利用二级结论秒杀高考圆锥曲线选填题
【7A版】秒杀高考圆锥曲线选填题—神奇结论法
秒杀高考圆锥曲线选填题——神奇结论法【神奇结论1】G 椭圆上的点与焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -.G例1.(大连月考)设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，则此椭圆方程为________.例2.(沈阳协作校)设(,0)F c 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离是)(21m M +的点是（ ）A.（a b c ±,）B.（0，b ±）C.（a bc ±-,） D.以上都不对 例3.（潍坊测试）点P 是长轴在x 轴上的椭圆12222=+b y a x 上的点，,,21F F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则||||21PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是（）A.1B.2aC.2bD.2c例4.（朝阳中学）椭圆22186x y +=上存n 个不同的点12,,,,n P P P ⋅⋅⋅椭圆的右焦点为,F 数列{||}n P F 是公差大于15的等差数列,则n 的最大值是()A.16B.15C.14D.13 【神奇结论2】G 在椭圆中2221;b e a =-在双曲线中222 1.b e a=-G例5.(教材）双曲线的一条渐近线方程为23y x =，则它的离心率为__________.例6.（辽河油高月考）若双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的渐近线所夹锐角为α2,则它的离心率=e _____.例7.（天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3例8.（2016玉溪一中高三测试）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,并且点A 也在双曲线22221x y a b -= （0a >,0b >）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（A ）A ．3B ．3D 例9.（2016重庆万州测试）点F 为双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，以OF为半径的圆与双曲线C 的两渐近线分别交于,A B 两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C 的离心率为________. 【神奇结论3】G 椭圆和双曲线的通径长为22;b a抛物线的通径长为2.p G 例10.（2016重庆万州测试）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（）A.1B.11例11.（四川成都高三测试）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点,M N ,若1MNF ∆△为正三角形，则该双曲线的 离心率为()例12.（郑州质检二）12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1||OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为,A B ，且2F A B ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为( )11C.12 D.12例13.（合川中学）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且12||2,F F c =点A 在椭圆上，2112120,,AF F F AF AF c →→→→⋅=⋅=则椭圆的离心率e =（）A ．12C ．12D ．2【神奇结论4】G 双曲线焦点F 到渐近线的距离为短半轴长b.G例14.（金考卷）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点(A -的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是_______.例15.（20GG 哈尔滨调研）已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点相同，若以点F为圆心，C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.2213y x -=B.2213x y -= C.22122y x -= D.22122x y -= 例16.（福建连城一中）如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线 交于两点Q P ,,若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为例17.（福建连城一中）已知双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>两个焦点为分别为)0,3(),03(21F F ，-，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则以点2F 为圆心，与双曲线M 的渐近线相切的圆的方程为（）A.22(2x y +=B.22(4x y +=C.22(1x y +=D.223(5x y +=【神奇结论5】G 直线l 与椭圆（或双曲线）221x y m n+=相交于,,A B M 为AB 的中点，则;A B O M nk k m⋅=-G 直线l 与抛物线22y px =相交于,,A B M 为AB 的中点，则;AB OM Mp k k y ⋅= 例18.（沈阳协作校）在抛物线216y x =内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________例19.（新课标1）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F的椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 例20.（辽宁省实验）过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的 椭圆C 相交于,A B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，则椭圆C 的方程为______________.例21.（20GG 沈阳二模）已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，ABC △的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB BC CAk k k ++=________. 【神奇结论6】G 椭圆中122tan ,2F PF S b θ∆=双曲线中122cot .2F PF S b θ∆=G例22.（锦州中学月考）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1F 、2F 分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠21PF F =3π，且21PF F ∆的面积为32，又双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________.例23.（2016重庆万州测试）已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若121212PF PF PF PF ⋅=，则21F PF ∆的面积为_________. 例24.（河南三市高三联考）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,左,右焦点分别为12,,F F 若双曲线右支上一点P 满足12212,,3F PF F PF S π∆∠==则离心率为【神奇结论7】G 椭圆中2122||||1cos b PF PF θ=+,双曲线中2122||||1cos b PF PF θ=-.G例25.（学科网）设21,F F 是双曲线1222=-y x 的左右焦点,点P 在双曲线上，且12,3F PF π∠=则=⋅21PF PF .例26.（辽南联考）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 和双曲线12222=-ny m x )0,0(>>n m 有公共焦点,P 为两曲线的交点,则①12||||PF PF ⋅=________;②12F PF S ∆=__________; ③12cos F PF ∠=________. 【神奇结论8】G 12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点，点P 在椭圆上，,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θG例27.（鞍山一中测试）设P 是椭圆22194x y +=上一点，12,F F 是其焦点，则12cos F PF ∠的最小值是________.例28.（衡水月考）设椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为12,,F F 椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角，则该椭圆离心率e 的取值范围为__________.例29.（黄冈质检）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范为__________.【神奇结论9】 G 在椭圆中sin()sin sin e αβαβ+=+，在双曲线中sin()||sin sin e αβαβ+=-.G例30.（福建高考）椭圆两焦点为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与椭圆的一个焦点为P ，且21125,PF F PF F ∠=∠则椭圆的离心率为（）A.2C.3D.3例31.（长春一模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为12(,0),(,0),F c F c -若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则离心率的取值范围为( )A.1)B.1,1)C.(11)D.1,)+∞ 【神奇结论10】G AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，则①12||AB x x p =++；②22||sin p AB α=；③222(1)||AB ABp k AB k +=.G 例32.【铁岭期末】抛物线2:3C y x =的焦点为F ,过F 且倾斜角为030的直线交C 于,A B两点,O 为坐标原点，则AOB ∆面积为（）A.4B.8C.6332D.94例33.（大连模拟）抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ,直线l 与E 交于,A B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点(6,0)S ，则ABS ∆面积的最大值为_______.【神奇结论11】G AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆必与准线相切.GG MF 是抛物线22(0)y px p =>的一条焦半径，则以MF 为直径的圆必与y 轴相例34.（天津卷）设F 是2y x =的焦点，A B ,是抛物线上两点，且3AF BF +=,则AB 的中点到y 轴的距离为() A.34B.1C.54D.74例35.（浙江台州一模）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为（）A.24y x =,28y x =B.22y x =,28y x =C.22y x =,216y x =D.24y x =,216y x =【神奇结论12】G 点00(,)M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，则10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.GG 点00(,)M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，则10||||,MF ex a =+20||||MF ex a =-.GG 点00(,)M x y 在抛物线22(0)y px p =>上，则0||2pMF x =+.G 例36.（广西模拟）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为||PF =（） A.8C.16例37.（河南模拟）已知抛物线28C y x =:的焦点为F ，准线为l ，P 为l 上一点，PA l ⊥，Q 为直线QF 与C 一个交点，若4,FP FQ =那么||QF =（）A.72B.3C.52D.2 例38.（全国卷）设P 是双曲线221x y -=上一点，12,F F 是其焦点，则123F PF π∠=,到x 轴的距离为()A.例39.（全国十二月大联考）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足2,3AFB π∠=设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是()2C.3D.4【神奇结论13】G AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，则①12||2()AB a e x x =±+;②222222(1)||AB AB ab k AB a k b +=+；③222222||sin cos ab AB a b αα=+.G G AB 是过双曲线22221(0,0)x ya b a b +=>>的焦点F 的弦，则①12|||()2|AB e x x a =±+±;②222222(1)||||AB AB ab k AB b a k +=-；③222222|||cos sin |abAB b a αα=-.G 例40.（金考卷）已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2,F 与椭圆相交于,A B两点，则弦AB 的长为________.例41.（学科网）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆与直:2l x y +80+=相交于,A B两点，且||AB 则这个椭圆的方程为__________.例42.（红对勾）设AB 为过椭圆2212516x y +=右焦点2F 的弦，O 为坐标原点，若||8,AB =则AOB ∆的面积为__________.例43.（吉林模拟）已知直线l :tan (y x α=+交椭圆9922=+y x 于A 、B 两点,若α为l 的倾斜角,且||AB 的长不小于短轴的长,求α的取值范围__________.例44.（河北模拟）斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则||AB 的最大 值为() A.2B.554 C.5104 D.5108 例45.（重庆测试）已知椭圆13422=+y x ，1F ,2F 为左右两个焦点,过2F 作直线l 交椭圆于N M ,两点，若l 的倾斜角为4π，则MN F 1∆的面积为__________. 【神奇结论14】G 点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，则过P 点的切线方程为0022 1.x x y ya b+= G 点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过P 点的切线方程为0022 1.x x y ya b-= G 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y p x p =>上，则过P 点的切线方程为00().y y p x x =+例46.（金考卷）经过椭圆2214x y +=上一点1)2的切线方程为___________.例47.（金考卷）设00(,)P x y 为曲线22195x y-=上一动点，则P 处的切线方程为_____.例48.（辽师大附中测试）与抛物线28y x =相切且倾斜角为0135的直线l 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ，则过,A B 两点的最小圆截抛物线28y x =的准线所得的弦长为( )7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档 11 A ．4 B． C ．2【神奇结论15】G 圆锥曲线的焦半径公式：||1cos ep MF e θ=-.G 49.（全国卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ,且2BF FD =，则C 的离心率为________.50.（北京卷）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且||2||,FA FB =则直线l 的方程为________.。
【高考数学 秒杀系列】圆锥曲线高妙系列(2)(解析版)-高考数学二轮复习
圆锥曲线高妙系列（2）高妙四 双曲线焦点三角形面积秒杀12,F F 为双曲线22221x y a b-=的两个焦点，M 是双曲线上的动点，则12MF F 的面积()2212cot2tan2M b S c y b F MF θθθ====∠．【证明】由余弦定理可知2221212122cos F F MF MF MF MF θ=+-⋅．由双曲线定义知||21||||2MF MF a -=，可得222122124MF MF MF MF a +-⋅=所以2221424c MF MF a =⋅+-2121222cos 1cos b MF MF MF MF θθ⋅⇒⋅=- 则22221222sin cos112sin 22sin cot 221cos 22sin tan 22iMF b b b S MF MF b θθθθθθθθ∆⋅=⋅⋅=⋅===-．例1．已知12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，若12F PF 的面积是1，则12PF PF ⋅的值是__________．【答案】0【解析】由双曲线焦点三角形面积公式得：22,cotcot122F PF S b θθ∆=⋅==，所以452θ︒=，即90θ︒=． 所以12PF PF ⊥，从而120PF PF ⋅=．例2．已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF PF ⋅=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由双曲线焦点三角形面积公式得：222,60cot 1cot 22F PF S b θ︒∆====121211sin 6022PF PF PF PF ︒⋅=⋅所以124PF PF ⋅=． 故选B ．例3．已知12,F F 为双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，点()00,M x y 在C 上，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭ C ．⎛ ⎝⎭ D ．⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】由题意知12(F F ，且220012x y -=，即220022x y =+，所以())222120000000,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=--⋅-=+-=-<，解得033y -<<， 故选A ． 高妙五 椭圆中的两个最大张角【结论1】12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦， P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大．【证明】如图，因为12122,2PF PF a F F c +==所以2122122PF PF PF PF a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭（当12PF PF =时取等号）由余弦定理知22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()22222121212121212244411222PF PF PF PF F F a c b PF PF PF PF PF PF +---==-=- 2222112b e a-=-（当12PF PF =时取等号） 所以当12PF PF =时，即点P 为椭圆短轴的端点时12FPF ∠最大． 【结论2】A ，B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当点Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大．【证明】如图，设(,)(0,0)Q x y x a y b <<，过点Q 作QP AB ⊥，垂足为P 则,,AP a x BP a x PQ y =+=-=，所以tan ,tan a x a xAQP BQP y y+-∠=∠= 则2222222tan tan 2tan 1tan tan 1aAQP BQP ay yAOB a x AQP BQP x y a y ∠+∠∠===--∠⋅∠+--因为22222a x a y b =-，所以222tan 1aAOB a y b ∠=⎛⎫- ⎪⎝⎭．又因为2210,,2a AQB b ππ⎛⎫-<∠∈ ⎪⎝⎭所以当y b =时，tan AQB ∠取得最大值，此时AQB ∠最大． 即当点Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大．例1．已知12,F F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得1260F PF ︒∠=，求椭圆离心率的取值范围．【分析】因为存在1260F PF ︒∠=，所以只要最大角10260F P F ︒∠，即1021302F P F ︒∠即可， 即103tan 3F P O∠，也就是33c b ，便可求出e 的范围． 【解析】由结论1知，当点0P 为椭圆短轴的端点时，102F P F ∠最大，因此要最大角10260F P F ︒∠，即1021302F P F ︒∠，即103tan 3F P O ∠，也就是33cb ，解不等式33，得12e ， 故椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．例2．已知12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 值．【分析】由结论1知，当点0P 为椭圆短轴的端点时，102F P F ∠最大，且最大角为钝角，所以本题有两种情况，90P ︒∠=或290F ︒∠=．【解析】由已知可得，当点0P 为椭圆短轴的端点时，102F P F ∠最大且102F P F ∠为钝角由结论1知，椭圆上存在一点P ，使12F PF ∠为直角，又21PF F ∠也可为直角，所以本题有两解；由22194x y +=，知12126,PF PF F F +==． ①若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，所以()2211620PFPF =-+，得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =． ②若12F PF ∠为直角，则221212F F PF PF =+，所以()2211206PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =． 综上可知，12PF PF 的值为72或2． 评注结合椭圆的性质，本题的12F PF ∠可以为直角，从而判断出分两种情况讨论，避免了漏解的情况．例3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，长轴两端点为A ，B ，如果椭圆上存在一点Q满足120AQB ︒∠=．求这个椭圆的离心率的取值范围．【分析】由结论2知，当点0P 为椭圆短轴的端点时，0AP B ∠最大，因此只要最大角不小于120︒即可．【解析】由结论2知，当点0P 为椭圆短轴的端点时，0AP B ∠最大，因此只要0120AP B ︒∠，则一定存在点Q ，使1120,602AQB AQB ︒︒∠=∠，即060AP O ︒∠，3， 得63e．故椭圆的离心率的取值范围是e ⎫∈⎪⎪⎣⎭。
高考数学二级结论秒解填空选择!
最小值。 取到 ； 当
答案为：当 n 为奇数， n 为偶数时， 最小值为
最小值为 (nA2 一1) /4, 在 x= (n+1) nA2/4, 在 x =n/2 或 n/2 +1 时取到。
/2 时
16匾 ✓ ((aA2+bA2)) /2� (a+b) /2�✓ ab�2ab/ (a+b) (a, b 为正数 ，
重合） ．注： 以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦 ， 直接必杀！
11■, 经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。 下面看 隔项相消：对千 Sn =
1/ (1X3) +1/(2X4)+11 (3X5) +···+1/[n(叶 2)]= 1/2[1+1/2-1/(叶1)
一1/(n+2)) ♦♦ 注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项 。自己把式子写
当然这种类型的数列可以构造（两边同时加数）
7■, 函数详解补充： 1、 复合函数奇偶性 ： 内偶则偶，内奇同外 2, 复合函数单
调性：同增异减3,.重点知识． 关千三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数 曲线其实是中心对称图形。 它有一个对称中心， 求法为二阶导后导数为0, 根x 即为中心横坐标 ， 纵坐标可以用x带入原函数界定。另外 ， 必有唯一一条过该中
1■, 适用条件 ： ［直线过焦点］， 必有 ecosA = (x-1) / (x+1), 其中 A 为直
线与焦点所在轴夹角，是锐角 。x为分离比 ，必须大千 1。 注上述公式适合一
切圆锥曲线 。 如果焦点内分（指的是焦点在所戳线段上） ， 用该公式 ； 如果外分（焦
点在所戳线段延长线上）， 右边为(x+1)/(x-1), 其他不变。
利用圆锥曲线的二级结论秒解选择填空题--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版)
利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题)1．焦点三角形的面积、离心率(1)设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则①|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.(2)设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则①|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.2．中心弦的性质设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1. 3．中点弦的性质设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k . (1)若圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝py 0.4．焦点弦的性质(1)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α. (2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p 1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.题型一 椭圆焦点三角形的面积、离心率【例1】 在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________； (2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________． 答案 (1)33 (2)6－22解析 (1)由焦点三角形公式，得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝3 3. (2)由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.【训练1】 (1)若P 是x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1，F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．(2)在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，∠PF 2O ＝45°，∠PF 1O ＝15°，则椭圆的离心率e ＝________． 答案 (1)6433 (2)32－62解析 (1)S △F 1PF 2＝b 2tan α2＝64×33＝6433. (2)由公式e ＝sin （β＋α）sin β＋sin α，即得e ＝32－62.题型二 中心弦的性质【例2】 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为________．答案2 2解析k AP·k BP＝－12，e2－1＝－12，∴e2＝12，e＝22.【训练2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，实轴的两个端点为A，B，点P为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线P A与PB的斜率之积为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝3 5，若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．答案(1)3(2)12 25解析(1)k P A·k PB＝e2－1＝3.(2)设∠DBO＝θ，则cos∠F1BF2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝725，cos 2θ＝1625，cos θ＝45，利用Rt△F2OB易知k BD＝－43，e＝35，由k BD·k CD＝e2－1，得k CD＝1225.题型三中点弦的性质【例3】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1答案 B解析由题意可知k AB＝－15－0－12－3＝1，k MO＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.【训练3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1(2)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________． 答案 (1)D (2)2解析 (1)c ＝3，a 2－b 2＝9，AB 的中点记为P (－1，1)，由k AB ·k OP ＝e 2－1则 (－1)×－1－01－3＝－b 2a 2，∴a 2＝2b 2，解得a 2＝18，b 2＝9.(2)法一 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别是A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线上，∴|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，∴MM ′平行于x 轴，∴y 0＝1，又由中点弦的性质得k AB ＝py 0＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法三 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.题型四 焦点弦的性质【例4】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 ∵λ＝3，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.【训练4】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.一、选择题1．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D解析 k 1k 2＝－b 2a 2＝－12.2．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝A.12 B ．1 C ．2 D ．4 答案 A解析 直线y ＝k (x －2)过抛物线的交点F (2，0)，则1|FP |＋1|FQ |＝2p ＝12.3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 由对称弦结论知kP A 1·kP A 2＝e 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－34，又kP A 2∈[－2，－1]，∴kP A 1＝－34kP A 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( ) A.32 B.62 C.3 D. 6 答案 B解析 设P 到x 轴的距离为y P ，故12×22×y P ＝12×1tan 30°，解得y P ＝62，故P到x 轴的距离为62.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝2x D ．y 2＝6x 答案 C解析 |AB |＝2p sin 2θ，∴2p ＝|AB |sin 2θ＝8×sin 2π6＝2， ∴y 2＝2x .6．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，(点A 在第一象限)，若BA→＝4BF →，则△AOB 的面积为( )A.83 3B.43 3C.83 2D.43 2 答案 B解析 由题意知AF BF ＝3，AF ＝p 1－cos θ，BF ＝p1＋cos θ，∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32，S ＝p 22sin θ＝43＝433. 7．(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 C解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离等于b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A ．24 B ．8 C ．12 D ．16 答案 A解析 p ＝2，S △AOB ＝p 22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB |＝2psin 2θ＝24.9．(2021·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与Γ相交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，则k ＝( ) A ．1 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 依题意a ＝2b ，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，又λ＝3，由e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α得32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－1（3＋1）cos α，|cos α|＝33，又k ＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.10．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 A解析 (极坐标法)设l 1的倾斜角为θ，那么|AB |＝|AF |＋|BF |＝21－cos θ＋21－cos （π＋θ）＝21－cos θ＋21＋cos θ＝4sin 2θ，因此l 2的倾斜角为θ＋π2或θ－π2，即|DE |＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ±π2，因此即求4⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋1cos 2θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值，令f (θ)＝4sin 2θcos 2θ，取最小值时sin θcos θ取最大值，因此θ＝π4，结果414＝16.11．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，椭圆上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 D解析 设B 为短轴上端点，则S △F 1PF 2＝b 2tan 45°＝b 2≤S △F 1BF 2＝bc ，∵a ＞b ＞0，∴b ≤c ，即b 2≤c 2，∴e 2＝c 2a 2≥12，又∵e ＜1，∴22≤e ＜1，故选D.二、填空题12．已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝12，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 3 3解析 设〈PF 1→，PF 2→〉＝θ，则由PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|＝12，知cos θ＝12，θ＝π3，∴S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝9×33＝3 3.13．经过椭圆x 24＋y 2＝1上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12的切线方程为________________．答案3x ＋2y －4＝0解析 把⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12代入椭圆的切线方程x 0x a 2＋x 0y b 2＝1，得3x 4＋y 2＝1，即3x ＋2y －4＝0.14．在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，椭圆离心率e ＝12，∠PF 2O＝60°，则tan ∠PF 1O 的值为________． 答案3解析 设∠PF 1O ＝θ，由题意可得12＝sin （θ＋60°）sin θ＋sin 60°，解得cos θ＝12，∴θ＝60°，故tan ∠PF 1O ＝tan θ＝ 3.15．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________．答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP→≤12，故最小值为6. 16．已知P 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一个动点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，O为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处切线的距离为d ，若|PF 1|·|PF 2|＝247，则d ＝________． 答案142解析 由椭圆的焦半径公式得|PF 1||PF 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12x 0＝4－14x 20＝247，x 20＝167，∴y 20＝97，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，37，切线47x 4＋37y 3＝1.x ＋y ＝7，∴d ＝142.。
高中数学圆锥曲线——选填题秒杀技巧，15个神奇结论，超有用
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高考数学二级结论快速解题：专题14 圆锥曲线的切线问题(原卷版)
专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0 来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0 来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C:222()()x a y b R上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .2.过椭圆22221x y a b 上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p 和直线l :00()y y p x x .(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 222210x y a b a b ，则椭圆在其上一点 00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b ，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y ，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（）A ．1BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y ，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y ，令0y ，可得12(,0)C x ，令0x ，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y，又点B 在椭圆上，所以221112x y ，所以121111121111122x y S x y x y x x y y 当且仅当11112x yy x，即111,2x y 时等号成立，所以OCD故选：C【反思】过椭圆 222210x y a b a b上一点 00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y y a b ，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n上一点 00,P x y 的切线方程为001x x y y m n .过椭圆221124x y 上的点 3,1A 作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x yB ．-20x yC ．2330x yD ．3100x y 【答案】B 【详解】过椭圆221124x y 上的点 3, 1A 的切线l 的方程为 31124y x ，即40x y ，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为 13y x ，即20x y .故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n注意不要带错，通过对比本题信息，12m ，4n ，03x ，01y ，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB_________.【答案】2 【详解】圆C 的圆心为 0,0C ，10110CP k，因为22112 ，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ，所以，直线AB 的斜率为1AB k ，故直线AB 的方程为 11y x ，即20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .另解：过圆C :222()()x a y b R 上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .可知01x ，01y ；0a b ，22R ,代入计算得到过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y ，整理得：20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
【2018临考冲刺】高考数学二级结论秒杀大法举例
【2018临考冲刺】⾼考数学⼆级结论秒杀⼤法举例很多同学抱怨平时数学考试总是做不完，做题的速度很慢，做选择填空题都得花1个⼩时，如此⼀来，⼜怎么还有时间做后⾯的⼤题呢？就算是会的，也会因为没有时间做⽽⽆法得分。
要知道，⾼考⼀⽅⾯看学⽣的基本功，另⼀⽅⾯看学⽣的应试能⼒，谁能在规定的时间内拿到最多的分数，速度（效率）就成了关键因素。
就数学⽽⾔，如何让⾃⼰⽐别⼈更好更快的解决，了解⼀些重要、常⽤的数学结论就成了必不可少的⼿段。
尤其是对于选择填空，清楚的了解⼀些⼆级结论有利于我们⼤⼤的缩短解题时间，为完成后⾯的⼤题争取到更多的时间。
⼀般的，花多少时间做完选择填空会⽐较好呢？答案是：40分钟以内。
如果是尖⼦⽣，那么就得控制在20—30分钟。
学校⽼师照顾到班级⼤部分学⽣的情况，有些东西就没有在课堂展开，这部分内容便成了学习的缺失部分。
下⾯，荣sir 就常遇到的⼀些问题，从中挑选⼀⼩部分（10来个常⽤结论）出来作为例⼦讲解，为你娓娓道来，并配备练习，以便同学们更好地了解这⽅⾯的知识，掌握吸收。
临近⾼考，编撰此⽂，以飨读者。
秒杀结论2：复数的模秒杀结论3：空间⼏何体之外接球外接球有七⼤经典模型，常见的如长⽅体模型（衍⽣出来的墙⾓模型），线⾯垂直模型，⾯⾯垂直模型，对棱相等模型等等，内切球则考虑等体积法类⽐⼆维内切圆秒杀结论4：解三⾓形之射影定理秒杀结论5：等差X等⽐数列求和之待定系数法秒杀结论6：三次函数对称中⼼秒杀结论7：平⾯向量之等和线秒杀结论8：平⾯向量之极化恒等式秒杀结论9：不等式之权⽅和不等式秒杀结论10：圆锥曲线之三合⼀定分⽐定理秒杀结论11：圆锥曲线之e2-1的妙⽤12、秒杀选择题之特值法分析还有平⾯向量之奔驰定理、矩形⼤法、不等式之柯西不等式、阿斯圆、三⾓形⾯积的向量表达等等就不⼀⼀列举。
并不是所有的⾼考题都能被秒杀，秒杀需具体⼀定的根基，融⼊学习中，汇进思想⾥，成为⾃然，遇到时顺⼿秒杀。
在⾼考这种紧张的氛围中，最难的选择填空题，在短短数秒间被攻克，这是⼀种精神上的快感，时间上的胜利。
圆锥曲线部分二级结论的应用-(学生版)
圆锥曲线部分二级结论的应用一、单选题1 •已知抛物线C:y2 =4x ,点D 2,0 ,E 4,0 ,M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N ,连接MD , ND并分别延长交拋物线C于点P,Q，连接PQ ,若直线MN , PQ的斜率存在且分别为kι,k2,则邑=（），kιA. 4B. 3C. 2D. 12 22 .如图，设椭圆E :笃y^ =1 （a b 0）的右顶点为A ,右焦点为F，B为椭a b圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C ,若直线BF平分线段AC于M , 则椭圆E 的离心率是（）112 1A. B. C. D.—2 3 3 42 2X y3•已知F1∖F2是双曲线2 - 2=1（a 0,b 0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与a b双曲线的一条渐近线交于点M ,与双曲线交于点N ,且M、N均在第一象限，当直22线MR//ON时，双曲线的离心率为 e ,若函数f X =x 2x ,,则f e =（）XA. 1B. 3C. 2D. 54 •已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2 , P是它们的一个交点，且∙F1PF2 ,记31椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则丄的最大值是（）ee2A. 2 3B. - 3C. 2D. 33 35 .已知抛物线C : X2 =4y ,直线丨：y - T , PA, PB为抛物线C的两条切线，切点分别为代B ,则“点P在丨上”是“ PA _ PB ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 26 •已知A, B 分别为双曲线 C:笃-当=1 （ a ■ 0 , b ■ 0）的左、右顶点，点 P 为 a b 双曲线C 在第一象限图形上的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2,P 代PB, PO 的斜率分别为k 1,k 2,k 3 ,则k ιL k 2_ k 3的取值范围为（）2 4 4 1 A.B.C.D.—35728 •设双曲线C 的中心为点O ,若直线I I 和J 相交于点O ,直线I I 交双曲线于A 、Bl , 直线l 2交双曲线于A 2、B 2 ,且使AB l l = AB 2则称l 1和l 2为“ WW 直线对”.现有所 成的角为60°的“ WW 直线对”只有2对，且在右支上存在一点2 29 .设点P 为双曲线X 2-y 2 =1 （ a 0 , b 0）上一点，F 1, F 2分别是左右焦点,a b2 S - S = S 3则双曲线的离心率为（）A. 2B. -3C. 4D. 22 210 •已知直线y =χ∙1与双曲线 令-∕=1（a0,b 0）交于A,B 两点，且线段AB 的a b中点M 的横坐标为1 ,则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C. 2D.11 •已知双曲线 一— 的右顶点为，以为圆心，半径为一的圆与 双曲线 的某条渐近线交于两点，若-，则双曲线 的离心率的取值范围为（）A. 0,—B. (0√3 )C.I 9丿7 •设抛物线 2y =2x 的焦点为 F ,与抛物线的准线相较于点 C , BF03,3 D. 0,8M .3,0的直线与抛物线相交于 A,B 两点,=2 ,则. BCF 与 ACF 的面积之S BCF =()SACF则该双曲线的离心率的取值范围是（ A. 1,2B. 3,9) D. 2,31P ,使 PF 1 =2 PF 2 ,I 是APF I F 2的内心，若=IPF I ,IPF 2 ,IF 1F 2 的面积 S 1, S 2l S 3满足12 .已知是椭圆一一和双曲线一一的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为,则下列关系正确的是( )A. B.C. D.13 •椭圆—- 上存在个不同的点,椭圆的右焦点为,若数列是公差大于-的等差数列，则的最大值疋A. 13B. 14C. 15D. 162 2 2 2XV VX14 .连接双曲线—2=1和22 2=1（其中a,b 0 ）的四个顶点的四边形面积a b ba为S ,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则'的最小值为（）S lA. 42B. 2C. 43D. 315 •已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，点F2关于渐近线的对称点P恰好落在以F1为圆心、OR为半径的圆上，则双曲线的离心率为（16 .已知抛物线y2 =2px ,直线丨过抛物线焦点，且与抛物线交于 A , B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定2 217 .椭圆V T =1（a b 0）上一点A.关于原点的对称点为B, F为其右焦点，若a bΓππ7AF _ BF ,设.ABF =〉，且，，则该椭圆离心率的取值范围为（）_12 4A. B. C. D.A. 3B. 3C. 2D. 、218.已知双曲线C : x 2 — y 2=1( a ■ 0 , b 0)的顶点a,0到渐近线y = X 的 a b a距离为-,则双曲线C 的离心率是()2A. 2B. 3C. 4D. 519 •已知点R(X 1,y ι ), P 2(X 2,y 2 ), P3(X 3,y 3 ), R(X 4,y 4 ), R(X 5,y 5 ),R X e , y θ是抛物线 C:y 2 =2px ( P 0 )上的点，F 是抛物线 C 的焦点，若RF +∣P 2F + PF I+∣P 4F. + R 5F' + RF =36 ,且为 +x ； +x +4x ⅛x ^⅛x =24 ,则抛物线C 的方程为()2 2 2 2A. y=4xB. y =8xC. y =12xD. y=16x.2 . 3 2 A.B.C.—3332 2X V21 .已知双曲线 C ：r 2=1 ( a 0,b0 )的右焦点为F ,以双曲线C 的实轴为a bK直径的圆’11与双曲线的渐近线在第一象限交于点 P ,若k FP - - -，则双曲线C 的渐近a线方程为()A. y = XB. y = 2xC. y = 3xD. y = 4x2 222.已知斜率为3的直线丨与双曲线C: JX ^--V 2a 0,b 0交于A lB 两点，若点a bP 6,2 , 是 AB 的中点，则双曲线 C 的离心率等于(A. ,2B. .3C. 2D. 2、2二、填空题2 223 •若R 0(x 0, y 0)在椭圆 令 y ^ = 1( a >b >0)外，则过P)作椭圆的两条切线的切点为a b20.已知A , B 是椭圆E ：2 2 X y22 = 1ab(a > b > 0)的左、右顶点,M 是E 上不同于A ,B 的任意一点，若直线 4AM BM的斜率之积为=,则E 的离心率为(2 2bP l, P2,则切点弦PP2所在直线方程是学+缨=1.那么对于双曲线则有如下命题：a b2 2V V若F b(X0, y o)在双曲线—2= l(a>0, b>0)外，则过R作双曲线的两条切线的切点a b为P, F2,则切点弦PF2所在的直线方程是 _________ .2 224.已知F i、F2分别为双曲线笃一爲=1 ( a 0 , b 0)的左、右焦点，点a bP为双曲线右支上一点，M为APF i F2的内心，满足S MPF^ S MPF^ ■ S-MF1F2,若该双曲线的离心率为3,则一______________ (注: S-MPF1、S-MPF2、S-MF1F2分别为. MPF1、.:MPF2、MF1F2的面积).25 •设抛物线y2 =2x的焦点为F ,过点M 、、3,0的直线与抛物线相交于A, B两点，与抛物线的准线相交于点 C , BF∣=2 ,贝U心BCF与心ACF的面积之比S^CF =S出CF 26.设抛物线y2=2px ( P 0)的焦点为F ,准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点，分别过A,B作l的垂线，垂足C,D.若AF =2 BF ,且三角形CDF的面积为√2 ,则P的值为 ______________ .227 •已知抛物线y =2 PX的准线方程为X - -1 ,焦点为F, A, B,C为抛物线上不同的三点，FATFBTFC成等差数列，且点B在X轴「F方，右FA + F^+ FC = 0 ,则直线AC的方程为__________ .28 .已知双曲线的方程为一一，其左、右焦点分别是，已知点坐标，满足PF1 ∙MF1 F2F√∙MF1双曲线上点PF1F2F129 .给出下列命题：①设抛物线y2=8x的准线与X轴交于点Q ,若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线I的斜率的取值范围为∣-1,11；②A, B是抛物y2 =2px(p 0)上的两点，且OA —OB ,则IA B两点的横坐标之积22③斜率为1的直线I 与椭圆 y 2 =1相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为 把你认为正确的命题的序号填在横线上 ____________ •30•已知抛物线y 2 =2px(p 0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1, I 2,11与抛物线交于P ) Q 两点，∣2与抛物线交于M, N 两点，设∣1的斜率为k •若某同学已正确求得 弦PQ 的中垂线在 y 轴上的截距为 空,则弦MN 的中垂线在 y 轴上的截距k k 3为 ______________ •31 .如图，已知抛物线的方程为X 2 =2 Py(P 0),过点A 0,-1作直线I 与抛物线相B 的坐标为 0,1 , 连接BP l BQ ,设QB l BP 与X 轴分别相交于33 •若等轴双曲线 的左、右顶点分别为椭圆—— 的左、右焦点，点是双曲线上异于 的点，直线的斜率分别为，则________2 234 •已知''为椭圆 —11的两个焦点，过J 的直线交椭圆于 A 、B 两点，若25 16ImI 屮】恥】2,则期I = ________________Ti iX i =—35 •过抛物线’ 的焦点'的直线交抛物线于两点，且i '在直线上的射影分别是，则MFw 的大小为 _____________________________交于P,Q 两点，点 上，且位于 轴的两侧，O 是坐标原点，若 为 ________ .,则点A 到动直线MN 的最大距离的大小等于.M , N 在抛物线C。
利用二级结论,优解椭圆小题
利用二级结论,优解椭圆小题
王新宏
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2024()5
【摘要】圆锥曲线试题是高考的必考题.2023年高考数学全国甲卷理科第12题是一道考查椭圆知识的选择题,以椭圆焦点三角形为背景,考查椭圆的定义、余弦定理、焦点三角形等知识.题目入手比较容易,方法比较多,考查了考生的理性思维与数学探究能力,体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.
【总页数】3页(P55-57)
【作者】王新宏
【作者单位】甘肃省张掖市实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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的若干结论
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利用二级结论秒杀高考圆锥曲线选填题
二轮复习第１７课利用二级结论秒杀高考圆锥曲线选填题 高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面给大家带来几条出题率最高的结论.结论１：椭圆的第一定义、双曲线的第一定义.属于一级结论。
1. (848)已知双曲线2222b y a x -=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的弦交双曲线于P ，Q 两点且PQ ⊥PF 1，若|PQ |=λ|PF 1|，125≤λ≤34，则双曲线离心率e 的取值范围为____________.(请比较一下“|PF 1|=ma(m ＞0)，c=ea ”与“|PF 1|=m(m ＞0)”两种设法)2. (1248)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=3π，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当e 1e 2取最小值时，e 1，e 2的值分别是 ( ) A .22，26B .21，25C.33，6D .42，33. (2082)已知E ，F 为双曲线C ：2222b y a x -=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px (p ＞0)与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A ，B两个不同的点，若|AF |=54|BE |，则双曲线的离心率为( )A .4－7B .4－3C .4+3D .4+74. (4480)已知双曲线2222b y a x -=1的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为Q ，且⊙Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则 ( ) A .|OB |=e |OA | B .|OA |=e |OB | C .|OB |=|OA | D .|OA |与|OB |关系不确定结论２：椭圆中2122||||1cos b PF PF θ⋅=+，122tan2F PF S b θ∆=，双曲线中2122||||1cos b PF PF θ⋅=-，122cot .2F PF S b θ∆=5.已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．56. (黄冈质检)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范为__________. 结论４：在椭圆中sin()sin sin e αβαβ+=+，在双曲线中sin()||sin sin e αβαβ+=-.7. (1982)已知F 1、F 2是双曲线2222b y a x-=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，点E 是线段PF 1中点，且OE •P F 1=0，sin∠PF 2F 1≥2sin ∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A .[5，+∞) B .[5，+∞) C .(1，5]D .(1，5]结论5：点00(,)M x y 在焦点在x 轴上的椭圆（双曲线）2222()1x y a b+-=上，则10||||MF a ex =+，20||||MF a ex =-.点00(,)M x y 在抛物线22(0)y px p =>上，则0||2pMF x =+.8. 已知1F 、2F 分别是椭圆Ｃ：2222x y a b +=1(a＞b ＞0)的左、右两个焦点，圆2222x y b b+=1的一条切线交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，Ｔ为切点，设i m =||i AF ＋||AT ，i n =||i AF －||AT ，i p =△i ABF 的周长，i=1，2.现给出下列结论：①1m 与2m 均为定值；②(1m －a)(2m －a)为定值；③(1m －a)(1n －a)与(2m －a)(2n －a)均为定值；④1p 与2p 均为定值；⑤(1p －2a)(2p －2a)为定值.则其中正确结论的序号是____________.9. 已知F 是椭圆Ｃ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的左焦点，P(0x ，0y )是椭圆Ｃ的短轴右侧的一个点，过Ｐ作圆222x y b +=的切线与椭圆交于另外一点Ｑ，设Ｉ是△ＦＰＱ的内心，∠ＰＦＱ＝２α，则｜ＦＩ｜cos α=____________.10. 已知Ｆ是椭圆Ｃ：224x y +=1的右焦点，直线l ：y=kx+m(km ＜0)与椭圆Ｃ交于Ｐ(1x ，1y )、Q(2x ，2y )两点，A 、Ｂ在直线l 上，且满足：｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ｜，｜ＱＢ｜＝｜ＱＦ｜，｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜，Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｂ从上到下依次排列，则原点Ｏ到直线l 的距离＝____________.结论6：椭圆上的点与焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -. 11. 已知Ｆ是椭圆2242x y+＝１的右焦点，若椭圆上存在n 个不同的点1P ，2P ，…，n P ，使得数列｛|n P F |｝是公差大于15的等差数列，则n 的最大值是( )A.8B.10C.15D.20结论7：椭圆和双曲线的通径长为22;b a抛物线的通径长为2.p12. (福建连城一中)已知双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>两个焦点为分别为)0,3(),03(21F F ，-，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则以点2F 为圆心，与双曲线M 的渐近线相切的圆的方程为( )A.22(2x y +=B.22(4x y +=C.22(1x y +=D.223(5x y += 13. (合川中学)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且12||2,F F c =点A 在椭圆上，112AF F F ⋅uuu r uuu u r =0，，12AF AF ⋅uuu r uuu r =2c ，则椭圆的离心率e =( )B.12C.12D.2结论8：双曲线焦点F 到渐近线的距离为短半轴长b.14. (厦门双十中学2020高三下第一次文数)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若F 2P →＝2PM →，则双曲线C 的离心率为__________.结论9：直线l 与椭圆(或双曲线)221x y m n+=相交于,,A B M 为AB 的中点，则;AB OMnk k m⋅=-线l 与抛物线22y px =相交于,,A B M 为AB 的中点，则AB M k y p ⋅=. 15. (新课标1)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为( )A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y += 16. (辽宁省实验)过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于,A B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，则椭圆C 的方程为______________. 结论10：若ＭＮ是过椭圆(双曲圆(双曲线)上异于Ｍ、Ｎ的一点，则17. 已知点P 在椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设43=，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PB PA ⊥，则椭圆Γ的离心率=e ( )21A. 22B.23C.33D. 18. 已知过双曲线Ｇ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的中心的直线l 与双曲线Ｇ交于Ａ、Ｂ两点，点Ａ在第二象限，且点Ａ关于y 轴的对称点为Ｃ，设23AD AC =uuu r uuu r，直线ＢD 与双曲线Ｇ的另一个交点为Ｅ，若∠ＢＡＥ的平分线的斜率为-１，则双曲线Ｇ的离心率=e ( ) ＡＣ．3D.219. (448)已知A ，B 分别为椭圆C ：2222b y a x +=1(a [b＞0)的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当a b 2+b a +mn 21+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A .33B .32C .21D .2220. (3682)已知双曲线2222b y a x -=1(a ＞0，b ＞0)上一点P ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1，k 2均不为零)，当214kk +ln |k 1|+ln |k 2|最小时，双曲线的离心率为 ( ) A .5B .2C .2+2D .3结论11：过椭圆(双曲线)C:22x y m n+＝１上的定点Ｐ(0x ，0y )作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆(双曲线)交于异于Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＯＰ、AB 的斜率之积OP AB k k ＝22b a；过抛物线C: 2y ＝px(p>0)上的定点Ｐ(0x ，0y )作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于异于Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＯＰ、AB 的斜率之积2OP AB k k =-。
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二轮复习第１７课利用二级结论秒杀高考圆锥曲线选填题 高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面给大家带来几条出题率最高的结论.结论１：椭圆的第一定义、双曲线的第一定义.属于一级结论。
1. (848)已知双曲线2222b y a x -=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的弦交双曲线于P ，Q 两点且PQ ⊥PF 1，若|PQ |=λ|PF 1|，125≤λ≤34，则双曲线离心率e 的取值范围为____________.(请比较一下“|PF 1|=ma(m ＞0)，c=ea ”与“|PF 1|=m(m ＞0)”两种设法)2. (1248)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=3π，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当e 1e 2取最小值时，e 1，e 2的值分别是 ( ) A .22，26B .21，25C.33，6D .42，33. (2082)已知E ，F 为双曲线C ：2222b y a x -=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px (p ＞0)与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A ，B两个不同的点，若|AF |=54|BE |，则双曲线的离心率为( )A .4－7B .4－3C .4+3D .4+74. (4480)已知双曲线2222b y a x -=1的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为Q ，且⊙Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则 ( ) A .|OB |=e |OA | B .|OA |=e |OB | C .|OB |=|OA | D .|OA |与|OB |关系不确定结论２：椭圆中2122||||1cos b PF PF θ⋅=+，122tan2F PF S b θ∆=，双曲线中2122||||1cos b PF PF θ⋅=-，122cot .2F PF S b θ∆=5.已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．56. (黄冈质检)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范为__________. 结论４：在椭圆中sin()sin sin e αβαβ+=+，在双曲线中sin()||sin sin e αβαβ+=-.7. (1982)已知F 1、F 2是双曲线2222b y a x-=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，点E 是线段PF 1中点，且OE •P F 1=0，sin∠PF 2F 1≥2sin ∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A .[5，+∞) B .[5，+∞) C .(1，5]D .(1，5]结论5：点00(,)M x y 在焦点在x 轴上的椭圆（双曲线）2222()1x y a b+-=上，则10||||MF a ex =+，20||||MF a ex =-.点00(,)M x y 在抛物线22(0)y px p =>上，则0||2pMF x =+.8. 已知1F 、2F 分别是椭圆Ｃ：2222x y a b +=1(a＞b ＞0)的左、右两个焦点，圆2222x y b b+=1的一条切线交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，Ｔ为切点，设i m =||i AF ＋||AT ，i n =||i AF －||AT ，i p =△i ABF 的周长，i=1，2.现给出下列结论：①1m 与2m 均为定值；②(1m －a)(2m －a)为定值；③(1m －a)(1n －a)与(2m －a)(2n －a)均为定值；④1p 与2p 均为定值；⑤(1p －2a)(2p －2a)为定值.则其中正确结论的序号是____________.9. 已知F 是椭圆Ｃ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的左焦点，P(0x ，0y )是椭圆Ｃ的短轴右侧的一个点，过Ｐ作圆222x y b +=的切线与椭圆交于另外一点Ｑ，设Ｉ是△ＦＰＱ的内心，∠ＰＦＱ＝２α，则｜ＦＩ｜cos α=____________.10. 已知Ｆ是椭圆Ｃ：224x y +=1的右焦点，直线l ：y=kx+m(km ＜0)与椭圆Ｃ交于Ｐ(1x ，1y )、Q(2x ，2y )两点，A 、Ｂ在直线l 上，且满足：｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ｜，｜ＱＢ｜＝｜ＱＦ｜，｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜，Ａ、Ｐ、Ｑ、Ｂ从上到下依次排列，则原点Ｏ到直线l 的距离＝____________.结论6：椭圆上的点与焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -. 11. 已知Ｆ是椭圆2242x y+＝１的右焦点，若椭圆上存在n 个不同的点1P ，2P ，…，n P ，使得数列｛|n P F |｝是公差大于15的等差数列，则n 的最大值是( )A.8B.10C.15D.20结论7：椭圆和双曲线的通径长为22;b a抛物线的通径长为2.p12. (福建连城一中)已知双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>两个焦点为分别为)0,3(),03(21F F ，-，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则以点2F 为圆心，与双曲线M 的渐近线相切的圆的方程为( )A.22(2x y +=B.22(4x y +=C.22(1x y +=D.223(5x y += 13. (合川中学)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且12||2,F F c =点A 在椭圆上，112AF F F ⋅uuu r uuu u r =0，，12AF AF ⋅uuu r uuu r =2c ，则椭圆的离心率e =( )B.12C.12D.2结论8：双曲线焦点F 到渐近线的距离为短半轴长b.14. (厦门双十中学2020高三下第一次文数)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若F 2P →＝2PM →，则双曲线C 的离心率为__________.结论9：直线l 与椭圆(或双曲线)221x y m n+=相交于,,A B M 为AB 的中点，则;AB OMnk k m⋅=-线l 与抛物线22y px =相交于,,A B M 为AB 的中点，则AB M k y p ⋅=. 15. (新课标1)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为( )A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y += 16. (辽宁省实验)过点(1,0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于,A B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，则椭圆C 的方程为______________. 结论10：若ＭＮ是过椭圆(双曲圆(双曲线)上异于Ｍ、Ｎ的一点，则17. 已知点P 在椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设43=，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PB PA ⊥，则椭圆Γ的离心率=e ( )21A. 22B.23C.33D. 18. 已知过双曲线Ｇ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的中心的直线l 与双曲线Ｇ交于Ａ、Ｂ两点，点Ａ在第二象限，且点Ａ关于y 轴的对称点为Ｃ，设23AD AC =uuu r uuu r，直线ＢD 与双曲线Ｇ的另一个交点为Ｅ，若∠ＢＡＥ的平分线的斜率为-１，则双曲线Ｇ的离心率=e ( ) ＡＣ．3D.219. (448)已知A ，B 分别为椭圆C ：2222b y a x +=1(a [b＞0)的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当a b 2+b a +mn 21+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A .33B .32C .21D .2220. (3682)已知双曲线2222b y a x -=1(a ＞0，b ＞0)上一点P ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1，k 2均不为零)，当214kk +ln |k 1|+ln |k 2|最小时，双曲线的离心率为 ( ) A .5B .2C .2+2D .3结论11：过椭圆(双曲线)C:22x y m n+＝１上的定点Ｐ(0x ，0y )作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆(双曲线)交于异于Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＯＰ、AB 的斜率之积OP AB k k ＝22b a；过抛物线C: 2y ＝px(p>0)上的定点Ｐ(0x ，0y )作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于异于Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＯＰ、AB 的斜率之积2OP AB k k =-。
21. 已知点P在椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>上，点Ｍ、Ｎ在x 轴上，△ＰＭＮ是以ＭＮ为底边的等腰三角形，直线ＰＭ、ＰＮ分别与椭圆Ｃ有异于Ｐ的交点Ａ、Ｂ，若ＯP 、AB 的斜率之积OP AB k k ＝13，则椭圆Ｃ的离心率=e( )A.13B.2 Ｃ. 3D.6结论12：AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，则①12||AB x x p =++；②22||sin p AB α=；③222(1)||ABABp k AB k +=. 22. (大连模拟)抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，直线l 与E 交于,A B 两点，且8=+BF AF ，且AB 的垂直平分线恒过定点(6,0)S ，则ABS ∆面积的最大值为_______.结论13：AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆必与准线相切.MF 是抛物线22(0)y px p =>的一条焦半径，则以MF 为直径的圆必与y 轴相切. 23. (浙江台州一模)设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.22y x =或216y x = D .24y x =或216y x =24. (30100)抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，焦点F 在准线l 上的射影为点K ，过F 任作一条直线交抛物线C 于B A ,两点，则AKB ∠为 ( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或直角结论14：点00(,)P x y 在椭圆（双曲线）221x y m n+=上，则过P 点的切线方程为00 1.x x y ym n +=点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>上，则过P 点的切线方程为00().y y p x x =+25. (1148)如图，设抛物线C ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 的直线l 1交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |=8，线段AB 的中点到y 轴的距离为3.直线l 2与圆x 2+y 2=21切于点P ，与抛物线C 切于点Q ，则△FPQ 的面积为 ( ) A .23B .2C .43D .1结论15：圆锥曲线的焦半径公式：||1cos epMF e θ=-.26. (全国卷)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =uu u r uu u r，则C 的离心率为________. 27. (北京卷)已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且||2||,FA FB =则直线l 的方程为________.结论16：直线l 与椭圆2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)交于两点Ａ、Ｂ，坐标原点Ｏ到直线l 的距离为d ，则OA ⊥OB 的充要条件是d=22a b+.28. 已知A 、B 是椭圆2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)上的两个动点，且OA ⊥OB ，则11||||OA OB +的最大值和最小值分别是____________.结论17：若直线x=my+a 与抛物线2y =2px(p ＞0)交于Ａ(1x ，1y )和Ａ(2x ，2y )两点，则1x 2x ＝____________，它的值只与a 有关，1y 2y ＝____________，它的值只与a 和p 有关.29. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，E(m ，0)为x 轴上一点，ME 、NE 的延长线分别交抛物线于点P 、Q ，若MN 、PQ 的斜率k 1、k 2满足k 1=3k 2，则实数m 的值为____________.1.] 2.Ａ3.Ｄ4.Ｃ5.Ｄ6.[2，1)7. Ｄ 8.②③⑤ 9.a 10.111.C12.A13.C15.D 16.22199816x y += 17.C 18.D19.D 20.A 21.D23.D24.D25.A26.327.y=±28.ab ,a b ab+29.3第8课 利用二级结论秒杀高考圆锥曲线选填题 高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面给大家带来几条出题率最高的结论.结论１：椭圆的第一定义、双曲线的第一定义.属于一级结论。