2离散信号的频域分析
第三章第二节离散信号频域分析
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散信号的频域分析
e
j
3
n
j n
e 3
1
j 2 n1
(e 6
j 2 n(16)
e6
)
2
9
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
x(n)
5
X
j 2 kn
(k)e 6
1
j 2 n1
j 2 kn
x(n) X (k)e N
k 0
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d;
(2 N) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
N 1
2
0
傅立叶变换式
k 0
于是，X (e j ) lim N X (k) x(n)e jn
也可简记为 X (e j) DTFT x(n), x(n) IDTFT X (e j)
或 x(n) DTFT X (e j )
15
3.2.2 非周期序列的傅立叶变换
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频 谱。 x(n)称为X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原 函数。
x(n)e N
N n0
X (k)
1
N 1
j 2 kn
x(n)e N ,
离散信号频域分析心得体会
离散信号频域分析心得体会离散信号频域分析是数字信号处理中的重要内容，通过将信号从时域转换到频域，可以获得信号在频率上的特性，进而对信号进行分析和处理。
在学习离散信号频域分析的过程中，我积累了以下一些心得体会。
首先，离散信号频域分析的核心是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，可以将一个信号分解成不同频率的频谱分量。
在学习傅里叶变换的时候，我深刻体会到信号的频域表示与时域表示是等价的，它们只是从不同的角度描述了信号的特性。
傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，它本质上是将信号分解成一系列复指数函数的和，每一个复指数函数对应一个频率的分量。
通过对频谱的分析，可以获取信号在不同频率上的能量分布情况，了解信号的频率组成，并根据不同的应用目的选择合适的频率范围进行分析和处理。
其次，离散信号的频域分析主要涉及到离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）等算法。
DFT是一种将离散时间域信号转换为离散频率域信号的变换，通常需要进行大量的计算，计算复杂度较高。
为了提高计算效率，人们提出了FFT算法，能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成频域分析。
在学习FFT算法的过程中，我深刻感受到它的高效性和重要性。
FFT算法通过将原始信号的长度分解成多个小问题，并利用变位运算和加减运算进行计算，从而大大提高了计算速度。
掌握了FFT算法，可以极大地简化频域分析的计算过程，提高信号处理的效率。
此外，离散信号频域分析的应用十分广泛。
在通信领域，频域分析可以用于调制解调、信道估计、频谱分析等；在图像处理领域，频域分析可以用于图像压缩、滤波、增强等；在音频处理领域，频域分析可以用于音频合成、音乐分析等。
通过对信号进行频域分析，可以提取信号的关键特征，为后续的处理和应用打下基础。
在实际应用中，我们可以根据具体场景和需求，选择合适的频域分析方法和算法，对信号进行处理和优化。
最后，学习离散信号频域分析需要具备一定的数学基础和计算机编程能力。
《信号与系统》离散信号的频域分析实验报告
信息科学与工程学院《信号与系统》实验报告四专业班级电信 09－班姓名学号实验时间 2011 年月日指导教师陈华丽成绩实验名称离散信号的频域分析实验目的1. 掌握离散信号谱分析的方法：序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换，进一步理解这些变换之间的关系；2. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab实现；3. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。
4. 学习用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
实验内容1.对连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=（128.444=A，πα250=，πΩ250=）进行理想采样，可得采样序列50)()sin()()(0≤≤==-nnunTAenTxnx nTaΩα。
图1给出了)(txa的幅频特性曲线，由此图可以确定对)(txa采用的采样频率。
分别取采样频率为1KHz、300Hz和200Hz，画出所得采样序列)(nx的幅频特性)(ωj eX。
并观察是否存在频谱混叠。
图1 连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=2. 设)52.0cos()48.0cos()(nnnxππ+=（1）取)(nx（100≤≤n）时，求)(nx的FFT变换)(kX，并绘出其幅度曲线。
（2）将(1)中的)(nx以补零方式加长到200≤≤n，求)(kX并绘出其幅度曲线。
（3）取)(nx（1000≤≤n），求)(kX并绘出其幅度曲线。
（4）观察上述三种情况下，)(nx的幅度曲线是否一致？为什么？3. （1）编制信号产生子程序，产生以下典型信号供谱分析用。
11,03()8,470,n nx n n nn+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它2()cos4x n nπ=3()sin8x n nπ=4()cos8cos16cos20x t t t tπππ=++10.80.60.40.20100200300400500xa(jf)f /Hz（2）对信号1()x n ，2()x n ，3()x n 进行两次谱分析，FFT 的变换区间N 分别取8和16，观察两次的结果是否一致？为什么？（3）连续信号4()x n 的采样频率64s f Hz =，16,32,64N =。
离散信号的频域分析
时频变换的基本概念：时频变换是信号处理 中的一种重要方法，它能够将信号的时域和 频域信息相互转换。
添加 标题
离散信号的频域与时域的关系：离散信号的 频域与时域之间存在密切的关系。通过时频 变换，可以分析离散信号在不同时间点的频 率特征，从而更好地理解信号的特性和行为。
添加 标题
时频变换的不变性：时频变换具有一些重要 的性质，其中最重要的是时频变换的不变性。 这意味着通过时频变换得到的信号的时域和 频域特征在变换前后保持不变。
数字调制解调的 优势：抗干扰能 力强、传输距离 远等
数字音频信号 的频域分析
音频压缩与编 码
数字滤波器设 计
音频特效处理
图像压缩：离散信号的频域分析有助于图像压缩，减少存储空间和传输带宽。
图像增强：通过频域处理，可以增强图像的细节和对比度，提高图像质量。
图像识别：利用离散信号的频域特征，可以实现图像识别和分类，应用于人脸识别、物体检测等 领域。
时频变换的应用：时频变换在信号处理、 通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用。 通过时频变换，可以实现对信号的快速、 准确的分析和处理，从而提高信号处理的 效率和精度。
时频变换的基本原理
离散信号的频域与时域的关 系
离散信号的频域分析方法
时频变换在信号处理中的应 用
汇报人：XX
时频变换的对称性：离散信号的频域与时域之间存在对称性，即频域和时域的变换具有相互对 应的关系。
离散信号的时频分析：利用时频变换的方法，将离散信号表示为时频平面上的分布，以便同时 分析其时间和频率特性。
时频变换的物理意义：离散信号的时频变换具有物理意义，可以揭示信号在不同时间和频率下 的表现和特征。
添加 标题
离散性：离散信号的频谱是离散的，即只有某些特定的频率分量存在。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
离散时间系统频域分析
离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。
在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。
离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。
离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。
离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。
通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。
频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。
在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。
频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。
频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。
离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。
在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。
在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。
在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。
离散信号的频域分析
DFS
⊗为周期卷积的符号，两周期序列x(n)和h(n)的周期卷积定义为： x(n) ⊗ h(n)=h(n) ⊗ x(n) = ∑ x(k )h(n − k )
k =0 N −1
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于周期卷积时仅仅在单个 周期内求和，而线性卷积则是对所有k值求和。
k=1,-1 其余
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
X (kω 0 )
⋯
−1 0 1 2 3 4 5 6
⋯
k
X1(kΩ01)
其频谱图为：
⋯
−5
−1 0 1 2 3 4 5
⋯
7 11 13
13
π − jk n 1 7 X 2 (k Ω02 ) = ∑ x(n)e 4 8 n =0
频谱如图：
X 2 ( k Ω 02 )
（2）泄露 泄露误差是由于截取波形的时间长度不恰当造成的。 从原来比较集中的谱线由于截取信号长度不当，出现了分散的 扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或者功率泄露。
二、非周期信号的频域分析 （DTFT Discrete Time Fourier Transformation） 1、定义 序列x(n)的离散时间傅里叶变换定义为：
因此：
X(kΩ0)
1 X (k Ω0 ) = 2 0 k=1,5 k=0,2,3,4
1 2
0 12 34 5 6
x(n)
2π π Ω0 = = 解：基本频率： N 3
1
⋯
−1 0 1
⋯
n
周期信号的频谱为：
π − jk n 1 5 X (kΩ0 ) = ∑ x(n)e 3 6 n=0 π 5π − jk − jk 1 = [ x(0) + x(1)e 3 + x(5)e 3 ] 6 π π − jk jk 1 1 πk 3 3 = [1+ e + e ] = [1+ 2cos ] 6 6 3
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H ( e j )
arg H (e j )
称为系统幅频特性 称为系统的相频特性
系统的频率响应反映了系统对各次谐波信号的传输能力。
9
特征函数
一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数 （通常是复数） 乘以输入， 则称该信号为系统的特征函 数，而幅度因子称为系统的特征值。 线性非移变系统的特征函数是复指数函数。
等式右边交换求和次序
Y (e Y (e ) )
k j
x ( k ) h ( n k )e
n
k
x ( k )e
jk
n
j ( n k ) h ( n k ) e
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
上式代入给定输入，
y ( n)
k
h(k ) Ae
jn k
j ( n k )
Ae
h( k )e
j
jk
Ae jn H (e j )
AH (e ) e
jn arg[ H ( e j )]
j j H ( e ) arg[ H ( e )]均为常数， 当 给定时， 和
18
19
20
以上分析可以得出如下结论: 采样定理(山农定理)：若x a (t ) 是个限带模拟信号，其最 高频率分量小于 0 ，如果用大于2 0 的采样频率对x a (t ) 进 行采样,则模拟信号 x a (t ) 可以由其采样值唯一地确定。
shannon theorem
假定 xa (t ) 是个限带模拟信号， 信号的最高频率分量为 0 ， 当采样频率满足
10
特征函数
已知线性非移变系统的单位样值响应为 h(n) ， 设系统的输 入为：
x(n) Ae
解：根据线性卷积有
jn
A 为常数。求系统的零状态响应 y (n) 。
y(n) x(n) * h(n) h( n ) * x ( n )
k
h(k ) x(n k )
11
特征函数
13
傅里叶变换的时域卷积定理
线性非移变系统的零状态响应
y (n) x(n) * h(n)
k
x(k )h(n k )
jn
两边取傅里叶变换
n
y ( n )e
j
jn
n k
x(k )h(n k )e
jn
则称为x(n)奇序列（odd sequence），通常用下标o表示，即xo(n) 。 任何序列都可以表示为偶序列与奇序列之和，即
x ( n) x e ( n) x o ( n)
其中
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2
xo (n)
1 [ x(n) x(n)] 2
26
Re[ x(n)] Re[ x(n)]
Im[ x(n)] Im[ x(n)]
则称为x(n)共轭反对称序列（conjugate antisymmetric sequence）， 通常表示为： x (n) x * (n)
0 o
任何序列x(n)都可以表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和：
S 2 0 时，则有
1 xa (t ) 2
1 xa (t ) 2
0
0
X a ( j)e jt d
X a ( j)e jt d
（取非零值区间积分） （积分区间的零值扩展）
s 2 s 2
21
T xa (t ) 2
因为 所以
X (e
j
s 2 s 2
若 F j j ax ( n ) by ( n ) aX ( e ) bY ( e ) 则 2 时间位移特性
若 F jn0 j x ( n n ) e X ( e ) 则 0 3 频率位移特性 若 则
F x(n) X (e j )
F x(n) X (e j )
y (n)
y (t )
经处理后的数字信号 阶梯形式的连续时间信号 光滑的模拟信号(连续时间信号)
y a (t )
17
两个基本问题
1. 信号的功能是传载信息, 将一个连续时间信号转变为幅值和时间都离散的信号(数 字信号)会不会丢失原有信号中的信息? 2. 将数字信号恢复成连续时间信号能否得到原有信号的全部信息? 第一个问题的回答分两个部分研究: 一是研究时间离散是否会造成信息丢失? 二是幅值离散(量化)是否会造成信息的丢 失? 前一个问题由数字信号处理理论中的采样定理回答, 后一个问题回答是肯定的 , 信号幅值的量化总是造成某些信息的丢失, 换句话说, 量化的信号幅值是连续信号幅 值的一种近似, 它由数字信号处理论中的量化效应理论给予研究。
F x(n)e j0n X (e j ( 0 ) )
25
4对称特性 若x(n)为实数序列，即 且有
x(n) x (n)
x ( n) x ( n)
则称x(n)为偶序列（even sequence），通常用下标e表示，即xe(n)。 若x(n)为实数序列，且
x ( n) x ( n)
1 f (n) 2
n
f (n)e jn
式中 为数字角频率。
F (e j )e Байду номын сангаасn d
F (e j ) 是 的连续函数，而且是以 2 为周期的函数。
7
系统的频率响应
线性非时变连续时间系统单位冲击响应 h(t ) 的傅里叶变换
H ( j) h(t )e jt dt
n
T x ( n) 2
T
T
e j (t nT ) d
非因果系统
上式中方括弧内的积分为
sin[ (t nT )] T
T
(t nT )
，
g (t )
sin(
t
T t T
)
(称为内插函数)
而
xa (t )
n
sin[ (t nT )] T x ( n)
T
(t nT )
(称为内插公式)
22
23
离散信号的傅里叶变换 非周期序列 f(n) 的傅里叶变换的定义为:
F (e
j
)
n
f ( n) e
jn
1 f (n) 2
F (e j )e jn d
式中ω 为数字角频率。 注意:序列的傅里叶变换是ω 的连续函数，即离散信号的傅里叶 变换是频域中连续的函数。还因为
n
F e
n
jn0t
式中
f (t )e jn0t dt ， 0 2 。 T
jn 0t
即展开成基波频率 0 整倍数频率上复指数函数 e
的加权和。
2 N
一个周期序列是否也可以展开成基波频率 0 呢？ 注意到 e
jn 0t
整倍数频率上复指数 e
jk 0 n
的加权和
F x* (n) X * (e j )
上式说明反序列的共轭序列的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换的共 轭函数。这个性质再一次表明了时域和频域的对称性。
28
周期序列的傅里叶级数
一个周期为 T 的连续时间信号 f (t ) 可以展开成傅里叶级数，即
f (t )
1 Fn T
T 2 T 2
12
特征函数
以上分析说明， 线性非移变系统的特征函数为复指数序 列。复指数信号有时也称为谐波信号。 线性非移变系统在谐波信号的激励下其响应也为同频
j H ( e ) 因子（幅频特性在 率的谐波函数，但其振幅乘上
j arg[ H ( e )] 弧度（相频 该频率上的取值） ，相位增加了
特性在该频率上的取值。 ） 实际上系统的频率响应反映了系统对各次谐波的传输 能力。
称为系统的频率响应，通常 H ( j) 为复函数
H ( j)
argH ( j)
称为系统幅频特性 称为系统的相频特性
8
系统的频率响应
类似地，线性非移变离散时间系统的单位样值响应 h(n) 的 傅里叶变换
H (e j )
n
jn h ( n ) e
j H ( e ) 也是复函数 也称为系统的频率响应，通常
14
采样定理
15
简单信号处理系统的基本结构
xa (t )
限带滤 波器
x(t )
A/D 转换器
x(n)
数字信号 处理器
y(n)
D/A 转换器
y(t )
平滑滤 波器
ya (t )
16
x a (t ) 为模拟信号(连续时间信号),可能含有高频成分 x (t ) 也是模拟信号,但它的较高频率分量已被滤除 x ( n ) 是采样后的数字信号
F (e
j ( 2 )
)
n
f (n)e
j ( 2 ) n
n
f (n)e jn F (e j )
所以任何序列的傅里叶变换都是以2π为周期的频域连续函数。
24
序列的傅里叶变换具有如下性质：
1 线性特性
F x(n) X (e j ) F y(n) Y (e j )
3
傅里叶级数