离散LSI系统的频域分析
实验一 离散系统频域分析
实验一 离散系统频域分析一、实验目的1．学习和掌握离散系统频率特性(1)离散系统的幅频特性与相频特性。
(2)离散系统频率特性的对称性与周期性。
2．认识离散系统频率特性与系统参数之间关系。
二、实验内容(1)选择系统函数H(Z)(尽可能简单，如()zH z z a =-)，编制计算其幅度特性和相位特性程序。
(2)在0ωπ≤≤范围内分析()j H e ω的幅度特性和相位特性。
(3)选择不同参数，使得()j H e ω呈现低通、高通和全通特性。
(4)在04ωπ≤≤范围内，分析()j H e ω的幅度特性和相位特性、观察()j H e ω的周期性和对称性。
三、实验说明(1)离散系统有其固有的频率特性(现阶段主要指数字频率)，这一概念对于初学者来讲很重要。
它是学习数字滤波器的理论基础。
通过本实验，可以全面、形象地建立起离散系统频率特性的概念．深入理解离散系统频谱特性的周期性和对称性。
对于系统函数()z H z z a =-（取a=0.5），它表示一个简单的低通滤波器。
其频率响应为arg[()]()|()|0.5j j j j j H e j e H e H e e e ωωωωω==-，其中|()j H e ω|称为幅频（或幅度）响应、arg[()j H e ω]称为相频（或相位）响应。
使用MatLab 很容易绘出系统的相频特性和幅频特性，参考程序如下： clf;a=-0.5; %系统参数ac=[1 a];b=[1];m=0:length(b)-1;l=0:length(c)-1;K=500;k=1:1:K;r=1; %频率ω范围w=r*pi*k/K; ％（以π为单位）num=b * exp(-j * m' * w);den=c*exp(-j*l'*w);H=num./den;magH=abs(H);angH=angle(H);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH,'k');xlabel('frequency in \pi units');ylabel('|H|');gtext('magnitude Response');subplot(2,1,2);plot(w/pi,angH/pi,'k');xlabel('frequency in \pi units');ylabel('phase in\pi Radians');gtext('Phase Response');该程序用于绘制0ωπ≤≤范围内系统的幅度特性和相位特性，其运行结果如下;从程序运行结果可以看出该系统表示一个低通滤波器。
dspch1_4_1离散系统的频域分析1
Digital Signal Processing
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
离散系统的频域分析
离散LTI系统的频域描述 离散LTI系统响应的频域分析 理想数字滤波器
离散LTI系统的频域描述
离散LTI系统的频率响应 x[k ] = e
jΩk
H(e )
jΩ
y[k ] = e
离散LTI系统的时域描述
离散LTI系统的频域描述
离散LTI系统响应的频域分析
非周期序列通过离散LTI系统的响应
ejΩ k 离散系统 ejΩ kH(ejΩ)
1 π jΩ jΩ k x[k ] = X (e ) dΩ e ∫ π − 2π
x[k] X(ejΩ )
离散系统
yzs[k] H(ejΩ)X(ejΩ)
若该离散LTI系统的单位脉冲响应h[k]为实序列
jΩ 0 jΩ 0 k − jΩ 0 − jΩ 0 k (e )e (e )e = y[k ] H + H /2
H (e
j(e jΩ0 ) e − jϕ ( Ω0 )
= y[k ] H (e jΩ0 ) cos(Ω 0 k + ϕ (Ω 0 ))
H(ejΩ)
频率为Ω的虚指数信号 ejΩ k 通过离散LTI系统的响应仍为 同频率的虚指数信号。信号的改变由H(ejΩ) 确定。 H(ejΩ)反映了离散系统对不同频率虚指数信号的传输特性。
离散LTI系统的频域描述
幅度响应和相位响应
H (e jΩ ) =| H (e jΩ ) | e jϕ (Ω )
1
− π −0.5π
= y[k ] H (e j0 ) ⋅1 + H (e j0.5 π ) ⋅ 3cos(0.5πk )
离散LSI系统的频域分析
离散LSI系统的频域分析离散LSI系统（离散线性时不变系统）是指其输入信号和输出信号均为离散时间信号，且系统对于任意输入信号都是线性的，且在时间上不依赖于输入信号的时序，这种系统在信号处理中有着广泛的应用。
频域分析是对离散LSI系统进行分析时经常采用的一种方法，旨在根据系统的频率特性来评估系统的性能。
在频域分析中，我们通常采用离散时间傅里叶变换（DTFT）来分析离散LSI系统的频率特性。
DTFT是一种将离散时间序列转化为连续的周期函数的方法，表达式为：$X(e^j\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$其中，$X(e^j\omega)$表示信号$x(n)$在频率点$\omega$处的频域表示。
通过将$X(e^j\omega)$应用于系统的传输函数$H(e^j\omega)$，我们可以得到系统的频率响应$Y(e^j\omega)$，即：$Y(e^j\omega)=H(e^j\omega)X(e^j\omega)$在频域分析中，我们通常将$H(e^j\omega)$表示为极坐标形式，即：对于一个线性时不变离散系统，其频率响应的性质如下：1. 系统具有线性性质，即如果输入信号$x_1(n)$和$x_2(n)$对应的傅里叶变换分别为$X_1(e^j\omega)$和$X_2(e^j\omega)$，那么系统的输出信号$y(n)$对应的傅里叶变换$Y(e^j\omega)$应该满足：即：系统对于两个信号的响应是对应傅里叶变换之和的线性组合。
2. 系统具有时不变性，即如果系统对于输入信号$x(n)$的响应为输出信号$y(n)$，那么如果我们对$x(n)$进行一个时间的平移，即$x(n-k)$，那么系统对于平移后的信号的响应也是平移后的输出信号$y(n-k)$。
在频域分析时，我们主要关注系统的增益与相位，这两个因素会影响系统的性能。
离散LSI系统分析
信号与系统分析实验报告实验项目名称：离散线性时不变系统分析；连续时间系统分析所属课程名称：信号与系统实验教程实验类型：验证型指导教师：实验日期：2013.06.04班级：学号：姓名：离散线性时不变系统分析一、实验目的1. 掌握离散线性时不变系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB 求解方法。
2. 掌握离散线性时不变系统的频域分析方法；3. 掌握离散线性时不变系统的复频域分析方法；4. 掌握离散线性时不变系统的零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理及方法1.离散线性时不变系统的时域分析描述一个N 阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程，N 阶线性时不变离散系统的差分方程一般形式为)()(0i n x b k n y a Mi i N k k -=-∑∑== （2.1） 也可用系统函数来表示12001212120()()()()()1MiM ii M NNkN k k b zb b z b z b z Y z b z H z X z a z a z a z a z a z----=----=++++====++++∑∑ （2.2）系统函数()H z 反映了系统响应和激励间的关系。
一旦上式中k a ，i b 的数据确定了，系统的性质也就确定了。
特别注意0a 必须进行归一化处理，即01a =。
对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。
因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。
由图2-1可以看出一个离散LSI 系统响应与激励的关系。
()()()z X z H z =()()*()n x n h n图2-1 离散LSI 系统响应与激励的关系(1) 单位序列响应（单位响应）单位响应()h n 是指离散线性时不变系统在单位序列()n δ激励下的零状态响应，因此()h n 满足线性常系数差分方程(2.1)及零初始状态，即()()N Mkik i a h n k b n i δ==-=-∑∑， (1)(2)0h h -=-== (2.3)按照定义，它也可表示为()()()h n h n n δ=* (2.4) 对于离散线性时不变系统，若其输入信号为()x n ，单位响应为()h n ，则其零状态响应()zs y n 为()()*()zs y n x n h n = (2.5)可见，()h n 能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。
数字信号处理课件第2章时域离散信号和系统的频域分析
h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］ ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］ 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和 ho(n)可以用下式表示：
h(o), n 0
he (n)
1 h(n), n 0 2 1 h(n), n 0 2
(2.2.27)
x*(-n) = xe(n) - xo(n)
利用(2.2.16)和(2.2.17)两式， 得到
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
-[-x*o(-n) ] (2.2.17)
(2.2.18) (2.2.19)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
利用上面两式， 可以分别求出xe(n)和xo(n)。 对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：
式中
X (e j ) FT [xr (n)] xr (n)e jn
n
X o (e j ) FT [ jxi (n)] j xr (n)e jn
n
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式中， xr(n)和xi(n)都是实数序列， 容 易证明Xe(ejω)满足(2.2.21)式， 具有共轭对称性， 它的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 Xo(ejω)满足 (2.2.22)式， 具有共轭反对称性质， 其实部是奇函 数， 虚部是偶函数。
最后得到结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应 的FT具有共轭反对称性。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n) ，即
离散时间系统频域分析
离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。
在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。
离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。
离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。
离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。
通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。
频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。
在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。
频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。
频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。
离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。
在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。
在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。
在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。
离散LSI系统的频域分析
实验3 离散LSI 系统的频域分析一、实验目的：1、加深对离散系统变换域分析——z 变换的理解，掌握使用MA TLAB 进行z 变换和逆z 变换的常用函数的用法。
2、了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系，熟悉使用MATLAB 进行离散系统的零极点分析的常用函数的用法。
3、加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解，掌握使用MATLAB 进行离散系统幅频响应和相频响应特性分析的常用方法。
二、实验原理1、z 变换和逆z 变换（1）用ztrans 函数求无限长序列的z 变换。
该函数只给出z 变换的表达式，而没有给出收敛域。
另外，由于这一函数还不尽完善，有的序列的z 变换还不能求出，逆z 变换也存在同样的问题。
例7-1 求以下各序列的z 变换x 1(n)=a n x 2(n)=n x 3(n)=n(n-1)/2 x 4(n)=e j ωonx5(n)=1/[n(n-1)]程序清单如下： syms w0 n z a; x1=0;X1=ztrans(x1) x2=sin(w0*n);X2=ztrans(x2)x3=exp(-a*n)*sin(w0*n);X3=ztrans(x3) 程序运行结果如下： X1 =z/a/(z/a-1) X2 =z/(z-1)^2X3 =1/2*z*(z+1)/(z-1)^3-1/2*z/(z-1)^2 X4 =z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1) X5 =z/(z-1)-ztrans(1/n,n,z)（2）用iztrans 函数求无限长序列的逆z 变换。
例3-2 求下列函数的逆z 变换。
课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师实 验 报 告院系 信息工程学院 班级 13普本测控 学号 姓名 日期 2016.4.181234 X X X X -n3-1z az z 1-z （z ）=（z ）=（z ）=（z ）=z-1(a-z)(z-1)1-z 程序清单如下： syms n z a;X1=z/(z-a);x1=iztrans(X1) X2= z/(z-a)^2;x2=iztrans(X2) X3=z/[z-exp(j*w0)];x3=iztrans(X3) X4=(1-z^-3)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4) 程序运行结果如下： x1 =1 x2 =a^n*n x3 =1/2*n^2-1/2*nx4 =iztrans((1-z^(-n))/(1-1/z),z,n)2、离散系统的零极点分析（系统极点位置对系统响应的影响） 例3-3 研究z 右半平面的实数极点对系统的影响。
5第五章 离散LTI系统的频域分析
-
k
2
2
e j N1 e
j
2 j
e j N1 e
2
2
e
e
j
2
4 2 0
sin[ 2 N1 1 / 2] sin( / 2)
0 - -5 02 N1 = ︱ F(e j )︱
5
8 6 4 2 0 -2
FN n F0 e
5.3 离散傅里叶变换DFT
一、 DFT的引出
1 f N (k ) N
n N
F n e
N
jn
2 k N
FN n
k N
f k e
N
jn
2 k N
对于、f(k)= fN(k)[(k)-(k-N)] DFT[f(k)] F n
k∈[ 0, N-1 ] 有限序列
4
周期、离散信号频谱特点
离散、周期
F4 1
例 2： N = 5。 求傅立叶级数展开式。
F5 n f 5 k e
4
k 0 4 jn 2 k 5
f (k) - 0 k
F5 0 f 5 k 1 1 2
F5 1 f 5 k e
2 k N
2 k N
f k e
k 0
N 1 n 0
N 1
jn
0 n N -1
0 k N -1
m
1 IDFT[F(n)] f k N
显然、 f N k
l
F n e
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验3 离散LSI 系统的频域分析一、实验目的：1、加深对离散系统变换域分析——z 变换的理解，掌握使用MA TLAB 进行z 变换和逆z 变换的常用函数的用法。
2、了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系，熟悉使用MATLAB 进行离散系统的零极点分析的常用函数的用法。
3、加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解，掌握使用MATLAB 进行离散系统幅频响应和相频响应特性分析的常用方法。
二、实验原理1、z 变换和逆z 变换（1）用ztrans 函数求无限长序列的z 变换。
该函数只给出z 变换的表达式，而没有给出收敛域。
另外，由于这一函数还不尽完善，有的序列的z 变换还不能求出，逆z 变换也存在同样的问题。
例7-1 求以下各序列的z 变换x 1(n)=a n x 2(n)=n x 3(n)=n(n-1)/2 x 4(n)=e j ωonx5(n)=1/[n(n-1)]程序清单如下： syms w0 n z a; x1=0;X1=ztrans(x1) x2=sin(w0*n);X2=ztrans(x2)x3=exp(-a*n)*sin(w0*n);X3=ztrans(x3) 程序运行结果如下： X1 =z/a/(z/a-1) X2 =z/(z-1)^2X3 =1/2*z*(z+1)/(z-1)^3-1/2*z/(z-1)^2 X4 =z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1) X5 =z/(z-1)-ztrans(1/n,n,z)（2）用iztrans 函数求无限长序列的逆z 变换。
例3-2 求下列函数的逆z 变换。
课程名称 数字信号处理 实验成绩 指导教师实 验 报 告院系 信息工程学院 班级 13普本测控 学号 姓名 日期 2016.4.18程序清单如下：syms n z a;X1=z/(z-a);x1=iztrans(X1)X2= z/(z-a)^2;x2=iztrans(X2)X3=z/[z-exp(j*w0)];x3=iztrans(X3)X4=(1-z^-3)/(1-z^-1);x4=iztrans(X4)程序运行结果如下：x1 =1x2 =a^n*nx3 =1/2*n^2-1/2*nx4 =iztrans((1-z^(-n))/(1-1/z),z,n)2、离散系统的零极点分析（系统极点位置对系统响应的影响）例3-3 研究z右半平面的实数极点对系统的影响。
已知系统的零极点增益模型分别为：求这些系统的零极点分布图以及系统的单位序列响应，判断系统的稳定性。
程序清单如下：z1=[0]';p1=[0.85]';k=1;[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title('极点在单位圆内');subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=[0]';p2=[1]';[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title('极点在单位圆上');subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=[0]';p3=[1.5]';[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);title('极点在单位圆外');subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序运行结果如图3-1所示。
由图可见，这三个系统的极点均为实数且处于z平面的右半平面。
由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆内0510150.51n (samples)Amplitude-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆上0510150.51n (samples)AmplitudeImpulse Response-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆外20004000n (samples)AmplitudeImpulse Response图3-1例3-4 研究z左半平面的实数极点对系统的影响。
已知系统的零极点增益模型分别为：求这些系统的零极点分布图以及系统的单位序列响应，判断系统的稳定性。
程序清单如下：z1=[0]';p1=[-0.85]';k=1;[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title('极点在单位圆内');z2=[0]';p2=[-1]'; [b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k); subplot(3,2,3);zplane(z2,p2); title('极点在单位圆上'); subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20); z3=[0]';p3=[-1.5]'; [b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k); subplot(3,2,5);zplane(z3,p3); title('极点在单位圆外'); subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序运行结果如图3-2所示。
由图可见，这三个系统的极点均为实数且处于z 平面的左半平面。
由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
-202-101Real PartI m a g i n a r y P a r t极点在单位圆内51015n (samples) A m p l i t u d eImpulse Response-202-101Real PartI m a g i n a r y P a r t极点在单位圆上n (samples) A m p l i t u d e-202-101Real PartI m a g i n a r y P a r t极点在单位圆外051015n (samples)A m p l i t u d eImpulse Response图3-2例3-5 研究z 右半平面的复数极点对系统响应的影响已知系统的零极点增益模型分别为：求这些系统的零极点分布图以及系统的单位序列响应，判断系统的稳定性。
程序清单如下：z1=[0.3,0]';p1=[0.5+0.7j,0.5-0.7j]';k=1;[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title('极点在单位圆内');subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=[0.3,0]';p2=[0.6+0.8j,0.6-0.8j]';[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title('极点在单位圆上');subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=[0.3,0]';p3=[1+j,1-j]';[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k);subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);title('极点在单位圆外');subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序运行结果如图3-3所示。
由图可见，这三个系统的极点均为复数且处于z平面的右半平面。
由图可知，当极点位于单位圆内，系统的单位序列响应随着频率的增大而收敛；当极点位于单位圆上，系统的单位序列响应为等幅振荡；当极点位于单位圆外，系统的单位序列响应随着频率的增大而发散。
由此可知系统1、2为稳定系统。
-202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆内051015-11n (samples)AmplitudeImpulse Response -202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆上051015-22n (samples)AmplitudeImpulse Response -202-11Real PartImaginaryPart极点在单位圆外051015-500500n (samples)AmplitudeImpulse Response图3-3由以上三例可得结论：系统只有在极点处于单位圆内才是稳定的。
例3-6 已知某离散时间系统的系统函数为求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果稳定性。
程序清单如下：b=[0.2,0.1,0.3,0.1,0.2];a=[1,-1.1,1.5,-0.7,0.3];rz=roots(b)rp=roots(a)subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('系统的零极点分布图');subplot(2,1,2);impz(b,a,20);title('系统的单位序列响应');xlabel('n');ylabel('h(n)');程序运行结果如下：rz =-0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682i rp =0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i-3-2-10123-1-0.500.51Real PartI m a g i n a r y P a r t系统的零极点分布图24681012141618-0.200.20.40.6n h (n )系统的单位序列响应图3-4由零极点分布图可见，该系统的所有极点均在单位圆内，因此该系统是一个因果稳定系统。
3、离散系统的频率响应（1）离散系统的频率响应的基本概念 已知稳定系统传递函数的零极点增益模型为则系统的频响函数为其中，系统的幅频特性为系统的相频特性为由以上各式可见，系统函数与频率响应有着密切的联系。
适当地控制系统函数的零极点分布，可以改变离散系统的频响特性：①在原点（z=0）处的零点或极点至单位圆的距离始终保持不变，其值|e jω|=1，所以，对幅度响应不起作用；②单位圆附近的零点对系统幅度响应的谷值位置及深度有明显影响；③单位圆内且靠近单位圆附近的极点对系统幅度的峰值位置及大小有明显的影响。