统计概率知识点归纳

本文将通过以下几部分对统计概率的知识点进行归纳：
一、随机变量
随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。

随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

随机变量可分为离散随机变量和连续随机变量两种，可通过概率计算公式进行概率的计算。

计算离散随机变量的公式叫做概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），计算连续随机变量的公式叫做概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。

1、概率质量函数
是离散随机变量在各特定取值上的概率。

2、概率密度函数
描述随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。

二、概率分布
数据在统计图中的形状叫做它的分布。

可以通俗的理解为：概率分布=随机变量+概率+分布
1、离散（Discrete）概率分布
以下是几种常见离散概率分布
A、伯努利分布（Bernoulli Distribution）（0-1分布）
伯努利试验是单次随机试验，只有"成功（值为1）"或"失败（值为0）"这两种结果，其概率分布称为伯努利分布，也叫“0-1分布”或“两点分布”，是最简单的离散型概率分布。

记成功概率为p(0≤p≤1)，则失败概率为q=1-p，则：
其概率质量函数为：其期望为：其方差为：Python实现方式：
绘制图形如下：
B、二项分布（Binomial distribution）（n个伯努利分布）
二项分布是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

二项分布具有如下特征：
1）每次试验相互独立
2）每次试验只有两种可能结果：成功或失败
3）每次试验成功与失败的概率是相同的
4）当n=1时，二项分布服从0-1分布
其概率质量函数为：其期望为：其方差为：Python实现方式：
绘制图形如下：
C、几何分布（Geometric distribution）（二项分布第一次成功）
几何分布是在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。

也就是说：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

其概率质量函数为：其期望为：其方差为：Python实现方式：
绘制图形如下：
D、泊松分布（Poisson Distribution）（二项分布的极限分布，即和）
二项分布中，当n趋于无穷大时，p趋于0，此时事件发生的概率服从泊松分布。

泊松分布的特征如下：
1）事件为独立事件
2）在任意相同的时间范围内，事件发生的概率相同
其概率质量函数为：其期望为：其方差为：Python实现方式：
绘制图形如下：
2、连续（Continuous）概率分布
以下是几种常见的连续概率分布。

A、正态分布（Normal Distribution）
正太分布又名“高斯分布”，大量的随机变量被证明是正态分布的。

任何一个分布只要具有以下特征，则可以称其为正态分布：
1）分布的平均值、中位数和模式一致
2）分布曲线是钟形的，关于线x=μ对称
3）曲线下的总面积为1
4）有一半的值在中心左边，另一半在右边
其概率密度函数为：其期望为：其方差为：
其中，μ和是参数，随着参数变化，概率密度函数的图形如下图所示：
当均值μ=0，标准差σ=1时，称其为标准正态分布，此时概率密度函数为：
Python实现方式：
绘制图形如下：
B、幂律分布（Power Law Distribution）
自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象，它们都有一个共同的特征，即数据波动非常地大，少数点的数值特别高，大多数的点数值都很低，最大和最小的点之间，可能相差好几个数量级。

统计学上，把这种情况叫做“幂律分布”。

幂律分布的形状，是一个不断下降的曲线，从最高的峰值开始极速下降，后面拖了一个长长的尾巴。

其概率密度函数为：
长尾理论与帕累托法则（二八定律）都是简单的幂律分布，还有其他形式的幂律分布，像名次- 规模分布、规模-概率分布等。

长尾理论，草根主义，关注的是幂律分布的尾部，互联网的发展推动了这一理论的兴起。

互联网市场不像传统市场，会受到地域、货架成本等因素的局限，网上供应的商品都可以被需求方看到，而不仅仅是少部分需求量很大的商品，只要存储和流通的渠道足够大，需求不旺或销量不佳的产品共同占据的市场份额就可以和那些数量不多的热卖品所占据的市场份额相匹敌甚至更大。

二八定律，精英主义，关注的是幂律分布的头部，即常说的“20%的人拥有80%的财富”。

幂律分布广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中，且表现形式多种多样。

三、总体和样本
总体是要研究的对象的集合，样本则是在总体内随机抽取的一部分，用于代表总体，是总体的一个子集。

1、样本数量和样本大小
样本数量，指样本的个数，即抽取的子集的次数。

样本大小，指每个样本中包含的个体数量，即每个子集的规模大小。

2、用Python实现随机抽样
1）用random实现
抽奖的案例
结果如下：
2）用sample（）函数实现
结果如下：
sample（）函数会从数据框中随机选择子集
结果如下：
四、中心极限定理
1、定理含义
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。

有以下几个特征：
1）样本的均值约等于总体均值
2）样本的均值围绕在总体均值周围，呈正态分布
需要特别说明的是：
1）样本均值与总体均值的分布形态没有关系，无论总体呈什么分布，样本均值都在总体均值周围呈正态分布。

2）取样次数越多，样本大小越大，样本的均值就越接近正态分布。

2、相关概念区分
1）标准差：方差的算术平方根，用于衡量数据集的离散程度（波动性）。

公式为：
2）样本标准差：总体中抽取的随机样本的标准差，计算公式与标准差的不同之处在于分母是
n-1，可用其估计总体标准差。

公式为：
3）标准误差：所有样本的均值求标准差，反映了样本均值距离总体均值的距离。

公式为：
利用标准误差公式可以判断某个样本是否属于总体：
（1）根据总体标准差和样本大小计算出标准误差；
（2）计算出目标样本的均值；
（3）查看目标样本的均值是否在距离总体均值正负3个标准差的范围内，如果是，则此样本属于总体，否则不属于。

五、产生偏见的原因
1、样本偏差
由于抽取的样本数量不够多或者抽取样本时未遵循随机原则导致的偏差。

避免偏见的方法：
1）样本数量足够大才能够代表总体，小样本得出的结论不具有代表性
2）收集意见时，独立判断得出的结果才具有参考价值，受影响得出的结论不足以信任
2、幸存者偏差
我们常常关注显而易见的样本，而不会关注沉默的样本。

例如：二战战斗机改进中，中弹最少的地方才是最致命的，才最应该加强防护。

避免偏见的方法：
1）多角度观察，当多角度均指向同一个结论时，则认为合理
2）逆向思维
3、概率偏见
行为经济学家把人类自以为的概率叫做心理概率，心理概率与客观概率的不吻合即为概率偏见。

例如：911事件后，美国人选择驾车出行概率增高，但因驾车出行而死亡的人数远超飞机。

避免偏见的方法：
1）用客观的数学方法验证概率
2）多方面咨询相关专家
4、信息茧房
由于人们的信息领域会习惯性地被自己的兴趣所引导，因此久而久之会将自己的生活桎梏于像蚕茧一般的“茧房”中。

例如：各种APP中的个性化推荐，只能看到自己感兴趣的信息。

避免偏见的方法：
1）不采用个性推荐设置
2）多方听取意见，扩大视野
以上，为统计概率部分知识点归纳，希望能够经常回顾，做到温故而知新。