_湖南省永州市2019年中考数学试卷
第1页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………湖南省永州市2019年中考数学试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 五 总分 核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)）A . ﹣B .C . ﹣2D . 22. 下列说法正确的是（ ）A . 有两边和一角分别相等的两个三角形全等B . 有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C . 如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D . 点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度3. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）A .B .C .D .4. 下列运算正确的是（ ）A . a 2+a 3＝a 5B . （a 3）2＝a 5C . （a •b ）2＝a 2•b 2D .5. 现有一组数据：1，4，3，2，4，x ． 若该组数据的中位数是3，则x 的值为（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4答案第2页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 若关于x 的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 47. 2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（ ）A . 1.4042×106B . 14.042×105C . 8.94×108D . 0.894×1098. 某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（ ）A .B .C .D .9. 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ， 且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ， 则四边形ABCD 的面积为（ ）A . 40B . 24C . 20D . 1510. 某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地第3页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………之间的距离之比a ：b ：c ：d ：e ＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人 得分一、填空题（共8题)1. 已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ∠OA ， 垂足为点E ， 且直线DE 交OB 于点F ， 如图所示．若DE ＝2，则DF ＝ ．2. 下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ． 3. 分解因式：= ．4. 如图，直线y ＝4﹣x 与双曲线y交于A ， B 两点，过B 作直线BC ∠y 轴，垂足为C ， 则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 ．答案第4页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 如图，已知点F 是∠ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ， 连接CF 并延长，交AB 于点D ， 过点F 作FG ∠BC ， 交AC 于点G ． 设三角形EFG ， 四边形FBCG 的面积分别为S 1 ， S 2 ， 则S 1：S 2＝ ．6. 方程 的解为x ＝ ．7. 使代数式有意义的x 的取值范围是 ．8. 我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15依上述规律，解决下列问题：（1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ． 评卷人得分二、计算题（共2题)第5页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9. 计算：（﹣1）2019 sin60°﹣（﹣3）．10. 先化简，再求值： ，其中a ＝2．评卷人 得分三、解答题（共1题)11. 为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45°，D 处的俯角为30°，乙在山下测得C ， D 之间的距离为400米．已知B ， C ， D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ． （可能用到的数据：1.414，11.732）评卷人 得分四、综合题（共5题)A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ， 点B ），求∠PAB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．13. 某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取答案第6页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率． ①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？ 14. 如图（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝30°，AB ＝6，AD ＝8，将平行四边形ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m 的值是多少？第7页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）四边形ABCD 是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．15. 在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米）与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回．（1）当x 为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．16. 如图，已知∠O 是∠ABC 的外接圆，且BC 为∠O 的直径，在劣弧 上取一点D ， 使，将∠ADC沿AD 对折，得到∠ADE ， 连接CE ．（1）求证：CE 是∠O 的切线；（2）若CEC D ， 劣弧的弧长为π，求∠O 的半径．答案第8页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参数答案1.【答案】：【解释】：2.【答案】：【解释】：3.【答案】：【解释】：第9页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4.【答案】：【解释】： 5.【答案】： 【解释】：答案第10页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6.【答案】：【解释】：7.【答案】：【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8.【答案】：【解释】： 9.【答案】： 【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………10.【答案】：【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】： 【答案】： 【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】： 【答案】： 【解释】： 【答案】：【解释】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】： 【解释】： 【答案】：○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………【解释】： （1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：（3）【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………（1）【答案】：（2）【答案】： 【解释】： （1）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………（2）【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………。
完整版)2019年永州市中考数学试题、答案(解析版)
完整版)2019年永州市中考数学试题、答案(解析版)2019年永州市中考数学试题答案（解析版）一、选择题1.绝对值的定义是一个数到0的距离，因此|-2|=2，选项D。
2.轴对称图形的特点是对称轴上的点不动，因此选项C。
3.科学记数法表示的形式是a×10^n，其中1≤a＜10，因此选项C。
4.根据图形，可以得到西瓜的三视图分别为圆、椭圆和三角形，因此选项D。
5.选项A是错误的，应为a2×a3=a5；选项B是错误的，应为a5=a3×a2；选项C是错误的，应为(a+b)2=a2+2ab+b2；选项D是正确的。
6.题目中给出的数据有6个，因此中位数是第3个数，即3.已知中位数是3，因此x的值只能为4，选项D。
7.选项A是正确的，因为两边和一角相等的两个三角形是全等的；选项B是正确的，因为对角线相等且对边平行的四边形是平行四边形，而平行四边形中对角线相等的四边形是矩形；选项C是错误的，因为一个角的补角等于90度，而不是45度；选项D是正确的，因为点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度。
8.根据对角线平分四边形的性质，可以得到AC=BD=8.根据余弦定理，可以得到cos ABD=cos CDB=-1/3.因此AB^2=AD^2+BD^2-2AD×BD×cos ABD=25+64/3，AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cos ABC=25+64/3+25-10×8/3×(-1/3)=200/3，四边形ABCD的面积为1/2×AC×BD=40，选项A。
9.假设修建总仓库的位置为x，甲、乙、丙、丁四个基地的产量分别为4a、5a、4a和2a。
由于各基地之间的距离比为2:3:4:3:3，因此修建总仓库的位置x满足2x+3(5-x)+4(9-x)+3(13-x)+3x=24，解得x=9.因此最佳位置为丙，选项C。
2019年湖南省永州市中考数学试卷-答案
湖南省永州市2019年初中毕业生学业水平考试物理答案解析一、选择题1.【答案】D-的绝对值为：2．【解析】2故选：D．2.【答案】B【解析】A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，故本选项正确；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3.【答案】C【解析】将8.94亿用科学记数法表示为8⨯，8.9410故选：C．4.【答案】B【解析】观察图形可知，这块西瓜的三视图是．故选：B．5.【答案】C【解析】A.原式不能合并，不符合题意；B.原式6a＝，不符合题意；C.原式22＝，符合题意；a bD.原式不能合并，不符合题意，故选：C．6.【答案】B【解析】数据1，4，3，2，4，x中共有6个数，该组数据的中位数是3，ABD AB CD BAC ∠∴∴∠＝∥＝532AB AO AC AO ∴∴＝，＝，＝∴24DF DM＝＝．1【解析】∵点F是ABC△的重心，23BF EFBE EFFG BCEFG EBC∴∴∴＝，＝，∥，△∽△，∴13EF BE =，211139EBC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△， ∴12:S S .17.【答案】()1,1-和()2,1 【解析】由43y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩求得13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩， ∴()1,3A ，()3,1B ，∴OA设OA 的中点为P ，以AB 为直径的P 与直线BC 的交点为M 、N ， 过P 点作PD x ⊥轴于D ，交BC 于E ，连接PN ，∵P 是OA 的中点， ∴13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴3=2PD ，∵BC y ⊥轴，垂足为C ， ∴BC x ∥轴，∴PD BC ⊥，∴31=122PE -=， 在Rt PEN△中，32EM EN ===， ∴()1,1M -，()2,1N ．∴以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是()1,1-和()2,1，18.【答案】（1）105（2）153【解析】（1）由图2知：()1a b +的第三项系数为0， ()2a b +的第三项的系数为：1， ()3a b +的第三项的系数为：312+＝， ()4a b +的第三项的系数为：6123++＝， … ∴发现()31x +的第三项系数为：312+＝； ()41x +的第三项系数为6123++＝；()51x +的第三项系数为101234+++＝；不难发现()1n x +的第三项系数为()()12321n n +++⋯+-+-，∴1s ＝，则212314105a +++⋯+＝＝． （2）∵()1521501215s x a a x a x a x ++++⋯+＝．当1x ＝时，()151501215213a a a a +++⋯++＝＝，三、解答题19.【答案】()()201910sin63︒---123133+++＝-＝-21.【答案】设AB x ＝，由题意可知：45ACB ∠︒＝，30ADB ∠︒＝，400AB BC x BD BC CD x ∴∴++＝＝，＝＝，在Rt ADB △中，tan30AB BD∴︒=，400x x =+， 解得：546.4x =≈， ∴山高AB 为546.4米.22.【答案】（1）甲的速度为：1004250÷＝米/分钟， 令3025015060x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝， 解得，0.75x ＝，答：当x 为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当5x ＝时， 乙行驶的路程为：301505+825100060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝＜， ∴甲乙第二次相遇的时间为：100082575+515025016-=+（分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：71000552501109.37516⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭＝（米）， 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．23.【答案】（1）∵CD AB =，∴CAD BCA EAD α∠∠∠＝＝＝，设：DCA DEA β∠∠＝＝，DCE DEC γ∠∠＝＝，则ACE △中，根据三角形内角和为180︒，22218090αβγαβγ∴++︒∴++︒＝，＝，∴CE 是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ＝＝，则CE ，则12CN CE AM ===，而AB x ＝，则sin ABM ∠=60ABM ∠︒＝， ∴OAB △为等边三角形，即60AOB ∠︒＝，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒解得：3r ＝，故圆的半径为3．24.【答案】（1）∵抛物线对称轴是直线1x ＝-且经过点()3,0A -由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点()1,0设抛物线的解析式为()()()120y a x x x x a --≠＝即：()()13y a x x -+＝把()0,3B 代入得：33a ＝-∴1a ＝-∴抛物线的解析式为：223y x x -+＝-．（2）设直线AB 的解析式为y kx b +＝，∵()3,0A -，()0,3B ，∴303k b b -+=⎧⎨=⎩， ∴直线AB 为3y x +＝，作PQ x ⊥轴于Q ，交直线AB M 于，设()2,23P x x x --+，则(),3M x x +，∴()222333PM x x x x x +---+＝-＝-，∴()2213327332228S x x x ⎛⎫=--⨯=-++ ⎪⎝⎭ 当32x =-时，27=8S 最大，2331523224y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴PAB △的面积的最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭25.【答案】（1）10020502010---＝，补全的条形统计图如图所示：（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：501205010202P ==+++； ②购买机器的同时购买8个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯＝元，购买机器的同时购买9个该易损零件20050%50050%350⨯+⨯＝元，购买机器的同时购买10个该易损零件20010%50090%470⨯+⨯＝元，购买机器的同时购买11个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯＝元，因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．26.【答案】（1）如图所示：（2）依题意有111+m m m-=，解得1m =，2m =（负值舍去），经检验，1m =是原方程的解.故m ； （3）∵737+24≠， ∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上， 故重新拼成的图形的面积会增加．。
湖南省永州市2019年中考数学试卷及答案解析(word版)
湖南省永州市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分1．﹣的相反数的倒数是（）A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣20162．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．﹣a•a3=a3B．﹣（a2）2=a4C．x﹣x=D．（﹣2）（+2）=﹣15．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（）A．B．C．D．6．在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：甲：8、7、9、8、8乙：7、9、6、9、9则下列说法中错误的是（）A．甲、乙得分的平均数都是8B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6D．甲得分的方差比乙得分的方差小7．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理8．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣29．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD10．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）A．0.324πm2B．0.288πm2C．1.08πm2D．0.72πm211．下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°12．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数21=2 22=4 23=8 …31=3 32=9 33=27 …运算新运log22=1 log24=2 log28=3 …log33=1 log39=2 log327=3 …算根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分13．涔天河水库位于永州市江华瑶族自治县境内，其扩建工程是湖南省“十二五”期间水利建设的“一号工程”，也是国务院重点推进的重大工程，其中灌区工程总投资约39亿元．请将3900000000用科学记数法表示为．14．在1，π，，2，﹣3.2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率是．15．已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），则k=．16．方程组的解是．17．化简：÷=．18．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=度．19．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为．20．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l 为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m=；（2）当m=2时，d的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共79分21．计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|22．二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题：（1）在这次问卷调查中一共抽取了名学生，a=%；（2）请补全条形统计图；（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和．23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．24．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．26．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．27．问题探究：1．新知学习若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．2．解决问题已知等边三角形ABC的边长为2．（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；（2）如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM ＜1），E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MO A=S△DOE．①求证：ME是△ABC的面径；②连接AE，求证：MD∥AE；（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）2016年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分1．﹣的相反数的倒数是（）A．1 B．﹣1 C．2016 D．﹣2016【考点】倒数；相反数．【分析】直接利用相反数的概念以及倒数的定义分析，进而得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：，∵×2016=1，∴﹣的相反数的倒数是：2016．故选：C．2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】把各不等式的解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示为：．故选A．3．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形．也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．4．下列运算正确的是（）A．﹣a•a3=a3B．﹣（a2）2=a4C．x﹣x=D．（﹣2）（+2）=﹣1【考点】二次根式的混合运算；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】利用同底数的幂的乘法法则、幂的乘方、合并同类项法则，以及平方差公式即可判断．【解答】解：A、﹣a•a3=﹣a4，故选项错误；B、﹣（a2）2=﹣a4，选项错误；C、x﹣x=x，选项错误；D、（﹣2）（+2）=（）2﹣22=3﹣4=﹣1，选项正确．故选D．5．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据图形的三视图的知识，即可求得答案．【解答】解：该实物图的主视图为．故选B．6．在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：甲：8、7、9、8、8乙：7、9、6、9、9则下列说法中错误的是（）A．甲、乙得分的平均数都是8B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6D．甲得分的方差比乙得分的方差小【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断．【解答】解：A、==8，==8，故此选项正确；B、甲得分次数最多是8分，即众数为8分，乙得分最多的是9分，即众数为9分，故此选项正确；C、∵甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9，∴甲的中位数是8分；∵乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9，∴乙的中位数是9分；故此选项错误；D、∵=×[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=×2=0.4，=×[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2]=×8=1.6，∴＜，故D正确；故选：C．7．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理【考点】圆的认识；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；三角形的稳定性．【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．【解答】解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，故选B．8．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故选A．9．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【考点】全等三角形的判定．【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．10．圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（）A．0.324πm2B．0.288πm2C．1.08πm2D．0.72πm2【考点】中心投影．【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOC，∴=，即=，解得：BD=0.9m，同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，=0.92π﹣0.32π=0.72π（m2）．∴S圆环形阴影故选：D．11．下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故选D．12．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数21=2 22=4 23=8 …31=3 32=9 33=27 …运算新运log22=1 log24=2 log28=3 …log33=1 log39=2 log327=3 …算根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】实数的运算．【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．【解答】解：①因为24=16，所以此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1=，所以此选项正确；故选B．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分13．涔天河水库位于永州市江华瑶族自治县境内，其扩建工程是湖南省“十二五”期间水利建设的“一号工程”，也是国务院重点推进的重大工程，其中灌区工程总投资约39亿元．请将3900000000用科学记数法表示为 3.9×109．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：3900000000=3.9×109，故答案为：3.9×109．14．在1，π，，2，﹣3.2这五个数中随机取出一个数，则取出的这个数大于2的概率是．【考点】概率公式．【分析】首先找出大于2的数字个数，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：∵在1，π，，2，﹣3.2这五个数中，只有π这个数大于2，∴随机取出一个数，这个数大于2的概率是：．故答案为：．15．已知反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），则k=﹣2．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y=求出k的值即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（1，﹣2），∴﹣2=，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．16．方程组的解是．【考点】二元一次方程组的解．【分析】代入消元法求解即可．【解答】解：解方程组，由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．17．化简：÷=．【考点】分式的乘除法．【分析】将分子、分母因式分解，除法转化为乘法，再约分即可．【解答】解：原式=•=，故答案为：．18．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=35度．【考点】圆周角定理．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，∴∠ABO==70°．∵直径CD∥AB，∴∠BOC=∠ABO=70°，∴∠BAC=∠BOC=35°．故答案为：35．19．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为﹣1．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：由已知得：，解得：﹣＜k＜0．∵k为整数，∴k=﹣1．故答案为：﹣1．20．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l 为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m=1；（2）当m=2时，d的取值范围是0＜d＜3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．【解答】解：（1）当d=3时，∵3＞2，即d＞r，∴直线与圆相离，则m=1，故答案为：1；（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，∴直线与圆相交或相切或相离，∴0＜d＜3，∴d的取值范围是0＜d＜3，故答案为：0＜d＜3．三、解答题：本大题共7小题，共79分21．计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】直接利用立方根的性质化简再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简求出答案．【解答】解：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|=2﹣1﹣1=0．22．二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题：（1）在这次问卷调查中一共抽取了50名学生，a=37.5%；（2）请补全条形统计图；（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为36度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）由赞同的人数20，所占40%，即可求出样本容量，进而求出a 的值；（2）由（1）可知抽查的人数，即可求出无所谓态度的人数，即可将条形统计图补充完整；（3）求出不赞成人数的百分数，即可求出圆心角的度数；（4）求出“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数，用样本估计总体的思想计算即可．【解答】解：（1）20÷40%=50（人），无所谓态度的人数为50﹣10﹣20﹣5=15，则a=×100%=37.5%；（2）补全条形统计图如图所示：（3）不赞成人数占总人数的百分数为×100%=10%，持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为10%×360°=36°，（4）“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数为×100%=60%，则该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和为3000×60%=1800（人）．故答案为（1）50；37.6；（3）36．23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．24．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．依题意得：60m+24×=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．25．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA===，求出BD=AB=，即可得出CE的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．26．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（﹣1，0）、（3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3”，结合点O为线段AB 的中点即可得出x A+x B=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出x A、x B，在代入一次函数解析式中即可得出点A、B的坐标；（3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3”，即可得出关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k值．【解答】解：（1）令抛物线y=ax2+bx﹣3中x=0，则y=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，∴有，解得：，∴此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）将y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，∴x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3．∵原点O为线段AB的中点，∴x A+x B=2+k=0，解得：k=﹣2．当k=﹣2时，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，解得：x A=﹣，x B=．∴y A=﹣2x A=2，y B=﹣2x B=2．故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，﹣2）．（3）假设存在．由（2）可知：x A+x B=2+k，x A•x B=﹣3，S△AB C=OC•|x A﹣x B|=×3×=，∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．∵（2+k）2非负，无解．故假设不成了．所以不存在实数k使得△ABC的面积为．27．问题探究：1．新知学习若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．2．解决问题已知等边三角形ABC的边长为2．（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；（2）如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM ＜1），E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MO A=S△DOE．①求证：ME是△ABC的面径；②连接AE，求证：MD∥AE；（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）【考点】圆的综合题；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一即可证明，利用直角三角形30°性质，即可求出AD．（2）根据相似三角形性质面积比等于相似比的平方，即可解决问题．（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先证明MN=DF，推出四边形MNFD是平行四边形即可．（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性质证明ME≥即可解决问题．【解答】解：（1）如图一中，∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，∴BD=DC，∴S△AB D=S△ADC，∴线段AD是△ABC的面径．∵∠B=60°，∴sin60°=，∴=，∴AD=．（2）如图二中，∵ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，∴△AME∽△ABC，=，∴=，∴ME=．（3）如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．∵S△M OA=S△DOE，∴S△AEM=S△AED，∴•AE•MN=•AE•DF，∴MN=DF，∵MN∥DF，∴四边形MNFD是平行四边形，∴DM∥AE．（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，∵DM∥AE，∴=，∴=，∴xy=2，在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，∴BF=x，MF=x，∴ME===≥，∴ME≥，∵ME是等边三角形面径，AD也是等边三角形面积径，∴等边三角形ABC的面径长l的取值范围≤l≤．湖南省永州市2019年中考数学试卷及答案解析(word版)。
2019年湖南省永州市中考数学试卷(解析版)
湖南省永州市2019年中考数学试卷(解析版)一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）﹣2的绝对值为（）A．B．C．﹣2 D．22．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（）A．1.4042×106B．14.042×105C．8.94×108D．0.894×1094．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（）A．B．C．D．5．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．（a•b）2＝a2•b2D．6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD ＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．159．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（4分）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）分解因式：x2+2x+1＝．12．（4分）方程的解为x＝．13．（4分）使代数式有意义的x取值范围是．14．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲90 88 92 94 91乙90 91 93 94 92根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是．15．（4分）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．16．（4分）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG 的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．17．（4分）如图，直线y＝4﹣x与双曲线y交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是．18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）计算：（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）．20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2．21．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：1.414，11.732）22．（10分）在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧上取一点D，使，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CEC D，劣弧的弧长为π，求⊙O的半径．24．（10分）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．25．（12分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．2019年湖南省永州市中考数学试卷试题解析一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．【解答】解：﹣2的绝对值为：2．故选：D．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为8.94×108，故选：C．4．【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．故选：B．5．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a6，不符合题意；C、原式＝a2b2，符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选：C．6．【解答】解：数据1，4，3，2，4，x中共有6个数，该组数据的中位数是3，3解得x＝3．故选：B．7．【解答】解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．8．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BOBD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积6×8＝24，故选：B．9．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；②设在乙处建总仓库，∵a+d＝5y，b+c＝7y，∴a+d＜b+c，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；由以上可得建在甲处最合适，故选：A．10．【解答】解：解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，∵不等式组有解，∴，解得m＜4，如果m＝2，则不等式组的解集为m＜2，整数解为x＝1，有1个；如果m＝0，则不等式组的解集为0＜m＜3，整数解为x＝1，2，有2个；如果m＝﹣1，则不等式组的解集为m，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2．故答案为：（x+1）2．12．【解答】解：去分母得：2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解，故答案为：﹣113．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．14．【解答】解：甲同学的平均数是：（90+88+92+94+91）＝91（分），甲同学的方差是：[（90﹣91）2+（88﹣91）2+（92﹣91）2+（94﹣91）2+（91﹣91）2]＝4，乙同学的平均数是：（90+91+93+94+92）＝92（分），乙同学的方差是：[（90﹣92）2+（91﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（92﹣92）2]＝2，∵S甲2＝4＞S乙2＝2，方差小的为乙，∴成绩较好且比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．15．【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝2．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝4．故答案为：4．16．【解答】解：∵点F是△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴BE＝3EF，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴，（）2，∴S1：S2；故答案为：．17．【解答】解：由求得或，∴A（1，3），B（3，1），∴OA，设OA的中点为P，以AB为直径的⊙P与直线BC的交点为M、N，过P点作PD⊥x轴于D，交BC于E，连接PN，∵P是OA的中点，∴P（，），∴PD，∵BC⊥y轴，垂足为C，∴BC∥x轴，∴PD⊥BC，∴PE1，在Rt△PEN中，EM＝EN，∴M（﹣1，1），N（2，1）．∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是（﹣1，1）和（2，1），故答案为（﹣1，1）和（2，1）．18．【解答】解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，（a+b）2的第三项的系数为：1，（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，…∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．故答案为：105；（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，故答案为：315．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．【解答】解：（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）＝﹣1+23＝﹣1+3+3＝520．21．【解答】解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴山高AB为546.4米22．【解答】解：（1）甲的速度为：100÷4＝250米/分钟，令250x＝150（x），解得，x＝0.75，答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当x＝5时，乙行驶的路程为：150×（5）＝825＜1000，∴甲乙第二次相遇的时间为：55（分钟），则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（55）×250＝1109.375（米），答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．23．【解答】解：（1）∵，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，则△ACE中，根据三角形内角和为180°，∴2α+2β+2γ＝180°，∴α+β+γ＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点A作AM⊥BC，延长AD交CE于点N，则DN⊥CE，∴四边形AMCN为矩形，设：AB＝CD＝x，则CEx，则CNCEx＝AM，而AB＝x，则sin∠ABM，∴∠ABM＝60°，∴△OAB为等边三角形，即∠AOB＝60°，2πr＝π，解得：r＝3，故圆的半径为3．24．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y＝a（x﹣1）（x+3）把B（0，3）代入得：3＝﹣3a∴a＝﹣1∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣3，0），B（0，3），∴，∴直线AB为y＝x+3，作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，25．【解答】解：（1）100﹣20﹣50﹣20＝10，补全的条形统计图如图所示：（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：P；②购买机器的同时购买8个该易损零件200×20%+500×80%＝440元，购买机器的同时购买9个该易损零件200×50%+500×50%＝350元，购买机器的同时购买10个该易损零件200×10%+500×90%＝470元，购买机器的同时购买11个该易损零件200×20%+500×80%＝440元，因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．26．【解答】解：（1）如图所示：（2）依题意有∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．。
2019年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)
湖南省永州市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题 3分，共24分）.1. （ 3分）（2019?永州）- 一 的倒数为（ ）2013A .[B . _1C . 2019D . - 201920132013考点：倒数.分析：： 根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答. 解答：（解: •••(_ ) X ( - 2019) =1 ,2013•••_ 的倒数为-2019.2013故选D . 点评：本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键.2. （ 3分）（2019?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求了+：=的近:计算器一数的开方 :根据计算器上的键的功能， 了是先按，再按8,-=是先按2nd 键，再解答：解：匚是先按工，再按8,:=是先按2nd 键，再按 ，最后按6,则妣+皈的顺序先按 ，再按8,按+，按2nd 键，按，最后按6, 故选A .点评：此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多， 可根据计算器的说明书使用.3. （ 3分）（2019?永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（H 叭 B---- C可口似值，其按键顺序正确的是（)A考点：中心对称图形；简单几何体的三视图分析：先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可. 解答：解：A 、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；B 、 主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；C 、 主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；D 、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误； 故选B .点评：本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.4. （ 3分）（2019?永州）如图，下列条件中能判定直线 11// 12的是考点：平行线的判定.分析：平行线的判定定理有 ①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可.解答：解：A 、根据/ 1 = / 2不能推出11/ 12,故本选项错误；B 、 •••/ 5= / 3，/ 1 = / 5, :丄 1 = / 3,即根据/ 1 = / 5不能推出11 / 12,故本选项错误；C 、 •••/ 1 + / 3=180°, •••11 // 12,故本选项正确；D 、 根据/ 3= / 5不能推出11 // 12，故本选项错误；故选C .点评：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行， ③同旁内角互补，两直线平行.5. （ 3分）（2019?永州）实数a , b , c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 （ ）C . / 1 + / 3=180 °B . / 仁/5A . a- c> b- c B. a+cv b+c C. ac>bc D•卫v Qb b考点：实数与数轴分析：先由数轴观察a、b、c的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断.解答：解：由数轴可以看出av bv 0v c.A、•' avb, a - cv b - c,故选项错误；B、•' avb, ••• a+cv b+c,故选项正确；C、••' avb, c> 0, • acv be,故选项错误D、•' avc,b v0,•- 1 > ，故选项错误b b故选B.点评：此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单.6. （3 分）（2019?永州）已知（x - y+3）2+O ：=0，则x+y 的值为（）A . 0 B. - 1 C. 1 D. 5考点：: 解二兀一次方程组；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根分析：: 先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值即可.解答：丿解：•••（x - y+3）2+J2x+y=0 , \ - y^3=0 - 1•、'，解得* ,L2x+y=0 ly=2• x+y= - 1+2=1 .故选C.点评：本题考查的是解二兀一次方程组，熟知解二兀一次方程组的加减消兀法和代入消兀法是解答此题的关键.7. （3分）（2019?永州）下列说法正确的是（）A . 一组数据2, 5, 3, 1 , 4, 3的中位数是3B . : 五边形的外角和是540度C. 菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题D . 三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点考点：命题与定理；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；中位数分析：根据中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心分别对每一项进行分析，即可得出答案. 解答：解：A、把这组数据2, 5, 3, 1, 4, 3从小到大排列为：1 , 2, 3, 3, 4, 5,最中间两个数的平均数是（3+3）吃=3，则中位数是3,故本选项正确；B、任何凸多边形的外角和都是360度，则五边形的外角和是360度，故本选项错误；C、菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题, 故本选项错误；D、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项错误；故选A.点评：此题考查了中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心，掌握中位数、多边形的 外角、三角形的外接圆与外心是解题的关键，要熟知课本中的有关知识，才能进行解 答.2& （ 3分）（2019?永州）我们知道，一元二次方程 x = - 1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1 •若我们规定一个新数 “”使其满足i 2= - 1 （即方程x 2= - 1有一个根为i ）.并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立,1 2 3 2 4 2、2 2是有 i =i , i = - 1, i =i ?i= (- 1) ?i= - i , i = (i ) = (- 1) =1，从而对于任意正整数我们可以得到 i 4n+1=i 4n ?i= (i 4) n ?i=i ，同理可得 i 4n+2= - 1, i 4n+3= - i , i 4n=1.那么234 2019 2019+i +i +・・+i +iC . - 1考点：实数的运算 专题:: 新定义.AO Q O A O O O K /I a. K分析：i12 3 2 4 2 2 254 65=i , i = - 1, i =i ?i= (- 1) ?i= - i , i = (i ) = (- 1) =1, i =i ?i=i , i=i ?i= - 1,解答：丿 i解 :由题意得，i =i , i = - 1, i =i ?i= ( - 1) ?i= - i, i = (i ) = (- 1) =1 , i =i ?i=i , 6 5=i ?i= - 1,故可发现4次一循环，一个循环内的和为0,=503 …1,4...23 42019 2019点评：:,本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出 个循环内的和再计算，有一定难度.二、填空题（每小题 3分，共24分）9. （3分）（2019?永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为 4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为 0.0008平方公里•请用科学 记数法表示飞濑屿的面积约为8 X10-4平方公里.考点：科学记数法一表示较小的数分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕， 指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.点评：本题考查用科学记数法表示较小的数,数左边起第一个不为零的数字前面的10. （ 3分）（2019?永州）一副扑克牌 52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花 4 种花色，每种花色各有 13张，分别标有字母 A 、K 、Q 、J 和数字10、9、8、7、6、5、4、于n ,i+i的值为（解答：解: 0.0008=8 X10故答案为: 8X10-4般形式为 aX0-n，其中1<|a|< 10, n 为由原0的个数所决定.4 3、2 .从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母的概率是考点：概率公式分析：根据概率的求法，找准两点： ① 全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.解答：丿解: •••一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花 4种花色，每 种花色各有13张，分别标有字母 A 、K 、Q 、J 和数字10、9、8、7、6、5、4、3、2, •其中带有字母的有 16张，•从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母的概率是=1.52 13故答案为：—.13点评：J比题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相冋， 其中事件A 出现m 种结果，那么事件 A 的概率P （A ）=：：.n11. （3分）（2019?永州）已知一次函数 y=kx+b 的图象经过 A （1,- 1）, B （- 1, 3）两点, 则k v 0 （填 '”或N”考点: :一次函数图象上点的坐标特征 专题: :计算题.分析:根据A （1 , - 1）, B （- 1 , 3）,利用横坐标和纵坐标的增减性判断出 k 的符号.解答：解：••• A 点横坐标为1, B 点横坐标为-1, 根据-1 v 1, 3 > - 1,可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，••• kv 0.故答案为v.点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标判断出函数的增减性是解题的关键.考点：完全平方公式 专题:新定义.分析：根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果.2解答：解：根据题意得：当x=1时，原式=（X - 1）=0.故答案为：0点评：此题考查了完全平方公式，弄清题中的新定义是解本题的关键.13. （3分）（2019?永州）如图，已知 △ ABC 内接于O O , BC 是O O 的直径，MN 与O O 相 切，切点为 A ，若/ MAB=30 °则/ B= 60 度.12. （3分）（2019?永州）定义|［为二阶行列式.规定它的运算法则为| : j =ad - be .那么当x=1时，二阶行列式的值为 00 x - 1考点：切线的性质.分析：由MN 与O O 相切，根据弦切角定理，即可求得/ C 的度数，又由BC 是O O 的直径, 根据圆周角定理，可求得/ BAC=90 °继而求得答案.解答：解：T MN 与O O 相切，/ MAB=30 °•••/ C=Z MAB=30 ° •/ BC 是O O 的直径， •••/ BAC=90 °•••/ B=90 °-Z C=60 °故答案为：60.点评：此题考查了弦切角定理与圆周角定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.14. （3分）（2019?永州）如图，两个反比例函数 y ■和 y=:在第一象限内的图象分别是C iX X和C 2,设点P 在C i 上，PA 丄x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△ POB 的面积为 _」.考点：反比例函数系数k 的几何意义 专题：计算题.分析：7A根据反比例函数 y 」（k 用）系数k 的几何意义得到 S ^ p OA=，用=2 , S A BOA == >2=1,x 2 2然后利用S A POB =S A POA - S A BOA 进行计算即可. 解答：丿解 : T PA 丄x 轴于点A ，交C 2于点B , • SA POA =f 用二2, S A BOA 七 >2=i ,•• SA POB =2 -仁1 .故答案为1.点评：一本题考查了反比例函数 沪 （k 老）系数k 的几何意义：从反比例函数 y= （kMD ）图 象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.考点：绝对值分析：: 先判断出a 、b 异号，再根据绝对值的性质解答即可. 解答：？解：••• 「+ =0, bl Ib|，••• a 、b 异号, ••• abv 0,• ab _ ab _ — 1-- ---------- 1 .ab _ ab1点评：:本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a 、b 异号是解题的关键.16. （3分）（2019?永州）电脑系统中有个 扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规 则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中， 0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的3”表示它的周围八 个方块中仅有3个埋有雷.图乙是张三玩游戏中的局部， 图中有4个方块己确定是雷 （方块 上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中 （方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B 、D 、F 、G .（请填入方块上的字母）考点：推理与论证分析：:根据题意，初步推断出 C 对应的方格必定不是雷， A 、B 对应的方格中有一个雷，中间D 、E 对应方格中有一个雷且最右边的 4”周围4个方格中有3个雷.由此再观察C下方2”、B 下方的2”、D 下方的2”和F 下方的4”即可推断出 A 、C 、E 对应的方 格不是雷，且 B 、D 、F 、G 对应的方格是雷.由此得到本题答案.解答：丿£ 解:图乙中最左边的 1 ”和最右边的1”可得如下推断由第三行最左边的 1 ”可得它的上方必定是雷.结合B 下方的2”可得最左边的A 、B 对应的方格中有一个雷；同理可得最右边的 4”周围4个方格中有3个雷，中间D 、E 对应方格中有一个雷； 由于B 下方的2”和第二行最右边的 2”它们周围的雷已经够数，所以C 对应的方格肯定不是雷，如下图所示：15. （3分）（2019?永州）已知lab |的值为□ r □□N □□ □ □进行下一步推理: 因为C 对应的方格不是雷，所以 C 下方2”的左上、右上的方格，即 B 、D 都是雷;而B 下方的2”的周围的雷也已经够数，所以 A 对应的方格也不是雷. 因为D 下方的2”，它的周围的雷已经够数，可得E 对应的方格不是雷，根据F 下方的4”周围应该有4个雷，结合E 不是雷，可得F 、G 对应的方格都是雷. 综上所述，A 、C 、E 对应的方格不是雷，且 B 、D 、F 、G 对应的方格是雷. 故答案为：B 、D 、F 、G .此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理E 、F 对应方格是否为雷•着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中 档题.三、解答题（本大题共 9个小题，共72分）17（6 分） （2019?永州）计算：•=（］ 1+（- 1）考点：实数的运算；负整数指数幕 专题：计算题.分析：本题涉及负指数幕、乘方、二次根式化简等考点•针对每个考点分别进行计算，然后 根据实数的运算法则求得计算结果.解答： -解：原式=4 --- 12=4 - 2- 1 =1 .点评：本题考查实数的综合运算能力， 是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是掌握负指数幕、乘方、二次根式化简等考点的运算.f 2x+3>l18. （6分）（2019?永州）解不等式组..并把解集在数轴上表示出来.考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据 大小小大中间找”可找出不等式组的解由①得：x >- 1, 由②得：x<2,Ac 0 E F GJ 27 3 4 47 L1r 0 [1 b 33 J 卜 Io0 1 1 3 卜T 1 1 2 解答：解:広+3>1①\2- x>0②，偶甲）不等式组的解集为：-1 v x电,、I I I 七I I 」I再数轴上表示为：巧-4 VJ 0 1 2 3 4 5 •点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到•在表示解集时“青”“歿用实心圆点表示;V”，要用空心圆点表示.■v~h1賣笈 + "I19.（6分）（2019?永州）先化简，再求值：（+ ）十 --，其中x=2 •Y2 -1 疋_1 Y2- 2x+l考点：分式的化简求值分析：先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将x=2代入.解答：,1 .解：（:丄）亠’ X丄—x2 -1 1 X2- 2i+lX - 1x+1=x - 1 ,当x=2时，运算=2 -仁1 .点评：本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算.20.（8分）（2019?永州）某县为了了解2019年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向（ A •读普通高中；B.读职业高中C •直接进入社会就业；D.其它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）•请问：（1）该县共调查了100名初中毕业生；（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；（3）若该县2019年初三毕业生共有4500人，请估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数.考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：图表型.分析：（1）根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解；（2）求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可;（3）用过总人数乘以A所占的百分比40%，计算即可得解.解答：解：（1）40韶0%=100名，所以，该县共调查了100名初中毕业生；（2） B 的人数：100 >30%=30 名，C所占的百分比为：-^-»00%=25% ,100补全统计图如图；（3）4500 »40%=1800 名，答：估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是1800.⑷3）点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.21. （8分）（2019?永州）如图，M是厶ABC的边BC的中点，AN平分/ BAC , BN丄AN 于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10 , BC=15 , MN=3（1）求证：BN=DN ；（2）求厶ABC的周长.考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.分析：(1)证明△ ABN ADN，即可得出结论；(2)先判断MN是厶BDC的中位线，从而得出CD，由(1)可得AD=AB=10，从而计算周长即可. 解答：(1)证明：在△ ABN和厶ADN中，k ZANB=ZAND•••△ ABN ◎△ ADN ,••• BN=DN .(2)解：•••△ ABN ◎△ ADN ,•AD=AB=10 , DN=NB ,又•••点M是BC中点，•MN是厶BDC的中位线，•CD=2MN=6 ,故厶ABC 的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41 .点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形.22. (8分)(2019?永州)中国现行的个人所得税法自2019年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一•以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；(1)若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；(2 )若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？考点：-切线的性质；菱形的判定. 专题：1 证明题. 分析： (1) 由AB 是O O 的切线，/ A=30 °易求得/ OC 的度数，继而可得/ B= / OCB=30 ° 又由等角对等边，证得 AB=BC ；(2) 首先连接 OD ，易证得△ BOD 与厶COD 是等边三角形，可得 OB=BD=OC=CD , 即可证得四边形 BOCD 是菱形.解答：1证明：(1)v AB 是O O 的切线，元一次方程的应用；有理数的混合运算.考点： 分析：(1)根据月收入超过 3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照 3%的税率缴4000元，应缴税的部分是 4000- 3500=500元，再算出1500元至4500元的部分，应按照 10%的税率应缴税的部分是 6000 - 3500=2500元，再算纳个人所得税，甲的月工资500元应缴纳的税款即可；超过部分在 缴纳个人所得税，乙的月工资 4000元,出2500元应缴纳的税款即可；(2)根据个人所得税纳税税率表可知， 元的部分，设丙每月的工资收入额应为 列出方程即可求解.丙每月的工资收入额应为超过 4500元至9000 x 元，根据丙每月缴纳的个人所得税为 95元 解答：解：（1） （4000- 3500） >3%=500 >3% =15 （元），1500 >3%+ （6000 - 3500 -1500）=45+1000 >0% =45+100 =145 （元）.X10%15元；乙每月应缴纳的个人所得税 145元.(2)设丙每月的工资收入额应为1500 >3%+ (X - 3500 - 1500) >0%=95 ,解得 x=5500 .答：丙每月的工资收入额应为5500元.x 元，则 点评：考查了一元一次方程的应用，解决本题关键是理解纳税的办法，找出应纳税的部分,然后根据基本的数量关系求解.23. (10分)(2019?永州)如图，AB 是O O 的切线，B 为切点，圆心在 AC 上，/ A=30 ° D 为BC 的中点.(1) 求证：AB=BC ；(2) 求证：四边形 BOCD 是菱形.••• OB 丄AB ,•••/ A=30 °•••/ AOB=60 °•/ OB=OC ,•••/ OCB= / OBC= / AOB=30 °2•••/ A= / OCB ,• AB=BC ;(2)连接OD ,•••/ AOB=60 °•••/ BOC=120 ° •/ D为BC的中点,• |i= ' i,Z BOD= / COD=60 °•/ OB=OD=OC ,•△ BOD与厶COD是等边三角形,•OB=BD=OC=CD ,•四边形BOCD是菱形.此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质•此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.2 224. (10分)(2019?永州)如图，已知二次函数y= (x-m) - 4m ( m > 0 )的图象与x轴交于A、B两点.(1)写出A、B两点的坐标(坐标用m表示)；(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；(3)设以AB为直径的O M与y轴交于C、D两点，求CD的长.考点：二次函数综合题一2 2分析：(1)解关于x的一元二次方程(x - m) 2-4m =0 ,求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；(2)由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB= ~AB，得出点P的坐标为(m, - 2m)，又根据二次函数的顶点式为y=(x- m) 2- 4m2( m>0)，得出顶点P 的坐标为：(m,- 4m2),则—2m= - 4m2,解方程求出m 的值，再把m的值代入y= (x - m) 2- 4m2,即可求出二次函数的解析式；(3)连接CM •根据(2 )中的结论，先在Rt△ OCM中，求出CM , OM的长度，利用勾股定理列式求出0C的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于0C的2倍.解答：解：(1)Ty= (x- m) 2- 4m2,2 2•••当y=0 时，(x - m) - 4m =0,解得x 仁-m, x2=3m ,■/ m> 0,•A、B两点的坐标分别是(- m, 0), (3m , 0);(2)v A (- m, 0), B (3m, 0) , m>0,•AB=3m -( - m) =4m，圆的半径为丄AB=2m ,2•OM=AM - 0A=2m - m=m ,•抛物线的顶点P的坐标为：(m,- 2m),2 2 2又•••二次函数y= (x - m) - 4m ( m>0)的顶点P的坐标为：(m , - 4m),c , 2•—2m= - 4m ,解得m仁g , m2=0 (舍去)，•二次函数的解析式为y= (x-3) 2 - 1,即y=x2— x-d;2 4(3)如图，连接CM •在Rt△ OCM 中，I/ COM=90 ° CM=2m=2 也=1, OM=m=丄,2 2•O C=#CM；- O!^=J12 _(* ' 2告，•CD=2OC=V^ •点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决.25. (10分)(2019?永州)如图，已知AB丄BD , CD丄BD(1 )若AB=9 , CD=4 , BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9 , CD=4 , BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9 , CD=4 , BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m , CD=n , BD=l，请问m, n, I满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？考点：相似形综合题.分析：(1)存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据/ B= / D=90 °和相似三角形的判定得出当羊=卑或军=更CD PD PD CD 时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；(2)存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据/ B= / D=90。
2019年湖南省永州市中考数学试卷及答案(最新整理)
2019年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）﹣2的绝对值为（ ）A ．B ．C ．﹣2D ．2-12122．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（ ）A ．1.4042×106B ．14.042×105C ．8.94×108D ．0.894×1094．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（ ）A ．B ．C．D．5．（4分）下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．（a•b）2＝a2•b2D．a+b=a+b6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x的值为（ ）A．1B．2C．3D．47．（4分）下列说法正确的是（ ）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（ ）A．40B．24C．20D．159．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．（4分）若关于x 的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能{2x -6+m ＜04x -m ＞0是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）分解因式：x 2+2x +1＝ ．12．（4分）方程的解为x ＝ ．2x -1=1x13．（4分）使代数式有意义的x 取值范围是 ．x -114．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲9088929491乙9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．15．（4分）已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF＝ ．16．（4分）如图，已知点F 是△ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF并延长，交AB 于点D ，过点F 作FG ∥BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG的面积分别为S 1，S 2，则S 1：S 2＝ ．17．（4分）如图，直线y ＝4﹣x 与双曲线y 交于A ，B 两点，过B 作直线BC ⊥y 轴，=3x垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 ．18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）计算：（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）．+12×20．（8分）先化简，再求值：，其中a ＝2．aa 2-a ·a 2-1a +1-a a ‒121．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据： 1.414，11.732）2≈3≈22．（10分）在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧上取AC 一点D，使，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．CD=AB（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE C D，劣弧的弧长为π，求⊙O的半径．=3CD24．（10分）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．25．（12分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2019年湖南省永州市中考数学试卷
2019年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）2-的绝对值为( )A ．12-B ．12C ．2-D ．22．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是( )A ．61.404210⨯B ．514.04210⨯C ．88.9410⨯D ．90.89410⨯4．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）下列运算正确的是( )A ．235a a a +=B ．325()a a =C ．222()a b a b =D ．a b a b +=+6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．（4分）下列说法正确的是( )A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8．（4分）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若5AB AD ==，8BD =，ABD CDB ∠=∠，则四边形ABCD 的面积为( )A ．40B ．24C ．20D ．159．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )A．甲B．乙C．丙D．丁10．（4分）若关于x的不等式组26040x mx m-+<⎧⎨->⎩有解，则在其解集中，整数的个数不可能是()A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）分解因式：221x x++=．12．（4分）方程211x x=-的解为x=．13．（4分）使代数式1x-有意义的x取值范围是．14．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲9088929491乙9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是．15．（4分）已知60AOB∠=︒，OC是AOB∠的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE OA⊥，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若2DE=，则DF=．16．（4分）如图，已知点F是ABC∆的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作//FG BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为1S ，2S ，则12:S S = ．17．（4分）如图，直线4y x =-与双曲线3y x =交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 ．18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()n a b +的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x +的展开式按x 的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+． 依上述规律，解决下列问题：（1）若1s =，则2a = ；（2）若2s =，则01215a a a a +++⋯+= ．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）计算：2019(1)12sin 60(3)-+︒--．20．（8分）先化简，再求值：22111a a aa a a a---+-，其中2a=．21．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45︒，D处的俯角为30︒，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：2 1.414≈，3 1.732)≈22．（10分）在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米)与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23．（10分）如图，已知O是ABC∆的外接圆，且BC为O的直径，在劣弧AC上取一点D，使CD AB=，将ADC∆沿AD对折，得到ADE∆，连接CE．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3CE CD=，劣弧CD的弧长为π，求O的半径．24．（10分）如图，已知抛物线经过两点(3,0)A-，(0,3)B，且其对称轴为直线1x=-．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点)B，求PAB∆的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．25．（12分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，30AD=，将平行四AB=，8∠=︒，6A边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图21-所示剪开，恰好能拼成如图22-所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35)，若把它按如图31-所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图32-所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．2019年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）2-的绝对值为()A．12-B．12C．2-D．2【考点】15：绝对值【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：2-的绝对值为：2．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．2．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是()A．B．C．D．【考点】3P：轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是()A ．61.404210⨯B ．514.04210⨯C ．88.9410⨯D ．90.89410⨯【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为88.9410⨯，故选：C ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是( )A ．B ．C ．D ．【考点】2U ：简单组合体的三视图【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．故选：B ． 【点评】此题主要考查了三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法．5．（4分）下列运算正确的是( )A ．235a a a +=B ．325()a a =C ．222()a b a b =D a b a b +【考点】47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；78：二次根式的加减法；35：合并同类项【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式不能合并，不符合题意；B 、原式6a =，不符合题意；C 、原式22a b =，符合题意；D 、原式不能合并，不符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了二次根式的加减法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】4W ：中位数【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，x 共有6个数，最中间的数只能为x 和4，然后根据它们的中位数为3，即可求出x 的值．【解答】解：数据1，4，3，2，4，x 中共有6个数，该组数据的中位数是3，332x += 解得3x =．故选：C ．【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7．（4分）下列说法正确的是()A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【考点】5J：点到直线的距离；LC：矩形的判定；KB：全等三角形的判定【分析】根据去全等三角形的判定方法得出A不正确；由矩形的判定方法得出B不正确；由补角的定义得出C不正确；由点到直线的距离的定义得出D正确；即可得出结论．【解答】解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键．8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若5==，AB AD ∠=∠，则四边形ABCD的面积为()BD=，ABD CDB8A．40 B．24 C．20 D．15【考点】LA：菱形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质【分析】根据等腰三角形的性质得到AC BD∠=∠，得到AD CD=，推出四⊥，BAO DAO边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到3AO=，于是得到结论．【解答】解：AB AD=，点O是BD的中点，AC BD∠=∠，∴⊥，BAO DAO∠=∠，ABD CDB//AB CD ∴， BAC ACD ∴∠=∠， DAC ACD ∴∠=∠， AD CD ∴=， AB CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，5AB =，142BO BD ==， 3AO ∴=，26AC AO ∴==，∴四边形ABCD 的面积168242=⨯⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．9．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【考点】95：二元一次方程的应用【分析】设甲基地的产量为4x 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x 吨、4x 吨、2x 吨，设2a y =千米，则b 、c 、d 、e 分别为3y 千米、4y 千米、3y 千米、3y 千米，设运输的运费每吨为z 元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(524323)28x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；②设在乙处建总仓库，则运费最少为：(424325)30x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(435324)35x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(435544)53x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；进行比较运费最少的即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e=，设2a y=千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(524323)28x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；②设在乙处建总仓库，5a d y+=，7b c y+=，a db c∴+<+，则运费最少为：(424325)30x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(435324)35x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(435544)53x y x y x y z xyz⨯+⨯+⨯=；由以上可得建在甲处最合适，故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程的应用；设出未知数，求出各个运费是解题的关键．10．（4分）若关于x的不等式组26040x mx m-+<⎧⎨->⎩有解，则在其解集中，整数的个数不可能是()A．1 B．2 C．3 D．4【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出4m<，然后分别取2m=，0，1-，得出整数解的个数，即可求解．【解答】解：解不等式260x m -+<，得：62mx -<， 解不等式40x m ->，得：4m x >， 不等式组有解，∴642m m-<， 解得4m <，如果2m =，则不等式组的解集为122m <<，整数解为1x =，有1个； 如果0m =，则不等式组的解集为03m <<，整数解为1x =，2，有2个；如果1m =-，则不等式组的解集为1742m -<<，整数解为0x =，1，2，3，有4个；故选：C ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分） 11．（4分）分解因式：221x x ++= 2(1)x + ． 【考点】54：因式分解-运用公式法【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 【解答】解：2221(1)x x x ++=+． 故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键． （1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）． 12．（4分）方程211x x=-的解为x = 1- ． 【考点】3B ：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到方程的解．【解答】解：去分母得：21x x =-，解得：1x =-，经检验1x =-是分式方程的解， 故答案为：1-【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13．（4x 取值范围是 1x ． 【考点】72：二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【解答】解：10x ∴-，解得：1x ． 故答案为：1x ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数． 14．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 乙 ． 【考点】7W ：方差【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【解答】解：甲同学的平均数是：1(9088929491)915++++=（分)，甲同学的方差是：222221[(9091)(8891)(9291)(9491)(9191)]45-+-+-+-+-=，乙同学的平均数是：1(9091939492)925++++=（分)，乙同学的方差是：222221[(9092)(9192)(9392)(9492)(9292)]25-+-+-+-+-=，2242S S =>=乙甲，方差小的为乙，∴成绩较好且比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-+⋯+-，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．（4分）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF = 4 ．【考点】KF ：角平分线的性质【分析】过点D 作DM OB ⊥，垂足为M ，则2DM DE ==，在Rt OEF ∆中，利用三角形内角和定理可求出30DFM ∠=︒，在Rt DMF ∆中，由30︒角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【解答】解：过点D 作DM OB ⊥，垂足为M ，如图所示． OC 是AOB ∠的平分线，2DM DE ∴==．在Rt OEF ∆中，90OEF ∠=︒，60EOF ∠=︒， 30OFE ∴∠=︒，即30DFM ∠=︒．在Rt DMF ∆中，90DMF ∠=︒，30DFM ∠=︒，24DF DM ∴==．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30︒角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键． 16．（4分）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG的面积分别为1S ，2S ，则12:S S=18．【考点】9S ：相似三角形的判定与性质；5K ：三角形的重心【分析】由三角形的重心定理得出2BF EF =，得出3BE EF =，由平行线得出EFG EBC ∆∆∽，∴得出2111()39EBCS S ∆==，即可得出结果． 【解答】解：点F 是ABC ∆的重心，2BF EF ∴=，3BE EF ∴=， //FG BC ， EFG EBC ∴∆∆∽，∴13EF BE =，2111()39EBCS S ∆==，121:8S S ∴=；故答案为：18．【点评】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键． 17．（4分）如图，直线4y x =-与双曲线3y x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 (1,1)-和(2,1) ．【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】求得交点A 、B 的坐标，即可求得直径AB 的长度和P 点的坐标，从而求得PE 的长度，利用勾股定理求得32EM EN==，结合P的坐标即可求得以OA为直径的圆与直线BC 的交点坐标．【解答】解：由43y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩求得13xy=⎧⎨=⎩或31xy=⎧⎨=⎩，(1,3)A∴，(3,1)B，223110OA∴=+=，设OA的中点为P，以AB为直径的P与直线BC的交点为M、N，过P点作PD x⊥轴于D，交BC于E，连接PN，P是OA的中点，1(2P∴，3)2，32PD∴=，BC y⊥轴，垂足为C，//BC x∴轴，PD BC∴⊥，31122PE∴=-=，在Rt PEN∆中，22221013()()222EM EN PN PE==-=-=，(1,1)M∴-，(2,1)N．∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是(1,1)-和(2,1)，故答案为(1,1)-和(2,1)．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的交点问题，垂径定理，勾股定理的应用，求得圆心的坐标是解题的关键．18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()n a b +的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x +的展开式按x 的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+． 依上述规律，解决下列问题： （1）若1s =，则2a = 105 ；（2）若2s =，则01215a a a a +++⋯+= ．【考点】4C ：完全平方公式；43：多项式；1O ：数学常识；37：规律型：数字的变化类 【分析】（1）根据图形中的规律即可求出15(1)x +的展开式中第三项的系数为前14个数的和； （2）根据x 的特殊值代入要解答，即把1x =代入时，得到结论． 【解答】解：（1）由图2知：1()a b +的第三项系数为0，2()a b +的第三项的系数为：1， 3()a b +的第三项的系数为：312=+， 4()a b +的第三项的系数为：6123=++，⋯∴发现3(1)x +的第三项系数为：312=+；4(1)x +的第三项系数为6123=++； 5(1)x +的第三项系数为101234=+++；不难发现(1)n x +的第三项系数为123(2)(1)n n +++⋯+-+-， 1s ∴=，则212314105a =+++⋯+=．故答案为：105；（2）1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+． 当1x =时，151501215(21)3a a a a +++⋯+=+=， 故答案为：153．【点评】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应()n a b +中，相同字母a 的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）计算：2019(1)sin 60(3)-+︒--． 【考点】2C ：实数的运算；5T ：特殊角的三角函数值【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：2019(1)sin 60(3)-︒--13=-+ 133=-++ 5=【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（8分）先化简，再求值：22111a a aa a a a ---+-，其中2a =． 【考点】6D ：分式的化简求值【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：22111a a aa a a a ---+- (1)(1)(1)11a a a a a a a a +-=--+-11a a =-- 11a a a --=- 11a =--， 当2a =时，原式1121=-=--． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45︒，D 处的俯角为30︒，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据：2 1.414≈，3 1.732)≈【考点】TA ：解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】设AB x =，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：设AB x =，由题意可知：45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，AB BC x ∴==，400BD BC CD x ∴=+=+，在Rt ADB ∆中，tan30AB BD∴︒=， ∴4003x x =+， 解得：546.431x =≈-， ∴山高AB 为546.4米【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．22．（10分）在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米)与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当x为何值时，两人第一次相遇；（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．【解答】解：（1）甲的速度为：1004250÷=米/分钟，令30 250150()60x x=+，解得，0.75x=，答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当5x=时，乙行驶的路程为：30150(5)825100060⨯+=<，∴甲乙第二次相遇的时间为：100082575515025016-+=+（分钟），则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：71000(55)2501109.37516+-⨯=（米)，答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（10分）如图，已知O是ABC∆的外接圆，且BC为O的直径，在劣弧AC上取一点D，使CD AB=，将ADC∆沿AD对折，得到ADE∆，连接CE．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3CE CD=，劣弧CD的弧长为π，求O的半径．【考点】PB ：翻折变换（折叠问题）；MN ：弧长的计算；MA ：三角形的外接圆与外心；ME ：切线的判定与性质；5M ：圆周角定理【分析】（1）在ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，则222180αβγ++=︒，即可求解；（2）证明四边形AMCN 为矩形，132CN CE x AM ===，而AB x =，则3sin ABM ∠=，即60ABM ∠=︒，即可求解．【解答】解：（1）CD AB =，CAD BCA EAD α∴∠=∠==∠，设：DCA DEA β∠=∠=，DCE DEC γ∠=∠=，则ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，222180αβγ∴++=︒，90αβγ∴++=︒，CE ∴是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ==，则3CE x =，则132CN CE x AM ==，而AB x =， 则3sin ABM ∠=60ABM ∴∠=︒， OAB ∴∆为等边三角形，即60AOB ∠=︒，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒，解得：3r =，故圆的半径为3．【点评】本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强，难度较大．24．（10分）如图，已知抛物线经过两点(3,0)A -，(0,3)B ，且其对称轴为直线1x =-．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点)B ，求PAB ∆的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征；3H ：二次函数的性质；8H ：待定系数法求二次函数解析式；7H ：二次函数的最值【分析】（1）因为对称轴是直线1x =-，所以得到点(3,0)A -的对称点是(1,0)，因此利用交点式12()()y a x x x x =--，求出解析式．（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线1x =-且经过点(3,0)A -由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为12()()(0)y a x x x x a =--≠即：(1)(3)y a x x =-+把(0,3)B 代入得：33a =-1a ∴=-∴抛物线的解析式为：223y x x =--+．（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+，(3,0)A -，(0,3)B ，。
2019年湖南省永州市中考数学试卷(原卷版)
2019年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1.﹣2的绝对值等于（）A. ﹣12B.12C. ﹣2D. 22.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（）A. 1.4042×106 B. 14.042×105 C. 8.94×108 D. 0.894×109 4.某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. a2+a3＝a5B. （a3）2＝a5C. （a•b）2＝a2•b2D. a b a b=+6.现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据中位数是3，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.下列说法正确的是（ ）A. 有两边和一角分别相等的两个三角形全等B. 有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C. 如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D. 点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 40B. 24C. 20D. 159.某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a ：b ：c ：d ：e ＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.若关于x 的不等式组26040x m x m -+⎧⎨-⎩＜＞有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11.分解因式：221x x ++=_____________． 12.方程211x x=-的解为x ＝_____．13.使代数式x 1-有意义的x 的取值范围是 ．14.下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表： 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是_____．15.已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．16.如图，已知点F 是△ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作FG ∥BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1：S 2＝_____．17.如图，直线y ＝4﹣x 与双曲线y 3x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC ⊥y 轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是_____．18.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝___；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝___．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19.计算：（﹣1）201912+⨯sin60°﹣（﹣3）．20.先化简，再求值：221·11a a aa a a a---+-，其中a＝2．21.为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：2≈1.414，3≈11.732）22.在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧¶AC上取一点D，使¶¶=，将△ADCCD AB沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；= C D，劣弧¶CD的弧长为π，求⊙O的半径．（2）若CE324.如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．25.某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26.（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝30°，AB ＝6，AD ＝8，将平行四边形ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m 的值是多少？ （3）四边形ABCD 是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．。
(完整版)2019年永州市中考数学试题、答案(解析版)
2019年永州市中考数学试题、答案（解析版）一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分） 1.2-的绝对值为( )A .12-B .12C .2-D .22.改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )ABCD3.2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是( )A .61.404210⨯B .514.04210⨯C .88.9410⨯D .90.89410⨯4.某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是( )AB C D5.下列运算正确的是( )A .235a a a +＝B .()235a a ＝ C .()222••a b a b ＝D=6.现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为 ( ) A .1B .2C .3D .4 7.下列说法正确的是( )A .有两边和一角分别相等的两个三角形全等B .有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C .如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D .点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若5AB AD ＝＝，8BD ＝，ABD CDB ∠∠＝，则四边形ABCD 的面积为 ( )A .40B .24C .20D .159.某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )A .甲B .乙C .丙D .丁10.若关于x 的不等式组26040x m x m -+⎧⎨-⎩＜＞有解，则在其解集中，整数的个数不可能是( )A .1B .2C .3D .4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分） 11.分解因式：221x x ++＝ . 12.方程211x x=-的解为=x . 13.x 取值范围是 .14.下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次甲 90 88 92 94 91 乙9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．15.已知60AOB ∠︒＝，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE ＝，则DF ＝ ．16.如图，已知点F 是ABC △的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作FG BC ∥，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ＝ ．17.如图，直线4y x -＝与双曲线3y x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 ．18.我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()na b +的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将()15s x +的展开式按x 的升幂排列得：()1521501215s x a a x a x a x ++++⋯+＝ 依上述规律，解决下列问题： （1）若1s ＝，则2a ＝ ；（2）若2s ＝，则01215a a a a +++⋯+＝ ．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分） 19.计算：()()20191s 3in60-︒--.20.先化简，再求值：22111a a a a a a a -⋅--+-，其中2a ＝．21.为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45︒，D 处的俯角为30︒，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据：2 1.414≈，311.732≈）22.在一段长为1 000米的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米）与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回． （1）当x 为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23.如图，已知O 是ABC △的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧AC 上取一点D ，使CD AB =，将ADC △沿AD 对折，得到ADE △，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧CD 的弧长为π，求O 的半径．24.如图，已知抛物线经过两点()3,0A -，()0,3B ，且其对称轴为直线=1x -． （1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求PAB △的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．25.某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26.（1）如图1，在平行四边形ABCD中，30AD＝，将平行四边形AB＝，8＝，6A∠︒ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．4.【答案】B【解析】观察图形可知，这块西瓜的三视图是．AC BD ABD AB CD BAC DAC AD CD AB CD ∴⊥∠∴∴∠∴∠∴∴＝∥＝＝＝＝532AB AO AC AO ∴∴＝，＝，＝∴四边形故选：B ．∴24DF DM ＝＝．1【解析】∵点F 是ABC △的重心， 23BF EF BE EF FG BC EFG EBC ∴∴∴＝，＝，∥，△∽△，∴13EF BE =，211139EBC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△， ∴12:S S .17.【答案】()1,1-和()2,1【解析】由43y xy x =-⎧⎪⎨=⎪⎩求得13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩， ∴()1,3A ，()3,1B ，∴OA =设OA 的中点为P ，以AB 为直径的P 与直线BC 的交点为M 、N ，过P 点作PD x ⊥轴于D ，交BC 于E ，连接PN ，∵P 是OA 的中点，∴13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3=2PD ，∵BC y ⊥轴，垂足为C ， ∴BC x ∥轴， ∴PD BC ⊥， ∴31=122PE -=， 在Rt PEN △中，32EM EN ====，∴()1,1M -，()2,1N ．∴以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是()1,1-和()2,1，18.【答案】（1）105 （2）153【解析】（1）由图2知：()1a b +的第三项系数为0，()2a b +的第三项的系数为：1，()3a b +的第三项的系数为：312+＝，()4a b +的第三项的系数为：6123++＝，…∴发现()31x +的第三项系数为：312+＝；()41x +的第三项系数为6123++＝；()51x +的第三项系数为101234+++＝； 不难发现()1nx +的第三项系数为()()12321n n +++⋯+-+-，∴1s ＝，则212314105a +++⋯+＝＝． （2）∵()1521501215s x a a x a x a x ++++⋯+＝． 当1x ＝时，()151501215213a a a a +++⋯++＝＝， 三、解答题 19.【答案】()()201910sin63︒---1231335+++＝-＝-＝ 20.【答案】21.【答案】设AB x ＝，由题意可知：45ACB ∠︒＝，30ADB ∠︒＝，400AB BC x BD BC CD x ∴∴++＝＝，＝＝，在Rt ADB △中，tan30AB BD∴︒=， 400x x =+， 解得：546.4x =≈， ∴山高AB 为546.4米.22.【答案】（1）甲的速度为：1004250÷＝米/分钟，令3025015060x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝， 解得，0.75x ＝， 答：当x 为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当5x ＝时，乙行驶的路程为：301505+825100060⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝＜， ∴甲乙第二次相遇的时间为：100082575+515025016-=+（分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：71000552501109.37516⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭＝（米）， 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．23.【答案】（1）∵CD AB =，∴CAD BCA EAD α∠∠∠＝＝＝， 设：DCA DEA β∠∠＝＝，DCE DEC γ∠∠＝＝，则ACE △中，根据三角形内角和为180︒，22218090αβγαβγ∴++︒∴++︒＝，＝，∴CE 是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ＝＝，则CE ，则12CN CE AM ==，而AB x ＝， 则sin ABM ∠=，∴60ABM ∠︒＝， ∴OAB △为等边三角形，即60AOB ∠︒＝，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒解得：3r ＝，故圆的半径为3．24.【答案】（1）∵抛物线对称轴是直线1x ＝-且经过点()3,0A - 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点()1,0设抛物线的解析式为()()()120y a x x x x a --≠＝即：()()13y a x x -+＝把()0,3B 代入得：33a ＝-∴1a ＝-∴抛物线的解析式为：223y x x -+＝-．（2）设直线AB 的解析式为y kx b +＝，∵()3,0A -，()0,3B ，∴303k b b -+=⎧⎨=⎩， ∴直线AB 为3y x +＝，作PQ x ⊥轴于Q ，交直线AB M 于，设()2,23P x x x --+，则(),3M x x +，∴()222333PM x x x x x +---+＝-＝-，∴()2213327332228S x x x ⎛⎫=--⨯=-++ ⎪⎝⎭ 当32x =-时，27=8S 最大，2331523224y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴PAB △的面积的最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭25.【答案】（1）10020502010---＝，补全的条形统计图如图所示： （2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：501205010202P ==+++； ②购买机器的同时购买8个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯＝元， 购买机器的同时购买9个该易损零件20050%50050%350⨯+⨯＝元， 购买机器的同时购买10个该易损零件20010%50090%470⨯+⨯＝元， 购买机器的同时购买11个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯＝元， 因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．26.【答案】（1）如图所示：（2）依题意有111+m m-=， 解得1m =，2m=（负值舍去）， 经检验，1m 是原方程的解. 故m； （3）∵737+24≠， ∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．。
2019年湖南省永州市中考数学试卷(后附答案与解析)
2019年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）（2019•永州）2-的绝对值为()A．12-B．12C．2-D．22．（4分）（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．（4分）（2019•永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是() A．61.404210⨯B．514.04210⨯C．88.9410⨯D．90.89410⨯4．（4分）（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是()A．B．C ．D ．5．（4分）（2019•永州）下列运算正确的是()A ．235a a a +=B ．325()a a =C ．222()a b a b = D ．a b a b+=+6．（4分）（2019•永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．47．（4分）（2019•永州）下列说法正确的是()A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8．（4分）（2019•永州）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若5AB AD ==，8BD =，ABD CDB ∠=∠，则四边形ABCD 的面积为()A ．40B ．24C ．20D ．159．（4分）（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．（4分）（2019•永州）若关于x 的不等式组26040x m x m -+<⎧⎨->⎩有解，则在其解集中，整数的个数不可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）（2019•永州）分解因式：221x x ++=．12．（4分）（2019•永州）方程211x x =-的解为x =．13．（4分）（2019有意义的x 取值范围是．14．（4分）（2019•永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲9088929491乙9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是．15．（4分）（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF =．16．（4分）（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S =．17．（4分）（2019•永州）如图，直线4y x =-与双曲线3y x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是．18．（4分）（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()n a b +的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x +的展开式按x 的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+．依上述规律，解决下列问题：（1）若1s =，则2a =；（2）若2s =，则01215a a a a +++⋯+=．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）（2019•永州）计算：2019(1)12sin 60(3)-+⨯︒--．20．（8分）（2019•永州）先化简，再求值：22111a a a a a a a ---+- ，其中2a =．21．（8分）（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45︒，D 处的俯角为30︒，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据：2 1.414≈，3 1.732)≈22．（10分）（2019•永州）在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米)与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回．（1）当x 为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23．（10分）（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧 AC 上取一点D ，使 CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧 CD的弧长为π，求O 的半径．24．（10分）（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点(3,0)B，且其对称轴为直A-，(0,3)线1x=-．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点)B，求PAB∆的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．25．（12分）（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26．（12分）（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，30A ∠=︒，6AB =，8AD =，将平行四边形ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图21-所示剪开，恰好能拼成如图22-所示的矩形，则m 的值是多少？（3）四边形ABCD 是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35)，若把它按如图31-所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图32-所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．2019年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）（2019•永州）2-的绝对值为()A ．12-B ．12C ．2-D ．2【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：2-的绝对值为：2．故选：D ．2．（4分）（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．3．（4分）（2019•永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是()A ．61.404210⨯B ．514.04210⨯C ．88.9410⨯D ．90.89410⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a < ，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为88.9410⨯，故选：C ．4．（4分）（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是()A ．B ．C ．D ．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．故选：B ．5．（4分）（2019•永州）下列运算正确的是()A ．235a a a +=B ．325()a a =C ．222()a b a b = D ．a b a b=+【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式不能合并，不符合题意；B 、原式6a =，不符合题意；C 、原式22a b =，符合题意；D 、原式不能合并，不符合题意，故选：C ．6．（4分）（2019•永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，x 共有6个数，最中间的数只能为x 和4，然后根据它们的中位数为3，即可求出x 的值．【解答】解：数据1，4，3，2，4，x 中共有6个数，该组数据的中位数是3，332x +=解得3x =．故选：C ．7．（4分）（2019•永州）下列说法正确的是()A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【分析】根据去全等三角形的判定方法得出A 不正确；由矩形的判定方法得出B 不正确；由补角的定义得出C 不正确；由点到直线的距离的定义得出D 正确；即可得出结论．【解答】解：A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒；不正确；D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D ．8．（4分）（2019•永州）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若5AB AD ==，8BD =，ABD CDB ∠=∠，则四边形ABCD 的面积为()A ．40B ．24C ．20D ．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC BD ⊥，BAO DAO ∠=∠，得到AD CD =，推出四边形ABCD 是菱形，根据勾股定理得到3AO =，于是得到结论．【解答】解：AB AD = ，点O 是BD 的中点，AC BD ∴⊥，BAO DAO ∠=∠，ABD CDB ∠=∠ ，//AB CD ∴，BAC ACD ∴∠=∠，DAC ACD ∴∠=∠，AD CD ∴=，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，5AB = ，142BO BD ==，3AO ∴=，26AC AO ∴==，∴四边形ABCD 的面积168242=⨯⨯=，故选：B ．9．（4分）（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为()A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，设2=千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的a y运费每吨为z元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(524323)28⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz②设在乙处建总仓库，则运费最少为：(424325)30⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(435324)35⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(435544)53⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz进行比较运费最少的即可．【解答】解： 甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e=，设2a y=千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(524323)28⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz②设在乙处建总仓库，b c y+=，，7+=5a d y∴+<+，a db c则运费最少为：(424325)30⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(435324)35⨯+⨯+⨯=；x y x y x y z xyz④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(435544)53x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=；由以上可得建在甲处最合适，故选：A ．10．（4分）（2019•永州）若关于x 的不等式组26040x m x m -+<⎧⎨->⎩有解，则在其解集中，整数的个数不可能是()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出4m <，然后分别取2m =，0，1-，得出整数解的个数，即可求解．【解答】解：解不等式260x m -+<，得：62mx -<，解不等式40x m ->，得：4m x >， 不等式组有解，∴642m m-<，解得4m <，如果2m =，则不等式组的解集为122m <<，整数解为1x =，有1个；如果0m =，则不等式组的解集为03m <<，整数解为1x =，2，有2个；如果1m =-，则不等式组的解集为1742m -<<，整数解为0x =，1，2，3，有4个；故选：C ．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）（2019•永州）分解因式：221x x ++=2(1)x +．【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．【解答】解：2221(1)x x x ++=+．故答案为：2(1)x +．12．（4分）（2019•永州）方程211x x=-的解为x =1-．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到方程的解．【解答】解：去分母得：21x x =-，解得：1x =-，经检验1x =-是分式方程的解，故答案为：1-13．（4分）（2019有意义的x 取值范围是1x ．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【解答】解： 10x ∴- ，解得：1x ．故答案为：1x ．14．（4分）（2019•永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：同学第一次第二次第三次第四次第五次甲9088929491乙9091939492根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是乙．【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【解答】解：甲同学的平均数是：1(9088929491)915++++=（分)，甲同学的方差是：22222191)(8891)(9291)(9491)(9191)]45-+-+-+-+-=，乙同学的平均数是：1(9091939492)925++++=（分)，乙同学的方差是：222221[(9092)(9192)(9392)(9492)(9292)]25-+-+-+-+-=，2242S S =>= 乙甲，方差小的为乙，∴成绩较好且比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．15．（4分）（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF =4．【分析】过点D 作DM OB ⊥，垂足为M ，则2DM DE ==，在Rt OEF ∆中，利用三角形内角和定理可求出30DFM ∠=︒，在Rt DMF ∆中，由30︒角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【解答】解：过点D 作DM OB ⊥，垂足为M ，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，2DM DE ∴==．在Rt OEF ∆中，90OEF ∠=︒，60EOF ∠=︒，30OFE ∴∠=︒，即30DFM ∠=︒．在Rt DMF ∆中，90DMF ∠=︒，30DFM ∠=︒，24DF DM ∴==．故答案为：4．16．（4分）（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S =18．【分析】由三角形的重心定理得出2BF EF =，得出3BE EF =，由平行线得出EFG EBC ∆∆∽，∴得出2111()39EBC S S ∆==，即可得出结果．【解答】解： 点F 是ABC ∆的重心，2BF EF ∴=，3BE EF ∴=，//FG BC ，EFG EBC ∴∆∆∽，∴13EF BE =，2111()39EBC S S ∆==，121:8S S ∴=；故答案为：18．17．（4分）（2019•永州）如图，直线4y x =-与双曲线3y x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是(1,1)-和(2,1)．【分析】求得交点A 、B 的坐标，即可求得直径AB 的长度和P 点的坐标，从而求得PE 的长度，利用勾股定理求得32EM EN ==，结合P 的坐标即可求得以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标．【解答】解：由43y xy x =-⎧⎪⎨=⎪⎩求得13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，(1,3)A ∴，(3,1)B，OA ∴=，设OA 的中点为P ，以AB 为直径的P 与直线BC 的交点为M 、N ，过P 点作PD x ⊥轴于D ，交BC 于E ，连接PN ，P 是OA 的中点，1(2P ∴，3)2，32PD ∴=，BC y ⊥ 轴，垂足为C ，//BC x ∴轴，PD BC ∴⊥，31122PE ∴=-=，在Rt PEN ∆中，32EM EN ====，(1,1)M ∴-，(2,1)N ．∴以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是(1,1)-和(2,1)，故答案为(1,1)-和(2,1)．18．（4分）（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()n a b +的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x +的展开式按x 的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+．依上述规律，解决下列问题：（1）若1s =，则2a =105；（2）若2s =，则01215a a a a +++⋯+=．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出15(1)x +的展开式中第三项的系数为前14个数的和；（2）根据x 的特殊值代入要解答，即把1x =代入时，得到结论．【解答】解：（1）由图2知：1()a b +的第三项系数为0，2()a b +的第三项的系数为：1，3()a b +的第三项的系数为：312=+，4()a b +的第三项的系数为：6123=++，⋯∴发现3(1)x +的第三项系数为：312=+；4(1)x +的第三项系数为6123=++；5(1)x +的第三项系数为101234=+++；不难发现(1)n x +的第三项系数为123(2)(1)n n +++⋯+-+-，1s ∴=，则212314105a =+++⋯+=．故答案为：105；（2）1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+ ．当1x =时，151501215(21)3a a a a +++⋯+=+=，故答案为：153．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）（2019•永州）计算：2019(1)sin 60(3)-+︒--．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：2019(1)sin 60(3)-+︒--3132=-++133=-++5=20．（8分）（2019•永州）先化简，再求值：22111a a aa a a a ---+- ，其中2a =．【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：22111a a aa a a a ---+- (1)(1)(1)11a a a a a a a a +-=--+- 11a a =--11a a a --=-11a =--，当2a =时，原式1121=-=--．21．（8分）（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45︒，D 处的俯角为30︒，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据：2 1.414≈，3 1.732)≈【分析】设AB x =，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：设AB x =，由题意可知：45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，AB BC x ∴==，400BD BC CD x ∴=+=+，在Rt ADB ∆中，tan 30ABBD∴︒=，∴4003xx =+，解得：400546.431x =-，∴山高AB 为546.4米22．（10分）（2019•永州）在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米)与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回．（1）当x 为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当x 为何值时，两人第一次相遇；（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．【解答】解：（1）甲的速度为：1004250÷=米/分钟，令30250150(60x x =+，解得，0.75x =，答：当x 为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当5x =时，乙行驶的路程为：30150(5825100060⨯+=<，∴甲乙第二次相遇的时间为：100082575515025016-+=+（分钟），则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：71000(55)2501109.37516+-⨯=（米)，答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．23．（10分）（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧 AC 上取一点D ，使 CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若CE =，劣弧 CD的弧长为π，求O 的半径．【分析】（1）在ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，则222180αβγ++=︒，即可求解；（2）证明四边形AMCN 为矩形，1322CN CE x AM ===，而AB x =，则3sin 2ABM ∠=，即60ABM ∠=︒，即可求解．【解答】解：（1） CD AB =，CAD BCA EAD α∴∠=∠==∠，设：DCA DEA β∠=∠=，DCE DEC γ∠=∠=，则ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，222180αβγ∴++=︒，90αβγ∴++=︒，CE ∴是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ==，则CE =，则1322CN CE x AM ===，而AB x =，则sin 2ABM ∠=，60ABM ∴∠=︒，OAB ∴∆为等边三角形，即60AOB ∠=︒，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒，解得：3r =，故圆的半径为3．24．（10分）（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点(3,0)A -，(0,3)B ，且其对称轴为直线1x =-．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点)B ，求PAB ∆的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【分析】（1）因为对称轴是直线1x =-，所以得到点(3,0)A -的对称点是(1,0)，因此利用交点式12()()y a x x x x =--，求出解析式．（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1） 抛物线对称轴是直线1x =-且经过点(3,0)A -由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为12()()(0)y a x x x x a =--≠即：(1)(3)y a x x =-+把(0,3)B 代入得：33a=-1a ∴=-∴抛物线的解析式为：223y x x =--+．（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+，(3,0)A - ，(0,3)B ，∴303k b b -+=⎧⎨=⎩，∴直线AB 为3y x =+，作PQ x ⊥轴于Q ，交直线AB 于M ，设2(,23)P x x x --+，则(,3)M x x +，2223(3)3PM x x x x x ∴=--+-+=--，2213327(3)3()2228S x x x ∴=--⨯=-++．当32x =-时，278S =最大，23315(2()3224y =---⨯-+=，PAB ∴∆的面积的最大值为278，此时点P 的坐标为3(2-，15)425．（12分）（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？【分析】（1）共抽查100台机器，更换8个零件的有20台，更换9个零件的有50台，更换11个零件的有20台，可以计算出更换10个零件的有10020502010---=台，进而补全统计图；（2）①用样本的频数估计总体的概率，即求出抽查的100台机器中更换9个零件的频率即可；②利用加权平均数计算各种情况下的花费，比较得出答案．【解答】解：（1）10020502010---=，补全的条形统计图如图所示：（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：501205010202P ==+++；②购买机器的同时购买8个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯=元，购买机器的同时购买9个该易损零件20050%50050%350⨯+⨯=元，购买机器的同时购买10个该易损零件20010%50090%470⨯+⨯=元，购买机器的同时购买11个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯=元，因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．26．（12分）（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，30AD=，AB=，8∠=︒，6A将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图21-所示剪开，恰好能拼成如图22-所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35)，若把它按如图31-所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图32-所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．【分析】（1）过D作DE BC∆进行平移即可求解；⊥于E，将CDE（2）根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）依题意有111m m m-=+，解得1152m -+=，2152m -=（负值舍去），经检验，112m -+=是原方程的解．故m 的值是（3） 73724≠+，∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．。