(精编资料推荐)数学建模——存储模型
存储问题的数学模型
函数y=f(x)在x0附近有定义，如果下式成立，
y x y x dy y E ( y) | x x 0 (x 0) x y x y dx x
《5》
称《5》为函数y=f(x)在点x0处的弹性，反映函数y随自变量x变化 的剧烈程度。即自变量变化1%时，函数y变化的百分比，若E(y) 为正，表示增加的百分比；如果E(y)为负，表示下降的百分比， 总是是反映函数对自变量的灵敏程度。
1、为了方便，考虑连续情况，即需求是连续，生产周期和产量 也是连续；
2、产品的需求速度是一个确定常数；
3、生产能力无穷大(相对需求)，即可以很短时间内实现任何产 量，即永远不会缺货；
符号设置 R 需求速度；Q 周期内的产量；T生产周期； C1 生产准备费用；C2单位产品每天的存储费用；
S 货物存储量；
计算结果表明，存储费用每增加1%，周期T则下降0.5%，反 应不太灵敏。 3、周期T对需求速度R的灵敏度分析
R T E R (T) |C1 5000 ,C2 1,R 100 |C1 5000 ,C2 1,R 100 T R 1 C1 |C1 5000 ,C2 1,R 100 0.5 T 2RC 2
Q
S(t)
0
R T t
存储状态变化图
存储费
T
0
1 1 C 2S( t )dt C 2 QT C 2 RT 2 ，所以周期T内总费用 2 2
1 C(T ) C1 C 2 RT 2 2
周期T内每天平均费用为
C(T) C1 1 C (T ) C 2 RT T T 2
《1》
模型求解 对《1》函数的驻点，得
其函数曲线如下(见附件1)
5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500
数学建模存贮论部分
最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量： 最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存 贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分 别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解 已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月 。 由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长 模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需 要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产 速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补 充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P
数学建模研究——存贮问题
关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。
但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。
存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。
本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。
下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。
2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。
要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。
该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。
其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。
确定性存储问题数学模型
第三节确定性存储问题数学模型对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。
要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。
库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。
如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。
这是摆在工厂管理者面前的现实问题。
我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。
一、仓库只库存产品的简单情况记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。
仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率k－r增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期。
Q与t的关系如图2.3.1所示。
再记c为每开动一次生产线的成本，s为单位时间Q每件产品的存储费，W为单位时间总费用。
则问题可做如下描述：确定周期T，使单位时间的总费用W最小。
图2.3.1 库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即Ak rT t =-2又有k t = rT , 所以单位时间总费用为 W c T sA T c T s k r TT t s k r kT r c T sr k r kT=+=+-=-=+-()()()222记B sr k r k=-()2则W c T BT =+ (2.3.1)为求最小总费用点，令dW dT= 0, 得－c /T 2 +B = 0从而有T min = c b / (2.3.2)代入式(2.3.1)得W min = 2bc (2.3.3) 式(2.3.2)表明，最优周期与生产成本的平方根成正比，与存储费的平方根成反比。
这样一个结论是经过建立数学模型并进行分析计算才得出来的。
计算出来的这个最优 周期T 往往不易在实际生 产过程中操作实施，这就 需要作一点微调（或者说 做一点摄动），那么会对W 产生多大的影响呢？我 们简单分析一下这种敏感性。
第7章 存储模型
表7.2
120
130 140 150 160
0.15
0.2
0.3
0.25
0.1
平均费用
0
3 6 9 12
1.5
0 3 6 9
3
1.5 0 3 6
4.5
3 1.5 0 3
6
4.5 3 1.5 0
2.952
2.1 2.175 3.6 6.15
从表中可以看出，当报童每日定报130份时， 平均损失总费用最小。 下面建立这一报童问题模型的数学解析式， 用求极值的方法求解最小损失总费用。
若缺货在到货后需补上, 则此时的经济订货批量为 QS*= QS(C1+C2)/C2 =(2KD(C1+C2)/C1C2)1/2 (7.6)
例2 某物资每月需供应3000件, 每次订货费 为60元, 每月每件的存储费为4元,一个周期中缺 一件的缺货损失费为5元.缺货不需补, 问每隔多 少时间订货一次, 每次应该订购多少件？ 解: 由(7.5)式得 Q*=(2×60×3000×5/4×(4+5))1/2 ≈ 224 根据t*=QS*/D ≈0.134 如果一个月以30天计算, 则30×0.134=4天, 即每隔 四天订购一次, 每次订购224件.
因此建立存储管理信息系统，用存储模型来 分析研究存储系统的活动，将有助于对存储进行 科学管理和合理控制。 考察报童问题： 报童每日早晨从报社以每份报纸 0.3 元的批 发价购得当日的日报，然后以每份0.45 元的零售 价售出。若卖不完，则每份报纸的积压损失费为 0.30元；若不够卖， 则缺一份报纸造成缺货损失 费为0.15元。 该报童对以往的销售量作了一个月的连续统 计，其记录如表7.1所示：
设D为年平均需求，则类似于确定性存储的 EOQ模型，可得到相应的最佳批量Q*如下； Q*=2KD 这里，K为一次订购费，C1为该种物资一个 单位存储一年的费用。 为在一定置信度下对不缺货提供安全保证， 可将安全库存量加到正常存货中以提供所希望达 到的服务水平（即不缺货的概率）。这时，有 R=l+βα 式中，R为订货点，l和α分别为备运期内的 销售量L的均方差，β为安全库系数，βα为安全 库存量。
存贮论(数学建模)
⎧∂C(T ,t2 ) ⎪⎪ ∂T
=
0
⎨ ⎪
∂C
(T
,
t
2
)
=
0
⎪⎩ ∂t2
可得
（8）
T* =
2CD (CP + CS )
DCPCS
(1 −
D P
)
t2*
=
CP CP + CS
T
*
容易证明，此时的费用 C(T *,t2* ) 是费用函数 C(T ,t2 ) 的最小值。
因此，模型的最优存贮策略各参数值为：
记为 CD 。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为 CP 。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少
和短缺时间的长短有关，记为 CS 。
3．存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略。
end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且
缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 40414.52 元。 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定
时间的条件，即 CS → ∞ ， P → ∞ ，则模型二就是模型一。事实上，如将 CS → ∞ 和
C_P=1000;
P=9800;
C_D=500;
C_S=2000; T=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; TT=T*365; !单位为天;
Q=D*T; T_S=C_P*TT/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*TT/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T; ! 求年总费用;
数学建模 存贮模型
利用(8)式 Q rT1 ，得到每天的平均费用是
C(T , Q)
(10)
c1 T c2Q 2 2rT c3 rT Q2 2rT
(10)式为这个优化模型的目标函数，是
T 和 Q 的二元函数。
模型求解
用微分法求 T 和 Q 使 C(T,Q)最小。解方程组
C
T
C
问题分析
• 总结：生产周期越长，产量越多，会使平 均每天费用中的贮存费变大，生产准备费 变小。所以必存在最佳生产周期，使每天 的平均费用最小。
• 为了得到准确的结论，应该建立优化模型， 研究每天的平均费用和生产周期、产量、 需求量、生产准备费、贮存费之间的关系， 求出最优解。
问题分析
• 把以上问题一般化，考察如下的不允许缺 货的存贮模型： 假设产品需求稳定不变，生产准备费 和每天每件产品的贮存费均为常数，生产 能力无限，不允许缺货，确定生产周期和 产量，使每天的平均费用最小。
q (t ) rt Q ， Q rT1 (8)
模型建立
在T1 到 T 这段缺货时段内，需求 率 r 不变，q(t)按原斜率继续下降。 由于假设 3a 规定缺货量需补足，所以 在 t＝T 时数量为 R 的产品立即到达， 使下周期初的贮存量恢复到 Q．
模型建立
一个周期 T 内的贮存费是
3131存贮模型存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型问题提出问题提出在有些情况下用户允许短时间的缺货虽然缺货会造成损失但是缺货期间没有贮存费而且由于延长了生产周期从而降低了一次性生产准备费分摊在每天的费用所以如果缺货损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费可以采用允许缺货的策略
第3章 简单的优化模型
存储模型及应用ppt课件
t0
2C 3 C1R
Q0
2C3R C1
C 02C 1 C 3RC 1C 2 C 22C 1 C 3RC 1C 2 C 2 C0
S0
2C3R C2 C1 C1 C2
S0
2C1C3R
2C3R C1
第24页
确定性模型三(5)
模型1：
t0
2C3 C1R
Q0
2C3R C1
C0 2C1C3R
C0 2C1C3R
最优费用
第14页
确定性模型一(5) 模一: t0
例1 某厂按合同每年需提
Q0
供D个产品，不许缺货。假
设每一周期工厂需装配费
C0
C3元，存储费每年每单位 产品为C1元，
问全年应分几批供货才能
使装配费、存储费两者之
和最少？
2C 3 C1R
2C3R C1
2C1C3 R
第15页
确定性模型二(1)
？是否可以缺货 备货时间长短
模型一：不允许缺货 生产时间很短
存储降至零时
立即得到补充
假设:
t 时间内的 需求量为Rt
(1) C2= +∞
(2) 备货时间很短，近似看作零
(3) 需求是连续、均匀的,需求速度R常数
(4) 每次订购量不变，C3不变 (5) C1不变
第11页
确定性模型一(2)
每隔 t 0时间补充一次存储 每次的订购量为Q0
模型二：不允许缺货 生产时间需一定时间
假设:
(1) C2= +∞ (2) 生产(备货)需一定时间
生产速度为P
(3) 需求是连续、均匀的,需求速度R常数
(4) 每次生产(订购)量不变，C3不变 (5) C1不变
存储模型(参考)
模型一：备货时间很短，不允许缺货
模型假设： （1）当存储降到零时，可以实现瞬时补充。即备货时间 可以近似为 0； （2）需求是连续均匀的，设需求速度 C (单位时间的需求 量)为常数 R2 ； （3）每次订货量不变，订货费不变，设订货费为 C3 ； （4）单位时间内单位存储费不变，设单位存储费为 C1 ； （5）不允许缺货，设单位缺货费为 C2 ， C2 为无穷大； （6）采用 t －循环策略，即补充时间间隔为 t ，每次补充 量为 Q ； 下面分别讨论此存储模型的各项费用。
解得： t
*
2C3 C1 R2
2C3 R2 C1
（8.2.3）
所以最佳补充量
Q R2t
* *
（8.2.4）
此时最小的平均总费用
C * C (t * ) 2C1C3 R2 PR2
（8.2.5）
Q 可见货物的单价 P 与最佳补充量 Q 无关。 称为经济订购批量
(Economic 略去，从而
C C C 解： 由条件知， 1 = 150 ×16% = 24， 3 = 100， 2 = 200， R2 = 2000×12 = 24000，所以
2C2C3 R2 S C1 (C1 C2 )
最大缺货量为
2 200 100 24000 423 (件) 24 (24 200) 2 24000 24 100 50 (件) 200 (24 200)
解： 由题目条件知，R1 = 3000，R2 = 18000/12 = 1500，C1 = 1.5，
C3 = 5000，由 E.O.Q（8.2.11）计算公式得：
2C3 R2 R1 Q C1 ( R1 R2 )
存储模型的理论
存储模型的理论存储模型是用于描述和组织数据在存储系统中的方式和结构的理论框架。
它是计算机科学中的一个重要概念，通过定义数据的存储方式和数据之间的关系，能够帮助我们更有效地管理和利用存储资源。
存储模型主要包括以下几个方面的理论内容：1. 数据结构：数据结构是存储模型的基础，它定义了存储系统中数据的组织方式和访问方法。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树和图等。
通过选择适合的数据结构，我们可以提高数据的访问效率和存储空间利用率。
2. 数据模型：数据模型定义了数据在存储系统中的逻辑结构和操作方法。
常见的数据模型包括层次模型、网络模型、关系模型和面向对象模型等。
每种数据模型都有不同的特点和适用范围，可以根据需求选择适合的模型进行数据管理。
3. 存储层次结构：存储层次结构定义了不同级别的存储设备之间的关系和数据传输方式。
常见的存储层次结构包括主存储器、缓存、辅存储器和外部存储器等。
通过合理划分和管理存储层次结构，可以提高系统的存储性能和可扩展性。
4. 存储管理机制：存储管理机制包括内存管理和文件管理两个方面。
内存管理负责将进程所需的数据和指令加载到内存中，并进行合理的调度和回收。
文件管理则负责将数据以文件的形式进行存储和管理，并提供文件的访问和保护机制。
除了上述基本理论，存储模型还涉及到数据压缩、存储容量规划、数据备份和数据恢复等方面的内容。
这些理论和技术的不断发展和创新，使得存储系统能够更好地满足用户的需求，并提高数据的可靠性和安全性。
总之，存储模型是计算机科学中重要的理论框架，通过定义数据的存储方式和结构，可以帮助我们更好地管理和利用存储资源。
它涵盖了数据结构、数据模型、存储层次结构和存储管理机制等方面的内容，是计算机科学和信息技术领域中的核心概念之一。
存储模型是计算机科学中一个重要的理论框架，它帮助我们理解和组织数据在各种存储系统中的方式和结构。
在现代计算机系统中，数据的存储和管理是至关重要的一环，好的存储模型能够提高系统的性能、可靠性和可扩展性。
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存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小。
我们可知，这应该算是一个优化模型我们应先建立一个不允许缺货的存贮模型，即在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货下的确定生产周期和常量，使总费用最小的模型。
而在第（2）问中，需改进一下第一问的条件，在短时间可以缺货的情况下，虽然这会造成一定的损失，但如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话，我们可优化一下第一个模型，建立一个更全面的模型。
三、模型假设为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。
根据问题性质，我们作如下假设：1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2；3.生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求；4.在第（1）问中，不允许缺货；5.在第（2）问中，允许缺货，每天每件产品缺货损失费为c3，但缺货数量需在下次生产（或订货）事补足。
四、符号说明符号意义r 产品每天的需求量c1每次生产准备费c2每天每件产品贮存费q(t) 相应时间t下的贮存量Q 每次的产量T 生产周期C 每天平均最小费用五、模型的建立与求解5.1模型一的建立：不允许缺货的存贮模型先考察这样的问题,配件厂为装配线生产若干部件,轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关)同一部件的产量大与需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费.将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求率r 递减，直到()0q T =，如图1[3]示，显然有Q rt =. (1)qQrAO T t图1 不允许缺货模型的贮存量()q t一个周期内的贮存费20()r c q t dt ⎰，其中积分恰等于图中三角形A 的面积2QT [1].因为一个周期的准备费是1c ,再注意到(1)式,得到一周期的总费用为2121222C c c QT c c rT =+=+ , (2)于是每天的平均费用是12()2C T C T c T c rT ==+ . (3)(3)式即为这个优化模型的目标函数.5.2模型一的求解：求T 使(3)最小.容易得到122c T c r=, (4) 代入(1)式得到 122c r Q c =. (5) 由(3)式算出最小的总费用为 122C c c r =. (6)(4),(5)式是经济学中著名的经济订货批量公式(EOQ 公式)[4].由(4),(5)式可以看到,当准备费1c 增加时, 生产周期和产量都变大; 当准备费2c 增加时, 生产周期和产量都变小;当需求量r 增加时，生产周期变小而产量变大.这些定性的结果都是符合常识的.得到的模型用于计算开始的问题:以121225000,1,100C c c rc c r ====代入（4）（6）式可得10T =天，1000T =元，这里得到的费用C 与前面计算的950元有微小的差别，是因为假设函数为连续函数时，多计算了120(100100)c t dt -⎰. 5.3模型一的结果分析讨论参数1c , 2c , r 有微小变化时对生产周期的影响.用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度,T 对1c 的敏感程度记为1(,)S T c ,11111(,)c T T dT S T c c c dc T ∆=≈∆. (7)由(4)式容易得到1(,)12S T c =,作类似的定义可得的2(,)12S T c =-,(,)12S T r =-.即1c 增加了1%,T 增加了0.5%,而2c 或r 增加了1%,T 减少0.5%. 12,,c c r 的微小变化对生产周期T 的影响是很小的.5.4模型二的建立：允许缺货的存贮模型在某些情况下用户允许短时间的缺货，虽然这会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许缺货的准备费和贮存费的话，允许缺货就应该是可以采取的策略。
因贮存量不足造成缺货时，可认为贮存量函数()q t 为负值，如图2[2]，周期仍记作T ，Q 是周期初的贮存量，当1t T =时()0q t =,于是有Q=r 1T . （8）在1T 到T 的这段缺货时段内需求率r 不变，()q t 按原斜率继续下降。
由于规定缺货量补足，所以在t T =时数量为R 的产品立刻到达，使下周期的贮存量恢复到Q 。
qQrRAO 1T B T t图2 允许缺货模型的贮存量()q t与建立不允许缺货模型时类似，一个周期内的贮存费时2c 乘以图2[2]中三角形A的面积，缺货损失费时3c 乘以图2中三角形B 的面积.计算这两块面积，并加上准备费1c ，得到一周的总费用为 212131/2()/2C c c QT c r T T =++-. （9） 利用（8）式将模型的目标函数——每天的平均费用——记作T 和Q 的二元函数 22312()(,)22c rT Q c c Q C T Q T rT rT-=++. (10) 5.5模型二的求解：利用微分法求T 和Q 使(,)C T Q 最小，令0C T ∂=∂, 0C Q ∂=∂,可得（为了与不允许徐缺货模型相区别，最优解记作T ',Q '） 231232c c c T c r c +'=， 312232c c r Q c c c '=+. （11） 注意到每周期的供货量R rT '=，有 231232c c c r R c c +=, （12） 记 233c c c λ+=. （13） 与不允许缺货模型的结果（4），（5）式比较不难得到T T λ'=,Q Q λ'=,R Q λ=. (14)由（13）式，λ>1,故式（14）给出T T λ>,Q Q '<,R Q >,即允许缺货时周期及供货量应增加，周期初的贮存量减少，缺货损失费3c 越大（相对于贮存费2c ），λ越小，T '越接近T ，Q ',R 越接近Q .当3c →∞时1λ→，于是T T '→,Q Q '→,R Q →这个结果合理么（考虑3c →∞的意义）.由此不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例.六、模型评价与推广本文中所建立的模型是从工厂原料需求的实际出发建立的最优规划模型，在需求量稳定的前提下讨论了两个简单的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货模型。
前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求），后者适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失可以允许和估计。
问题一中提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
问题二则考虑当在某些情况下用户允许短时间的缺货，虽然这会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许缺货的准备费和贮存费的话，允许缺货所对应的数学模型。
模型的扩展性良好，能够解决多种状况下的存贮情况。
而且模型充分考虑了各种因素，综合多种可变条件的关系，从问题的根源出发，得到的目标函数能够普遍适用七、参考文献[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型. 高等教育出版社，1987.[2] 李德. 运筹学[M]. 北京：清华大学出版社，1985.413[3] 李维铮.运筹学[M].北京：清华大学出版社，1985.410[4] 刘应辉. 经济应用数学[M]. 北京：中国财政经济出版社，1991.203.。