以单项式： 单项式相除, 把_系__数____、_同__底__数__的__幂___分别相除后，作为商的因 式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的__指__数___一起作为商 的一个因式.
针对训练
12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是________． 13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y(－xy－4xy12)＝2 ________． 14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为_______2_0． 15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式9 ，则m＝________．
针对训练
1.下列计算不正确的是（ D ）
A.2a3 ÷a=2a2
B. (-a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7
D. a2 ·a4=a8
2. 计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301.
解：原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B2x(x－ )
4
x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
解：（1）原式＝－12x7y9 （2）原式＝－x3＋6x （3）原式＝2a3b2＋10a3b3 （4）原式＝4x2＋17xy－10y2 （5）原式＝2xy－2
考点三 乘法公式的运用 例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中 x=3,y=1.5.
解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.
第十四章 整式的乘法与因式分解 小结与复习
要点梳理
一、幂的乘法运算
1.同底数幂的乘法：底数__不__变____,指数_相__加___.
a m · a n =__a_m_+_n__
2.幂的乘方：底数_不__变_____,指数_相__乘___.
a a = (
m) n
mn
____________
3.积的乘方：积的每一个因式分别_乘__方__，再把所得的幂_相__乘__.
针对训练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为a-2b+1 ；
5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项
式是
x2
2x
1 2.
6.计算： (1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)． (2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1) (3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2； (4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)； (5)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y；
例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.
解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.
解：原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.
归纳总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂 的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可 以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.
(2) 原式＝16(x＋2)(x－2)
(3) 原式＝－4(a－3)2
(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2 =(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
∴420>1510.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
－6或0
16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形， 把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积， 验证公式是 _a_2_-_b_2=_(_a_+b)(a.-b).
b
b
b
b
a
a
bb a-b
a
a
17．把下列各式因式分解： (1)2m(a－b)－3n(b－a)； (2)16x2－64； (3)－4a2＋24a－36. 解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)．
10．计算： (1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；
(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.
解：(1) 原式= (x＋2y)(x－2y)(x2－4y2) =(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4；
(2)原式＝[a＋(b－3)][(a－(b-3)] =a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9.
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的 每一项 除以这 个 单项式 ，再把所得的商 相加 .
四、乘法公式 1.平方差公式 两数___和___与这两数__差____的积,等于这两数的_平__方__差_.
(a+b)(a-b) =_a_2_-_b__2 ___
2.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平__方__和___，加上（或减去）它 们的__积____的2倍.
7．下列计算中，正确的是( C ) A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2 8．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( B ) A．±6 B．±12 C．±18 D．±72 9．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝__3_8_____．
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人教版八年级数学上册第14章：整式的乘法与因式分解全章复习课件(第一课时34张)
（3）am÷an=aБайду номын сангаас-n(a≠0，m，n都是正整数， 并且m＞n)；
（4）(ab)n=anbn(n都是正整数).
2.使用法则时，要明确法则和具体内容.
例 已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
分析： am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
(am)n=amn 逆用：amn=(am)n=(an)m
分析： (ab)n=anbn 逆用：anbn=(ab)n
am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
817 8 161 816 8
解：0.12516 817
0.12516 816 8
0.125 816 8
116 8
8.
小结： 逆用幂的运算法则： （1）am+n=am·an(m，n都是正整数)；
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（1）a2·a3=a6；
×
正确：a2·a3=a2+3=a5.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（2）(b4)3=b7；
×
正确：(b4)3=b4×3=b12.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
例 判断下面的计算对不对？如果不对， 应该怎样改正？ （3）a10÷a2=a5； × 正确：a10÷a2=a10-2=a8.
C y2 D
的正方形面积之和是44.
归纳总结
1.对于运算问题：明确法则，理清顺序； 2.使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；
既可以直接用，也可以变形用.
课后作业
1.计算： （1）(2a)3·b4÷12a3b2； （2）(2a+3b)(2a-b)； （3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)； （4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差
（4）(ab)n=anbn(n都是正整数).
2.使用法则时，要明确法则和具体内容.
例 已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
分析： am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
(am)n=amn 逆用：amn=(am)n=(an)m
分析： (ab)n=anbn 逆用：anbn=(ab)n
am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
817 8 161 816 8
解：0.12516 817
0.12516 816 8
0.125 816 8
116 8
8.
小结： 逆用幂的运算法则： （1）am+n=am·an(m，n都是正整数)；
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（1）a2·a3=a6；
×
正确：a2·a3=a2+3=a5.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（2）(b4)3=b7；
×
正确：(b4)3=b4×3=b12.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
例 判断下面的计算对不对？如果不对， 应该怎样改正？ （3）a10÷a2=a5； × 正确：a10÷a2=a10-2=a8.
C y2 D
的正方形面积之和是44.
归纳总结
1.对于运算问题：明确法则，理清顺序； 2.使用运算法则：既可以正用，也可以逆用；
既可以直接用，也可以变形用.
课后作业
1.计算： （1）(2a)3·b4÷12a3b2； （2）(2a+3b)(2a-b)； （3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)； （4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差
人教版数学八年级上册14整式的乘法与因式分解小节课件
解：(1) a4-16a2 = a2(a2-16) = a2(a+4)(a-4) ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 = ab(-2ab+a2+b2) = ab(a-b)2 ;
2.因式分解：
(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ;
(4) (x2+y2)2-4x2y2 .
2.因式分解： (1) a4-16a2 ; (2) -2a2b2+a3b+ab3 ; (3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ; (4) (x2+y2)2-4x2y2 .
分解因式要观察式子的形 式，选择合适的方法，并 且分解后的结果一定要到 不能再分解为止.
2.因式分解： (1) a4-16a2 ;
∴
x=83， y=0 或
xy==083，或 xy==--814，或
x=-1， y=-84.
∴x+y=83或-85.
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
因式分解的一般步骤：
一提
看多有无公因式，若 有应先提取公因式
二套
考虑是否可用公式法分解，两项考虑 平方差公式，三项考虑完全平方公式
三查
检查是否分解彻底， 若没有则继续分解
不能直接 套公式时 可适当变 形整理
重难剖析
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
= 3ab[a2-(4b)2]
= (x2-4)2
= 3ab(a+4b)(a-4b) ;
= [(x+2)(x-2)]2
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 = ab(-2ab+a2+b2) = ab(a-b)2 ;
2.因式分解：
(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ;
(4) (x2+y2)2-4x2y2 .
2.因式分解： (1) a4-16a2 ; (2) -2a2b2+a3b+ab3 ; (3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ; (4) (x2+y2)2-4x2y2 .
分解因式要观察式子的形 式，选择合适的方法，并 且分解后的结果一定要到 不能再分解为止.
2.因式分解： (1) a4-16a2 ;
∴
x=83， y=0 或
xy==083，或 xy==--814，或
x=-1， y=-84.
∴x+y=83或-85.
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
因式分解的一般步骤：
一提
看多有无公因式，若 有应先提取公因式
二套
考虑是否可用公式法分解，两项考虑 平方差公式，三项考虑完全平方公式
三查
检查是否分解彻底， 若没有则继续分解
不能直接 套公式时 可适当变 形整理
重难剖析
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
= 3ab[a2-(4b)2]
= (x2-4)2
= 3ab(a+4b)(a-4b) ;
= [(x+2)(x-2)]2
人教版八年级上册数学《同底数幂的乘法》整式的乘法与因式分解教学说课复习课件
想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这
一性质呢？用字母表示
am ·an ·ap
等于什么？
am·an·ap = am+n+p （m，n，p都是正整数)
例2
计算：（1）23×24×25 ；（2）y ·y20 ·y30 .
解：（1）23×24×25=23+4+5=212
（2）y ·y20 ·y30 = y1+20+30=y51
同底数幂相乘,
注意 条件：①乘法
底数不变，指数 相 加 .
结果：①底数不变
练一练
计算：
1011
(1) 105×106=_____________;
(2)
a7
10
3
a
·a =_____________;
(3) x5 ·x7=_____________;
x12
(4) (-b)3 ·(-b)2=_____________.
am ·
an·
ap=am+n+p(m，n，p都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
同底数幂的乘法
学习目标
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.（难点）
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3；
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4.
一性质呢？用字母表示
am ·an ·ap
等于什么？
am·an·ap = am+n+p （m，n，p都是正整数)
例2
计算：（1）23×24×25 ；（2）y ·y20 ·y30 .
解：（1）23×24×25=23+4+5=212
（2）y ·y20 ·y30 = y1+20+30=y51
同底数幂相乘,
注意 条件：①乘法
底数不变，指数 相 加 .
结果：①底数不变
练一练
计算：
1011
(1) 105×106=_____________;
(2)
a7
10
3
a
·a =_____________;
(3) x5 ·x7=_____________;
x12
(4) (-b)3 ·(-b)2=_____________.
am ·
an·
ap=am+n+p(m，n，p都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
同底数幂的乘法
学习目标
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.（难点）
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3；
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4.
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
第十四章 整式的乘法与因式分解数学活动 教学课件(共14张PPT) 人教版八年级数学上册
（2）你能用本章所学知识解释这个规律吗？
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
（3）利用你发现的规律计算： 58×52；63×67； 752；952。
3021； 1224； 7224； 5609
分析: a+b=10
(10n+a) (10n+b)
=100n2 +(a+b)×10n+a·b
n×（n+1)×100+a·b=
100n2 +100n+a·b
∵日历中下一行与上一行数字相差7（一周7天），
不妨设4个数字为：a,a+1,a+7,a+8;
小贴士：
（a+7)(a+1)-a(a+8)=(a2+8a+7)-(a2+8a)=7.
∴ 任一个月历都满足以上规律.
方框必需框住4个数字，含有空格的 方框不合题意.
四、梳理新知，小结新课
活动1：：观察以下式子，你能写出一般规律吗？你能用 本章知识证明你的结论吗？
活动2：计算下列两个数的积，你有什么发 现？你能用本章所学知识解释这个规律吗？
活动3：观察下列展开式的系数或常数
活动4：日历上，我们可以发现其中数字满
(a+b)4=1·a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1·b4求(a+b)5展开后各项的系数； 足的规律，用所学知识对以上规律加以证明.
观察
设字母，写代数式
我们任意选择其中所示的方框部分，将
每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，
再相减，如：7×13-6×14=7,17×23-
16×24=7，发现结果都是7.
再选择两个类似的部分试试，验证规律；
人教版八年级上册 《整式的乘法与因式分解》说课课件(共25张PPT)
能用提公因式法、 公式法（直接用 公式不超过二次） 进行因式分解 （指数是正整数）
二、说教材
1.编写特点
1.编写特点
自然延续的课 后练习、习题
关注思维过程 的呈现
丰富的问题情境
编人 写教 特版 点教
材
丰富多彩的 数学活动
开放与实践相结 合的选学内容
章节编排
重难点分布
习题量
知识的呈现过程科学合 理，以学生为本，由浅 入深，层次分明，重点 突出，体现了新课标的
人教版
内容紧凑，语 言言简意赅， 章节课时安排 合理，例题编 排规范，示范
性强。
体现学 生的主 体地位
编 写 体 例 对 比
做一做、 想一想、 议一议
北师版
教材内容大多 与学生的生活 实际相关联， 注重数学在生 活中的应用。 习题数量较多。
二、说教材 3. 《整式的乘法与因式分解》内容结构
3. 《整式的乘法与因式分解》内容结构
因式分解
整式乘法
二、说教材 4. 知识的立体整合
4. 知识的立体整合——横向整合
八年级上册
第11章、三角形 第12章、全等三角形 第13章、轴对称 第14章、整式的乘法与因式分解 第15章、分式
4. 知识的立体整合——横向整合
am an amn
am n amn
abn anbn
am an amn
商是分式
第十四章 《整式的乘法与因式分解》
n是全体整数
an
1 an
(a
0)
整数指数幂
分式的加 减乘除
约分
分式方程 （去分母）
通分
第十五章《分式》
4. 知识的立体整合——纵向整合
实际问题 一般形式
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
新人教版 八年级数学初二上册第十四章整式的乘除与因式分解复习课优秀PPT课件
考点1 基本运算
（2013· 江苏苏州）已知x－ x2＋ x的值为（ D A. 1 B. C.
＝3,则4－ ）． D.
（湖南益阳· 改编）下列计算正确的是( B ) A． B. ﹣(2x2y)3=﹣8x6y3 C. x8﹣x4=x2 D.
【易错点分析】合并同类项和法则中的 幂的乘方与积的乘方易混淆不清.
考点1 基本运算
1、y2m+2 可写成(
B )
A. 2ym+1 B. y2m· y2 C.y2· ym+1 D.y2m+ y2
2、若xm =3, xn =2,则xm+n=( B )
A. 5
B. 6
C.—5
D.—6
3.若x、y是正整数,且2x· 2y=25,则x、y的值有 （ A） A. 4对 B. 3对 C. 2 对 D. 1对
变式：已知a、b、C是三角形ABC的三边，且满足 a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断三角形ABC的形状， •是等边三角形 并说明理由
考点1 基本运算
（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b） 的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在 矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形） 用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分 的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照 同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满 足（ B ）
第14章
整式的乘除与因式分解
小结与复习
体系建构
本章知识结构图：
整式乘法 整式除法
乘法公式 因式分解
考点1 基本运算
1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。
式子表达：
m n m + n a · a =a
八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
第十八页，共二十八页。
针对训练
7．下列计算(jìsuàn)中，正确的是C( )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( B)
A．±6
B．±12 C．±18 D．±72
解：（1）原式＝－12x7y9
（2）原式＝－x3＋6x
（3）原式＝2a3b2＋10a3b3
（4）原式＝4x2＋17xy－10y2
（5）原式＝2xy－2
第十六页，共二十八页。
考点三 乘法公式的运用 例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中(qízhōng) x=3,y=1.5.
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
第十一页，共二十八页。
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较(bǐjiào)大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
把一个多项式化为几个____整___式_的_____乘__积_的形式,像这样的式子(shì zi)变形叫
做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法 (1)提公因式法 (2)公式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式； 3.检查分解是否彻底；
针对训练
7．下列计算(jìsuàn)中，正确的是C( )
A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－b2
C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2
D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b2
8．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( B)
A．±6
B．±12 C．±18 D．±72
解：（1）原式＝－12x7y9
（2）原式＝－x3＋6x
（3）原式＝2a3b2＋10a3b3
（4）原式＝4x2＋17xy－10y2
（5）原式＝2xy－2
第十六页，共二十八页。
考点三 乘法公式的运用 例4 先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中(qízhōng) x=3,y=1.5.
=-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；
第十一页，共二十八页。
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较(bǐjiào)大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
把一个多项式化为几个____整___式_的_____乘__积_的形式,像这样的式子(shì zi)变形叫
做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解的方法 (1)提公因式法 (2)公式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式； 3.检查分解是否彻底；
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
∴420>1510.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.