第二章晶格振动习题
固体物理 第二章(6)晶格振动
u u0 e it u u0 e
i t
u0 和u0为振幅
(26) (27)
代入运动方程求解，消去相同项并整理后有：
2 M u 2 u 2 u 2 M u
2 0 2 0
0
e* E0 e* E0
LO 0 TO 0
NaCl的色散关系
金刚石的振动谱
2、长光学波的宏观运动方程
仍以双原子链为例，讨论一 维离子晶体的振动。考虑到 正负离子受到极化场的作用， 其运动方程写作：
a
a
M M
2n 2 2n 1
*
2n
2n 1 2n 2
(1) (2)
设位移u2n和u2n+1分别为
u2 n Ae
2n i q a t 2
Ae
i qna t
(3) (4)
u2 n 1 B e
2n i q a qb t 2
(31)
3、LST（Lyddane-Sachs-Teller）关系
从电磁学知道，电位移为，
D E 0 E P
0：真空介电常数
P ：宏观极化强度；
(32)
离子晶体的极化有两部分贡献构成，一部分是正负离子的相 对位移产生的偶极矩，这种极化称为离子位移极化，极化强 度记为 P i ；另一部分是离子本身的电子云在有效电场作用下， 其中心不再与原子核重合，而是逆电场方向发生一定的位移， 即在有效电场作用下，离子本身也成了电偶极子，称这部分 的极化为电子位移极化，记作 ，（32）式表示为， Pe
Be
3晶格振动复习
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方及以上的高次项，
只保留到(r)项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
整理后，得 m 2 ( 2 eiaq eiaq ) (eix cos x i sin x)
m 2 [2 (cos aq i sinaq) (cos aq i sinaq)]
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
振动角频率
2
sin aq
m
2
（3）.色散关系 2 sin aq
1.理解晶格振动的简谐近似
如果选取新的势能零点，使V(a0=0)，并令原子偏离平衡位置的位移为
x=a-a0，势能函数简化为
V (x) 1 x2
2
原子在平衡位置附近作微小振动的回复力为
F (x) dV x dx
简谐近似
显然，在简谐近似下，两个原子犹如倔强系数为β的弹簧相连接一样， 这一近似可以推广到一般三维晶体。
m
..
xn
nk
xn
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
x2n2 x2n 2 x2n1
x2n+2
半导体物理习题
半导体物理习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN附： 半导体物理习题第一章 晶体结构1. 指出下述各种结构是不是布拉伐格子。
如果是，请给出三个原基矢量；如果不是，请找出相应的布拉伐格子和尽可能小的基元。
（1） 底心立方（在立方单胞水平表面的中心有附加点的简立方）； （2） 侧面心立方（在立方单胞垂直表面的中心有附加点的简立方）； （3） 边心立方（在最近邻连线的中点有附加点的简立方）。
2. 证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
3. 在如图1所示的二维布拉伐格子中，以格点O 为原点，任意选取两组原基矢量，写出格点A 和B 的晶格矢量A R 和B R 。
4. 以基矢量为坐标轴（以晶格常数a 为度量单位，如图2），在闪锌矿结构的一个立方单胞中，写出各原子的坐标。
5.石墨有许多原子层，每层是由类似于蜂巢的六角形原子环组成，使每个原子有距离为a的三个近邻原子。
试证明在最小的晶胞中有两个原子，并画出正格子和倒格子。
第二章晶格振动和晶格缺陷1.质量为m和M的两种原子组成如图3所示的一维复式格子。
假设相邻原子间的弹性力常数都是β，试求出振动频谱。
2.设有一个一维原子链，原子质量均为m，其平衡位置如图4所示。
如果只考虑相邻原子间的相互作用，试在简谐近似下，求出振动频率ω与波矢q之间的函数关系。
3.若把聚乙烯链—CH=CH—CH=CH—看作是具有全同质量m、但力常数是以1β，2β交替变换的一维链，链的重复距离为a，试证明该一维链振动的特征频率为}])(2sin41[1{2/1221221212ββββββω+-±+=qam并画出色散曲线。
第三章 半导体中的电子状态1. 设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近的能量)(k E c 为mk k m k k E c 21222)(3)(-+=（3.1）价带极大值附近的能量)(k E v 为mk m k k E v 2221236)( -=（3.2）式中m 为电子质量，14.3,/1==a a k πÅ。
晶格振动部分习题参考解答
晶格振动部分习题参考解答晶格振动部分习题参考解答9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=aπ处的(q).并定性画出色散曲线。
m m 10 m m ____________________________________________________→←→←22aa 解：已知 21)cos 2(1212221212qa mmA ββββββω++-+=(1) 21)cos 2(12122212120a mmββββββω++-+= (2) 由题意 2＝101＝10代入（1）式得21)cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21)cos 20101(11qa mm +-ββ=[]21)cos 20101(11qa m+-β当q=0时 0)1111(02=-==mq Aβω 当q=aπ时 mmaq A ββωπ2)911(2=-== 把2=101=10代入（2）式得 []21)cos 20101(1120qa m++βω＝当q=0时m q βω2202== 时aq π±= maq βωπ2020== 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=0－Aq 2（A0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g()=∑-=)1(31s i 24πV2321)(0Ai ωω- i ω≤0g()=0 i ω>0证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为g (i ω)d i ω=q d d Viτπωωω+3)2(由题意可知在长波极限下等频率面为球面则g(i ω)d i ω=dq q V234)2(ππ 当i ω0ω≤时因为 q 2＝Aq i )(0ωω－ Aq q i )(0ωω-=dq=－[]2121)(2)(0q A q d i i ωωω-所以g(i ω)=2121)(214)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??= －2321204)(AV i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值而当i ω>0ω时因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数)所以上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则则 g(i ω)=0 又因为三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波所以光学波频率分布函数为： g 21203314)()(AV i S i πωωω-=∑-= i ω≤0ωg(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。
“材料科学与工程基础”第二章习题---答案题目整合版
“材料科学与工程基础”第二章习题1. 铁的单位晶胞为立方体，晶格常数a=0.287nm ，请由铁的密度算出每个单位晶胞所含的原子数。
ρ铁＝7.8g/cm3 1mol 铁＝6.022×1023 个=55.85g所以， 7.8g/1(cm)3=(55.85/6.022×1023)X /(0.287×10-7)3cm3X ＝1.99≈2（个）2.在立方晶系单胞中，请画出：（a ）[100]方向和[211]方向，并求出他们的交角； （b ）（011）晶面和（111）晶面，并求出他们得夹角。
（c ）一平面与晶体两轴的截距a=0.5,b=0.75,并且与z 轴平行,求此晶面的密勒指数。
（a ）[2 1 1]和[1 0 0]之夹角θ＝arctg2=35.26。
或cos θ==， 35.26θ=（b ）cos θ==35.26θ= （c ） a=0.5 b=0.75 z = ∞倒数 2 4/3 0 取互质整数（3 2 0）3、请算出能进入fcc 银的填隙位置而不拥挤的最大原子半径。
室温下的原子半径R ＝1.444A 。
（见教材177页） 点阵常数a=4.086A最大间隙半径R’=（a-2R ）/2=0.598A4、碳在r-Fe （fcc ）中的最大固溶度为2.11﹪(重量百分数),已知碳占据r-Fe 中的八面体间隙,试计算出八面体间隙被C 原子占据的百分数。
在fcc 晶格的铁中，铁原子和八面体间隙比为1：1，铁的原子量为55.85，碳的原子量为12.01所以 （2.11×12.01）/(97.89×55.85)＝0.1002 即 碳占据八面体的10％。
5、由纤维和树脂组成的纤维增强复合材料，设纤维直径的尺寸是相同的。
请由计算最密堆棒的堆垛因子来确定能放入复合材料的纤维的最大体积分数。
见下图，纤维的最密堆积的圆棒，取一最小的单元，得，单元内包含一个圆（纤维）的面积。
晶格振动与晶体的热学性质习题集
第三章 晶格振动与晶体的热学性质1.什么是简谐近似？解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。
这个近似即称为简谐近似。
2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。
解：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为22sinqa qamaqv p βω== (1)2c os qam a dq d v g βω==。
由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。
但当0→q 时，mav p β=为一常数。
这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。
由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。
但当0→q ，mav v p g β==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即aq π=时，0=g v ，而mav p βπ2=，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。
3.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。
其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。
如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
固体物理习题带答案
第二章：原子的结合
1． 设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值： 这时有
r
m
rn
。证明：要使两原子处于平衡状
r
m
rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较， 与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两 种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2
2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。 所 以 有
r0
m
r0
m 1
n
r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以
第二章3固体物理
之间的体积是图中的球壳的体积。
g() 2
态密度的表达式：
g
V
2 2
2 s3
态密度公式的修正
0
在弹性介质中模或态的密度
上面的讨论已把单个的模与每一个q值联系起来，但对于三维的情形不十分确切。因为对 每一个q值，波可以是纵波也可以是横波，实际上与同一个q值相联系，存在三个不同的 模式，一种纵的，两种横的。对于纵波和横波，因为它们具有不同的速度，色散关系是 不同的。如假设它们存在一共同的速度，态密度关系式修正为：
V 4 q2dq
2 3
在三维空间中传播的波的q允许值（图中
所表示的仅是在qxqy平面中的截面）。阴 影部分的圆形壳层是用来计算模数的。
利用色散关系，得到g()d
2
g
d
V
2
3
4
q 2 dq
V
2
3
4
s
d s
这个方程给出了在恒定频率和+d的表面之间的 g ()
点的数目。在q空间中给出的这些表面是球面，它们
• 而对于声学支，0，q0，不管温度多么低，都不能忽略 低频对比热的贡献。因只对声学支，可用线性关系，即
q vsq
(6)
且三个方向都相同
• 利用关系式（6），将（4）式的求和改成积分后，
CV T s
vs q d q
e vsq/kBT 1 2 3
(7)
积分范围限在第一布里渊区
• 事实上，在很低的温度下， vsq kBT 部分对（7）式中积分 的贡献小到可以忽略，积分可视为在整个q空间中进行。采用 球坐标
3N
U E i
i1
3N 1 i1 2
i
e
i
总结固体物理作业
6 第一章 晶体结构1. 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方 52.06/≈π体心立方 68.08/3≈π面心立方 74.06/2≈π 六方密排 74.06/2≈π金刚石34.016/3≈π2. 试证：六方密排堆积结构中633.1382/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。
又：金属Na 在273K 因“马氏体相变”从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423 nm , 设六角密堆积结构相的c/a 维持理想值，试求其晶格常数。
解（1）a AC AE AO 333332===aa a AO AD OD 32312222=-=-=633.138322221≈⎪⎭⎫⎝⎛===a OD a c（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23cc aV =， 单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞（晶胞）包含6个基元，一个基元所占的体积为32122223843436/323aa a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：33222/aa c =nma a c s 377.02/61== nma c s 615.0633.1==3. 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子4. 证明：简单六角布拉伐格子的倒格子仍为简单六角布拉伐格子，并给出其倒格子的晶格常数。
固体物理第二章习题及答案
第2章晶体的结合思考题1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?[解答]共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.2.如何理解库仑力是原子结合的动力?[解答]晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?[解答]自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.4.原子间的排斥作用取决于什么原因?[解答]相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?[解答]在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时, 排斥力起主导作用.6.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?[解答]设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”.共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?[解答]共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大. 8.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.[解答]当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量. 9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?[解答]使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.10.为什么许多金属为密积结构?[解答]金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构. 11.何为杂化轨道?[解答]为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键, 1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有4个价电子, 它们分别对应s 2ϕ、xp 2ϕ、yp 2ϕ、zp 2ϕ量子态, 在构成共价键时, 它们组成了4个新的量子态).(21),(21),(21),(2122221222212222122221z y x z y x z y x z y x p p p s p p p s p p p s p p p s ϕϕϕϕψϕϕϕϕψϕϕϕϕψϕϕϕϕψ+−−=−+−=−−+=+++=，4个电子分别占据1ψ、2ψ、3ψ、4ψ新轨道， 在四面体顶角方向(参见图1.18)形成4个共价键.12.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?[解答]如上图所示, 0r 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r 附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r 附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定. 13.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?[解答]固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, r <0r , 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, r >0r , 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.14.你是如何理解弹性的, 当施加一定力, 形变大的弹性强呢, 还是形变小的强?[解答]对于弹性形变, 相邻原子间的距离在0r 附近变化. 令r r r ∆+=0, 则有).1(),1()1()(0000000r rnr r r rmr r rr r r r n n m m m m m ∆∆∆∆−≈−≈+=+=−−−−−−−因为0/r r ∆是相对形变, 弹性力学称为应变, 并计作S , 所以原子间的作用力.)(000000S r Bn r Am r BnS r AmS r B r A r B r A f n m n m n m n m −=−++−=+−=再令c r Bnr Am nm =−00, cS f =.可见, 当施加一定力, 形变S 大的固体c 小, 形变S 小的固体c 大. 固体的弹性是固体的属性, 它与外力和形变无关. 弹性常数c 是固体的属性, 它的大小可作为固体弹性强弱的度量. 因此, 当施加一定力, 形变大的弹性弱, 形变小的强. 从这种意义上说, 金刚石的弹性最强.15.拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向?[解答]如上图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面的右边看, 应力向右, 但从截面的左边看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应16.固体中某一面积元两边的应力有何关系?[解答以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示.压缩时体积元两边受的应力如下图所示.当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反.17.沿某立方晶体一晶轴取一细长棒做拉伸实验, 忽略宽度和厚度的形变, 由此能否测出弹性劲度常数11c ?[解答]立方晶体c b a , ,轴是等价的, 设长棒方向为x (a , 或b , 或c )轴方向, 做拉伸实验时若忽略宽度和厚度的形变, 则只有应力1T 应变1S 不为0, 其它应力应变分量都为0. 由(2.55)可得 1111S c T =. 设长棒的横截面积为A , 长度为L , 拉伸力为F , 伸长量为L ∆, 则有: L L S A F T / ,/11∆==. 于是, L A FL c ∆/11=.18.若把上题等价成弹簧的形变, 弹簧受的力kx F −=, k 与11c 有何关系?[解答]上题中长棒受的力L c L AF ∆11=,长棒的伸长量L ∆即是弹簧的伸长量x . 因此,.11c L A k =可见, 弹簧的弹性系数k 与弹性劲度常数的量纲是不同的.19.固体中的应力与理想流体中的压强有何关系?[解答]固体受挤压时, 固体中的正应力321 , ,T T T 与理想流体中的压强是等价的, 但654 , ,T T T 不同于理想流体中的压强概念. 因为压强的作用力与所考虑截面垂直, 而654 , ,T T T 与所考虑截面平行. 也就是说, 理想流体中不存在与所考虑截面平行的作用力.这是因为理想流体分子间的距离比固体原子间距大得多, 流层与流层分子间不存在切向作用力.20.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?[解答]理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.。
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第二章晶格振动习题
1、 在一维有限原子链上放置五个等距的质量为m 的原子，首尾二个固定不动，中间三个振动时偏离平衡位置的位移分别为x 1、x
2、x 3，求证运动方程是：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=+-=-+-=-+02020232
332
12211
x m x m x x m x m x m x x m
x m x βββββββ 并证明三个正则频率是m
β
ω)22(21-=；m
β
ω22
2
=；m
β
ω)
22(23＋=，式中β为
恢复力常数。
2、金属中的原子振动，在简单金属中，我们可以构想一个具有德拜频率的粗略的模型；考虑沉浸在均匀传导电子海中质量为M ，电荷为e 的点状金属正离子。
想象这些离子在正常格点上处于稳定平衡，如果一个离子相对于它的平衡位置移动一段小距离r ，那么恢复力多半来自以平衡位置为中心，以r 为半径的球内的
负电荷。
把离子（或传导电子）的粒子数密度取为13)(4
3
-R π，此式定义了R 。
（1）证明单个离子进行振动的频率为2
1
3
2)(MR e =ω；
（2）对钠粗略地估计这个频率的值；
（3）根据（1）、（2）估计金属中声速的数量级。
提示：金属Na 为bcc 结构，其原子半径为r m = 1.86 Å。
3、模式密度的奇点。
假定在三维情况下，在q ＝0附近，一个光学支的色散关系具有20)(Aq q -=ωω的形式。
证明，对于0ωω<，模式密度
2/102
/33))(2()2()(ωωπ
πω-=
A
V f ；对于0ωω>，0)(=ωf 。
此时模式密度不连续。
4、设晶体中每个振子的零点振动能是ω 2
1
，试用德拜模型求晶体的零点振动能。
5、一维晶格和层形晶格的热容。
（1）证明：对于低温D T Θ<<，一维单原子晶格的德拜近似热容正比于
D
T Θ，
其中D Θ是一维有效德拜温度，定义ka c k D D //πω ==Θ，其中a 是原子之间的距离。
（2）考虑一个由原子层构成的电介质晶体，相邻原子层之间相互束缚很弱，试预计在极低温度下热容趋于何种形式。
6、声子的物理动量
（1）证明对于波矢为K 、频率为ω的格波)(t sKa i s ue u ω-= 一维单原子点阵的总动量为∑-=--=1
)(N s isKa
t
i e
Mue
i K p ωω
（2）证明在周期性边界条件下，当K ≠0时，0)(≡K p ，因而声子（K ≠0）是不携带物理动量的。
（3）证明，如果0)(lim 0
≠→u ωω，当K ＝0时，有0)(≠K p 。
试问这表示一维单原
子点阵的什么运动？
提示：x x x N
N s s
--=∑-=111
7、低温下点阵热容的T 3定律
我们可以用一个简单的物理模型来解释低温下点阵热容所遵循的T 3定律。
（1）首先计算在足够低的温度(D T Θ<<)下，近似有多少简正模式被激发； （2）其次证明在经典近似下每个模式对热能的贡献大约为kT 。
（3）最后由以上结果证明低温下点阵热容的数量级为3
)(D
T Nk Θ，与T 3成正比，这里N 是晶体中包含的原子数，D Θ是德拜温度。