椭圆极坐标方程与其应用
椭圆的参数方程和极坐标方程总结
椭圆的参数方程和极坐标方程总结
椭圆是一种常见的二维图形，描述了一个平面上到两个定点的距离之和为常数的点的集合。
本文将总结椭圆的参数方程和极坐标方程。
1. 椭圆的参数方程
椭圆的参数方程表示了椭圆曲线上的点随一个参数的变化而变化的轨迹。
椭圆的参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，`a`和`b`分别为椭圆的两个半轴长度，`t`为参数。
参数`t`的取值范围通常为`0`到`2π`，表示椭圆曲线的一个周期。
2. 椭圆的极坐标方程
椭圆的极坐标方程描述了椭圆上的点相对于一个原点的极坐标表示。
椭圆的极坐标方程可以表示为：
r = (a * b) / sqrt((b * cos(theta))^2 + (a * sin(theta))^2)
其中，`r`为点相对于原点的距离，`theta`为点相对于正半轴的极角。
3. 椭圆的性质和应用
椭圆具有许多有趣的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：
- 椭圆是一个闭合的曲线，且具有对称性。
椭圆的两个焦点和每个点到两个焦点的距离之和为常数。
- 椭圆在几何光学中有重要应用，例如实现椭圆镜、椭圆透镜等。
- 椭圆在数学分析、物理学和工程学中广泛应用，例如描述行星轨道、电子轨道等。
总结：本文介绍了椭圆的参数方程和极坐标方程，以及椭圆的一些性质和应用。
通过理解椭圆的方程和性质，可以更好地应用和理解椭圆在各个领域的应用。
以焦点为原点的椭圆极坐标方程
以焦点为原点的椭圆极坐标方程（实用版）目录1.椭圆极坐标方程的定义2.焦点为原点的椭圆极坐标方程的特点3.椭圆极坐标方程的应用正文1.椭圆极坐标方程的定义在极坐标系中，椭圆的标准方程为 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
而当焦点在极点上时，即焦点为原点，椭圆的极坐标方程可以通过对标准方程进行一定的变换得到。
这种以焦点为原点的椭圆极坐标方程具有特殊的形式，可以更好地描述一些物理现象和数学问题。
2.焦点为原点的椭圆极坐标方程的特点在焦点为原点的椭圆极坐标方程中，椭圆的焦点位于极点，因此其方程具有以下特点：- 椭圆的长半轴 a 等于焦点到极点的距离，即 a = 2c，其中 c 为焦点到椭圆中心的距离。
- 椭圆的短半轴 b 等于焦点到椭圆中心的距离，即 b = c。
- 椭圆的离心率e等于c/a，因为a = 2c，所以 e = 1/2。
3.椭圆极坐标方程的应用椭圆极坐标方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、天文学、工程学等。
其中，焦点为原点的椭圆极坐标方程可以用于描述如下问题：- 天体运动：在研究天体运动时，通常可以将天体看作是沿椭圆轨道运行的，而焦点为原点的椭圆极坐标方程可以用来描述这种运动轨迹。
- 光学系统：在光学系统中，焦点为原点的椭圆极坐标方程可以用来描述透镜的成像规律，帮助我们更好地理解和设计光学仪器。
- 电子学：在电子学中，椭圆极坐标方程可以用来描述电场的分布，从而帮助我们分析电子器件的性能。
总之，椭圆极坐标方程是一种重要的数学工具，而焦点为原点的椭圆极坐标方程由于其特殊的形式，可以更好地描述一些实际问题。
matlab 极坐标系下的椭圆
matlab 极坐标系下的椭圆一、引言椭圆是几何中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用，例如天文学、电子工程、地理信息系统等。
在数学中，我们可以使用极坐标系来描述椭圆的性质。
本文将从极坐标系下的椭圆的定义、性质和绘制方法等方面进行介绍。
二、椭圆的定义在笛卡尔坐标系下，椭圆可以由一个中心点、两个焦点和一个常数来定义。
而在极坐标系下，椭圆可以由一个焦点和一个离心率来定义。
焦点是椭圆的一个重要特征，它是椭圆上所有点到两个焦点距离之和等于常数的点。
在极坐标系下，我们可以用极径r和极角θ来表示椭圆上的点，其中焦点位于极径为c的位置。
离心率e是一个常数，它表示椭圆焦点与中心点之间的距离与椭圆长轴长度之比。
三、椭圆的性质1. 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点之间的距离等于椭圆长轴的长度，而椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离等于椭圆短轴的长度。
2. 离心率：离心率e越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率e越接近于1，椭圆越扁平。
3. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程为r = a(1 - e^2) / (1 -ecosθ)，其中a为椭圆长轴的长度。
4. 焦半径：从焦点到椭圆上任意一点的线段称为焦半径，它与椭圆上该点的切线垂直。
四、极坐标系下的椭圆绘制方法在Matlab中，我们可以利用极坐标系的坐标转换公式来绘制椭圆。
首先，我们需要确定椭圆的离心率e和长轴的长度a。
然后，可以通过枚举极角θ的取值范围，计算每个θ对应的极径r的值。
最后，使用plot函数将这些点连接起来，就可以绘制出整个椭圆。
下面是一个Matlab代码示例，用于绘制离心率为0.8、长轴长度为3的椭圆：```e = 0.8;a = 3;theta = linspace(0, 2*pi, 1000);r = a.*(1 - e^2)./(1 - e*cos(theta));polarplot(theta, r);```通过运行以上代码，我们可以得到一个离心率为0.8、长轴长度为3的椭圆的极坐标系下的图形。
直线与椭圆极坐标方程
这些是直线和椭圆的极坐标方程的一般形式。具体的方程形式可能会因直线或椭圆的特殊 性质而有所不同。
直线与椭圆极坐标方程
直线和椭圆的极坐标方程可以通过将直角坐标系下的方程转换为极坐标系下的方程得到。
1. 直线的极坐标方程： 在直角坐标系中，直线的一般方程为 y = mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。我们可以 通过将直线方程中的 x 和 y 转换为极坐标下的 r 和直角坐标系中，椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭 圆的长半轴和短半轴。我们可以通过将直角坐标系下的方程转换为极坐标系下的方程得到椭 圆的极坐标方程。
使用极坐标变换公式： x = rcosθ，y = rsinθ，
直线与椭圆极坐标方程
对于直线方程 y = mx + c，使用极坐标变换公式： x = rcosθ，y = rsinθ， 将直线方程中的 x 和 y 替换为极坐标下的 r 和 θ，得到直线的极坐标方程为： rsinθ = mrcosθ + c，
直线与椭圆极坐标方程
化简后得到直线的极坐标方程为： r = (c / sinθ) - mcosθ。
运用极坐标方程探索椭圆焦点弦的相关性质
・ 方程 就是 椭 圆 此
（ ） Ｆ （一 ０ 作两 条互 相 垂直 的直 线 分别 ３ 过 ２， ） 交 椭 圆 Ｃ于 Ａ， Ｂ和 Ｄ， 求 ＩＢｌ Ｃ 的最小值． Ｅ， Ａ ＋ｌＤＩ
解（ 椭 ｃ 方 为 等 １ ：） 圆 的 程 等＋ ＝ １ ．
（ ） 直线 Ａ 的倾 斜角 为 ０ 由题 意知 ａ＝ ２设 Ｂ ，
《 数学之友》
运用 极坐标方程探索 焦点弦的 椭圆 相关性 质
解 题 探 索
钟 强
（ 天津师范大学数学科学学院 ，０ ３７ ３０８）
椭 圆 的焦 点 弦 问题 是 高 考 中 的基 本 考点 ， 面对
．
． ．
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三
ｅ ｐ
此类问题 ， 学生 往 往 习惯 将 直 线 方程 代 人 椭 圆方 程
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中， 再通过 应用 韦达 定理 和距离 公式 进行 求解 ， 过 其 程 相对繁 琐 ， 常 因此而 导致错 误或 半途 而废． 了 经 为
解 决这一 问题 ， 本文 通 过 椭 圆的极 坐 标 方 程对 焦 点 弦进 行探 索 ， 出焦 点弦 的相关 性质 ， 得 以便 减少运 算
量， 速解椭 圆 的焦点 弦问题 ． 椭 圆的极 坐标方 程．
１一 ｅ ｃｏ ｓ ０
证明： 设椭 圆过 焦点 的 弦被 焦点 分 成 为 ｍ， ｎ的
两 部分 ， 由椭 圆的极 坐标 方程 ｐ＝
可 设 ｍ＝ ， ｎ＝
． 值
，
当 ＝ 或臼 寻 ＝ ，Ｂ＋Ｃｌ得 小 时 ｌ Ｉ 最 Ｉ 取 Ａ Ｄ
．
性 质 ２ 设 点 Ｆ是 离 心率 为 ｅ 焦 点 在 轴 上 ： 且
定 义 、 面 向量 知识 ， 平 考查 了数形 结 合 思 想 、 程思 方
椭圆参数方程的应用
椭圆参数方程的应用【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(2017·衡水模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)． (2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，π)．1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数) 当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．3．圆与椭圆的参数方程的异同点(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决．(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．。
椭圆在极坐标下的二重积分
椭圆在极坐标下的二重积分嘿，今天咱们来聊聊一个有趣又有点“拗口”的话题——椭圆在极坐标下的二重积分。
你可能会想，哎呀，这听起来可真是深奥又枯燥的东西，不就是数学嘛，搞得那么复杂干啥！嘿，别急，我们慢慢来，肯定能让你听得懂，笑得出来。
椭圆嘛，说实话，大家都知道它长得有点像是被“压扁”的圆，对吧？就是那种不完全对称的圆形，长得比较“瘦”或者“扁”。
假设我们有一个椭圆，半长轴是 ( a )，半短轴是 ( b )，它的方程就长得像这样：frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1。
但是你说，哎，这不就一个简单的方程嘛，搞得那么复杂做什么？是啊，问题就是我们要在这个椭圆上做个二重积分！对，就是“二重”，也就是做两次积分。
你想象一下，咱们这次是要在椭圆这块“瘦长”的地儿上，像是画一张网，把这个区域分成许多小小的网格，每个网格里都要做一次积分，然后再把它们加起来，就好像是你吃火锅时，每一片牛肉都要蘸点调料才够味，最后才能得到全局的美味。
但是这里有个问题了，你看，椭圆这玩意儿坐标系不太好处理。
搞个直角坐标系的话，虽然它的方程看起来像个简单的数学表达式，但一旦涉及到积分计算，哎呀，那可就麻烦了。
所以呢，聪明的数学家们就开始想，能不能换个角度，换个方式呢？于是，极坐标就闪亮登场了！你可能会问，极坐标是什么？嗯，简单来说，极坐标就是从原点出发，绕圈圈来算位置。
你想象一下，地球上有南北极，我们从极点出发，用半径和角度来定位任何一个点。
椭圆在极坐标下的模样就不再是那种笨重的直角坐标系了，它变得优雅了许多。
来吧，我们换到极坐标系里，积分就轻松多了。
你看啊，极坐标下，椭圆的方程是这样表示的：frac{r^2{a^2 + frac{z^2{b^2 = 1。
也就是用半径 (r) 和角度 (theta) 来表达椭圆上的每一个点。
这样，我们就能轻松把积分转换到极坐标系下了。
更重要的是，极坐标系下，积分公式里面多了一个额外的因子 (r)，就是你知道的那个“半径乘以角度”，这就像是给每个小网格加了一个重量，让你计算起来既科学又不那么麻烦。
椭圆的极坐标方程公式ρ的含义
椭圆的极坐标方程公式ρ的含义
椭圆极坐标方程是由古典物理学家斯特拉和费米提出来，这种方程用来描述椭圆外形在极坐标系下的变换。
椭圆极坐标方程的标准形式是：ρ＝a＋b cos θ；在这里ρ表示的就是椭圆的极坐标半径，其中a与b分别为椭圆的长轴和短轴，θ表示的是椭圆的极坐标（也就是椭圆中心到任意点在极坐标下的夹角的大小）。
极坐标半径ρ就是椭圆中心到任意点的距离，在椭圆中要想确定极坐标半径，首先要确定椭圆的长轴和短轴，然后根据椭圆极坐标方程求出极坐标半径ρ。
从数学角度上来讲，极坐标半径ρ也是对椭圆的直径的定义，换言之，椭圆的极坐标半径ρ可以定义为椭圆的外接圆直径的一半。
此外，椭圆的极坐标半径ρ的值与椭圆中心到任意一点的距离还受到椭圆的长轴和短轴的影响，也就是说，当椭圆的长轴变长或者短轴变短时，极坐标半径ρ也会随之改变。
通过上面的分析，我们可以总结椭圆极坐标半径ρ的含义。
椭圆极坐标半径ρ，就是椭圆任一点到椭圆中心的距离，它可以定义为椭圆的外接圆直径的一半，且其值受到椭圆的长轴和短轴的影响，长轴变长或短轴变短，极坐标半径ρ的值也会相应的变化。
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程
参数方程：
椭圆的参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度，t是参数，范围一般取[0, 2π)。
参数方程描述了椭圆上每个点的坐标，通过不同的参数值t，可以得到椭圆上的所有点。
极坐标方程：
椭圆的极坐标方程可以表示为：
r = (a * b) / sqrt((b * cos(theta))^2 + (a * sin(theta))^2)
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度，r是点到原点的距离，θ是点
的极角。
极坐标方程描述了椭圆上每个点的极坐标，通过不同的极角θ，可以得到椭圆上的所有点。
椭圆的极坐标方程推导
椭圆的极坐标方程推导
椭圆的极坐标方程的推导是椭圆与极坐标关系的一个重要研究领域，在许多领域有着广泛的应用，例如太阳系中行星的运行椭圆轨迹，宇宙物理研究中的空间造型也是椭圆的形态。
椭圆的极坐标方程可以表达为，
r=p/(1+ecosθ), (1)
其中，r为椭圆上任意点的极坐标距离，p为椭圆长短轴之间的比值，ε 为椭圆偏心率，θ为极坐标原点到椭圆上任意点的角度。
推导椭圆的极坐标方程需要从直角坐标系下的椭圆方程开始，即：
x²/a²+y²/b²=1,(2)
拓展函数技术可以将这个方程从直角坐标系转换到极坐标系，
x=rcosθ,(3)
y=rsinθ,(4)
代入椭圆方程（2），可以得到：
r²cos²θ/a²+r²sin²θ/b²=1 (5)
开根号并消元之后，得出最终结果：
r=p/(1+ecosθ) (6)
它就是椭圆在极坐标系下的极坐标方程。
以上就是椭圆的极坐标方程推导的过程，它有许多应用，例如行星的运行椭圆轨迹，宇宙
物理研究当中的空间造型，可以很直观的用图表示出。
椭圆的极坐标方程在很多领域有着
重要的应用，也是数学研究的重要领域。
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椭圆的极坐标方程及其应用2 22 2x y且过椭圆 C : x y 1(a b 0) 的右焦点 F2的直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点，椭圆例 2. （ 07 年全国Ⅰ）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1， F2．过 F1的直线交椭于如图，倾斜角为3 1a2b2 21 1 为定值过 F2的直线交椭圆于A，C 两点，且 AC BD ，垂足为 P ，求四边形 ABCD 的面积的最值C 的离心率为 e，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导PF2 , QF2 , PQ ，并证明 :PF2QF2yPF2O xQ 练习 2. （ 05 年全国Ⅱ） P、 Q、 M 、 N 四点都在椭圆x2y 21上， F 为椭圆在 y 轴正半焦点2改为：抛物线 y2 2 px( p 0) 呢？PF与FQ共线 ,MF与FN线,且PF MF 0.求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值 .例 1.（10 年全国Ⅱ）已知椭圆C : x2y2的离心率为3，过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的a2b21(a b 0) 2直线与 C 相交于 A, B 两点．若AF 3FB ，求 k 。
y例3. （ 07 年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F (3,0) ，右准线 l 的方程为12 .B （Ⅰ）求椭圆的方程；F （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点P1, P2, P3，使 P1 FP2P2 FP3P3 FP1，证明：Ox1 1 1为定值，并求此定值 .A|FP1 | |FP2 | |FP3 |练习 1. （ 10 年辽宁理科）设椭圆C： x2y21(a b 0) 的右焦点为 F，过点 F 的直线l与椭圆 C相交于a2b2A， B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,AF 2FB ，求椭圆 C 的离心率；1 / 7推广：已知椭圆x2y21(a b 0) ,F是椭圆的右焦点 , 在椭圆上任取 n 个不同点P , P , ,P ,若a2b21 2 nn1 n ，你能证明吗？PFP12P2 FP3P n 1FP n P n FP1 , 则i 1 |PFi | ep练习3. （ 08 年福建理科）如图，椭圆x2y2 .1(a b 0) 的一个焦点是F（ 1， 0）， O 为坐标原点 .a2b2（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点 .若直线l 绕点F任意转动，值有2 2 2OA OBAB ,求 a 的取值范围 .作业1. （ 08 年宁夏文）过椭圆x 2y 22 的直线与椭圆交于A,B 两点, O为坐51的右焦点作一条斜率为标原点 , 则△ OAB 的面积为4 .2作业 2.（09 年全国Ⅰ）已知椭圆 C : x y2 1 的右焦点为F,右准线l，点A l ，线段 AF 交 C 于点 B。
若2FA 3FB ,求 AF 。
作业 3. （ 15 年四市二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的顶点都在椭圆x2y2AC 与 BD 分别过椭圆的左焦点F1 ( 1,0) 和右焦点 F2 (1,0) ，且a 2b2 1(a b 0) 上，对角线AC BD ，椭圆的一条准线方程为x 4 （1）求椭圆方程；（2）求四边形 ABCD 面积的取值范围。
练习 4.（ 08 年安徽文）已知椭圆 C : x2y21(a＞ b＞0) ，其相应于焦点，的准线方程C 的方程；a2b2F(2)（Ⅰ）求椭圆（Ⅱ）已知过点F1(-2,0) 倾斜角为的直线交椭圆C于 A，B 两点 .求证：AB4 2；22cos （Ⅲ）过点 F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点 A、B 和 D、E，求 AB DE 的最作业 5. 已知以 F 为焦点的抛物线y24x 上的两点 A、 B 满足求弦 AB的中点到准线的距离.2 / 7参考答案：例1.练习 1.例2.3 / 7练习 2..例 3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为x2y 2a 21.b2因焦点为 F (3,0) ，故半焦距 c 3 . 又右准线 l 的方程为x a 2，从而由已知a 2c 12, a 236 ，c因此 a 6, b a2 c 227 33.故所求椭圆方程为x2y21.36 27（Ⅱ）方法一 : 记椭圆的右顶点为 A , 并设 AFP i i (i 1,2,3) , 不失一般性假设0 1 2 , 且2 12 ,3 1 43 3 3c 1又设点P i在l上的射影为Q i, 因椭圆的离心率ea, 据椭圆第二定义得a22| FP i | | PQ ii| e c | FP i|cos i )e1 (9FP i cos i) (i 1,2,3)(c 21 2 (1 1 cosi )(i 1,2,3) .FP i9 21 1 1 231cos( 12cos( 14)FP1FP2FP39(cos 1)32 3又cos 1 cos( 12) cos( 14) cos 1 1 cos 13 sin 1 1 cos 13 sin3 3 2 2 2 21 1 1 2FP1FP2FP3(定值)3方法二 : 记椭圆的右顶点为A,并设AFPi(i1,2,3), 不失一般性假设0 12 ,且i32 4,另设点 P(x , y ) ,则 x | PF | cos 3, y | PF | sin2 1,31 i i3i i i i i i33)2i ) 2(| PF i|cos i(|PF i|sin1点 P i在椭圆上 ,36 271 1 (2 cosi )(i 1,2,3), 以下同方法一FP i91 1 1 2(定值)FP1FP2FP3 3推广：sin ( n1) cos( n )引理 1: cos cos() cos( 2 ) cos( n )2 2.sin12证明 : cos sin )sin()] -----------------------(1)2[sin(2 2 2cos( )sin 2 1 [sin( 3 ) sin( 2)] ----------------------(2)2 2 ⋯⋯cos( n )sin21[sin(2n 1 )sin(2n 1)] ----------( n 1)2 2 2将上述 n 1个式子相加得1 2n 1 1[cos cos( ) cos( n)]sinsin( )]2[sin( )22 24 / 7sin (n1) cos(n )cos cos() cos( n ) 22sin A,并设 2证明 : 记椭圆的右顶点为AFP ii (i 1,2, , n) , 不失一般性 假设 0 2 2 4 , n, 且 , ,所以y 1 y 22b 2 m b 2 a 2b 2a 2 2 2 , y1 y2 2 2 2b m a b m 2 2 2AOB 恒为钝角 . 因为恒有 OAOBAB ，所以 即OAOB ( x 1, y 1 ) (x 2 ,y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2 0恒成立 . x 1 x 2 y 1 y 2 ( my 1 1)(my 2 1) y 1 y 2 ( m 21) y 1 y 2 m( y 1y 2 ) 1 1 n 2 1 3 1 n n 1 nn又设点P i 在 l 上的射影为 Q i , 据椭圆第二定义得 | FP i | | PQ ii | e ( a 2c | FP i |cos i )e (i 1,2, , n) 1 a c(1 ecos i )(i 1,2, , n) .FP ib 2n1a 22( n 1) )]}{ ne[cos 1 cos( 1 ) cos( 1 i 1 | PF i| b 2nn在引理 1 中 , 令1, 2 , 则cos 1 cos( 1 22( n1)n ) cos( 1)nnsin ncos( 1 (n 1) ) sin cos( 1 ( n 1) )22nsin 2sin n n1 nai 1 | PF i | b 2 .练习 3.解法一： ( Ⅰ ) 设 M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△ MNF 为正三角形，所以 OF3MN,2即 1＝ 32b,解得 b ＝ 3.2 32 b 2x 2y 2 a 1 4, 因此，椭圆方程为4 1. Ⅱ) 设 A(x 1, y 1 ), B(x 2 ,y 2 ). 3 ( (ⅰ ) 当直线 AB 与 x 轴重合时，2 OB 2 2 1), OA 2a 2 , AB 4a 2 (a 22 2 2因此，恒有 OA OBAB . ( ⅱ ) 当直线 AB 不与 x 轴重合时， 设直线 AB 的方程为：xmy 1,代入 x2 y 2 1, a 2 b 2整理得 (a 2 b 2 m 2 ) y 2 2b 2 my b 2 a 2b 2 0,又 a 2+b 2m 2>0,所以 -m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2 +a 2即 a 2b 2m 2 > a 2-a 2b 2+b 2 对 m R 恒成当 m R 时， a 2b 2 m 2 最小值为 0，<0. a 2<a 2 b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4, 因为 a>0,b>0,所以 a<b 2,即 a 2-a-1>0,解得 a> 1 5 或 a<15 (舍 2 2综合（ i ） (ii)， a 的取值范围为（ 1解法二。
2b2m21a2b2m2a20.5 / 7作业 1.作业 2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。
解:过点 B作 BM l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1. 由题意 FA 3FB ,故 |BM | 2. 又由32 2 2椭圆的第二定义 , 得 | BF |3 |AF | 2.2 3作业 3.作业 4.作业5. 83--6 /7 --。